17.1.2反比例函数的图象和性质(2)(教师用)
反比例函数的图像和性质课件
曲线运动问题
通过给定物体的速度和运 动轨迹的曲率半径，利用 反比例关系求解物体在不 同位置的速度。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
通过给定溶液的初始浓度 和稀释后的体积，利用反 比例关系求解稀释后的浓 度。
溶液混合问题
通过给定两种不同浓度的 溶液的体积和浓度，利用 反比例关系求解混合后的 浓度。
物质溶解问题
通过给定三角形的面积和底边长度，利用反比例关系求解高。
平行四边形面积问题
03
通过给定平行四边形的面积和一组对边的长度，利用反比例关
系求解另一组对边的长度。
速度问题建模与求解
01
02
03
匀速直线运动问题
通过给定物体的速度和运 动时间，利用反比例关系 求解物体运动的距离。
变速直线运动问题
通过给定物体的加速度和 运动时间，利用反比例关 系求解物体在不同时间点 的速度。
在第一象限和第三象限内，随着 $x$ 的增大 ，$y$ 值逐渐减小。
函数图像关于原点对称。
函数值变化规律
01
当 $k < 0$ 时
在第二象限和第四象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。
无论 $k$ 取何值，反比例函数 在其定义域内总是连续的，且在 其定义域内没有极值点。
02
03
04
函数图像关于原点对称。
2
反比例型复合函数图像
反比例型复合函数的图像形状和位置取 决于 $f(x)$ 的性质和取值范围。一般来 说，其图像可能不再是双曲线，但仍然 具有一些反比例函数的特性。
3 反比例型复合函数性质
反比例型复合函数具有一些特殊的性质 ，如单调性、奇偶性等，这些性质与 $f(x)$ 的性质和取值范围密切相关。在 实际应用中，需要根据具体情况进行分 析和判断。
17.1.2_反比例函数的图象和性质(2)
m 5
例2：如图是反比例函数 y 的图象一支， x 根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎 样的大小关系？
函数y=kx-k 与 图象可能是
y
o x
k
0
在同一条直角坐标系中的
D :
y
o x
y
o x
y
o x
(A)
(B)
(C)
(D)
练习
y
y x (B)
0
1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= k x 在 同一坐标系中的图 象大致是 ( D )
(A)
0
x
y
y x (D)
0
(C)
0
x
2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k与 y2= k x 在同一坐标系中 (A) 的图象大致是 (C )
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
17[1].1.2反比例函数的图象和性质第一课时教学设计
![17[1].1.2反比例函数的图象和性质第一课时教学设计](https://img.taocdn.com/s3/m/0cad67e7f8c75fbfc77db2bf.png)
17.1.2反比例函数的图象和性质第一课时教学设计南孙庄乡中学一、教材分析:主要从地位与作用、教学目标、重点难点三方面进行阐述。
（一）地位与作用：本节教材是在学生理解反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的，反比例函数图象和性质的学习，是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃。
图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，无不反映出对函数概念本质属性认识的进一步深化。
反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续学习各类函数的基础。
反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质。
反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在。
反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。
首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。
通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法。
这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势。
其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。
再次，将函数中变量x、y之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想。
因此，学好本节课内容，将为今后的函数学习奠定坚实的基础。
（二）教学目标：根据课改“以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动起学生参与教学过程”的精神。
反比例函数的图像与性质优秀教案
17。
1.2反比例函数地图像与性质（2)教学目标：掌握反比例函数地图像与性质，理解反比例函数相关地面积问题。
教学重点:掌握反比例函数地图像与性质，理解反比例函数相关地面积问题. 教学难点：运用反比例函数地图像与性质解决有关问题。
教学过程：(一）复习与回忆1.函数4y x =地图象地两个分支在第象限；在每个象限y 都随x 地增大而.函数4y x=-地图象地两个分支在第象限；在每个象限y 都随x 地增大而。
2. 已知y 是x 地反比例函数，当x =3时，y =—6，则y 与x 地函数关系式是：;当x =—2时，y = ；当y =4时,x = 。
b5E2RGbCAP (二）自学新课并解决以下问题 问题1：如图，点A 是反比例函数6y x=图像上一点,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结AO,⑴若A 点地横坐标为3，则AOBS =____________; ⑵若A 点地横坐标为a ，则AOBS=____________；⑶思考:若点A 在函数图像上运动，△AOB 会否发生变化？问题2：如图,点A 是反比例函数6y x=图像上一点,过点A 作AB ⊥x 轴于点B,连结AO ，⑴若A 点地横坐标为—3，则AOBS =____________；⑵若A 点地横坐标为a ，则AOBS=____________；⑶思考:若点A 在函数图像上运动，△AOB 会否发生变化？归纳:若点A 在反比例函数ky x =地图像上运动，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结AO ，则△AOB 地面积______随点A 地运动而发生变化，并且我们可以得到AOBS =____________。
p1EanqFDPw (三）教师点拨与例题讲解例2如图，一次函数y ＝kx ＋b 地图象与反比例函数xmy =地图象交于A(－2，1）、B （1,n ）两点 （1)求反比例函数和一次函数地解析式（2）根据图象写出一次函数地值大于反比例函数地值地x 地取值范围课堂练习:1.如图，若点A 是反比例函数ky x =地图像上一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结AO ，若AOBS=4，求反比例函数地解析式。
反比例函数的图像和性质教案
17.1.2反比例函数的图象和性质新课标人教版八年级下册第十七章《反比例函数》第一节第二课时。
教学任务分析本节课主要通过活动引路，提出问题，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征，体会事物是有规律地变化着的观点。
用科学的方法解决问题，培养学生科学的态度与精神。
本节课的教学设计力求在每一个环节上都能以学生为主体，以围绕着增加学生学习的兴趣，降低思维难度，减少学生对函数学习的畏惧心理，强化主动的学习动机，为学生自信的心理品质的发展和学习的主动性培养提供良好的心理环境为出发点，让学生自己完成知识的探索，体会他们的探索是有意义、有科学性、有创造性的。
本设计有以下几个突出特点：1、.敢于使用知识的负迁移。
在教学中普遍认为，知识的负迁移对学生起到负面的作用，因此，在教学中都想方设法避开这些错误的负面，一旦出现也是围追堵截，消灭在萌芽状态。
而实际上，巧妙地利用负面资源，变废为宝，不失良策，甚至能起到事半功倍的效果。
2、提供足够的感性材料，为理性认识蓄足底蕴。
为了更好地发现反比例函数的性质，组织了三次画图活动，在画图、评析、纠正、调整等活动中反复历练了画图的方法，学生有了丰富的感性素材，可谓“厚积薄发”。
3、教师、学生的合理定位。
教师始终把自己放在了策划者、引导者、促进者的位置，注重了学法的指导，“授人以鱼，不如授人以渔”，方法是高于知识的，它能驾驭知识。
同时把学生推向前台，使学生以研究者和探索者的身份穿梭于课堂，充分突出了主体的地位，角色的更新提升了学生的参与意识，在成功中获得自信，可谓德智双赢。
板书设计：17.1.2反比例函数的图象和性质画图象画y=6x-1的图象（1）列表（2）描点（3）连线性质：1、形状2、位置3、增减性体会练习。
反比例函数的图像与性质 课件
反比例函数图像的特点
探索反比例函数图像的形状和特征。
反比例函数的运算和应用
学习如何进行反比例函数的运算，并了解其在 实际问题中Байду номын сангаас应用。
参考资料
1 参考书目
- 反比例函数的进一步学习
2 参考链接
- 更多关于反比例函数的信息
反比例函数的图像与性质
欢迎来到本课件，我们将介绍反比例函数的图像和性质。了解什么是反比例 函数及其表示方法。
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种数学函数关系，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小。
表示方法
通常用y=k/x来表示，其中k是非零实数。
反比例函数的图像
性质
反比例函数的图像呈现出一个下凹的曲线，且经过 第一象限和第三象限。
比例线性关系
反比例函数的图像与比例函数的图像之间存在线性 关系。
比例函数的应用
1
实际问题
反比例函数可以用于解决实际问题，例
参考例题
2
如时间和速度之间的关系。
我们将提供一些参考例题，以加深对反 比例函数的理解和应用。
总结
反比例函数的定义和性质
了解反比例函数是如何定义的以及其特点。
反比例函数的几何意义
图像特点
图像的特点是有两条渐近线，即x轴和y轴，它们分 别称为垂直渐近线和水平渐近线。
反比例函数的几何意义
1 越来越快地接近x轴和y轴
2 与比例函数的区别
随着x值的增大或减小，函数的值会越来越接 近y轴或x轴。
相比之下，比例函数的图像是通过原点的直 线。
反比例函数的运算
乘除法反转
当两个变量成反比例关系时，乘积保持不变。
17.1.2反比例函数的图象和性质教学设计
反比例函数的图像和性质
例题讲解： 例1 例2 随堂练习： 堂课总结： 反比例函数图象的性质 布置作业：
七、课后作业
1．函数 y= 的图象是_______，当 x>0 时，该图象在第_______ 象限． 2．函数 y= 的图象经过点 A（－4，3） ，则 k=________． 3．已知 y 是 x 的反 比例函数，根据表格所给的信息完成下列问 题： x － 3[ 来 源 :Z 。 xx 。 ] 1 － 1 2 3
5 2 x
a 2 6
，当 x 0 时，y 随 x 的增大而增
（五）教学小结
你对本节知识有哪些认识？ 教师可由学生随意说出一个反比例函数， 然后由一个学生说出它 的性质。 在活动中，教师应重点关注 ： 1.不同层次学生对本节课知识的认识程度； 2.学生独立面对困难和克服困难的能力。
六、板书设计 17、1、2
y
6 6 y x 的图象。 x与
1、学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换； 2、 是否熟悉作出函数图象的主要步骤， 会作反比例函数的图象； 3、在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索。 反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象， 而且反比例函 数的图象是由断开的两支曲线组成的， 我们从描出的点的变化趋势可 看出，切记不能用直线连接。 师生共析： 用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连 接起来，就可得到下图。
这个过程由学生独立思考、操作、交流、回答；教师可与学生平 等交流，提问学生。 问：1、什么叫做反比例函数？ 学生：如果两个变量 x 、 y 之间的关系可以表示成
反比例函数的图象和性质课件
函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限 的，即反比例函数图像上存在无穷 多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或 减小，y的值会趋近于无穷大或无 穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调 递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递 增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是 常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分 别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在 第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图 像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 于描述商品价格与市场需求之间 的关系，通过分析反比例函数的 特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的 关系可以用反比例函数描述，通 过分析反比例函数的特性，可以 解决与磁场和电流相关的问题。
17.1.2反比例函数的图象和性质(第二课时)教学设计
第二课时一、教学目标知识与技能1、使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质2、能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题过程与方法体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的性质。
情感、态度与价值观体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。
在动手作图中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯。
二、教学重、难点重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题难点：学会从图象上分析、解决问题三、教学准备多媒体，作图工具四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课首先复习上节课所学的内容：1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？讲授新课：3、作函数图象的步骤：列表、描点、连线。
4、反比例函数图象和性质：①反比例函数的图象是由两支双曲线组成的（通常称为双曲线）。
②当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
③反比例函数的图象与坐标轴不相交，它们都不过原点。
④反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形；也是轴对称图形。
3、反比例函数x ky =的图象，当k>0时,在每一个象限内，y 的值随x 的增大而 减小；当k<0时，在每一个象限内，y 的值随x 的增大而增大。
此活动中，教师应重点关注： ①学生能否顺利地完成解答；②学生是否能将反比例函数的图象和性质结合起来理解。
(二)例题分析例1、已知反比例函数的图象经过点A （2，6）。
这个函数的图象分布在哪些象限？随自变量的增大如何变化？点B （3,4）、C （544,212--）和D （2，5）和是否在这个函数图象上？在此活动中教师应重点关注：①是否理解反比例函数解析式的确定就是值的确定；②点是否在图象上，只需将点的横、纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断。
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理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题
学习Biblioteka 过程二次备课
教学内容、程序、 教学内容、程序、师生活动解决策略 一、前置性学习 1．温故知新：
比较正比例函数和反比例函数的性质
正比例函数 解析式 图像 位置 反比例函数
y = kx ( k ≠ 0)
直线 k＞0，一、三象限； k＜0，二、四象限
A． （3，7） B． （-3，-7） C． （-3，7）
）
D． （2，-7）
k ⑶：函数 y1=kx 与 y2= 在同一坐标系中的图象是（画出存在的所有图象） x
二、典型例题
例 1 已知反比例函数的图象经过点 A(2,6)，
（1）你能求出它的解析式吗？ （2） 这个函数的图象在哪些象限？在图象的每一支上， 随 x 的增大如何变化？ y （3）点 B(3,4)是否在这个函数图象上？说明理由．点 C(-2.5,-4.8),D(2,5)，呢？ 分析：将问题分步骤完成，减低难度，让学生独立完成； 教师将学生完成的过程展示，并通过以次发现存在的问题，及时小结。
y=
m 的图象交于 A（－2，1） 、B（1，n）两点 x
（1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值 的 x 的取值范围 分析：因为 A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式
2 y = − ，又 B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出 n 的值，最后再由 A、 x
y=
k ( k ≠ 0) x双曲线
k＞0，一、三象限 k＜0，二、四象限 k＞0，在每个象限 y 随 x 的 增大而减小 k＜0，在每个象限 y 随 x 的 增大而增大
增减性
k＞0，y 随 x 的增大而增大 k＜0，y 随 x 的增大而减小
2．尝试应用： ⑴：函数 y=
m−2 的图象在第二，四象限，则 m 的取值范围是 x k ⑵：若函数 y= 的图象过点（3，-7） ，则它一定还经过点（ x
B 两点坐标求出一次函数解析式 y＝－x－1，第（2）问根据图象可得 x 的取值 范围 x＜－2 或 0＜x＜1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这 两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。 四、巩固练习 1、已知反比例函数 y=k/x（k≠0）的图像经过点（4，3） ，求当 x=6 时，y 的值。 2．已知点（－1，y1）（2，y2）（π，y3）在双曲线 y = − 、 、 关系式正确的是（ （A）y1＞y2＞y3 （C）y2＞y1＞y3 五、小结 六、作业 课本 P47 习题 9 板书设计： 板书设计： ） （B）y1＞y3＞y2 （D）y3＞y1＞y2
、B（－1，b） 、C（3，c）在反比例函数 y = 例 3 若点 A（－2，a）
k （k＜0） x
图象上，则 a、b、c 的大小关系怎样？ 分析：由 k＜0 可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，因为 A、B 在第二象限，且－1＞－2，故 b＞a＞0；又 C 在第 四象限，则 c＜0，所以 b＞a＞0＞c 变题： 变题：若题设中的“k＜0”去掉，则 a、b、c 的大小关系怎样？ 三、能力提升 例 4 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数
如东县掘港镇童店初级中学 八年级数学导学案 课 题 学 习 目 标 重点 难点 教学 用具 17．1．2 反比例函数的图象和性质 （2） 课 型 集体备课时间 集体备课时间
主备人： 唐鑫鑫 新授课 2011.2.15 授课时间
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法
k 2 +1 上，则下列 x
教学反思： 教学反思：
如东县掘港镇童店初级中学 八年级数学导学案
主备人： 唐鑫鑫
例 2 下图是反比例函数 y=(m-5)/x 的图象的一支．根据图象回答：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ （2）在双曲线上有两点 A(1,y1),B(3,y2)，试比较 y1 与 y2 的大小．对于双曲 线上另外两点 A’(-1,y1),B’(-3,y2)，你又可以得出什么结论？ （3） 在这个函数图象的某一支上任取点双曲线上有两点 A(a,b)， B(a’,b’)． 如 果 a>a’，那么 b 和 b’怎样的大小关系？