高考数学三轮复习：考点专练(三)

高考数学三轮复习：考点专练(三)
一、选择题
1．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 ( )
A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0
B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0
C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0
D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：C
2．给出两个命题：p ：|x |＝x 的充要条件是x 为正实数；q ：奇函数的图象一定关于原点对称，则下列命题是假命题的是
( ) A ．p ∧q
B ．p ∨q
C ．綈p ∧q
D ．綈p ∨q 解析：p 假q 真，故选A.
答案：A
3．下列命题中，真命题是
( ) A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0
B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1
C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0
D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0
解析：本题考查对特称命题与全称命题真假的判断．要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M 中的每一个x 验证p (x )成立，要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可；存在性命题的真假判定要在限定集合M 中，能找到一个x ＝x 0，使q (x 0)成立即可，否则这一命题为假．
对于A 选项：∀x ∈R ，－x 2－1<0恒成立，A 正确；
对于B 选项：∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34
>0恒成立，∴不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1，B 错误；
对于C 选项：∵x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122，存在x 0＝12，使x 20－x 0＋14
＝0，C 错误；对于D 选项：y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1>1，D 错误．
答案：A
4．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么
( )
A ．“綈p ”是假命题
B ．q 是真命题
C ．“p 或q ”为假命题
D ．“p 且q ”为真命题
解析：因为x 2＋1<2x ，即x 2－2x ＋1<0，也即(x －1)2<0，所以命题p 为假；若mx 2－mx
－1<0恒成立，则须m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，Δ＝m 2＋4m <0，则－4<m ≤0，所以命题q 为假，故选C. 答案：C
5．下列有关命题的说法正确的是 ( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”
B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要而不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”
D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题
解析：对于A ，注意到一个命题的否命题是将其题设与结论分别进行否定所形成的新命题，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，因此A 不正确．对于B ，当x ＝－1时，x 2－5x －6＝0，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分条件，B 不正确．对于C ，命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，因此C 不正确．对于D ，由于命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，因此其逆否命题也是真命题(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，D 正确．综上所述，选D.
答案：D
6．“非空集合M 不是P 的子集”的充要条件是
A ．∀x ∈M ，x ∉P
B ．∀x ∈P ，x ∈M
C ．∃x 1∈M ，x 1∈P 又∃x 2∈M ，x 2∉P
D ．∃x 0∈M ，x 0∉P
解析：由子集的定义可知∀x ∈M ，x ∈P ，故其否定为答案D.
答案：D
二、填空题
7．“若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是________．
解析：命题“若p 则q ”的逆否命题是“若綈q 则綈p ”，本题中“a ∉M 或a ∉P ”的否定是“a ∈M 且a ∈P ”．
答案：若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P
8．若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则“∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0”是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3.
答案：[－1,3]
9．已知下列命题：
①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；
②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )为真命题”；
③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；
④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2⇒/a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．
答案：②
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)∃x 0∈R ，x 20－4＝0；
(2)∀T ＝2kπ(k ∈Z )，sin(x ＋T )＝sin x ；
(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；
(4)a ，b 是异面直线，∃A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .
解：它们的否定及其真假分别为：
(1)∀x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．
(2)∃T 0＝2kπ(k ∈Z )，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．
(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．
(4)a ，b 是异面直线，∀A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．
11．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝⎛⎭
⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．
解：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞的左
侧，即c ≤12
.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”，当“p 真q 假”时，c 的取值范围为{c |12<c <1}；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为{c |12
<c <1}． 12．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解：命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．
解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，
∴x ＝a 2
或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时，|a 2
|≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.
又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，
即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，
∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.
∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.
∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.
∵命题“p 或q ”为假命题，
∴a >2或a <－2，即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．
[热点预测]
13．(1)下列说法错误的是 ( )
A ．如果命题“綈p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题
B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”
C ．若命题：p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0
D ．“sin θ＝12
”是“θ＝30°”的充分不必要条件 (2)已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2], f (x 1)≥g (x 2)，则实数m
的取值范围是________．
解析：(1)A 、B 、C 显然正确，D 中，由“θ＝30°⇒sin θ＝12”，但由“sin θ＝12
”不能得出“θ＝30°”，故选D.
(2)由已知可得f min (x 1)≥g min (x 2)即0≥14－m ，∴m ≥14
. 答案：(1)D (2)m ≥14。