数学把握核心概念提升思维能力苏州中学王思俭
初中数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力
KEGAI QIANYAN课改前沿99数学学习与研究2019.7初中数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力◎黄艳秋（江苏省扬州市邗江中学集团北区校维扬中学，江苏扬州225000）【摘要】锻炼与提升学生的逻辑思维能力是新教学大纲改革后规定的新教学目标之一．在教学过程中，教师要加强答题练习，训练学生的逻辑思维能力，从实际生活中激发学生的学习兴趣，强化逻辑思考练习，培养学生的逻辑思维能力；鼓励学生多做题，同时关注思维能力较差的学生．【关键词】逻辑思维；训练；初中数学伴随新课程的改革，教师的教课理念与任教模式都发生了一定的变化，学生的学习模式也从以前的死记硬背、被动学习转化为当今的积极学习．对初中生来说，数学逻辑思维的训练重点还是在课堂教学中．教师要按照课程标准，有效设置教学内容，借助生动活泼的教学模式来训练学生的逻辑思维能力．一、加强答题练习，训练学生的逻辑思维能力初中数学培养不了数学题的培训，而数学题是无止境的，并且每道题都是多变的．每答一题都规定解析题中条件与结论之间的关联，找到他们之间的关联，清楚答题办法这是锻炼学生逻辑思维的重要方法［1］．在答题阶段中，让学生由易到难的过程，使其慢慢地对答题办法有着思考模式与过程．通过这样的练习深化，在答题中训练，深化学生的思想，同时拓展逻辑思维能力．二、从实际生活中激发学生的学习兴趣人是有思维的，人的一切重要活动都是在一定的思维指导下进行的，逻辑思维与人类为伴，它渗透到社会生活的方方面面，无处不在，无时不有．因此，作为数学教师，应当学会利用现实生活的情境和问题激发学生的思维兴趣．心理学家认为，兴趣是人们认识事物的原动力，是人们求知的源泉，而我们的教学实践也证明了兴趣有助于提高学生的学习主动性和积极性，它是学生发展思维的前提和条件，学生只有对一个事物产生兴趣，他们才会积极地探索和研究，因此，根据学生的这个心理特点，我们初中数学教师应当学会利用生活，在课堂教学中尽量提出一些与学生生活贴近的，使学生感兴趣的并且具有逻辑思维的问题，贴近学生生活的问题容易引起学生的注意，容易让学生投入其中，学生在探究的过程中自己动脑、动手，进而锻炼和提高了他们的思维能力．三、结合教学内容培养的逻辑思维能力结合初中数学教学内容培养学生初步的逻辑思维能力，首先每位教师应该认识到结合初中数学知识的教学，必须有意识、有目的地培养学生初步的逻辑思维能力．数学教师只有在加强基础知识的同时，注重培养学生初步的逻辑思维能力，自觉的、有目的地去挖掘教材本身的逻辑因素，学生初步的逻辑思维能力才能不断提高．其次，每位数学教师应该认识到培养学生初步的逻辑思能力，必须结合初中数学知识教学进行，数学课不是逻辑课，在初中数学教学中培养学生初步的逻辑思维能力，一定要结合初中数学知识教学进行，决不能另讲一套，要做到结合有机、渗透自然、要求适度、方法得当．每位数学教师应该注重应用题教学是培养学生思维能力的一个重要方面，要注意引导学生分析数量关系、掌握解题思路，在分析数量关系、导找解题思路中充分培养学生初步的逻辑思能力［2］．四、通过思维基本功训练培养逻辑思维能力（一）搞好数学概念的教学数学教学中的概念是比较抽象的，它是构成判断、推理的要素，是最基本的思维形式，因此，在初中数学教学中，教师的讲解和传授要使抽象的概念具体化、简单化、通俗易情，这样才能帮助学生理解概念的含义．此外，数学教师可以列举一些反面的例子，让学生在比较和辩证的过程中逐渐加深对正确概念的认识和理解，最后教师应要求学生用准确的语言表述数学概念．（二）培养学生的选择判断能力选择判断能力反映了一名学生逻辑思维能力的强弱，它往往先凭直觉认知，而后判定并获取信息，再对信息筛选、评判之后采取策略．因此，教师在教学中首先注意培养学生如何去正确地获取信息，此乃培养选择、判断能力的关键所在．教师在教学中应帮助学生树立正确的价值观念，因为正确的价值观念是对事物行选择判断的重要依据，对学生的判断能力具有指导作用．在解题教学中应尽量鼓励和训练学生多角度、多方面地去探求最佳答案，并分析解题过程，掌握思维方法，使学生不仅知其然，还要知其所以然．五、关注逻辑思维能力较差的学生针对逻辑思维能力差的学生，需要教师在教学过程中善于总结各个教学进程中知识点的连贯性和关联性，引导学生在学习中能够统揽全局，对总体的知识脉络的逻辑关系把握清晰，对知识间的相关性和引申意义能够有较为敏感的认知．六、结束语总之，良好的思维品质、逻辑思维能力是学生取得好成绩的必要条件．在初中数学教学中，培养学生的逻辑思维能力，需要教师在教学中注重细节，从多方面去指导、帮助．在传授数学知识的过程中，教师要严格遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式，做出示范［3］．潜移默化是培养学生思维能力的途径，只要坚持训练，必然会有较多的学生能够逐步进行有根有据的思考和获得有条理的说明、分析问题的能力．逻辑思维能力提高过程是循序渐进的，而不能一蹴而就，教师在教导过程中也应有耐心，让学生在兴趣中学习这样能达到更好的效果．【参考文献】［1］杨彦文．初中数学教学中如何培养或者提升学生的逻辑思维能力［J ］．学周刊，2013（11）：56．［2］朱娟．初中数学教学中如何培养学生逻辑思维能力［J ］．数理化解题研究（初中版），2014（12）：36．［3］万彦丽．中学数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力［J ］．数学学习与研究，2017（12）：31．。
王思俭冲刺阶段高考数学复习中的热点与冷点
讲座提纲冲刺阶段高考数学复习中的热点与冷点江苏省苏州中学 王思俭一、高考数学试题中的冷点回顾1.07年四点共面问题；方程的解集问题.2.08年数列中反证法；探求充要条件、证明函数的单调性（含有绝对值的函数）；三角形数表.第10题：将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10. . . . .按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲第19题（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当4=n 时，求da 1的数值；②求n 的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列n b b b ,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列.第20题：若1212()3,()23x p x p f x f x --==⋅，x R ∈，12,p p 为常数，且⎩⎨⎧>≤=)()(),()()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x f （1）求)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用21,p p 表示）（2）设b a ,为两实数，b a <且),(,21b a p p ∈若)()(b f a f =求证：)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2ab -（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）。
3.09年数列中项的讨论类问题；含有绝对值的函数的最值问题、解一元二次不等式问题.第13题如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .第17题：设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.?第20题：设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.若(0)1f ≥，求a 的取值范围；求()f x 的最小值；设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.4.直线与圆锥曲线的交点、动点轨迹；数列与不等式问题；平面向量与平行四边形；点到平面距离；抽象函数；不等式的基本性质.第12题设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是 ▲ .第15题：在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值第16题：如图，四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900(1)求证：PC⊥BC(2)求点A 到平面PBC 的距离第17题：某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H 的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大第18题：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.第19题：设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立.求证：c 的最大值为29.第20题：设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P .(1)设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P求函数)(x f 的单调区间(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围二、高考数学复习中的冷点排查1.集合与函数（1）集合的运算（特别是新定义的相关运算、讨论集合中元素个数、某数或式子是否为集合中的元素）.（1）抽象函数（研究函数的性质、对称性、周期性）.（2）导数中曲线的切线问题（过一点作曲线的切线，讨论切线的条数、或由已知切线的条数求参数的取值；切线与坐标轴所围成三角形的面积、或由切线所产生的线段长度等）. 例 1.已知集合},,,{21n a a a A Λ=中的元素都是正整数，且n a a a <<<Λ21，对任意的,,A y x ∈且x y ≠，有25xyy x ≥-．（1）求证：251111-≥-n a a n ； （2）求证：9≤n ；（3）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ．例2. 设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1Λ=）恒成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.（1）函数2)(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由；（2）设函数)(x f 是],[b a 上的单调递减函数，证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数；（3）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的1x 、],[2b a x ∈ 时，2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.2．三角与平面向量（1）解斜三角形（测量类问题、正弦定理、余弦定理）.（2）三角函数求值（给角求值、给式求值，主要考查三角恒等变换、二倍角公式、拆角变换）.（3）平面向量——平面几何中的共线向量、向量的数量积（涉及三角形、三角函数、面积、线段长度等）.FCA例3.已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c .且222()tan b c a A +-=.（1）求角A的大小;（2）求sin(10)[110)]A A +︒⋅-︒的值.3.立体几何（1）求空间角与距离、空间几何体的侧面积与体积、几何体中的截面面积.例 4.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ；（2）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（3）求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．4.数列（1）数列中的项的讨论类问题、数列与不等式（主要是由数列建立含有参数不等式或含有(1)n -，需要分类讨论）、数列分组（三角形数表、回形表等）.例5.对于数列{}n a ，若存在一个常数M ，使得对任意的*,||n n N a M ∈≤都有，则称{}n a 为有界数列.（1）判断2sin n a n =+是否为有界数列并说明理由.（4）是否存在正项等比数列{},n a 使得{}n a 的前n 项和n S 构成的数列{}n S 是有界数列？若存在，求数列{}n a 的公比q 的取值范围；若不存在，请说明理由.（3）判断数列1111(2)35721n a n n =++++≥-L 是否为有界数列，并证明. 例6. 已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和. (1)求证：数列1{}2n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式； (2)如果对任意*N n ∈，不等式7221212-≥-+n T n kn恒成立，求实数k 的取值范围.5.解析几何（1）直线与圆锥曲线的位置关系（与坐标轴平行的特殊直线、过曲线上一点的直线、具体直线与具体曲线的交点等）.（2）简单的轨迹方程（利用圆锥曲线的定义、圆的定义判断动点的轨迹形状，再写方程；利用代入法求动点轨迹方程）.例7.设,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,2在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：△MBP 为钝角三角形．例8.已知ABC ∆的边AB 边所在直线的方程为3x -(20)M ，满足MC BM =, 点(11)T -，在AC 且满足0=⋅AB AT ．（1）求AC 边所在直线的方程；（2）求ABC ∆外接圆的方程；（3）若动圆P 过点(20)N -，，且与ABC ∆的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．6.不等式（1）不等式的简单性质（若0,0x y >>，则0xy >；若0x >，a b >，则ax bx >等）；解含有参数的一元二次不等式、或分式不等式、或等价转化为一元二次不等式组等.例9.记定义在［－１，１］上的函数2()f x x px q =++（p,q ∈R ）的最大值、最小值分别为M 、N ，又记()h p M N =-.（1）当02p ≤≤时，求M 、N （用p 、q 表示），并证明()1h p ≥；（2）写出()h p 的解析式；（3）在所有形如题设的函数f(x)中，求出所有这样的f(x)使得|f(x)|的最大值为最小.例10.某隧道长2150m,通过隧道的车速不能超过20m ∕s ，一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速度为40m/s ），匀速通过该隧道，设 为x(m/s),根据安全和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持（21163x x +）m 的距离，自第一辆车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用时间为y(s).（1）将y表示为x的函数；（2）求车队通过隧道时间y的最小值及车队的速度.7.概率问题正题部分的概率不会有难题，但要注意课本中几个模型，最基本的计数原理要掌握；附加题部分要重视几种模型，会计算期望与方差.例10．如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的12和14.某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到A，B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分.先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转为另一个转盘，此时活动结束，若第一次未赢得积分，则终止活动.（1）记先转A转盘最终所得积分为随机量X，则X的取值分别是多少？（2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由.。
026-数学-把握核心概念提升思维能力-苏州中学王思俭
则不等式 f (x) x 的解集用区间表示为
▲பைடு நூலகம்
P （13.13）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a,a) ，
是函数
y
1 x
（ x 0 ）图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满
a 足条件的实数 的所有值为
▲
（13.20）设函数 f (x) ln x ax ， g(x) ex ax ，其中 a 为实数。
(1)设 M＝{1}，a2＝2，求 a5 的值； (2)设 M＝{3,4}，求数列{an}的通项公式．
（12.6）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，-3 为公比的等比数 列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 ▲ ． （12.20） 已知各项均为正数的两个数列{an} 和{bn}满足：
(2)设 a<0 且 a≠b，若 f(x)和 g(x)在以 a，b 为端点的开区间上单 调性一致，求|a－b|的最大值．
（12.5）函数 f (x) 1 2log6 x 的定义域为 ▲ ．
（12.10）设 f (x) 是定义在R上且周期为 2 的函数，在区间[1，1] 上，
ax 1，1≤ x 0 ，
2 ，函数 f (x) ax ，若实数 m, n 满足 f (m) f (n) ，
则 m,n 的大小关系为 ★ .
a （09.20）设 为实数，函数 f (x) 2x2 (x a) | x a |.
a （1）若 f (0) 1，求 的取值范围；
（2）求 f (x) 的最小值；
（3）设函数 h(x) f (x), x (a,) ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式
an1
an bn ，n N
“情境—模型—情境”型教学设计与实践——以“函数的应用(一)”为例
一、问题提出核心素养是本次课改的关键词，指新时代的公民必须具备的人格品质及关键能力，是落实“立德树人”的重要标尺.为落实立德树人根本任务、发展素质教育，最新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中提到“情境”一词158次.同时，评价框架的第一个维度就是反映数学学科核心素养的四个方面，即情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思.由此可见，“情境”在教学与评价中拥有举足轻重的地位.根据教学要求，如何创设合适的情境，使得学生经历其中，感悟知识和数学本质，提升数学学科核心素养，成为一线教师亟待实践的课题.事实上，情境包括现实情境、数学情境和科学情境.一般把应用问题中的情境狭义地理解为“现实情境”.在苏州市的新课程新教材研讨活动中，笔者开设了题为“函数的应用（一）”的公开课，内容选自人教A 版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”），试图将“情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养”落到实处.二、教学实践1.学情分析本节课的授课对象是江苏省苏州中学高一某班学生，学业水平在同年级中较为优秀，学生思维比较活跃，笔者对学生情况十分熟悉.在前期教学过程中，笔者较多通过现实情境或数学情境引入知识，学生对情境的抽象有较多基本活动经验.“函数的应用（一）”主要是利用函数概念及其蕴涵的数学思想方法解决简单的实际问题，教材中所选例题都是分段函数，也是给定数学模型的实际应用，为后续复杂的、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题提供用函数解决实际问题的过程与方法.2.教学过程（1）实际情境到数学模型的抽象.师：同学们，在本章中，我们从实际问题出发，通过“求同存异”抽象出函数，此后研究函数的性质，目的还是为了解决问题.正如哲学上所说，从实践到理论，从理论到实践，如此不断提高自己的认知水平.在本章的学习即将结束时，我们来看一个实际问题，即教材第94页的例2，请认真审题.收稿日期：2020-12-24基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划“教师发展研究专项”——基于高中数学关键能力的视频案例研究（J-c/2018/46）.作者简介：刘炜（1983—），男，中小学高级教师，主要从事高中数学教育与教学研究.“情境—模型—情境”型教学设计与实践——以“函数的应用（一）”为例刘摘要：为落实核心素养的培养，整合教材资源，以人教A 版教材中“函数的应用（一）”为例设计并实践了“情境—模型—情境”型教学模式，并对应用问题的教学提出了一些建议：整合资源，用教材教；构建情境，用问题教.关键词：应用问题；问题情境；教学设计··27例一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v （单位：km /h ）与时间t （单位：h ）的关系如图1所示.（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s （单位：km ）与时间t 的函数解析式，并画出相应的图象.生1：阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360，其意义是汽车在这5小时内行驶的路程.师：很好！其实本图是速率v 随时间t 的变化而变化的函数图象，是函数表示方法中的一种，从中可以解读到函数的很多信息.此外，要建立函数关系，就需要理清多个变量之间的关系，如时间t 、速率v 、行驶路程S 、里程表读数s .生2：由于s =S +2004，因此只需要解决行驶路程的问题.在第（1）小题的启示下，只需要计算t 时刻围成图形的面积，应该要分段，所得函数图象如图2所示.以下过程略.【设计意图】函数的应用，可以狭义地理解为“实际应用”，即建构问题情境中的数学模型，从而解决相应问题.通过该例题，可以明确应用问题的常规解题步骤，即确定研究变量、探寻变量关系、解决数学问题、回顾问题情境，从而帮助学生学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.同时，函数的应用也可以看成本章的复习课，故应该涉及函数的各个方面，该例题提供了函数表达方式的转化，即图象与解析式的相互转化，从而让学生明白要根据不同的需要选择恰当的方式表示函数，理解函数图象的意义.（2）数学模型到问题情境的构建.变式：为配合公安部“一盔一带”行动，守护驾乘人员安全，某电动车生产厂家对刹车系统进行了改造.在一次测试中，正常行驶速度为10m /s 的电动车经过某级刹车系统后，5s 内匀减速到停止，即速度为0m /s .（1）求速度v 与时间t 的函数解析式；（2）求刹车路程S 与时间t 的函数解析式，并指出t =5s 时路程S 的实际意义.生3：由于是匀减速运动，即速度v 是关于时间t的一次函数，可用待定系数法求解.设v =kt +b .由于当t =0时，v =10；当t =5时，v =0，所以速度v 与时间t 的函数解析式v =-2t +10.师：不错！在实际问题中还需要考虑什么呢？生3：哦，还有定义域，该函数的定义域为[]0，5.生4：可以把刹车路程S 与时间t 的函数看成v -t 坐标系中函数图象所围成图形的面积，即S =12[]10+()-2t +10t =-t 2+10t ，0≤t ≤5，所以当t =5时，解得S =25，其实际意义是刹车距离.师：此时，回应了“函数的概念”中的“探究”：建构其他可以用解析式y =x ()10-x 描述其中变量关系的问题情境.我们还可以在实际生活或者其他学科中建构吗？接下来，我们围绕教材第95页的练习2展开探究.探究：某广告公司要为客户设计一幅周长为l （单位：m ）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？师：现在没有函数关系，因此需要选择变量，并建立目标函数.生5：可以设一边长为x ，则另一边长为l 2-x ，从而广告牌的面积S =x æèöøl 2-x .根据基本不等式，可知S =x æèöøl 2-x ≤æèöøl 42，当且仅当x =l 4时取等号，即··28设计边长为l4的正方形时，广告牌的面积最大.师：如果取l=20，则构建的函数是S=x()10-x，结合变式不难发现，这两个不同问题情境用的是同一函数模型.还可以在实际生活或者其他学科中进行类似建构吗？请同学们来分享一下.生6：抛物线型的拱桥，水面宽10米，拱高25米，行驶在河道中间的船到岸边的距离为x米，来判断一定高度的船能否通过拱桥，也就是可以建立关系式y= 10x-x2，其中0<x<5.生7：一只培养皿中有x个细胞，经过一次分裂，每个细胞的分裂个数为10-x，则分裂后培养皿中细胞的总个数为y=x()10-x.生8：某种化学反应，在封闭空间中，当分子数为x时，温度为10-x，此时空间内的压强可以表示为p= nkT=kx()10-x，考虑是否会爆炸.师：这些构造有很强的人为痕迹，还有吗？生9：物理中的斜抛运动，通过调整速度与角度，可以得到高度的变化是匀速运动与匀减速运动的叠加，即高度h=λ()10t-t2.师：这个例子很好，可以构造较为真实的情境.不难发现，大家有两种类型的构造，一是乘积，即x()10-x；二是求和，即10x+()-x2.课后大家可以继续尝试探索更多的情境.【设计意图】承接例题的模型，变式需要研究函数的性质与最值解决现实问题，体现了函数在实际问题中的应用.同时，所构建的二次函数模型恰好呼应了函数概念中所需要探寻的问题情境，从而呼吁学生探寻更多问题情境，即培养学生的“问题意识”和“提问能力”，也是让学生能够从现实情境中抽象出数学模型，同时根据数学模型去构建现实情境，即通过这样的“来回”，了解问题提出和问题解决的路径.（3）问题情境与数学模型的转化.师：我们经历了从现实情境抽象出数学模型，也尝试了根据数学模型构建出现实情境，关键在于理清变量之间的关系，构造目标函数，解决数学问题.再次回到实际问题，请看教材第102页的复习参考题3的第13题.练习：如图3，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t()t>0左侧的图形的面积为f()t.试求函数y=f()t的解析式，并画出函数y=f()t的图象.图3学生板书，并写出函数y=f()t的解析式为f()t=íîïï2，0<t≤1，)t-22+3，1<t≤2.此时教师与学生讨论，得到当t>2时，直线左侧的图形应该就是△OAB，因此函数y=f()t的解析式应该调整为f()t=íîïïïïïï2，0<t≤1，2)t-22+3，1<t≤2，3，t>2，从而画出函数y=f()t的图象，如图4所示.师：该问题的情境是数学中几何图形的面积，抽象出的数学模型是分段函数.在前面的例子中，现实情境可以抽象出数学问题，也可以再次建构现实情境.该题是从数学情境中抽象出数学问题，可以赋予什么样的现实情境呢？生10：可以构建一辆车先匀加速运动再匀减速运动直至停止的现实情境.师：这是一个很好的情境，只是要根据数据加以调整.从例题到变式再到练习，都可以赋予运动的情··29境，即使用v-t函数构建s-t函数.试想一下：如何求变速运动的路程呢？这个问题留给大家课后思考.【设计意图】原来的情境是几何背景，抽象出的模型是分段函数，再次构建的问题情境是物理背景.结合上述两个物理背景问题，可以抽象概括出一个数学模型——v-t坐标系中函数图象与坐标轴所围成的面积是路程，从而提出新问题，即如何计算曲边梯形的面积？重新审视整节课，不难发现：微积分的基本思想已经悄悄埋入学生的知识体系中，为学生将来学习积分提供了很好的数学活动经验.三、教学反思在教学设计时，笔者根据《标准》所提倡的理念，研究教材内容，整合教学资源来组织教学.通过教学实践，对应用问题的教学又有了新的认识，给出如下建议.1.整合资源，用教材教章建跃博士对此课进行点评时说：“人教A版教材的训练体系是‘练习—习题—复习参考题’，授课者充分利用了教材上的例题、练习题、复习参考题中的问题，关注到了教材的整体性.”事实上，教材中最好的、也最值得珍惜的就是例题和习题，笔者在备课时的想法就是“用好教材”，即整合教材资源、明确思维主线，努力解决明确的问题.笔者曾提出复习课的教学设计要用“一个对象”贯穿，移植到新授课的教学，也采用了“一个对象”贯穿，即由“v-t函数”研究“s-t函数”，让学生强化模型意识，形成正向的思维定势，同时也悄悄埋下“积分”的种子.在教材中选用例2，搭建匀减速运动的情境，抽取二次函数的模型，链接教材中的练习，继而让学生探索该模型的情境，最后选用复习参考题中类似几何背景的问题，再次回扣并构建运动学中匀加速再匀减速的情境.如此，从情境到模型，再从相似情境到模型，探索情境；从模型到情境，再探索情境，试图让学生能够在问题情境中抽象出数学模型，也能根据数学模型去构建问题情境.类比概念来说，理解问题情境是数学模型的外延，数学模型是问题情境的内涵，因此我们要能透过现象看到本质，以期实现《标准》所提出的“在情境中”的要求.在实践过程中，也会发现学生对例题的认识较为陌生，研究变式之后，对练习的处理是极其迅速的，可见这样的设计是有效果的.2.构建情境，用问题教《标准》对“情境与问题”进行解读：情境主要是指现实情境、数学情境和科学情境；问题是指在情境中提出的数学问题.事实上，我们不仅要能够在情境中解决问题，还要学会从情境中提出问题，这是《标准》所提出的“四能”之一；同时“问题意识”也是创新能力的一种体现.在本节课中，笔者基于教材中的问题，设计了“构建情境”的教学活动，旨在回应教材，也为实践理念，但从课堂的效果来看并不是十分理想.教材中的“探究”问题在教学前已经布置给学生，但从作业情况来看，学生的思维具有很强的局限性，仅能列举物理学中运动的情境.从课堂教学实践来看，学生没有表现出很强的积极性，需要教师点名，个别学生才分享自己构建的案例.由此可见，“构建情境”的问题意识不是一蹴而就的，需要对学生进行“小步子慢节奏”的培养.诚如章建跃博士所言，知识不是讲会的，而是做会的，所以一定要让学生自己做，让学生有机会独立面对问题，即教学中需要让学生经历更多的活动.因此，教师要不断“放手”，学生要反复“动手”，才能让学生打破自己的思维局限，变被动解题为主动提问，实现将情境与模型自由转化，进而更好地应用数学，更深入地理解数学.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.［2］章建跃.第三章“函数的概念与性质”教材介绍与教学建议［J］.中学数学教学参考（上旬），2019（28）：17-24.［3］王思俭.老生常谈——“用教材教”的再思考：基于“导数小结复习课”的尝试［J］.中学数学（高中版），2017（3）：16-19.［4］刘炜.复习课宜“以一贯之”［J］.中小学数学（高中版），2020（7/8）：45-47.··30。
初中数学教学中如何培养学生的数学思维能力_1
初中数学教学中如何培养学生的数学思维能力发布时间：2022-09-14T03:23:10.597Z 来源：《教学与研究》2022年第5月第9期作者：苏良纯[导读] 由于初中数学学习的知识类型增多、题目难度加大、分值提高等各种因素导致很多学生的数学成绩难以提高，而传统的初中数学教学只是在不停的灌输知识与精讲例题，苏良纯湖北省监利市尺八镇初级中学 433300摘要：由于初中数学学习的知识类型增多、题目难度加大、分值提高等各种因素导致很多学生的数学成绩难以提高，而传统的初中数学教学只是在不停的灌输知识与精讲例题，不能够有效的培养学生独立思考的能力。
在初中数学教学中渗透数学思想的方法可以帮助学生提高数学思维，培养他们自主学习的能力，从而达到提高数学成绩的效果。
本文就初中数学教学中如何培养学生的数学思维能力展开探讨。
引言：当前，社会结构的变化导致了人才培育观念的转变，当前社会弹性大，竞争强，变化多端，互联网可随时检索信息资料，社会中低阶思维能力需求数量不断降低，所以在21世纪背景下，数学教学实践需要落实教育课程改革标准，培养数学核心素养，重视学生高阶思维能力培养。
关键词：初中数学；数学思维；能力培养一、初中数学教学现状分析（一）传统课堂仍存在，教师创新意识不强目前的初中数学尚处在传统课堂阶段，老师主要是讲授理论，对初中生来说，单调的理论对提高学生的解题思维并没有太大的作用。
长期下来，学生就会失去运用的意识和能力，从而影响到他们的长期发展。
因此，在教学过程中要通过做数学游戏和实践活动等方式，使孩子们在学习数学的过程中获得快乐，让数学的学习更加积极，激发学生的数学思维能力，从而取得更好的教学成果。
（二）应试教育观念依旧存在，学生学习敷衍如今很多师生都还沉浸在应试的思想里，他们认为学习就是应付考试，他们只需要把考点范围内需要的知识都学会，其他内容没有必要再学习。
这样的思想会造成学生对数学的研究仅限于表象，缺乏探究的心思，从而造成学生的数学成绩很难得到改善。
如何在数学教育中培养学生的独立思考能力
如何在数学教育中培养学生的独立思考能力————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：如何在数学教育中培养学生的独立思考能力-中学数学论文如何在数学教育中培养学生的独立思考能力徐雪明（苏州市吴中区郭巷中心小学，江苏苏州215100）摘要：“数学是一种精神，一种理性的精神。
正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德、和社会生活”。
所以，从小重视数学学习是十分重要的。
本文笔者在分析数学重要性的基础上，从小学数学出发，探究如何培养学生的独立思考能力。
关键词:小学数学；教育；独立思考；能力中图分类号：G623文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-04-0159-01 一、小学数学教育的现状从现状来讲，绝多数学生、家长和教师只注重学生的学习成绩，而不重视综合素质的培养，从而，我国小学数学的教学过程中对学生的独立思考能力培养也十分欠缺。
在学习上依赖于老师，生活生依赖于父母。
应试教育体制的弊端。
长期的应试教育导致家长只重视学生的考试成绩，学校只注重本校的升学率，严重忽视了独立思考能力的培养，绝大多数的时间花费在课堂学习，老师满堂灌，学生一味学。
课上以老师为主体，传授固定的学习模式，学习也只能服从老师，甚至，对于不听话者还会有惩罚行为。
课后，学习的作业也只是不断地背诵和抄写，根本没有去发现问题、思索问题的想法。
长此以往，小学生不仅会失去学习的兴趣，还造成没有足够的时间去学习。
不利于独立思考问题的好习惯的形成。
落后教育观念的错误领导。
千百年来，我国一直是“教师讲，学生听”的教育模式，还坚信“棍棒之下出孝子”，在听讲过程，教师说什么，学生就是什么，逐渐的缺乏自己的主观判断力。
教师不会，也不知道如何去培养孩子的独立思考能力，甚至一些老师和家长认为这些有独特思想的孩子属于叛逆行为，并从小扼杀，久而久之，学生便主动自然了放弃自己思考，成为应试教育下的机器，自己的创造力和想象力从根上消失。
初中数学教学中学生思维能力的培养策略分析
㊀㊀㊀１１９㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０３初中数学教学中学生思维能力的培养策略分析初中数学教学中学生思维能力的培养策略分析Һ仲进勇㊀（扬州市梅岭中学，江苏㊀扬州㊀２２５０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学以数学物象为思维对象，在人脑和数学对象相互作用过程中以数学语言符号为载体对客观事物做抽象概括，属于形式化思维．学生思维能力的培养离不开数学实践教育，初中数学教学的主要任务就是要正确认识初中阶段学生的思维特点，培养学生独立分析㊁善于总结的能力，促进学生数学学科核心素养提升，为此，初中数学教师要根据教材板块内容有效调整教法，在教学中重视培养初中生的思维能力，着重提高学生的逻辑思维能力．文章阐述了初中生数学思维能力的概念，分析了培养初中学生数学思维能力的重要意义，基于初中数学教学中学生思维能力的培养现状总结出初中数学教学中学生思维能力的培养策略．ʌ关键词ɔ初中数学教学；思维能力；教学质量；培养策略引㊀言社会发展对高素质人才的要求逐渐提高，新的社会需求催生新的教育发展方向．２０１８年以来，为推动江苏省基础教育改革创新发展工作，江苏省提出初中学科示范课程基地建设要求，旨在实现初中教育质量全面提高，呼吁培养思维能力活跃的全面发展人才，高分不再是评价人才的唯一标准．高素质人才的培养离不开正确的教育，数学作为基础学科，对初中学生思维能力的培养起到决定性作用，苏科版初中数学教材是具有实践探索性的课程，实施与综合应用板块对培养初中学生思维能力具有重要意义．一㊁初中生数学思维能力思维是人脑的基本活动形式，主要指人脑对客观现实的概括性间接反映，数学具有抽象性和现实性，数学思维指的是用数学观点去思考问题和解决问题的思维活动形式．初中生的数学思维能力需要学生通过观察实验㊁比较猜想㊁分析综合㊁抽象概括㊁归纳演绎㊁类比推理等准确地阐述思想观点，能利用概念和方法辨明数学关系，形成思维品质．目前，江苏省初中数学教学对学生思维能力的培养方式主要是循序渐进地帮助学生熟悉苏科版教材中的初中数学概念，培养学生的发散思维能力㊁逆向思维能力㊁逻辑思维能力，着重提高学生解决问题的归纳演绎能力．在实际教学过程中，教师可以引导学生根据苏科版数学教材进行具象数学构思，通过运算方式的联系形成数学感知，即教育工作者经常所说的数感．教师也可以借助分析与综合手段对苏科版教材内容进行分解，引导学生从一般规律特点演绎到具体事物上，条理性完成归纳演绎，依照单一特性总结出规律和概念，进而通过再次整合与个例理论推导总结出规律性知识点，锻炼学生的思维能力．二㊁培养初中学生数学思维能力的重要意义新课改背景下，初中阶段是学生数学思维能力发展至关重要的时期，初中阶段的数学思维能力对学生的成长成才能够产生终生影响，决定学生的数学思维层次，影响学生的数学学习能力和效率，进而影响初中阶段数学教学效果．目前，初中数学教学中学生思维能力的培养和训练已经逐渐成为教学热点，大多数初中数学教师已经达成培养学生数学思维运用能力的共识，通过全面开发初中生左㊁右脑潜能，激发学生的创造能力㊁想象能力㊁理解能力和解决问题的能力，帮助学生改变思维品质，提升思维反应速度和熟练应答程度，初中数学教师通过深入探究初中数学思维的性质㊁内容，探索数学思维培养的途径和策略，在培养学生数学思维能力的同时，开发学生智力，拓展思维维度，促使学生增强学习有效性，快速进入学习状态，养成良好的思维和学习习惯，高效完成教师布置的学习任务．三㊁初中数学教学中学生思维能力的培养现状（一）不能激发学生兴趣数学是思维的体操，绝大多数的初中数学概念是需要运用公式进行抽象总结的．但是，大部分初中数学教师采取 书山题海战术 解决常规数学问题，学生花费大量时间在数学习题的练习上，导致初中生数学思维发展产生局限性，缺乏创新认知能力，认为初中数学抽象㊁深奥，导致学生学习积极性变差．另外，一部分初中数学教师对于苏科版数学㊀㊀㊀㊀㊀１２０数学学习与研究㊀２０２３ ０３教材的解读不够深入，教法缺乏创新性，在数学教学过程中和学生的交流互动较少，课堂教学只是简单讲解，并没有帮助学生进行概念和定理的深入分析，造成学生厌学心理，失去学习兴趣，数学思维能力提高速度缓慢，教学效果和初中阶段学生思维能力发展目标不符．（二）未科学设置教学内容新课改背景下，苏科版数学教材已经在教学内容设置上产生了明显的变化，为了更加贴近新时代的发展特点，在内容上更加注重培养初中生的实践能力，利用实践板块锻炼学生的数学思维能力，整合与删减了部分教材内容，以此全面提升学生的数学思维素养．但是，苏教版数学教材部分内容破坏了原有教材中的部分教学理念，造成教材内容过于跳跃，所以在结构板块的设置上出现结构松散的情况，导致一部分初中数学教师在实际教学中产生了一些困难．教师仍然选择以讲授理论知识为教学重点，沿用传统教学模式开展实践活动，并未巧妙使用苏科版教材的变革亮点，也促使江苏省部分初中数学教师忽略了苏教版数学教材几大板块设置的变革价值，难以培养学生的思维能力．（三）一成不变的教学模式初中数学教学在现阶段仍然存在很多问题，这些问题不仅影响初中生数学思维能力的发展，而且制约了国家素质教育目标的实现．随着新课改的不断推进，教学模式和教学环境持续性改变，教师如果在初中数学教学中仍然使用传统的教学模式，利用大量课堂时间灌输技巧性知识点，讲解定理㊁概念和例题，那么将导致教学质量下降，难以科学培养学生的数学思维能力．在这种一成不变的传统教学模式中，教师是初中数学课堂教学的主体，学生的核心位置被忽视，在培养学生思维能力方面难以达到良好效果．如果初中数学教师不能在教学中改变教学模式，深层次培养学生的数学思维能力，仍然过度关注理论知识灌输，固化教法，那么会导致学生的学习效果趋于僵化，对于学习中遇到的实际数学问题，也只能解决简单表面问题，不能深入探究问题的实质内涵．四㊁初中数学教学中学生思维能力的培养策略（一）培养学生的独立思维通过数学例题训练可以提高学生的解题能力，但是书山题海战术仅能够提高学生的模仿能力，不能提高学生的逻辑思维能力．因此，初中数学教师要通过对解题过程的引导和分析总结出适合学生解题的方法，既不占用学生的思考时间又能提高学生的整体学习能力．遇到具体的数学问题，首先，教师要帮助学生了解数学问题的基础环节，正确审题，了解题目的含义，不要忽视审题的重要性，养成良好的审题习惯才能保证基础稳固．其次，教师要帮助学生找到已知量和未知量之间的关联，这样才能找到解决问题的真正答案．最后，教师要督促学生运用解题方案科学求解，在求解后积极验证每一个解题步骤，保证过程不出现问题．初中数学的例题相对平常，学生一旦抱有强烈好奇心，通过巧妙思考发挥解题创造力将会快速解决问题，成就感就会非常强烈．比如，在教学‘用一元一次方程解决问题“一课时，初中数学教师可以充分利用教材中提供的例题练习，重点引导学生对解题思路的开拓，分析出与学生学习能力相匹配的解题方法．首先，教师需要带领学生通读题目，帮助学生对例题条件㊁问题提出等基本环节的理解，使学生学会正确审题，梳理数学题目的具体含义，尽可能地挖掘题目所设置的 陷阱 ．教师通过带领学生进行审题，能够培养学生对审题环节的重视，从而培养学生良好的审题习惯，确保知识基础的稳固性．其次，初中数学教师还需要带领学生挖掘已有数学条件之间的联系性，如两种水果的单价㊁总质量以及总价之间的数量关系，从而计算出两种水果各自的购买单价．最后，初中数学教师需要进一步督促学生运用科学㊁合理的解题思路进行方程的设计与结果的计算，同时尽可能多地开拓创新性的解题方案，发展学生的逻辑推理能力和发散性思维能力．不可忽视的一点是，初中数学教师还需要强调解题步骤的验证工作，培养和发展学生的思维严谨性．（二）着重对学生思维品质的教学初中生经常因为得到解题答案而忽略解题方法的内在实质，对数学问题的理解不深刻，数学思维表面性和绝对化较强，对定理和公式生搬硬套．在初中数学教学中，教师要鼓励学生运用灵活的数学思维进行巧妙联想，从不同的维度采用不同的方式思考问题，善于想象并避免狭隘性，摒弃思维定式．教师要带领学生深入分析数学问题，以知识和经验为根据，利用数学思维把握数学问题本质，运用所学知识和逻辑推理方法积极解决问题，从而提高教学效率．比如，在教学‘全等三角形“一课时，初中数学教师可以根据固定的证明定理设置相应的习题，并立足于一道习题设置变式训练，从一道题出发理解和应用不同的全等定理，从而实现将所有证明定理统筹联系的目标．如此一来，学㊀㊀㊀１２１㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０３生的数学思维将得到充分激发和调动，能够从多视角出发理解㊁分析㊁整合以及应用全等证明定理，挖掘全等证明定理之间的多种联系，培养和提升其创造性㊁发散性㊁联系性等数学思维品质．（三）有效创设教学情境初中生相较于小学生，在理解能力㊁思维能力以及想象能力上明显提高，若初中数学教师仍然沿用传统教法，则会导致学生厌学．教师要深入解读教材再展开实际教学，并且随机应变调整教学节奏，在具体教学中可以针对学生遇到的问题创设问题情境，科学引入生活场景调动学生的学习热情，帮助学生切身融入课堂氛围．在实际教学中，教师可以采取多种形式创设情境，激发学生对数学的好奇心，如讲故事㊁室外寻宝游戏等，利用多媒体信息化手段演变成真实的生活场景，帮助学生直观面对具体问题，当学生遇到不懂的问题时，教师可以引导学生自主查询，学生可以联系教师给出的启示找到问题的真正答案，培养数学思维．比如，在教学‘轴对称图形“一课时，初中数学教师可以设计折纸游戏，引导学生通过动手操作更深刻地了解轴对称图形的性质，同时鼓励学生充分利用发散性思维和想象能力设计轴对称图案，使教材中较为抽象的理论知识转变成具象化的图形和图案，将理论学习与动手实践巧妙结合，推动创新思维和实践思维的进一步发展和提升．又比如，在教学‘勾股定理“一课时，在讲述抽象概念时，初中数学教师可以穿插讲述数学历史故事，如介绍古今中外的数学家在研究勾股定理时的数学历史小故事，使学生通过历史故事了解勾股定理的演变和发展，同时清晰地认识古今中外的数学家在数学研究过程中所付出的努力及表现出来的精神品质，进而培养学生数学文化㊁数学思想以及人文情怀，达到思维培养㊁拓展以及延伸的目标．总体上看，通过游戏以及故事的设置，初中数学教师可以创造出更生动形象的教学情境，发展学生的数学人文情怀和思维能力．（四）充分利用思维导图由于数学知识不可避免地带有艰涩㊁抽象和枯燥等特性，因此对于教师而言，如何在有限的教学实践中最大化地实现公式㊁原理的讲述和重难点的突破，发展学生的思维意识和能力，已成为当前初中数学教学工作中棘手的挑战和难题．随着教育教学研究的深入推进与现代教育技术的快速发展，有助于实现教学思路立体化㊁具体化的思维导图应运而生，并很快成了现代初中数学教育教学的重要工具．除此之外，思维导图的运用还有助于学生将教材中零散的知识点串联起来，充分挖掘知识点之间的联系性，发展学生的逻辑思维能力．比如，在教学‘一元一次不等式“一课时，初中数学教师可以带领学生回顾一元一次方程及一元一次方程组等相关知识，同时引导学生绘制相应的思维导图．先分别以 一元一次方程 一元一次方程组 一元一次不等式 一元一次不等式组 为一级标题，然后分别以其概念㊁性质和解题思路为次级标题，将对应的关键词和知识信息细化成第三级标题．在思维导图绘制完成以后，初中数学教师可以要求学生在复习的过程中根据思维导图进行知识的串联与梳理，使其清楚地认识上述四个数学概念存在哪些方面的异同点，进而培养学生的辨析思维能力和逻辑思维能力，同时使其思维意识具体化㊁形象化．结㊀语苏科版教材是打破传统数学体系知识板块的编撰教材，初中数学教学中学生思维能力的培养，需要教师及时对苏科版教材进行深入解读，做纵深逆向加工，从而适应学生在初中阶段的发展特点设置教学模式，以此组织和实施初中数学教学．总而言之，初中数学教师在数学教学方式上要通过情境创设增强学生的参与度，利用实际生活中和数学相关的案例进行知识点的讲解，注重提高初中生的思维能力，培养学生自主思考㊁自主解题和自主学习的能力，引导学生大胆质疑，用多元的方式提高初中数学的教学质量和教学效率．ʌ参考文献ɔ［１］黄惠华．初中数学教学中学生思维能力培养之我见［Ｊ］．考试周刊，２０２０（６８）：６９－７０．［２］杜安义．初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略探究［Ｊ］．考试周刊，２０２０（６３）：６５－６６．［３］张羽星．初中数学教学中学生思维能力培养策略探究［Ｊ］．学周刊，２０２０（２１）：２７－２８．［４］陈胜龙．浅谈初中数学教学中学生思维能力的培养［Ｊ］．中学课程辅导（教师教育），２０２０（２０）：８－９．［５］朱卫国．加强课程文化建设全面提升初中教育质量：新时代江苏初中教育改革发展的实践与思考［Ｊ］．基础教育课程，２０１９（０７）：３４－４０．。
关注学生直觉思维 提升数学思考能力
关注学生直觉思维 提升数学思考能力 江苏省无锡市八士中学 黄建东/文《义务教育数学课程标准》中提出了四维目标：知识技能、数学思考、问题解决和情感态度。
其中，数学思考单独作为一个目标，说明数学课堂教学需要重视数学思维能力的培养，并达成问题的解决。
要提升数学思考能力，既要在数学课堂中培养学生的逻辑推理能力，还要注重培养学生的观察力、想象力以及直觉思维。
其中直觉思维尤为重要，是学生进行数学思考的重要组成部分，也是学生审题的关键、解题的方向。
一、培养学生直觉思维的意义《义务教育数学课程标准》中要求建立数感，发展形象思维与抽象思维；同时要求学生通过观察、实验、猜想、综合实践等活动，培养学生合情推理、演绎推理能力。
这两者作为数学思考的核心，对数学教学有着直接的指导意义，而数感的培养离不开对学生直觉思维的培养。
学生在平时学习过程中常出现直觉思维，主要表现为应急性回答，有时为猜想、有时为构思或问题，这样的直觉思维是学生通过审题结合自身知识储备所产生的数感。
新一轮课程教学中，数学学习需要大量逻辑推理，但也需要更多的直觉思维。
特别是初一数学教学，对于归纳去绝对值法则、有理数加法法则、有理数乘法法则、移项等，都需要学生通过观察，叙述发现并总结规律，其实就是学生直觉思维的体现。
对于一些像两点确定一条直线、两点之间线段最短、两直线平行、同位角相等都是基于学生认可现实的基础上，给出的定理，其实也是直觉思维下的事实。
二、直觉思维在数学教学中的作用直觉思维是一种重要的非严密性逻辑性思维，是逻辑思维的必要补充和完善，也是解题的突破口或切入点。
有意识地在平时教学中训练学生的直觉思维，对提升学生数学思考的深度与广度很有帮助。
首先，直觉思维符合学生的思维习惯，学生的思维自由度大，不需要受到框架束缚，直觉思维就能起到先决作用。
学生由于常受到已有知识水平、逻辑推理能力不强等因素的限制，只能感觉是这样，但是不知为什么会这样。
这时，就是教师对学生进行直觉思维培养的最好契机，培养学生直觉思维的方法，让学生体验用直觉思维成功解题的乐趣，从而潜移默化地培养学生的直觉思维，达成数学思考的培养。
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则 m,n 的大小关系为 ★ .
a （09.20）设 为实数，函数 f (x) 2x2 (x a) | x a |.
a （1）若 f (0) 1，求 的取值范围；
（2）求 f (x) 的最小值；
（3）设函数 h(x) f (x), x (a,) ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式
f
(
x)
bx x
2 1
，0
≤
x
≤1，其中
a
，b
R
．若
f
1 2
f
3 2 ，
则 a 3b 的值为 ▲ ．
（12.13）已知函数 f (x) x2 ax b(a，b R) 的值域为[0， ) ，若关于 x 的不等式 f (x) c 的解集为 (m，m 6) ，则实数 c 的值为 ▲ ．
冲刺阶段复习的特点是“知识
多项”“跨度大”“解题思路 多变”。能力要求:中—高。
区别三:对学生解题的速度及准确 性要求不一样:前两轮复习侧重于 做“对”。而冲刺阶段复习在“对” 的基础之上又要既“好”又“快”。
一、真题回眸
1.函数与导数
（08.8）直线
y
1 2
x
b
是曲线
y
ln
x(x
0)
的一条切线，则实数
f2 ( x) f2 ( x)
（I）求 f (x) f1(x) 对所有的实数 x 成立的充要条件（用 p1, p2表示）；
(II)设 a, b 为两实数，a b 且 p1, p2 (a,b) ，若 f (a) f (b) ，求证： f (x)
在区间a,b上的单调增区间的长度和为 b a （闭区间m,n的长度定义为 n m ）。 2
(2)设 a<0 且 a≠b，若 f(x)和 g(x)在以 a，b 为端点的开区间上单 调性一致，求|a－b|的最大值．
（12.5）函数 f (x) 1 2log6 x 的定义域为 ▲ ．
（12.10）设 f (x) 是定义在R上且周期为 2 的函数，在区间[1，1] 上，
ax 1，1≤ x 0 ，
若| g() g( ) |<| g(x1) g(x2 ) |，求 m 的取值范围。
（11.2） 函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
（11.8）在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x) ＝2x的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是________．
两块，其中一块是梯形，记
S
(梯形的周长）2 梯形的面积
,则
S
的最小值是____▲
____。
（10. 20）设 f (x) 是定义在区间 (1,) 上的函数，其导函数为 f '(x) 。
如果存在实数 a 和函数 h(x) ，其中 h(x) 对任意的 x (1,)都有 h(x) >0，
使得 f '(x) h(x)(x2 ax 1) ，则称函数 f (x) 具有性质 P(a) 。
（11.11） 已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，<x1≥，1， f(1＋a)，则 a 的值为________．
若 f(1－a)＝
（11.12.）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f(x)＝ex(x>0)的图 象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂 线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 ________．
把握核心概念 提升思维能力
2015年5月11日
0子.引00..引引子子
第一轮主要复习基础知识，第二轮注重 提高能力，而冲刺阶段就是为高考热身。
• 区别一:第一、二轮逐个知识点展开,侧重 于点。而冲刺阶段复习倾向于浓缩,侧重于 网。
区别二:能力要求不一样 前两轮轮复习的特点是“知识
单项”“跨度小”“解题思路 较为单一”。能力要求:低—— 中。
（09. 3.）函数 f (x) x3 15x2 33x 6的单调减区间，点 P 在曲线C : y x3 10x 3上，
且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐 标为 ★ .
（09.10）已知 a
5 1
（11.19） 已知 a，b 是实数，函数 f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx, f′(x) 和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数，若 f′(x)g′(x)≥0 在区间 I 上 恒成立，则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性一致．
(1)设 a>0，若 f(x)和 g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求 b 的取值范围；
b
的值为
▲
（08.14） f (x) ax3 3x 1 对于 x 1,1总有 f (x) 0 成
立，则 a =
▲
。
（ 08.20 ） 若 f1(x) 3xp1 , f2(x) 3xp2 , x R, p1, p2 为 常 数 ， 且
f
(x)
f1(x), f2 ( x),
f1(x) f1(x)
(1)设函数
f
(x)
ln
x
b x
2 1
(
x
1)
，其中
b
为实数。
(i)求证：函数 f (x) 具有性质 P(b) ； (ii)求函数 f (x) 的单调区间。
(2)已知函数 g(x) 具有性质 P(2) 。给定 x1, x2 (1, ), x1 x2, 设 m 为实数，
mx1 (1 m)x2 ， (1 m)x1 mx2 ，且 1, 1 ，
h(x) 1的解集.
（10.5）设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数 a=_______▲
_________
（10.11）已知函数
f
(x)
x2
1, x
0
,则满足不等式
f
(1
x2 )
f
(2x)
的
x
的范围是
1, x 0
__▲___。
（10. 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成
b （12.14）已知正数 a，b，c 满足：5c 3a≤b≤4c a，clnb≥a clnc，则 a 的
取值范围是 ▲ ．
（12.18）已知 a，b 是实数，1 和-1 是函数 f (x) x3 ax2 bx 的两个极值点．