2018学年高中数学北师大版选修4-5学业分层测评8 不等式的证明反证法、放缩法、几何法 含解析
北师大版高中数学选修4-5课时训练不等式的证明反证法放缩法几何法
课堂练习(八)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则( ) A ．∠B ＝π2B ．∠B <π2C ．∠B >π2D ．∠B ＝π3[解析] 假设∠B ≥π2，则b 最大，有b >a ，b >c ，∴1a >1b ，1c >1b .∴1a ＋1c >2b，与题意中的1a ＋1c ＝2b矛盾．∴∠B <π2.[答案] B2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) ①否定原结论的假设；②原命题的条件； ③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①② B ．①②④ C ．①②③D ．②③[解析] 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反情况作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．[答案] C3．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容是( ) A ．3a ＝3bB ．3a <3bC ．3a ＝3b 且3a <3bD ．3a ＝3b 或3a <3b[解析] 应假设3a ≤3b ，即3a ＝3b 或3a <3b . [答案] D 4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝－a 2＋4a (a >2)，则( )A ．p >qB ．p <qC ．p ≥qD ．p ≤q[解析] ∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2， 又a －2>0，∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2＋4， 根据a >2，可得q <4，∴p >q . [答案] A5．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定[解析] M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<＝210210＝1.故选B. [答案] B 二、填空题6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设应为__________．[解析] “至少有一个不大于”的反面应是“都大于”． [答案] 假设三内角都大于60° 7．若a >b >0，m >0，n >0，则a b ，b a ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n，按由小到大的顺序排列为________．[解析] 由不等式a >b >0，m >0，n >0，知b a <b ＋m a ＋m <1，且b a <b ＋na ＋n<1， 得a b >a ＋nb ＋n >1， 即1<a ＋nb ＋n <ab. [答案] b a <b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <ab8．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A ，B 的大小关系为__________．[解析] B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y1＋x ＋y＝A ，即A <B .[答案] A <B 三、解答题9．已知a >0，b >0，且a ＋b >2， 求证：1＋b a ，1＋a b 中至少有一个小于2.[证明] 假设1＋b a，1＋a b都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋ab≥2.∵a >0，b >0，∴1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ，∴2＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即2≥a ＋b ， 这与a ＋b >2矛盾．故假设不成立．即1＋b a ，1＋a b中至少有一个小于2.10．已知△ABC 三边长是a ，b ，c ，且m 是正数，求证：aa ＋m ＋bb ＋m >cc ＋m.[证明] 设f (x )＝xx ＋m＝1－mx ＋m(x >0，m >0)．易知函数f (x )(x >0)是增函数． 则f (a )＋f (b )＝aa ＋m ＋bb ＋m>a (a ＋b )＋m ＋b(a ＋b )＋m＝a ＋b(a ＋b )＋m＝f (a ＋b )．又在△ABC 中，a ＋b >c >0， ∴f (a ＋b )>f (c )＝cc ＋m，∴aa ＋m ＋bb ＋m >cc ＋m.[能力提升练]1．已知x ＝a ＋1a －2(a >2)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2 (b <0)，则x ，y 之间的大小关系是( )A ．x >yB ．x <yC ．x ＝yD ．不能确定[解析] 因为x ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4(a >2)， 而b 2－2>－2(b <0)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2＝4. 所以x >y . [答案] A2．若|a |<1，|b |<1，则( ) A ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＝1B ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1C ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≤1D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1[解析] 假设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1，故|a ＋b |≥|1＋ab |⇒a 2＋b 2＋2ab ≥1＋2ab ＋a 2b 2⇒a 2＋b 2－1－a 2b 2≥0⇒a 2(1－b 2)－(1－b 2)≥0⇒(a 2－1)(1－b 2)≥0.由上式知a 2－1≤0,1－b 2≤0或a 2－1≥0,1－b 2≥0. 与已知矛盾，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1.[答案] B3．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________．[解析] 对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a ，b 中至少有一个实数大于1”成立．[答案] ③4．若0<a <1n ，n ≥2，且n 为正整数，已知a 2<a －b ，求证：b <1n ＋1.[证明] 由已知得b <a －a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.令f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，则f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12内是增函数，又n ≥2，n 为正整数，且0<a <1n，因此a ，1n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n， 从而b <－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －122＋14＝－1n 2＋1n .又－1n 2＋1n ＝n －1n 2<n －1n 2－1＝1n ＋1，故b <1n ＋1.。
高中数学北师大选修学业分层测评 反证法 含解析
学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】 C2．下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数【解析】a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．【答案】 D3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】 D4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数() 【导学号：67720021】A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋1x ＋y＋1y＋z＋1z≥6，②显然①②矛盾，所以C正确．【答案】 C5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为()A．①②③B．①③②C．②③①D．③①②【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．【答案】 D二、填空题6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”．【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是________．【解析】3a与3b的关系有三种情况：3a>3b，3a＝3b和3a<3b，所以“3a>3b”的反设应为“3a≤3b”．【答案】3a≤3b8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】若a＝13，b＝23，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】③三、解答题9．已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【证明】假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.而与a＋b＋c＝2x2－2x＋12＋3＝2⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．【证明】假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方得a＋c＋2ac＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以a，b，c不成等差数列．[能力提升]1．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．【答案】 D2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin A≠sin B”．若用反证法证明，得出的矛盾是()A．与已知条件矛盾B．与三角形内角和定理矛盾C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D．与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin A＝sin B，因为0<A<π，0<B<π，所以A ＝B或A＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sin A ≠sin B .【答案】 C3．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”．乙说：“我们四人中有人考得好”．丙说：“乙和丁至少有一人没考好”．丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．【解析】 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．【答案】 乙，丙4．(2016·温州高二检测)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：数列{c n }不是等比数列．【证明】 假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p .②当p ，q 异号时，p q ＋q p <0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以pq ＋qp>2，与②相矛盾．故数列{c n}不是等比数列．。
8不等式的证明作业(版含答案)高中数学选修45北师大版
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C．充要条件 解析： ∵ a>1，b>1? a＋b>2 ， ab>1
D ．既不充分也不必要条件
a＋ b>2， ab>1 ? / a>1， b>1
举例说明
a＝
4，
b＝
1 3.
答案： B
二、填空题
5．设 a>b>0， x＝ a＋ b－ a， y＝ a－ a－b，则 x、y 的大小关系是 x________y. 解析： ∵ a>b>0，
(1)a＋ b＋ c≥ 3；
(2)
a＋ bc
b ＋ c ≥ 3( a＋ b＋ c)．
ac
ab
证明： (1) 要证 a＋ b＋ c≥ 3，由于 a， b， c∈ R ＋，因此只需证 (a＋b＋ c)2≥ 3，即证
a2＋ b2＋c 2＋ 2( ab＋ bc＋ ca)≥3，根据条件，只需证 a2＋ b2＋ c2≥ 1＝ ab＋ bc＋ ca.
而这是可以由
ab＋
bc＋
ca≥
a
2＋ 2
b2 ＋
b2
＋ 2
c2 ＋
c2＋ 2
a2
＝
a2＋
b
2＋
c2(
当且仅当
a＝ b＝ c＝
3 3
时取等号 )证得的．
∴原不等式成立．
(2)∵
bac＋
abc＋
acb＝
a＋b＋ abc
c ，
在 (1)中已证 a＋ b＋ c≥ 3，
∴原不等式只需证
1 ≥ a＋ b＋ c， abc
只要比较 a(b＋ d)与 b(a＋c)的大小，
数学北师大版高中选修4-5不等式的证明(比较法)
２、作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式 与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧 的式子同号的不等式的证明．
四、布置作业
1．课本作业：习题6.3 P17 7、8。
2．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间 和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？ （假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）
三、小结
１、求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断 号”．
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少．
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等， 为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个 或几个数的平方和的形式．或者变形为一个分式， 或者变形为几个因式的积的形式等． 总之．能够判断出差的符号是正或负即可．
a 若a, b R , 1则a b, b a 若a, b R , 1则a b b
例3
分析：是幂的形式，故可考虑用作商法
（作商）比 较法
1.用作商比较法证明不等式的步骤是:作商—变形—判断与1的大小关系. 2.有时所比较的两个实数或数式有相同的因式，可以用作商法进行约分 化简。
a b 所以 0 b
a 所以 1 b
a 同理可得 :由 1得a b b
a 所以, a, b R , 则有 : a b 1 b
２、作商比较法
除了将不等式的两边相等相减，通过比较差与 0 的大小来 证明不等式外，有时也可以通过把等式的两边相除，转化 为证明所得的商式与 1 比较大小关系。此种方法称为商值 比较法，有时也叫做比商法。
2018年北师大版高中数学选修4-5课件：不等式的性质与不等关系本章整合
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则
1 1 1 由排序不等式,知 ab·+ac·+bc· ������ ������ ������ 1 1 1 ≥ab·+ac·+bc· ������ ������ ������
1 ab≥ac≥bc, ������
≥ ≥
1 ������
2 3
解得-3≤c≤1, 故-3≤c≤1.
2
2
专题一
专题二
专题三
专题二 排序不等式的应用 1.在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出两个合适的 有序数组,并能根据需要进行恰当地组合,这需要结合题目的已知 条件及待证不等式的结构特点进行合理选择. 2.根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式 问题,利用排序不等式解决往往很简捷. 3.利用排序不等式求最值时,也要关注等号成立的条件,不能忽略.
5
������5 3 3 3 a +b +c =������2
������5 ������5 + 2 + ������2(逆序和)≤������2 ������
①
������
5 5
������5 ������5 ������ ������5 + 2 + ������2(逆序和)≤ 2 + ������2 + ������2(乱序和), ������ ������ 5 5 5 +������5 5 +������5 ������ + ������ ������ ������ 由①②两式相加得,2(a3+b3+c3)≤ ������2 + 2 + ������2 , ������
数学选修4-5不等式反证法与放缩法练习题含答案
7.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“ ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数”，
由此得出结论．
【解答】
解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“自然数 ， ， 中恰有一个偶数”的否定为：“ ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数”，
【解答】
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，
“至少有一个”的否定：“一个也没有”；
即“ ， ， 都不是正数”．
故答案为： ， ， 都不是正数．
19.
【答案】
， 都不能被 整除
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“ ， 中至少有一个能被 整除”的否定是： ， 都不能被 整除，从而得到答案．
【解答】
解：
即 ， ， ，
，
得 ，
即 ，
得 ，所以 ．
故选 ．
6.
【答案】
A
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．
【解答】
解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“自然数 ， ， 都是偶数”的否定为：“ ， ， 中至少有一个是奇数”，
A. ， ， 都是奇数
B. ， ， 都是偶数
C. ， ， 中至少有两个偶数
D. ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数
3.用反证法证明命题“设 ， 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是（）
选修4-5第二讲证明不等式的基本方法三 反证法
3、若p>0,q>0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤2
假设 p q 2
p3 q3 ( p q)( p2 pq q2) ( p q)[( p q)2 3pq]
( p q)[( p q)2 3• ( p q)2] 1 ( p q)3 1 23 2
2
4
4
与题设矛盾
练习1．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－ b)<f(b)＋ f(－a)，求证：a<b.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得 f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a) 于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
五、作业
1．教材P29第4题
2．证明：三个互不相等的正数a、b、 c成等差数列，则a，b，c不可能成等 比数列． 3．若p>0,q>0,且p3+q3=2,
求证：p+q≤2
附：补充题答案
2．证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a， b，c不可能成等比数列． 证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac. 又∵a、b、c成等差数列 ∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．
这里矛盾： 可能与已知条件、定义、定理、公理矛盾； 也可能是自相矛盾
2019_2020学年高中数学课时分层作业8不等式的证明——反证法、放缩法、几何法(含解析)北师大版选修4_5
课时分层作业(八)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则( )A ．∠B ＝π2B ．∠B <π2C ．∠B >π2D ．∠B ＝π3[解析] 假设∠B ≥π2，则b 最大，有b >a ，b >c ， ∴1a >1b ，1c >1b. ∴1a ＋1c >2b ，与题意中的1a ＋1c ＝2b矛盾． ∴∠B <π2. [答案] B2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①否定原结论的假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③[解析] 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反情况作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．[答案] C3．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容是( )A ．3a ＝3bB ．3a <3bC ．3a ＝3b 且3a <3bD ．3a ＝3b 或3a <3b[解析] 应假设3a ≤3b ，即3a ＝3b 或3a <3b .[答案] D4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝－a 2＋4a (a >2)，则( )A ．p >qB ．p <qC ．p ≥qD ．p ≤q [解析] ∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2， 又a －2>0，∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2＋4，根据a >2，可得q <4，∴p >q .[答案] A 5．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( ) A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定[解析] M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<＝210210＝1.故选B.[答案] B二、填空题6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设应为__________．[解析] “至少有一个不大于”的反面应是“都大于”．[答案] 假设三内角都大于60°7．若a >b >0，m >0，n >0，则a b ，b a ，b ＋m a ＋m ，a ＋n b ＋n，按由小到大的顺序排列为________． [解析] 由不等式a >b >0，m >0，n >0，知b a <b ＋m a ＋m <1，且b a <b ＋n a ＋n <1， 得a b >a ＋n b ＋n>1， 即1<a ＋n b ＋n <a b. [答案] b a <b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <a b 8．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y，则A ，B 的大小关系为__________．[解析] B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y1＋x ＋y ＝A ，即A <B .[答案] A <B三、解答题9．已知a >0，b >0，且a ＋b >2，求证：1＋b a ，1＋a b 中至少有一个小于2.[证明] 假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋a b ≥2.∵a >0，b >0，∴1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ，∴2＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即2≥a ＋b ，这与a ＋b >2矛盾．故假设不成立．即1＋b a ，1＋a b 中至少有一个小于2.10．已知△ABC 三边长是a ，b ，c ，且m 是正数，求证：aa ＋m ＋bb ＋m >cc ＋m .[证明] 设f (x )＝xx ＋m ＝1－mx ＋m (x >0，m >0)．易知函数f (x )(x >0)是增函数．则f (a )＋f (b )＝a a ＋m ＋bb ＋m>a(a ＋b )＋m ＋b(a ＋b )＋m＝a ＋b(a ＋b )＋m＝f (a ＋b )．又在△ABC 中，a ＋b >c >0，∴f (a ＋b )>f (c )＝cc ＋m ，∴aa ＋m ＋bb ＋m >cc ＋m .[能力提升练]1．已知x ＝a ＋1a －2(a >2)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2(b <0)，则x ，y 之间的大小关系是() A ．x >y B ．x <yC ．x ＝yD ．不能确定 [解析] 因为x ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4(a >2)， 而b 2－2>－2(b <0)， 即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2＝4. 所以x >y .[答案] A2．若|a |<1，|b |<1，则( )A ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＝1 B ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1 C ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≤1 D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1 [解析] 假设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1， 故|a ＋b |≥|1＋ab | ⇒a 2＋b 2＋2ab ≥1＋2ab ＋a 2b 2 ⇒a 2＋b 2－1－a 2b 2≥0 ⇒a 2(1－b 2)－(1－b 2)≥0 ⇒(a 2－1)(1－b 2)≥0. 由上式知a 2－1≤0,1－b 2≤0或a 2－1≥0,1－b 2≥0.与已知矛盾，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1. [答案] B3．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________．[解析] 对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a ，b 中至少有一个实数大于1”成立．[答案] ③4．若0<a <1n ，n ≥2，且n 为正整数，已知a 2<a －b ，求证：b <1n ＋1. [证明] 由已知得b <a －a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14. 令f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，则f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12内是增函数，又n ≥2，n 为正整数，且0<a <1n， 因此a ，1n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， ∴f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ， 从而b <－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －122＋14＝－1n 2＋1n . 又－1n 2＋1n ＝n －1n 2<n －1n 2－1＝1n ＋1， 故b <1n ＋1.。
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学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则( ) A ．∠B ＝π
2 B ．∠B <π
2 C ．∠B >π
2
D ．∠B ＝π
3
【解析】 假设∠B ≥π
2，则b 最大，有b >a ，b >c ， ∴1a >1b ，1c >1b .
∴1a ＋1c >2b ，与题意中的1a ＋1c ＝2
b 矛盾． ∴∠B <π
2. 【答案】 B
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) ①否定原结论的假设；②原命题的条件； ③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①② B ．①②④ C ．①②③
D ．②③
【解析】 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反情况作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．
【答案】 C
3．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3
b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3b
B ．3a <3b
C.3a ＝3b 且3a <3b
D ．3a ＝3b 或3a <3b
【解析】应假设3
a≤
3
b，即
3
a＝
3
b或
3
a<
3
b.
【答案】 D
4．已知p＝a＋
1
a－2
，q＝－a2＋4a(a>2)，则()
A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q
【解析】∵p＝(a－2)＋
1
a－2
＋2，
又a－2>0，
∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4，根据a>2，可得q<4，∴p>q.
【答案】 A
5．设M＝
1
210＋
1
210＋1
＋
1
210＋2
＋…＋
1
211－1
，则()
A．M＝1 B．M<1
C．M>1 D．M与1大小关系不定
【解析】M＝
1
210＋
1
210＋1＋
1
210＋2＋…＋
1
211－1<＝
210
210
＝1.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设应为__________．
【解析】“至少有一个不大于”的反面应是“都大于”．
【答案】假设三内角都大于60°
7．若a>b>0，m>0，n>0，则a
b，
b
a，
b＋m
a＋m
，
a＋n
b＋n
，按由小到大的顺序排列为
________．
【解析】由不等式a>b>0，m>0，n>0，知b
a<
b＋m
a＋m
<1，且
b
a<
b＋n
a＋n
<1，
得a b >a ＋n b ＋n >1，
即1<a ＋n b ＋n <a b
.
【答案】 b a <b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <a
b
8．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y
1＋y
，则A ，B 的大小关系为
__________.
【导学号：94910025】
【解析】 B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y
1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝A ，即A <B .
【答案】 A <B 三、解答题
9．已知a >0，b >0，且a ＋b >2， 求证：1＋b a ，1＋a
b 中至少有一个小于2. 【证明】 假设
1＋b a ，1＋a
b
都不小于2， 则1＋b a ≥2，1＋a
b ≥2. ∵a >0，b >0，
∴1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ，
∴2＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即2≥a ＋b ， 这与a ＋b >2矛盾．
故假设不成立．即1＋b a ，1＋a
b 中至少有一个小于2.
10．已知△ABC 三边长是a ，b ，c ，且m 是正数，求证：a a ＋m ＋b b ＋m >c
c ＋m .
【证明】 设f (x )＝
x x ＋m ＝1－m x ＋m
(x >0，m >0)． 易知函数f (x )(x >0)是增函数． 则f (a )＋f (b )＝
a a ＋m ＋
b b ＋m
>a (a ＋b )＋m ＋b (a ＋b )＋m ＝a ＋b (a ＋b )＋m ＝f (a ＋b )．
又在△ABC 中，a ＋b >c >0， ∴f (a ＋b )>f (c )＝c
c ＋m
， ∴
a a ＋m ＋
b b ＋m >
c c ＋m
. [能力提升]
1．已知x ＝a ＋1a －2
(a >2)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫
12b 2
－2
(b <0)，则x ，y 之间的大小关系是( ) A ．x >y B ．x <y C ．x ＝y
D ．不能确定
【解析】 因为x ＝a －2＋1
a －2
＋2≥2＋2＝4(a >2)， 而b 2－2>－2(b <0)， 即y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12b 2－2
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫12-2＝4.
所以x >y . 【答案】 A
2．若|a |<1，|b |<1，则( ) A.⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a ＋
b 1＋ab ＝1 B ．⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a ＋
b 1＋ab <1 C.⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a ＋
b 1＋ab ≤1 D ．⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a ＋
b 1＋ab ≥1 【解析】 假设⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a ＋
b 1＋ab ≥1， 故|a ＋b |≥|1＋ab |
⇒a 2＋b 2＋2ab ≥1＋2ab ＋a 2b 2 ⇒a 2＋b 2－1－a 2b 2≥0
⇒a 2(1－b 2)－(1－b 2)≥0 ⇒(a 2－1)(1－b 2)≥0.
由上式知a 2－1≤0,1－b 2≤0或a 2－1≥0,1－b 2≥0. 与已知矛盾，故⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a ＋
b 1＋ab <1. 【答案】 B
3．设a ，b ∈R ，给出下列条件：
①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.
其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________． 【解析】 对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a ，b 中至少有一个实数大于1”成立．
【答案】 ③
4．若0<a <1n ，n ≥2，且n 为正整数，已知a 2<a －b ，求证：b <1
n ＋1
.
【证明】 由已知得b <a －a 2＝－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a －122
＋14.
令f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋14，则f (x )在⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12内是增函数，
又n ≥2，n 为正整数，且0<a <1
n ， 因此a ，1n ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12，
∴f (a )<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1n ，
从而b <－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫
1n －122
＋14＝－1n 2＋1n .
又－1n 2＋1n ＝n －1n 2<n －1n 2－1＝1
n ＋1，
故b <1
n ＋1.。