圆方程复习教案

圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：(1)点在圆上d=r ； (2)点在圆外 d ＞r ； (3)点在圆内 d ＜r ．2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔3.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+M MM4、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A5、直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<相离 相切 相交（其中：22B A C Bb Aa d +++=）还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切⇔d=r ⇔Δ＝0（2）相交⇔d<r ⇔Δ>0； （3）相离⇔d>r ⇔Δ<0。

6、两圆的位置关系设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。

（1）条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；（2）条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；（3）条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；（4）条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；（5）无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切 内含7、圆切线：①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点（．．．．点在圆外） 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x =②求切线方程的方法及注意点（．．．．点在圆上） 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r +=会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2） 若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--=碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=- 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC r k k ⎧=⎨⋅=-⎩8、直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用 弦长公式：()()222121212114l k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（暂作了解，无需掌握） （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,6（*）9、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 例题精讲基本圆方程： 【题型一、圆方程判断】【例1】2220x y ax ay a ++-+=表示圆，则a 的取值范围变式训练：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示一个圆的充要条件是（ ）(A)0,==B C A (B)0,0=≠=B C A (C)04, 0, 022>-+=≠=F E D B C A(D)04,0,022>-+=≠=AF E D B C A【题型二、几种基本求圆方程的方法】1、简单圆方程求法：【例2】方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为( )（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-42、圆心在某直线上：【例3】过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=4（答案：）3、过三点：【例4】求下列各圆的 方程：（1）圆心为点(5,3)M -，且过点(8,1)A --（2）过三点(2,4),(1,3),(2,6)A B C --【题型三、点圆关系】【例5】点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D)1±=a【题型四、线圆关系】类型一：【例6】若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两点到直线234=-y x 的距离为1， 则半径r 的取值范围是（ ） A ()6,4 B [)6,4 C (]6,4 D []6,4【例7】能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0的距离等于1的c 的一个值为（ ）A.2B.5C.3D.35【例8】圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离等于1的点的个数有（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4类型二：【例9】直线0534=+-y x 与圆02422=+--+m y x y x 无公共点的充要条件是（ ）A.50<<mB.51<<mC.1>mD.0<m变式训练1. 若圆)0(022222>=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．20<<kB ．21<<kC ． 10<<kD ．2>k2. 直线0234=--y x 与圆01242222=-++-+a y ax y x 总有两个交点，则a 应满足（ ）(A)73<<-a (B)46<<-a (C)37<<-a (D)1921<<-a类型三：【例10】圆012222=+--+y x y x 上的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值为 .（配方：()()11122=-+-y x【题型五、与圆有关的交线问题】知直线求弦长：【例11】直线x －y +3=0被圆（x +2）2+（y －2）2=2截得的弦长等于（ ） A.26 B.3 C.23 D.6知弦中点求直线：【例12】若P(2,-1)为25y 1)-(x 22=+圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x知弦长求直线：【例13】求过点P （6，－4）且被圆2220x y +=截得长为62的弦所在的直线方程．涉圆交线综合分析：1、经过两点(2,4),(3,1)P Q --，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程。

已知圆心在x 轴上，半径是5，且以点A(5,4)为中点的弦长为25,则这个圆的方程是____2、已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线y x =截得的弦长为27，求圆的方程。

3、已知直线03:=--k y kx l 与圆M ：092822=+--+y x y x .4、求证：直线l 与圆M 必相交； 当圆M 截直线l 所得弦长最小时，求k 的值.（配方：()81-y 4)-(x 22=+；【题型六、与圆有关的切线问题】判断圆切线：【例14】圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 与两坐标轴都相切的条件是（ ）A 、222r b a =+B 、r b a ==C 、222r b a ==D r b r a ==||||或求切线方程：【例15】自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ），切线方程为： 。