最新高中数学圆的方程（含圆系）典型题型归纳总结总复习
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
高考数学总复习含圆方程(基础)知识梳理
圆的方程【考大纲求】1.掌握圆的标准方程的特色，能依据所给相关圆心、半径的详细条件正确地写出圆的标准方程，2. 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实质问题，并会推导圆的标准方程.3.掌握圆的一般方程的特色，能将圆的一般方程化为圆的标准方程进而求出圆心的坐标和半径；4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【知识网络】圆的标准方程圆的方程圆的一般方程简单应用点与圆的关系【考点梳理】【高清讲堂：圆的方程405440知识重点】考点一：圆的标准方程(x a)2( y b) 2r 2，此中a， b 为圆心，r为半径.重点解说： (1) 假如圆心在座标原点，这时a0，b 0 ，圆的方程就是x2y2r 2. 相关图形特色与方程的转变：如：圆心在x 轴上： b=0；圆与 y 轴相切时：| a | r；圆与 x 轴相切时：| b | r；与坐标轴相切时： | a | | b | r ；过原点： a2b2r 2.( x a) 2( y b)2r 2圆心为 a，b ，半径为r，它展现了圆的几何特色.(2)圆的标准方程(3)标准方程的长处在于明确指出了圆心和半径. 由圆的标准方程可知，确立一个圆的方程，只要要a、b、 r 这三个独立参数，所以，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：圆的一般方程D , E为圆心，当 D 2E24F 0 时，方程x2y2Dx Ey F 0 叫做圆的一般方程.221D2E24F 为半径.22 2 D 2E 2重点解说： 由方程 x 2y 2DxEy F0 得 xD yE 4F224(1) 当 D2E24F0 时，方程只有实数解xD, yE. 它表示一个点 (D , E) .2222(2) 当 D 2 E 24F 0 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．(3) 当 D2E24F0 时，能够看出方程表示以D ,E 为圆心， 1D 2E 2 4F 为半径的圆 .22 2考点三：点和圆的地点关系假如圆的标准方程为( x a)2( y b)2 r 2 ，圆心为 C a ，b ，半径为 r ，则有(1) 若点 M x 0，y 0 在圆上 (2) 若点 M x 0，y 0 在圆外(3) 若点 M x 0，y 0 在圆内| CM | r x 0 2y 0 b22ar | CM | r x 0 2y 0 b22ar | CM | rx 0 2y 0 b22ar考点四：几种特别地点的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点x 2y 2r 2 rx 2y 2 r 2 0 r过原点 ( x a)2( yb)2 a 2 b 2x 2y 2 Dx Ey0 圆心在 x 轴上 ( x a)2 y 2 r 2 r 0 x 2 y 2 Dx F0 圆心在 y 轴上x 2( y b)2r 2 r 0 x 2y 2 Ey F圆心在 x 轴上且过原点 ( x a) 2 y 2a 2 a 0x 2 y 2 Dx 0 圆心在 y 轴上且过原点x 2( y b)2b 2 bx 2y 2 Eya)2b) 2 b 2x 2y 2DxEy F与 x 轴相切(x( y D 24F 0a)2b) 2 a 2x 2y 2DxEy F与 y 轴相切(x( y E 24F 0重点解说：睁开圆的标准方程与一般方程的转变：标准方程垐 垐 ?一般方程 .噲 垐 ?配方【典型例题】种类一：圆的标准方程例 1.已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0 ，且这个圆经过点A(6 ， 1) ，求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0 ，所以可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题 .分析：设圆心为a| a | a，， r36 a12a2a23a 3或a 111∴圆心为 (3 ， 1)(111 ， 37)∴圆的方程为 (x-3)2+(y-1) 2=9 或 (x-111) 2+(y-37) 2=1112.总结升华：圆心或半径的几何意义显然，则可设标准方程.贯通融会：【变式 1】若圆 C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A. ( x 2)2( y 1)21B.( x 2) 2( y 1)21C. ( x 2)2( y 1)21D.( x 3) 2( y 1)21分析：依题意，设圆心坐标为(a,1)，此中 a0，则有 | 4a 3| 1 ，由此解得 a 2 ，所以所求圆的5方程是 ( x 2)2( y1)21，选A.种类二：圆的一般方程例 2.求过三点A(1 ， 12)， B(7 ， 10)， C(-9 ，2) 的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形.【思路点拨】由于圆过三个定点，故能够设圆的一般方程来求圆的方程.解 :设所求的圆的方程为x2y2Dx Ey F 0 ，1144D12E F0,依题意有 49100 7D10E F0,8149D2EF0.解得 D=-2 ， E=-4， F=-95.于是所求圆的方程为 x2+y 2-2x-4y-95=0.将上述方程配方得 (x-1) 2+(y-2) 2=100.于是，圆的圆心 D 的坐标为 (1， 2)，半径为10，图形以下图 .总结升华： 求过三个定点的圆的方程常常采纳待定系数法来求解 .利用圆经过不在同向来线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此议论圆的几何性质，这是解题的捷径 .对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质 (圆心与半径等 )时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得 r1 ( 2)2( 4)2( 4)2 4( 95)10 .2贯通融会：【变式 1】圆与 y 轴相切，圆心 P 在直线 x 3y0 上，且直线 y x 截圆所得弦长为 2 7 ，求此圆的方程。
(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出二在以=为直径的圆上。
而‘丄刚类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：⑴以宀为圆心的同心圆系方程:■ 1-■■_■■-⑵过直线’"T 与圆! 1的交点的圆系方程x2矽+£ + 兄（出+旳+U）三0⑶过两圆［「一、_1一 J八和圆〔-< I的交点的圆系方程IL I + ［此圆系方程中不包含圆：，直接应用该圆系方程，必须检验圆【是否满足题意, 谨防漏解。
当'=时，得到两圆公共弦所在直线方程（q・（耳-芯砂+（耳■用）=0例1:已知圆一::与直线「丁1相交于'L•两点，匚为坐标原点，若1 '-，求实数叫的值。
好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线" ——I与圆/ ! 1 -的交点的圆系方程为: b亠工一6戸+空+ 乂（戈+ 2丁一3）= 0 即又 n 满足方程①，则叱一口二：|故亡=：例2:求过两圆h ? _和’）I」’I _ 1：的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆•「一一和•「」I —一的公共弦方程为疋+b - 2弘［0-1尸 + 0 —1尸-16］二0 即2z+2^-ll=0过直线L与圆''■ —「的交点的圆系方程为依题意, 匚在以’-为直径的圆上，则圆心（显然在直线?+/ - 25+l(2x+2y-11) = 0分析：此题最易想到设出「」—「•，由…一-得到---•，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心i 必在公共弦所在直线- ；■■ -上。
即- 二+二八，则例3:求证：m为任意实数时，直线(m—1)x + (2m —1)y= m—5恒过一定点P，并求P点坐标。
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a ,b )，半径为)0(>r r （2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径2422FE D r -+=（3）圆的直径式方程：若),(),,(2211y x B y x A ，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x（4）圆的参数方程：①)0(222>=+r r y x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）；②)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为)sin ,cos (θθr b r a ++（θ为参数，(a,b )为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系： ①⇔>-+-222)()(r b y a x 点P 在圆外； ②⇔=-+-222)()(r b y a x 点P 在圆上； ③⇔<-+-222)()(r b y a x 点P 在圆内.（2）点),(00y x P 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：①⇔>++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆外； ②⇔=++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆上； ③⇔<++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆内.题型归纳及思路提示题型1 求圆的方程 思路提示（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b )和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等. 例9.17 根据下列条件求圆的方程：（1）ABC ∆的三个顶点分别为A (-1,5),B (-2,-2),C (5,5),求其外接圆的方程； （2）经过点A (6,5),B (0,1),且圆心在直线3x +10y +9=0上； （3）经过点P (-2,4),Q (3,-1),且在x 轴上截得的弦长等于6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可.解析 （1）解法一：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则由题意有，⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++--=+++-0505508220265F E D F E D F E D 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=2024F E D 故所求圆的方程为0202422=---+y x y x解法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x =2,BC 的中垂线方程为x +y -3=0，所以圆心是两条中垂线的交点P (2,1),且半径5)51()12(||22=-++==AP r所以所求圆的方程为25)1()2(22=-+-y x 即0202422=---+y x y x（2）AB 的中垂线与AB 垂直，则斜率231-=-=ABk kAB 的中点(3,3)，则由点斜式可得)3(233--=-x y ， 即线段AB 的中垂线方程为3x+2y-15=0由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x ，解得⎩⎨⎧-==37y x ，所以圆心为C(7,-3),又65||=BC故所求的圆的方程为65)3()7(22=++-y x（3）设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，将点P ，Q 的坐标分别代入，得⎩⎨⎧-=+-=--1032042F E D F E D ，又令y =0,得02=++F Dx x .设21,x x 是方程的两根，则由韦达定理有F x x D x x =-=+2121,，由6||21=-x x有364)(21221=-+x x x x ，即3642=-F D解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=842F E D 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=086F E D故所求圆的方程为084222=---+y x y x 或08622=--+y x y x评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.变式1 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线0872:=+-y x l 上的圆的方程. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程例9.18 已知圆的半径为10，圆心在直线y =2x 上，圆被直线y=x 截得的弦长为24，求此圆的方程. 分析 求圆的标准方程，就是求222)()(r b y a x =-+-中的a,b,r ，可优先考虑待定系数法. 解析 解法一：设圆的方程为10)()(22=-+-b y a x .由圆心在直线y=2x 上，得b=2a （①） 由圆在直线y=x 上截得的弦长为24，将y=x 代入10)()(22=-+-b y a x ，整理得010)(22222=-+++-b a x b a x 由弦长公式，得24||221=-x x即24)10(2)(2222=-+-+b a b a ，化简得2±=-b a （②） 由式①②可得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距2)22(22=-=r d ，又弦心距等于圆心(a,b )到直线x-y =0的距离，即22||=-=b a d ，又已知b =2a ，解得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a 故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x 评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.变式1 求与x 轴相切，圆心在直线3x-y =0上，且被直线x-y =0截得的弦长为72的圆的方程例9.19 圆01222=--+x y x 关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ ）A.21)2()3(22=-++y x B.21)2()3(22=++-y xC.2)2()3(22=-++y x D.2)2()3(22=++-y x解析 解法一：（推演法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)1(22=+-y x ，得圆心为(1,0)，半径为2，设对称圆的圆心坐标为(a,b)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+⨯2110032212a b b a ,得⎩⎨⎧=-=23b a . 故对称圆的方程是2)2()3(22=-++y x 解法二：（排除法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)2(22=+-y x ,得2=r ,则对称圆的半径也应为2，故排除选项A,B ，在选项C 中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为211302-=---，与直线032=+-y x 垂直.故选C评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径保持不变.变式1 若不同两点P ,Q 的坐标分别为，)3,3(),,(a b b a --,则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线l 对称的圆的方程为______题型2 直线系方程和圆系方程 思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线0:1111=++C y B x A l 与直线0:2222=++C y B x A l 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：0)()(22221111=+++++C y B x A C y B x A λλ)0(2221≠+λλ简记为：)0(022212211≠+=+λλλλl l 当01≠λ时，简记为：021=+l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：)1(0)(2222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x简记为：)1(021-≠=+λλC C ，不含2C当1-=λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）0)()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 注 与圆C 共根轴l 的圆系0:=+l C C λλ例9.20 （1）设直线01:1=+-y x l 与直线022:2=++y x l 相交于点P,求过点P 且与直线0132:3=--y x l 平行的直线4l 的方程.（2）求圆心在直线0143=-+y x 上且过两圆0222=-+-+y x y x 与522=+y x 的交点的圆的方程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.解析 （1）解法一：由⎩⎨⎧=++=+-02201y x y x ，得交点)0,1(-P .因为34//l l ，故设032:4=+-C y x l ，又4l 过点)0,1(-P ，故0)1(2=+-C ，得2=C即0232:4=+-y x l解法二：设0)1(22:4=+-+++y x y x l λ，即02)1()2(:4=++-++λλλy x l 因为34//l l ，所以）（）（λλ-=+-1223，得8-=λ，故0232:4=+-y x l (2)设所求圆为)1(0)5(222-≠=-++-+-+λλy x y x y x 化为一般式0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 所以)1(212,)1(212λλ+-=-+=-E D ，故圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛++）（，）（λλ121-121代入直线0143=-+y x 中，得01)1(24)1(23=-+-+λλ解得23-=λ，把23-=λ代入所设的方程中，得0112222=--++y x y x 故所求圆的方程为0112222=--++y x y x评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往能够简化运算，快速得出结论.变式1 过直线042=++y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点且面积最小的圆的方程是_________ 变式2 （1）设直线0:1=-y x l 与直线04:2=-+y x l 相交于点P ，求过点P 且与直线0543:3=++y x l 垂直的直线4l 的方程.（2）已知圆042:22=---+m y x y x C ，若直线02:=-+y x l 与圆C 相交于A,B 两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点），求m 的值和以AB 为直径的圆的方程.题型3 与圆有关的轨迹问题 思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.例9.21（2012北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点)0,4(),0,1(N M 的距离之比为21.（1）求动点P 的轨迹W 的方程；（2）若直线3:+=kx y l 与曲线W 交于A,B 两点，在曲线W 上是否存在 一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由. 解析 （1）设点P 的坐标为),(y x P ，由题意知21||||=PN PM ，即2222)4()1(2y x y x +-=+- 即4:22=+y x W（2）因为直线3:+=kx y l 与曲线W 相交于A,B 两点，所以213),(2<+=kl O d即25>k 或25-<k ① 假设曲线W 上存在点Q ，使得2||,=+=OQ OB OA OQ 因为A,B 在圆上，所以||||OB OA =，且OB OA OQ +=由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直平分. 故1||21),(==OQ l O d ，即1132=+k，解得22±=k ，符合式①所以存在点Q ，使得OB OA OQ +=评注 在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆. 变式1 在ABC ∆中，若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值为__________变式2 （2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面B A l ,,=βα 是l 上的两个点，C,D 在平面β内，且αα⊥⊥CB DA ,,AD =4,AB =6,BC =8，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则P-ABCD 体积的最大值是（ ）A.324B.16C.48D.144例9.22 如图9-11所示，已知P (4,0)是圆3622=+y x 内的一点，A,B 是圆上两动点，且满足︒=∠90APB ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程解析 解法一：设AB 的中点为R ,点Q 的坐标为(x,y ),则在ABP Rt ∆中||||PR AR =，又因为R 是弦AB 的中点，由垂径定理，在ORA Rt ∆中36||||22=+OR AR ，又2222|)|2(|)|2()|||(|2PR OR OP OQ +=+(*), 得72362)|||(|2||||2222=⨯-+=+PR OR OP OQ , 故56||72||22=--OP OQ则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是5622=+y x 解法二：设AB 的中点为R ，Q 的坐标为(x,y),则⎪⎭⎫⎝⎛+2,24y x R ，在矩形APBQ 中有||21||||PQ AR PR ==在ORA Rt ∆中，36||||||222==+OA RA OR则()[]364412242222=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ，即5622=+y x 评注 式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ 中，O 为矩形APBQ 外一点，有2222OB OA OQ OP +=+变式1 已知圆422=+y x 上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内的一定点，P ，Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 中点M 的轨迹方程；（2）若︒=∠90PBQ ，求线段PQ 中点N 的轨迹.变式2 已知点P (0,5)及圆024124:22=+-++y x y x C（1）直线l 过P 且被圆C 截得的线段长34||=AB ，求l 的方程； （2）求过点P 的圆C 的动弦的中点M 的轨迹方程.题型4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 思路提示方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径F E D r 42122-+=例9.23方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.()2,-∞-B.⎪⎭⎫⎝⎛-0,32 C.()0,2-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2解析 由0122222=-+++++a a ay ax y x可得0143)(2222>+--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a y a x即04432<-+a a ，得322<<-a .故选D 评注 对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可变式1 方程042422=+-++m y mx y x 表示圆的方程的充要条件是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,41mB.()+∞∈,1mC.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈41,mD. ),1(41,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈ m变式2 若圆02)1(222=-+-++a ay x a y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数a 的值为______ 题型5 点与圆的位置关系判断 思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例9.24 若点A (1,1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.)1,1(-B.)1,0(C.),1()1,.(+∞-∞-D.{}1,1-解析 点A (1,1)在圆内部，满足4)()(22<++-a y a x ，即4)1()1(22<++-a a ，解得11<<-a 故选A评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为若点),(00y x P 在圆上,则22020)()(r b y a x =-+-； 若点),(00y x P 在圆外,则22020)()(r b y a x >-+-； 若点),(00y x P 在圆内,则22020)()(r b y a x <-+-.反之也成立.变式1 点A (1,0)在圆0332222=-++-+a a ax y x 上，则a 的值为_______变式2 过占P (1,2)可以向圆024222=-+-++k y x y x 引两条切线，则k 的范围是（ ）A.)7,(-∞B.)7,0(C.)7,3(D.),5(+∞题型6 与圆有关的最值问题 思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效.例9.25 已知实数x,y 满足方程01422=+-+x y x（1）求xy的最大值和最小值； （2）求x y -的最大值和最小值；（3）求22y x +的最大值和最小值分析 方程01422=+-+x y x 表示圆心为（2，0），半径为3的圆.--=x y x y 的几何意义是圆上一点M(x,y)与原点连线的斜率；设y-x=b ，可看作直线y=x+b 在y 轴上的截距；22y x +是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解.解析 （1）原方程可化为3)2(22=+-y x ，表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设k xy=，即kx y =.当直线kx y =与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时31|02|2=+-k k ，解得3±=k故xy的最大值为3，最小值为3- （2）设y-x =b ，即y =x +b ，当y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时32|02|=+-b ，即62±-=b ，故y-x 的最大值为62+-，最小值为62--（3）解法一：（几何法）22y x +表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故()347)32(2max22+=+=+y x,()347)32(2min22-=-=+y x解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程3)2(22=+-y x设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x （θ为参数,)2,0[πθ∈） 则()θθθcos 347)sin 3(cos 322222+=++=+y x故当1cos -=θ时，()347)32(2min22-=-=+y x当1cos =θ时，()347)32(2max22+=+=+y x解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为3)2(22=+-y x ，可得222(3）--=x y且[]32,32+-∈x故14)2(32222-=--+=+x x x y x 由[]32,32+-∈x故[]347,3471422+-∈-=+x yx故所求最大值为347+，最小值为347-评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如ax b y --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题 变式 1 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0≥-+m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞B.),21[+∞-C.]12,(---∞D.]12,(+-∞ 变式2 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0)2(22≥-+-m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞ B.),51[+∞- C.]15,(--∞ D.]15,(+-∞题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26 方程225x y --=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆分析 对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围解析 由题可知0,55≤≤≤-y x ，且2522=+y x ，故原方程表示圆心在（0，0），半径为5的下半圆.故选D变式1 方程21y x -=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆 例9.27 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A.{}2,2- B.{}211|-=≤<-b b b 或 C.{}11|≤≤-b b D.{}2|≥b b 分析 利用数形结合法求解解析 将曲线方程21y x -=变形为)0(122≥=+x y x ，当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时，满足12|00|=--b ，整理可得2||=b ，即2±=b .如图9-12所示，可得当2-=b 或11≤<-b 时，直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.故选B变式1 当曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 变式2 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[]221,1+- B.[]221,221+- C.[]3,221- D.[]3,21- 变式3 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,,)2(2),(222, {}R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,,122),(，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是_______有效训练题1.若直线y =kx 与圆03422=+-+x y x 的两个交点关于直线x +y +b =0对称，则（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2 2.若点(4a -1,3a +2)不在圆25)2()1(22=-++y x 的外部，则a 的取值范围是（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55,55 B.)1,1(- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-55,55 D.]1,1[- 3.设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P （ ）A.必在圆222=+y x 内B.必在圆222=+y x 上C.必在圆222=+y x 外D.以上三种情形都有可能 4.已知圆422=+y x ，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)1(22x y x B. ()104)1(22<≤=+-x y xC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)2(22x y x D. ()104)2(22<≤=+-x y x 5.已知两点A (-1,0),B (0,2)，点P 是圆1)1(22=+-y x 上任意一点，则PAB ∆面积的最大值与最小值分别是（ ） A.)54(21,2- B.)54(21),54(21-+ C.54,5- D. )25(21),25(21-+ 6.已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为（ ） A.31 B.51 C.31- D.51- 7.定义在),0(+∞上的函数f (x )的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，若1)(22≤+y x f ，则y x y x 2222+++的最小值是______8.已知圆C 经过()()5,1,1,3A B 两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______9.已知直线R m m x y l ∈+=,:.若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，该圆的方程为_______10.根据下列条件求圆的方程.（1）经过点(1,1)P 和坐标原点，并且圆心在直线2310x y ++=上；（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -；（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)A B C -（4）已知一圆过(4,2),(1,3)P Q --两点，且在y 轴上截得的线段长为.11.设定点(3,4)M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为两边做平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.12.集合22(,)|((1)4A x y x y ⎧⎫⎪⎪=++≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 集合{}22()(,)|22,B m x y y x mx m m m R ==-++∈，设集合B 是所有()B m 的并集，求A B ⋂的面积。
圆的标准方程与一般方程题型归纳总结
圆的标准方程与一般方程题型归纳总结(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆的标准方程与一般方程【重难点精讲】重点一、圆基本 要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径标准 方程圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2图示说明若点M (x ，y )在圆C 上，则点M 的坐标适合方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；反之，若点M (x ，y )的坐标适合方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点M 在圆C 上重点二、点与圆的位置关系圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其圆心为(a ，b )，半径为r ，点P (x 0，y 0)，设d ＝|PC |＝2200()()x a y b -+-.位置关系d 与r的大小图示 点P 的坐标的特点点在圆外 d >r(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2点在圆上 d ＝r(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2点在圆内 d <r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2重点三、圆的一般方程(1)方程：当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为C (－D 2，－E2)，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ．(2)说明：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不一定表示圆．当且仅当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆：当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点(－D 2，－E2)；当D 2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形．(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤： ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程； ②根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； ③解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程． 重点四、二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是：A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F >0． 重点五、求轨迹方程的五个步骤：①建系：建立适当的坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； ②设点：写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； ③列式：用坐标(x ，y )表示条件p (M )，列出方程F (x ，y )＝0； ④化简：化方程F (x ，y )＝0为最简形式；⑤查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．【典题精练】考点1、求圆的标准方程例1．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程． 【解析】（1）直线AB 方程为：y 1x-45-11-4-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB514-1-43k -==；BC 5231--34k -==（）， ∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥ ∴△ABC 为直角三角形（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为r=|AC |22， ∴△ABC 外接圆方程为221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点点睛：(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．考点2、判断点与圆的位置关系例2．已知圆过两点()1,4A 、()3,2B ，且圆心在直线0y =上. （1）求圆的标准方程； （2）判断点()2,4P 与圆的关系.【解析】（1）圆心在直线0y =上，∴设圆心坐标为(),0C a ，则AC BC ==，即()()2211634a a -+=-+，解得1a =-，即圆心为()1,0-，半径r AC ====则圆的标准方程为()22120x y ++=（2）PC ===5=r >∴点()2,4P 在圆的外面.考点点睛：点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较； (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，点在圆外； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，点在圆上； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，点在圆内．考点3、圆的标准方程的综合应用例3．已知一圆的圆心C 在直线210x y +-=上，且该圆经过()3,0和()1,2-两点. （1）求圆C 的标准方程；（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，试求ABC 面积的最大值和此时直线l 的方程.【解析】（1）方法一：()3,0和()1,2-两点的中垂线方程为：10x y +-=，圆心必在弦的中垂线上，联立21010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得()1,0C ，半径2r，所以圆C 的标准方程为：()2214x y -+=.方法二：设圆C 的标准方程为：()()222x a y b r -+-=，由题得：()()()()2222222103012a b a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+--=⎪⎩，解得：102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆C 的标准方程为：()2214x y -+=.（2）设直线l 的方程为0x y m ++=，圆心C 到直线l 的距离为d ，∴d =()0,2d ∈，AB ==ABC面积12S d AB ==== ∴当22d=，()0,2d =时，S 取得最大值2=1m =或3-所以，直线l 的方程为：10x y ++=或30x y +-=. 考点点睛：确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法．(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程，常用的几何性质有：①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：①设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列：由已知条件，建立关于a、b、r的方程组；③解：解方程组，求出a、b、r；④代：将a、b、r代入所设方程，得所求圆的方程．考点4、二元二次方程与圆的关系例4．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．【解析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r=，max此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径 r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．考点点睛：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解． 考点5、用待定系数法求圆的方程 例5．分别根据下列条件，求圆的方程. （1）过点(4,0)A -，(0,2)B 和原点；（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线2350x y -+=上. 【解析】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意，04201640F E F D F =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得024F E D =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22420x y x y ++-=.（2）由圆心在直线2350x y -+=上，设圆心的坐标为25(,)3a a +， 因为圆与两坐标轴均相切，所以25||||3a a +=，解得5a =或1a =-. 当5a =时，圆心为(5,5)，半径为5，则圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=； 当1a =-时，圆心为(1,1)-，半径为1，则圆的方程为22(1)(1)1x y ++-=； 故所求圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y ++-=. 考点6、求轨迹方程的常用方法：例6．已知()1,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足12MA MB =.设动点M 的轨迹为C . （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； （2）求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；（3）设直线:l y x m =+交轨迹C 于,P Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过A 若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.【解析】（112=，化简可得：()2224x y ++=， 所以动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.轨迹C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆.（2）设过点B 的直线为()2y k x =-，圆心到直线的距离为2421k d k -=≤+.∴33k -≤≤，即min 3k =-. （3）假设存在，联立方程得()2224y x m x y =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，得()222220x m x m +++=， 0,∆>即222222m -<<+.设()()1122,,,P x y Q x y ，则122x x m +=--，2122m x x =，由题意知PA QA ⊥，∴()()()()()()1212121211110x x y y x x x m x m +++=+++++=.∴()()212122110x x m x x m +++++=，得2310m m --=，313m ±=且满足0∆>，∴存在以线段PQ 为直径的圆经过A ，此时3132m ±=. 考点点睛：求轨迹方程的常用方法包括：(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：(2)代入法(也称相关点法)若动点P (x ，y )跟随某条曲线(直线)C 上的一个动点Q (x 0，y 0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如下： ①设所求轨迹上任意一点P (x ，y )，与点P 相关的动点Q (x 0，y 0)；②根据条件列出x ，y 与x 0、y 0的关系式，求得x 0、y 0(即用x ，y 表示出来)；③将x 0、y 0代入已知曲线的方程，从而得到点D (x ，y )满足的关系式即为所求的轨迹方程． (3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．。
高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：⑴以为圆心的同心圆系方程⑵过直线与圆的交点的圆系方程⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。
当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。
倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。
而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即………………….①依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。
即，则代回圆系方程得所求圆方程例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。
分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x=21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________.解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2例6 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∵m ∈R ，∴得∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题例7：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22=-+-y x ．可设圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 4,cos 3θθy x （θ是参数）．则θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中34tan =φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1．所以6143221=++=d ．4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2θθy x θ是参数．则3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3cos 2sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθt t 433433+≤≤-⇒t ． 所以433max +=t ，433min -=t ．即12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ． 所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--． (法2)设k x y =--12，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由11222=++--=k k k d ，得433±=k ． 所以12--x y 的最大值为433+，最小值为433-．令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．由152=--=m d ，得52±-=m ．所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．例9、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m ．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．。
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念轨迹）叫圆.平面内到定点的距离等于长的点的集二、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：（x a) 2 (yb)2r 2，圆心坐标为(a,b)，半径为r(r 0)（ 2 ）圆的一般方程：x 2 y2 Dx Ey F 0(D 2 E24F0)，圆心坐标为D,E22半径r D2E24F2(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 04）圆的参数方程：3）圆的直径式方程若A(x1, y1),B(x2,y2)，则以线段AB 为直径的圆的方程是①x222y2 r2（r 0）的参数方程为x r cos yrsin为参数）；2 2 2② (x a) 2 (y b)2 r 2 (r 0) 的参数方程为x a r cos y br sin为参数）注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a r cos ,b r sin ) ( 为参数，（a,b）为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点P（x0,y0）与圆（x a)222（y b）2 r 2的位置关系：①(x a)2(y b)2 r2点P 在圆外；②(x a)2(y b)2 r2点P 在圆上；③(x a)2(y b)2 r 2点P在圆内.（2）点P（x0,y0）与圆x2y 2Dx Ey F 0 的位置关系① x022y02Dx0Ey0F0点P 在圆外；② x022yDx0Ey0F0点P 在圆上；③ x022y0Dx0Ey0F0点P 在圆内.题型归纳及思路提示题型 1 求圆的方程 思路提示( 1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b)和半径 r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点 .因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法 .(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上， 半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等 . 例 9.17 根据下列条件求圆的方程：( 1) ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 求其外接圆的方程； ( 2)经过点 A(6,5), B(0,1), 且圆心在直线 3x+10y+9=0 上； (3)经过点 P(-2,4),Q(3,-1),且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可 .解析 (1)解法一：设所求圆的方程为 x 2 y 2 Dx Ey F 0，则由题意有，D 5E F26 0 D 4 2D 2E F 8 0 解得 E 2 5D 5E F 50 0 F20故所求圆的方程为 x 2 y 2 4x 2y 20 0解法二：由题意可求得 AC 的中垂线方程为 x=2,BC 的中垂线方程为 x+y-3=0，所以圆心是两条中垂线 的交点 P(2,1),且半径 r |AP| (2 1)2 (1 5)2 5所以所求圆的方程为 (x 2) 2 (y 1)2 25 即 x 2 y 2 4x 2y 20 03AB 的中点 (3,3)，则由点斜式可得 y 3 (x 3) ， 2即线段 AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0Dx Ey F 0 ，将点 P ，Q 的坐标分别代入，得2有(x 1 x 2)2 4x 1x 2 36 ，即 D 2 4F 36由3x 2y 15 3x 10y 900，解得7，3 所以圆心为C(7,-3),又| BC |65故所求的圆的方程为 (x 7)2 (y 3)2652D 4E F3D E F20，又令 y=0,得 x 210Dx F 0.设x 1,x 2是方程 的两 根，则 由韦 达定理 有x 1 x2D,x 1x 2F ，由 | x 1 x 2 | 6 2)AB 的中垂线与 AB 垂直，则斜率 k3)设圆的方程为 x 2 y 2D2 D 6 解得 E4或 E 8 F8F故所求圆的方程为 2 x 2 2 2y 2 2x 4y 8 0或 x 2 y 2 6x 8y 0 评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程 .求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的 选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程 .即首先设出圆的方程 (标准方程或一般方程) ，然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程(组) ，解方程或方程组即可求得 圆的方程 .一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.变式 1 求过点 A(6,0),B(1,5), 且圆心在直线 l :2x 7y 8 0 上的圆的方程 .变式 2 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C 的方程例 9.18 已知圆的半径为 10 ，圆心在直线 y=2x 上，圆被直线 y=x 截得的弦长为 4 2 ，求此圆的方程 分析 求圆的标准方程，就是求 (x a)2 (y b)2 r 2中的 a,b,r ，可优先考虑待定系数法 .由圆在直线 y=x 上截得的弦长为 4 2 ，将 y=x 代入 (x a)2 (y b) 2 10，整理得 2x 2 2(a b)x a 2 b 2 10 0由弦长公式，得 2 | x 1 x 2 | 4 2b=2a ，解得 a 2 或 ab 4 b评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程即 2 (a b)22(a 2 b 210) 4 2 ，化简得 ab 2 (②)a 2a 2由式①②可得或b 4b4故所求圆的方程为(x 2) 2(y 4)210 或 (x 2)22(y 4)210解法二：据几何性质， 半径、 弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距d r 2 (2 2)2 2 ，又弦心距等于圆心 (a,b)到直线 x-y=0 的距离，即 d2 ，又已知解析 解法设圆的方程为 (x a)2 (y b)210.由圆心在直线 y=2x 上，得 b=2a (①)故所求圆的方程为 (x 2) 2 (y 4)210或 (x 2)2 (y 4)210|a b|变式 1 求与 x 轴相切，圆心在直线 3x-y=0 上，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的方程解法二：(排除法)2 0 12 ，故排除选项 A,B ，在选项 C 中，圆心为 (-3,2) ，验证两圆圆心所在的直线的斜率为 2 0 1 ，与3 1 2直线 2x y 3 0 垂直 .故选 C评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径 保持不变 .变式 1 若不同两点 P,Q 的坐标分别为， (a,b),(3 b,3 a) ,则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 ___________ ， 圆(x 2)2 (y 3)2 1关于直线 l 对称的圆的方程为 ______________ 题型 2 直线系方程和圆系方程思路提示 求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交点，而是利用 它们的直线系方程(圆系方程) .(1)直线系方程：若直线l 1 : A 1x B 1y C 1 0与直线l 2 : A 2x B 2y C 2 0相交于点 P ，则过点 P 的直线系方程为： 1(A 1xB 1yC 1)2(A 2x B 2y C 2) 0 (12220)简记为： 1l 1 2l 2 0( 12 22 0)2 例 9.19 圆 x 2y 2 2x 1 0 关于直线 2x-y+3=0 对称的圆的方程是( ) A. (x 3)2 (y 2)2 B. (x 3)2 (y 2)2C.(x23) 2(y2)222D. (x 3)2(y 2)2解析 解法一： 推演法)将圆的方程 x 2 y 22x 0 化为标准方程 (x 1)y 2 ，得圆心为 (1,0) ，半径为 2 ，设对称圆的圆心坐标为 (a,b) ，则a 1 b222 b 0 1 a 1 230,得故对称圆的方程是 (x3)2(y 2)2 2 将圆的方程 x 22x 1 0 化为标准方程 (x 2)2y 2 2,得 r 2 ,则对称圆的半径也应为0 时，简记为： l 1l 2 0(不含 l 2 )（2）圆系方程：若圆 C 1 22:x yD 1xE 1yF 1 0 与圆 C 2 : x 22yD 2xE 2 yF 2 0 相交于 A,B 两 点则过 A,B两 点的 圆系方程为：22x yD 1xE 1yF 122(x 2y 2D 2xE 2yF 2)0( 1)简记为： C 1 C 2 0(1），不含C 2当 1 时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）l :(D 1 D 2)x (E 1 E 2)y F 1 F 2 0注 与圆 C 共根轴 l 的圆系 C :C l 0例 9.20 （1） 设直线 l 1 :x y 1 0 与直线 l 2 :2x y 2 0 相 交于点 P,求过点 P 且与直线 l 3 :2x 3y 1 0平行的直线l 4的方程 .（ 2）求圆心在直线 3x 4y 1 0 上且过两圆 x 2 y 2 x y 2 0 与 x 2 y 2 5 的交点的圆的方 程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利 用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案 .即l 4 :2x 3y 21，故圆心为 2（1 ）1 ，- 1 （21 ）-（21 ）评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往解法二：设 l 4 :2x(x 1) 0，即 l 4 :(2 )x (1 )y因为l 4//l 3，所以(32(21 ），得8，故 l 4 :2x 3y 2（2）设所求圆为x(x y 5) 0( 1)化为一般式 x 2 y 225y1代入直线 3x 4y中，得3 4 2(1 ) 2(110解得32，把23代入所设的方程中，得故所求圆的方程为 y 2 2x 2y 11 0 2y 22x 2y 11解析 （ 1）解法一：由x 2x y10y20，得交点 P( 1,0) .因为 l 4//l3， 故设 l 4 :2x 3y C 0，又l 4过点 P( 1,0) ，故 2( 1)0， 得CD1 所以 2 2(1能够简化运算，快速得出结论 .22变式 1 过直线 2x y 4 0和圆 x 2 y 2 2x 4y 1 0 的交点且面积最小的圆的方程是 ________________________ 变式 2 （1）设直线 l 1:x y 0与直线 l 2 :x y 4 0相交于点 P ，求过点 P 且与直线 l 3:3x 4y 5 0 垂直的直线 l 4的方程 .（ 2）已知圆 C: x 2 y 2 2x 4y m 0，若直线 l: x y 2 0与圆 C 相交于 A,B 两点，且 OA OB （O 为坐标原点） ，求 m 的值和以 AB 为直径的圆的方程 .题型 3 与圆有关的轨迹问题 思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标 x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或 转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在 .例 9.21（2012 北京丰台高三期末理 18）在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，动点 P 与两个定点1M （1,0）, N （4,0） 的距离之比为 .2（ 1）求动点 P 的轨迹 W 的方程；（2）若直线 l : y kx 3与曲线 W 交于 A,B 两点，在曲线 W 上是否存在 一点 Q ，使得 OQ OA OB ， 若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，说明理由 .解析 （1）设点 P 的坐标为 P （x,y ），由题意知 |PM | 1，即 2 （x 1）2 y 2（x 4）2 y 2|PN | 2即W :x 2 y 2 43（2）因为直线 l: y kx 3与曲线 W 相交于 A,B 两点，所以 d （O,l ） 3 21 k2假设曲线 W 上存在点 Q ，使得 OQ OA OB,| OQ | 2因为 A,B 在圆上，所以 |OA| |OB|，且 OQ OA OB 由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形，所以 OQ 与 AB 互相垂直平分 13 故d （O,l ） 1 |OQ| 1，即1，解得 k 2 2 ，符合式①2 1 k 2所以存在点 Q ，使得 OQ OA OB评注 在平面上到两定点的距离之比不为 1 的正数的动点轨迹为圆 .即k5或k2变式 1 在ABC中，若AB 2,AC 2BC，则S ABC的最大值为 _________________变式 2 （2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面l,A,B是l 上的两个点，C,D在平面内，且DA ,CB ,AD=4,AB=6,BC=8，在平面上有一个动点P，使得APD BPC ，则P-ABCD 体积的最大值是（）A. 24 3B.16C.48D.144例9.22 如图9-11 所示，已知P（4,0）是圆x2 y2 36内的一点，A,B是圆上两动点，且满足APB 90 ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程解析解法一：设AB 的中点为R,点Q的坐标为(x,y),则在Rt ABP中| AR | | PR |，又因为R是弦AB 的中点，由垂径定理，在Rt ORA中| AR|2 |OR|2 36，又2(|OQ |2 |OP|2) (2|OR |)2 (2|PR |) 2(*),得|OQ|2 |OP|2 2(| OR |2 | PR|2) 2 36 72,故|OQ |2 72 |OP|2 56则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是x2 y2 56解法二：设AB 的中点为R，Q 的坐标为(x,y),则R x 4,y，在矩形APBQ中有| PR | |AR| 1|PQ |2 2 2在Rt ORA中，|OR|2 | RA|2 |OA|2 3622则x 4 y 1x 42y236，即x2y2 562 2 4评注式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ 中，O 为矩形APBQ2 2 2 2外一点，有OP OQ OA OB22 变式 1 已知圆x2 y2 4 上一定点A（2,0）,B（1,1）为圆内的一定点，P，Q 为圆上的动点.（1）求线段AP中点M 的轨迹方程；（2）若PBQ 90 ，求线段PQ中点N 的轨迹.变式 2 已知点P（0,5）及圆C :x 2 y2 4x 12y 24 0（1）直线l 过P且被圆C截得的线段长| AB| 4 3，求l 的方程；（2）求过点P的圆C的动弦的中点M 的轨迹方程.题型 4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件思路提示方程x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是D2 E2 4F 0 ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为D, E，半径22r 21 D 2 E2 4F例9.23 方程2x y 2 ax 2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是（）22A. ,2B. ,0C2,0 D. 2,33解析由x22yax 2ay 2a2a10可得x a2(y a)232 a a1024即3a24a 4 0 ，得2a2故选D3.评注对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可 变式 1方程 2x 2 y4mx 2y4m表示圆的方程的充要条件是（ ）A.m 1,1B. m 1,411C. mD. m, (1, )44变式 2 若圆 2x2y(a 2 1)x2ay a 0 关于直线 x y 1 0 对称，则实数 a 的值为题型 5 点与圆的位置关系判断思路提示 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他 约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约 .题型 6 与圆有关的最值问题思路提示 解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到 灵活、高效 .例 9.25 已知实数 x,y 满足方程 x 2 y 2 4x 1 01）求 y 的最大值和最小值；x2）求 y x 的最大值和最小值；3）求 x 2 y 2 的最大值和最小值 分析 方程 x 2 y 2 4x 1 0表示圆心为（ 2， 0），半径为 3的圆. y y 0的几何意义是圆上一点 x x 0A. ( 1,1)B.(0,1)C.( . , 1) (1, )D.1,1解析 点 A （1,1）在圆内部，满足 （x a ）2(ya )24， 即 (1 a)2 (1故选 A评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为2若点 P(x 0,y 0)在圆上 ,则 (x 0 a)2(y 0 b)2 2r；若点 P(x 0,y 0)在圆外 ,则 (x 0 a)2(y 0 b)2 2r ；若点 P(x 0,y 0)在圆内 ,则 (x 0 a)2 (y 0b)22r反之也成立 .变式 1 点 A(1,0)在圆 x 2y 22ax a 2 3a3 0上， 则a 的值为___变式 2 过占 P （1,2）可以向圆 x 2 y 2 2x4yk 20引两条切线，则A. ( ,7)B. (0,7)C.(3,7)D.(5,)k 的范围是（ ）例 9.24 若点 A(1,1)在圆 (x a)2 (y a)22 a)24 ，解得 1 a 14的内部，则实数 a 的取值范围是（ ）M （x,y ） 与原点连线的斜率；设 y-x=b ，可看作直线 y=x+b 在 y 轴上的截距； x 2 y 2 是圆上一点与原点距离 的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解 .解析 （1）原方程可化为 （x 2）2 y 2 3 ，表示以点（ 2，0）为圆心，以 3为半径的圆 .设 y k ，即 xy kx .当直线 y kx 与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时 |2k 0| 3 ，解得 k 3k 2 1故 y 的最大值为 3 ，最小值为 3x（2）设 y-x=b ，即 y=x+b ，当 y=x+b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值， 此时 |2 0 b| 3， 2 即 b 2 6 ，故 y-x 的最大值为 2 6 ，最小值为 2 6（3）解法一：（几何法） x 2 y 2 表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心 连 线 与圆 的 两 个 交 点 处 取得 最 大值 和最 小 值， 又圆 心 到 原 点 的 距 离 为 2 ， 故x 2 y 2 max （2 3）2 7 4 3 , x 2 y 2 min （2 3）2 7 4 3解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程 （x 2）2 y 2 3x 2 3cos 设 （ 为参数 , [0,2 ） ） y 3sin则 x 2 y 2 23cos 2(3sin )27 4 3cos 故当 cos1时， 2 x2 y 2min(2 3)27 4 3 当 cos 1 时， x 22 ymax(2 3)2 743解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为 （x 2）2 y 2 3 ，可得 y 2 3 （x 2）2且x 2 3,23故 x22yx 23 (x2)2 4x 1由x2 3,23故 x22y4x17 4 3,743故所求最大值为 7 4 3 ，最小值为 7 4 3评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解 .一般地：1)形如 y b 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 . xa2) 形如 t ax by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题 .223)形如 m (x a)2 (y b)2 的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题变式 1 若圆 x 2 (y 1)2 1上任意一点 ( x,y)都使不等式 x y m 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ()A. ( ,12]B.[1 2,)C.( , 2 1]D.(,21]变式 2 若圆x2(y 1) 21上任意一点(x,y)都使不等式(x2)2 2 ym0 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. ( ,12]B.[1 5,)C.( , 5 1]D.(,51]题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26 方程y 25 x2表示的曲线是( )A.一条射线B. 一个圆C.两条射线D.半个圆分析对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围22解析由题可知5 x 5,y 0 ，且x2 y2 25 ，故原方程表示圆心在( 0，0)，半径为5的下半圆. 故选D变式 1 方程x 1 y2表示的曲线是( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆例9.27 直线y x b 与曲线x12y2有且仅有个公共点，则 b 的取值范围是( )A. 2, 2B.b|1b1或b 2C. b| 1 b 1D. b|b2分析利用数形结合法求解解析将曲线方程x1 2 y变形为22x2 y2 1(x0) ，当直线2y x b 与曲线x2y2 1 相切时，足|0 0 b| 1，整理可得|b| 2，即b 2.如图9-12所示，可得当b 2或1 b 1时，直2线y x b 与曲线x 1 y2有且仅有一个公共点.故选B变式 1 当曲线y 1 4 x2与直线y k(x 2) 4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( 变式 2 若直线y x b 与曲线y 3 4A. 1,1 2 2B. 1 2 2,1 2 2变式 3 设集合A (x,y)m(x 2)2C. 1 2 2,3x x2有公共点，则 b 的取值范围是(D. 1 2,322y2m2,x,y R ,B (x,y)2m x y 2m 1,x,y R ，若AI B ，则实数m 的取值范围是有效训练题1.若直线y=kx 与圆x2y24x0的两个交点关于直线x+y+b=0 对称，则(A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若点(4a-1,3a+2)不在圆(x 1)2(y 2)225的外部，则 a 的取值范围是( )55A. ,55 B. ( 1,1) C.5 , 5 D.[ 1,1]55223.设椭圆x2y2 1(aab b 0) 的离心率为1，右焦点为2F(c,0) ，方程ax 2bx c 0 的两个实根分别为x1和x2 ，则点P(x1,x2)2 A. 必在圆x y 2 2内 B.必在圆22x2y22 上2 C.必在圆x2y2 2 外 D.以上三种情形都有可能22 4.已知圆x2 y24 ，过点A(4,0) 作圆的割线ABC ，则弦BC中点的轨迹方程是(2 2 1A. (x 1)2 y2 4 1 x 1222B. (x 1)2 y 2 4 0 x 1x 2 y 2 2x2y 的最小值是的轨迹方程 .2m ,m R ，设集合 B 是所有 B( m)的并集，求 A B 的面积22C. (x 2)2 y 241x22D. (x 2)2y 25.已知两点 A(-1,0),B(0,2)， 点 P 是圆 (x 1) 2 y 21 上任意一点， PAB 面积的最大值与最小值分别是) A. 2,1(4 5) 2 C. 5,4 5 6.已知圆 C 的方程为 x 2 ) 1A.3 1 B. 5 7.定义在 (0,1 5), (4 5)2 1 1 B. (4 211( 5 2), ( 5 2) 22 D. C. ) 上的 函数 2x 2y 1 0 ，当圆心 C 到直线 kx y40的距离最大时， k 的值为D. f(x)的导函数 f'(x) 0恒 成立， f(4) 1，若 f(x 2 y 2) 1 ，则8.已知圆 C 经过 A 5,1 ,B 1,3 两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为 9.已知直线 l : y x m,m R .若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P ， 且点 P 在 y 轴上，该圆的方程为 ______ 10.根据下列条件求圆的方程 1) 经过点 P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x 3y 1 0 上； 2) 圆心在直线 y 4x 上，且与直线 l :x y 1 0相切于点 P(3, 2) ； 3) 过三点 A(1,12), B(7,10), C( 9,2)4) 已知一圆过 P(4, 2),Q( 1,3) 两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ，求圆的方程 .11.设定点 M ( 3,4) ，动点 N 在圆 x22y4 上运动， 以 OM ,ON 为两边做平行四边形 MONP ，求点P12.集合 A (x,y)|(x 5)2 (y1)24，集合 B(m) (x,y)|y x 2 2mx。
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最新高中数学圆的方程（含圆系）典型题型归纳总结总复习
高中数学圆的方程典型题型归纳总结
类型一：巧用圆系求圆的过程
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：
⑴以为圆心的同心圆系方程
⑵过直线与圆的交点的圆系方程
⑶过两圆和圆的交点的圆系方程
此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。
当时，得到两圆公共弦所在直线方程
例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。
倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。
而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即
………………….①
依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得
又满足方程①，则
故
例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为，即
过直线与圆的交点的圆系方程为，即
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。
即，则代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒
过一定点P，并求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①
即，∴直线过定点P（9，－4）
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m （2x+y－7）=0.得
∵m∈R，∴
2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC ＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？
思考讨论
类型二：直线与圆的位置关系
例5、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.解析：利用数形结合.答案：－1＜k≤1或k=－
例6
圆上到直线的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一：圆的圆心为，半径．
设圆心到直线的距离为，则．
如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又．
∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，∴，即，或，也即，或．
设圆的圆心到直线、的距离为、，则，．
∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心到直线的距离为，则．
∴圆到距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题
例7：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.例8(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．
(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程．
可设圆的参数方程为（是参数）．
则
（其中）．
所以，．
(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以．
．
所以．．
(2)
(法1)由得圆的参数方程：是参数．
则．令，得，．
所以，．
即的最大值为，最小值为．
此时．
所以的最大值为，最小值为．
(法2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由，得．
所以的最大值为，最小值为．
令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．
由，得．
所以的最大值为，最小值为．
例9、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．设圆上任一点
∴，∵恒成立
∴
即恒成立．
∴只须不小于的最大值．
设
∴即．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆上的点设为()．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角
代换．。