第四章-曲线坐标系下张量分析
张量分析
g = g gj
i ij
式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量， 或共轭度量张量
B) 相伴（共轭）度量张量
gi ⋅ g j = gik gk ⋅ g j = gikδkj = gij
g = g ⋅gj
ij i
gi ⋅ g j = δ ij ⇒ gik gk ⋅ g j = δ ij
gik gkj = δ ij ⇒
类似
gi = gij g j
gi = gij g j gi = gij g j
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换， 提升或下降指标。
C) 矢量的逆变分量和协变分量
任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
可知：若坐标系由xi 变换为yi ，则基矢量gi按上述变换法则变换。基矢 量gi也称为协变基矢量。
三、基本度量张量
对于任何坐标系，首先必须知道在该坐标系中如何度量长度。 在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为下式。
ds2 = dr ⋅ dr =gi dxi ⋅ g j dx j = gi ⋅ g j dxi dx j
i j k a = aij = eijka1a2 a3
aeilm = e a a a
i ijk l
j k m n
E) 克罗内克符号与置换符号的关系
1 δ1 δi j = δ12 3 δ1 1 δ2 2 δ2 3 δ2 1 1 0 0 δ3 2 δ3 = 0 1 0 =1 3 δ3 0 0 1
δli δl j δlk
y j = y j (x1, x2 , x3 )
逆变换为：
( j =1 2,3) ,
第4章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
ij,k ilj glk glk ilj
定义式：
ij ,k
g j xi
gk
性质： ij,k ji,k
比较：
ikj
g j xi
gk
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算 gij gi g j
F;
i j
F,
i j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T
T ij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
Tij gi g j
右梯度：
T
T xk
gk
T
ij ; k
gi
g
j
g
k
Ti
j ;k
g
i
g
j
g
k
T
i j;k
gi
g
j
g
k
Tij;k gi g j gk
左梯度：
T
gk
T xk
dxi
f xi
gi g jdx j
其中， f xi
gi定义为f (r)的梯度f
；g jdx j 即 dr
。
因此， df f dr
f
f xk
gk
gk
f xk
梯度的几何意义！
取弧元ds，有方向导数：
df f dr f t t f
ds
ds
张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得
【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
第四章-曲线坐标系下张量分析
对开口曲面S1取一平面面积微元，则沿面元边界的积分 所以
然而 所以，对平面微元： 由于两个平面微元拼装在一起后，上式对拼装后的曲面微元依然成立； 而任意曲面可以看作是平面微元的组合，所以上式对一般的曲面成立。 设 其中 是张量
然而
所以 例：在极坐标系中
矢量
而 极坐标系下的线性应变 由于 极坐标系下质点的速度
第四章：曲线坐标系张量分析
张量场函数： 笛卡尔坐标系下 坐标线：只变化一个曲线坐标时，矢径的轨迹。 直线坐标系下，坐标线都是直线。 当，，，坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系 协变基： 所以： 基矢量的导数 基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示： 其中称为第二类Christoffel符号，称为第一类Christoffel符号。Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上：
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直 线坐标使Christoffel符号全部等于零，因此，欧式空间的特征是藜曼曲率 张量等于零，矢量（张量）的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面 可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张 曲面就可以展开成平面（曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线 段的长度）。如圆柱面、锥面。 通过将R-C张量表达为度量张量的函 数，可以证明： ①关于前两个指标反对称
质点的加速度 其中
所以 相对加速度 向心加速度 切向加速度 柯氏加速度
先缩并后求导（自由指标减少2个）
4. 设 则有： 因此：
Riemann-Christoffel 张量
（二阶张量） 互换k,j指标，可得： 可以证明：
（后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标）
张量与连续介质力学基本公式总结
第一章：矢量和张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅c a b b c a a c b 指标记法：哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底：张量概念i i'i'i β=g g i'i'i i β=g gi'i'i i v v β= i i 'i 'iv v β= i'j'i'j'k l ij..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ= i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =⊗⊗⊗T g g g g度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v vT G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m )S U = ijk...lm T(i,j,k ,l,m )T =置换符号i i ir s t j j j ijk ijk ijkr s t rst rst rstk k kr s t e e δδδδδδεεδδδδ=== ijk j k j k jk ist s t t s st δδδδδδ=-2ijk k ijt t δδ= 6ijk ijk δ=置换张量i j k ijk ijk i j k εε=⊗⊗=⊗⊗εg g g g g gijk i j k ijk ()e ε=⋅⨯=g g gijkijki j k ()ε=⋅⨯=g g g ()::()i j k ijk ijk i j k a b a b εε⨯===⊗=⊗a b g g a b εεa b第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量1.()i i Tr T ζ==T 212i j l ml m .i .j T T ζδ= 3()det ζ=T1()()(())(())()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w标准形1. 特征值、特征向量λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 0 321230λζλζλζ-+-= 2. 实对称二阶张量标准形123112233i iλλλ=⋅⊗=⊗+⊗+⊗N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())ϕϕϕϕ=+⊗+-+⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123μμμ=⊗-⊗=⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2μ=-=⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω 5. 正则张量极分解 =⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λςλςλςςςς-+-=⇒-+-=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012()f k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
张量分析
张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。
标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。
而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。
然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。
要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。
在概念上，张量和矢量有许多类同之处。
一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。
张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。
张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。
我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。
于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。
例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。
2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。
从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。
所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。
在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。
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第四章：曲线坐标系张量分析张量场函数：笛卡尔坐标系下 123123x x x =++r e e ei x 坐标线：只变化一个曲线坐标i x 时，矢径的轨迹。
直线坐标系下，坐标线都是直线。
当()123i i x x ,,ξξξ=，1ξ，2ξ，3ξ坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系协变基：i i ξ∂=∂rg所以：''''''k k i ii k k ii i i i i jj jj j j jm m m j m jx x ;;x x ξξξξξξξξξξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂g e g e g g e g e gj k j m j jji k m i m i m i ix x x x ξξξδξξξ∂∂∂∂∂⋅=⋅===∂∂∂∂∂g g e e 基矢量的导数基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：j kk ij k ij ,k iξ∂=Γ=Γ∂g g g其中kij Γ称为第二类Christoffel 符号，ij ,k Γ称为第一类Christoffel 符号。
Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。
事实上：j kk iji ξ∂Γ=⋅∂g g jij ,k k iξ∂Γ=⋅∂g g① 指标对称性第二类Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。
2jk kk k k i ijji i i j j ξξξξ∂∂∂Γ=⋅=⋅=⋅=Γ∂∂∂∂g g rg g g2ji ij ,kk k k ji,k i i j j ξξξξ∂∂∂Γ=⋅=⋅=⋅=Γ∂∂∂∂g r gg g g 由此可见，Christoffel 符号相对它的两个协变指标是对称的。
②不是张量在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类Christoffel 符号全部为零。
如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。
③与第一类Christoffel 符号之间的联系由于Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升降。
k jjk kkm km ijm ij ,mi ij jm mij ,kkm km ij i i g g g g ξξξξ∂∂Γ=⋅=⋅=Γ∂∂∂∂Γ=⋅=⋅=Γ∂∂g g g g g g g g④逆变基矢量的导数iij jδ⋅=g g0i j i j k k ξξ∂∂⋅+⋅=∂∂g g g g i i j kj k ξ∂⋅=-Γ∂g g i i jkj =-Γ⋅g ⑤与度量张量分量导数之间的关系ijj ij i ki,j kj ,i kk k g ξξξ∂∂∂=⋅+⋅=Γ+Γ∂∂∂g g g g (a)jk ij ,k ik ,j ig ξ∂=Γ+Γ∂(b) kijk ,i ij ,k jg ξ∂=Γ+Γ∂(c)(b)+(c)-(a) ,1()2jk ij ki ij ki j k g g g ξξξ∂∂∂Γ=+-∂∂∂123123231312123213312123123123[()]()()()()()()()()ii i i k k k i k i k i k i i i k ik ξξξξ∂⋅⨯=∂∂∂∂=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯∂∂∂=Γ⋅⨯+Γ⋅⨯+Γ⋅⨯=Γ+Γ+Γ⋅⨯=Γg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g gkikΓ==Hamilton 算子∇ 定义 iiξ∂∇=⊗∂它的涵义是：i i i i i ξξξ∇∇∂∂∇⋅=⋅⋅∇∂∂∇⨯=⨯⨯∂T T T g T T T g T Hamilton 算子是一种具有坐标不变性微分算子，计算结果与坐标系的无关： 例如：''''''i i k k k k ki k i i i ξξξξξξξξ∂∂∂∂∇==⊗=⊗=∂∂⊗⊗∂∂∂∂∂∂T T g g T T T g g 设张量 ijk l ..kl i j T =⊗⊗⊗T g g g g ，则有：......................()ij k l kli jsij k l im k li m kl j kl is sm mij l ij kml i j k s ij mj i im j ij m ij m k lkl kl ms kl ms m i ml ks km ls i js s sj sk T T T T T T T T T T T ξξξξξξξ∂=∂∂+Γ+Γ-∂⊗⊗⊗∂∂∂+⊗⊗⊗+⊗⊗⊗∂∂∂∂+⊗⊗Γ-Γ⊗⊗=⊗∇+⊗⊗⊗∂∂=⊗∂g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g T ..;ij k ll i j ij k l kl i js T ⊗⊗⊗=⊗⊗⊗g g g g g g g g其中： 张量分量的协变导数。
..kl s sT Tξ∂∇∂由于：''k i k i ξξ=∂∂⊗⊗∂∂T T g gij s k l i'j's'k'l's ..kl i j s'..k'l'i'j'T T ∇⊗⊗⊗⊗=∇⊗⊗⊗⊗g g g g g g g g g g 可见张量分量的协变导数ijs ..kl T ∇是张量。
1. 度量张量的协变导数为零00.j.j .m j .j mi s i i ms m iss j jis isg δδδξ∂∇=+Γ-Γ∂=+Γ-Γ=2. 置换张量的协变导数为零ijk i j k ()ε=⋅⨯g g gmi is m sξ∂=Γ⋅∂g g mi j k is mjk s ()εξ∂⋅⨯=Γ∂g g g ijk m m m is mjk js imk ks ijm sεεεεξ∂=Γ+Γ+Γ∂0ijk m m ms ijk mjk is imk js ijm ks sεεεεεξ∂∇=-Γ-Γ-Γ=∂3. 张量分量的缩并与求协变导数次序可交换：缩并 i,k 指标：先缩并后求导（自由指标减少2个）kj kj km j ..k s ..k ..k ms sT T T ξ∂∇=+Γ∂ 4. ij ij ij s mn s mn s mn (A B )(A )B A (B )∇=∇+∇ 设 =⊗C A B 则有： s s sξξξ∂∂∂=⊗+⊗∂∂∂C A BB A 因此：()ij m ns mn i j ij m n ij m n s mn i j s mn i j ij ij m ns mn s mn i j (A B )(A )B A (B )(A )B A (B )∇⊗⊗⊗=∇⊗⊗⊗+∇⊗⊗⊗=∇+∇⊗⊗⊗g g g g g g g g g g g g g g g g kj kj mj k km j kj m ..k s ..k ..k ms ..k ms ..m ks skjkj m km j kj m..k ..m ks ..k ms ..m ks skj km j ..k ..k ms sT T T T T T T T T T T ξξξ∂∇=+Γ+Γ-Γ∂∂=+Γ+Γ-Γ∂∂=+Γ∂Riemann-Christoffel 张量mi j i m ij ju u u ξ∂∇=-Γ∂ （二阶张量） mij m m n m ni m n i k j i ij m m nj ik m in jkj k k k j n mij m n m n m ni m n i m nj ik ij ik m in jkk j k k j n u u u u u u u u u u u u u u ξξξξξξξξξξξξ⎛⎫∂Γ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∇∇=-Γ---ΓΓ--ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂Γ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=ΓΓ-+-Γ-Γ--ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭互换k,j 指标，可得：()m mij n m n mik k j i j k i m ik nj ij nk j k u u u ξξ∂Γ∂Γ∇∇-∇∇=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂可以证明：m mij mn m n mik .ijkik nj ij nk j kR ξξ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂ （后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标） 是张量，称为藜曼曲率张量（Riemann-Christoffel ）（构成法：将Christoffel 符号mik Γ的m 指标看作张量指标求协变导数，将Christoffel 符号m ij Γ的m 指标看作张量指标求协变导数，两者相减）藜曼曲率张量描述的是空间的性质。
欧式空间中我们中可以选取全局直线坐标使Christoffel 符号全部等于零，因此，欧式空间的特征是藜曼曲率张量等于零，矢量（张量）的偏导数次序可以交换。
三维空间中的曲面可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张曲面就可以展开成平面（曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线段的长度）。
如圆柱面、锥面。
通过将R-C 张量表达为度量张量的函数，可以证明： ①关于前两个指标反对称ijkl jikl R R =- （233327C ⨯⨯=）② 关于后两个指标反对称ijkl ijlk R R =- （22339C C ⨯=） ③ 前两个指标可以和后两个指标互换ijkl klij R R = （21336C C +=）三维空间中，只有6个独立分量：121223233131122312312331R ,R ,R ,R ,R ,R 二维空间中，只有1212R 是独立分量积分定理=0i ki i k ik ik k i k i ik ik =+=Γ-=Γ-=g g g 0互换i,k 哑指标注：123123231312123213312123123123[()]()()()()()()()()ii i i k k k i k i k i k i i i k ik ξξξξ∂⋅⨯=∂∂∂∂=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯∂∂∂=Γ⋅⨯+Γ⋅⨯+Γ⋅⨯=Γ+Γ+Γ⋅⨯=Γg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g在一个曲面上，定义d da a n线方向矢量（单位向量） 取一个六面体，如图所示。
六面体左侧的面积矢量232323d d d d ξξξξ=-⨯=-a g g g 左3d g六面体底面的面积矢量212112d d d d ξξξξ=-⨯=-a g g g 下六面体前面的面积矢量313113d d d d ξξξξ=⨯=-a g g g 前(1231d d d d d ξξξξ∂=-+∂g a a 右左左侧的面积矢量与右侧的面积矢量方向不同；右侧的面积矢量可以看作是左侧面积矢量函数的负值仅仅改变第一个曲线坐标而得到。