2020届重庆一中东北师大附中等六校高三一月联考文科数学试卷+答案
D. (0, 2)
2.已知复数 Z = 1− i （ i 为虚数单位），则复数 Z 的虚部是（ ） i
A．1
B. −1
C.D. ຫໍສະໝຸດ i3.已知 cos( − ) = 4 ，且 为第三象限角，则 的值等于（
）
5
A． 7 25
B. − 7 25
24
C.
25
D. − 24 25
( ) 4.已知向量 a = (2,3) ， b = ( x,5) ，若 a ⊥ a − b ，则 x = （ ）
6
是( )
A. [7 , 7 ) 12 6
B. (7 , 7 ] 12 6
C. [ 2 , 7 ) 36
D. ( 2 , 7 ] 36
11．已知
F1
，
F2
是双曲线
E：
x2 a2
−
y2 b2
=（1 a
0，b 0）的左、右焦点，若点 F1 关于双曲线渐近线的对称点
P 满足 OPF2 = POF2 （O 为坐标原点），则 E 的离心率为（
3
A.
B. −1
1
C.
D. 2
8
2
5.设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 = −11， a2 + a8 = −6 ，则 Sn 的最小值等于（ ）
A. − 34
B. − 36
C. − 6
D. 6
第1页,共18页
6. 已知 m, n 是空间中两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列说法正确的是
选择题部分Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1.集合 A = x x2 − x − 6 0 ，集合 B = x log2 x 1 ，则 A B = （ ）
A． (−2,3)
B. (−∞,3)
C. (−2, 2)
周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二
位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得。”通过对该题的研究发现，若一束方
物外周一匝的枚数 n 是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的
程序框图，若输入 n = 32 时，则输出的结果为( )
A. 80
B. 47
C. 79
D. 48
x + y − 2 0 8.设变量 x, y 满足约束条件 x − 2 y + 4 0 ，则 z = 2x + y 的 最大值为( )
2x − y − 4 0
A. 2
B. −4
C.12
D. 13
9.2002 年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来像个转
D． (4 − 4 ln 2, 4 − 2 ln 2)
非选择部分Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知
f
(x)
=
2x
+
x2 ,
x
0
，则 f (−5) =___________
f (x + 2), x 0
14.正三棱柱 ABC - A1B1C1 的所有棱长都相等， M 是棱 A1B1 的中点，则异面直线 AM 和 BC 所成角的余弦 值为__________.
15.已知各项都为正数的数列 an 的前 n 项和为 ，并且 an +1 = 2 sn ，则 an = ________
第3页,共18页
16.已知抛物线 y2 = 16x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且依次交抛物线和圆 (x − 4)2 + y2 = 4 于 A, B, C, D 四个点， 设 A(x1, y1), D(x2 , y2 ) ,则 x1x2 = _____ ； 4 AB + 9 CD 的最小值为 ____ .
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知向量 m = (cos Acos B, a + b) ，n = (sin Asin B, a − b), 若 m − n = (1 ,a).
2 （1）求角 C 的弧度数； （2）若 c = 4 7 ，求 ABC 的面积.
）
A． 5
B．2
C． 3
D． 2
12．已知函数 f (x) = 1 x + a 与函数 g(x) = 2 ln x − 3 的图像在区间[1,4]上恰有两对关于 x 轴对称的点，
2x
x
则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[5 , 4 − 2 ln 2) 2
B．[4 − 4 ln 2, 5] 2
C．[4 − 4 ln 2, 4 − 2 ln 2)
A.若 m // , = n ，则 m // n
B.若 m ⊥ , m // ，则 ⊥
C.若 n ⊥ , ⊥ ，则 n //
D.若 m , n , = l ，且 m ⊥ l, n ⊥ l ，则 ⊥
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方外五一束，外
动的风车，很有美感（图 1）；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（图 2）. 如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为 1 和 2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小 正方形内的概率为( )
第2页,共18页
A. 1 5
2
B.
25
2
C.
5
1
D.
25
10.已知函数 f (x) = sin(x + )( 0) 在 (0, 2] 上恰有一个最大值 1 和最小值-1，则 的取值范围
绝密★启用前 东北师大附中 重庆一中 长春十一高中 吉林一中 四平—中 松原实验中学 2020 届高三六校一月联考 文科数学试题 本试卷满分 150 分，试时间为 120 分钟.
注意事项 1.本试卷共 6 页，分为Ⅰ卷选择题分布和Ⅱ卷非选择部分 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区 3.选择题必须使用 2B 铅笔填涂：非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，短出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上 答题无. 5.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 6.保持卡面清浩，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学(文)试题
（）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 5
6. 正项等差数列 an 的前 n 和为 Sn ，已知 a2 a8 a52 8 0 ，则 S9 （ ）
A. 35
B. 36
C. 45
D. 54
7. 小王到重庆游玩，计划用两天的时间打卡“朝天门”、“解放碑”、“洪崖洞”、“磁器口”、
“南山一棵树”五个网红景点.若将这五个景点随机安排在两天时间里，第一天游览两个，第二
则 3d b4 b1 6 ， d 2
bn 1 (n 1) 2 2n 1；
（2） cn
(2n
1 1) log2
22n1
1 (2n 1)(2n 1)
1 2
1 2n 1
1 2n 1
Tn
1 2
1 1
1 3
1 3
1 5
...
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n
1
n 2n
1
.
19.解：（1）证明：由
（1）求证： AC 平面 BCE ； （2）求三棱锥 B DCE 的体积V .
20. 设函数 f (x) ln x 1 x . 2
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）令 g(x)
f
(x)
1 2
x
1 2x2
.当 x 0 时， g(x) ax 2 ，求实数 a 的取值范围.
A. 2 i
B. 1 2i
C. 2 i
3. 非零向量 a ， b 满足 | b | 2 | a | ，且 (a b ) a ，则 a 与 b 的夹角为（
D. 2 i
）
A.
6
B.
2020届重庆一中东北师大附中等六校高三一月联考文科数学试卷+答案(补图版)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.集合 A = x x2 − x − 6 0 ，集合 B = x log2 x 1 ，则 A B = （ ）
A． (−2,3)
B. (−∞,3)
C. (−2, 2)
女生的活动时间（单位：小时）的频率分布直方图（图 2 ）。（活动时间均在[0, 6] 内）
活动时间 频数
[0,1) [1, 2) [2,3) [3, 4) [4,5) [5, 6]
8
10
7
9
4
2
图1
图2 （1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由。
4
重庆高中数学教研群 423966914
C. 79
D. 48
x + y − 2 0 8.设变量 x, y 满足约束条件 x − 2 y + 4 0 ，则 z = 2x + y 的 最大值为( )
2x − y − 4 0
A. 2
B. −4
C.12
D. 13
9.2002 年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来像个转
绝密★启用前 东北师大附中 重庆一中 长春十一高中
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2020 届高三六校一月联考
文科数学试题
本试卷满分 150 分，试时间为 120 分钟.
注意事项 1.本试卷共 6 页，分为Ⅰ卷选择题分布和Ⅱ卷非选择部分 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区 3.选择题必须使用 2B 铅笔填涂：非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，短出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上 答题无. 5.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 6.保持卡面清浩，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
重庆市达标名校2020年高考一月大联考数学试卷含解析
重庆市达标名校2020年高考一月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ）A ．13B ．3C D 2．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12- B 1 C ．1D ．323．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种4．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．786．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．87．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在等腰直角三角形ABC 中，,2C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B间的距离为ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．3C ．12πD ．20π11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±10．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．2211．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件12．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆一中2019-2020学年高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学年重庆一中高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U＝{x|﹣1≤x≤4}，集合A＝{x|≤3x≤27}，则∁U A＝（）A．[﹣1，3]B．（3，4]C．[3，4]D．（3，4）2．已知i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2019等于（）A．i B．1C．﹣i D．﹣13．已知椭圆（a＞b＞0）分别过点A（2，0）和B（0，﹣1），则该椭圆的焦距为（）A．B．C．D．4．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列5．若，则tan2θ＝（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a6＝20，S5＝35，则S7＝（）A．57B．60C．63D．667．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为（）A．36πB．27πC．18πD．12π8．若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．﹣2D．9．在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．已知函数f（x）＝﹣x2+4x+m（e x﹣2+e2﹣x）有唯一零点，则实数m＝（）A．﹣B．2C．D．﹣211．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，直线与抛物线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|QF|＝3，则＝（）A．B．C．D．12．设奇函数f（x）的定义域为（﹣，），且f（x）的图象是连续不间断，∀x∈（﹣，0），有f′（x）cos x+f（x）sin x＞0，若f（m）＜f（）cos（﹣m），则m的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．（0，）C．（﹣，）D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f（x）＝，则f（f（ln3））＝．14．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数．现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为．15．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：+＝1上运动，则点P到直线x﹣y﹣10＝0的距离的最大值为．16．已知三棱锥D﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，AB＝6，AC＝2，AB⊥AC，顶点D在平面ABC上的投影E为BC的中点，且DE＝5，则球O的体积为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n 分别是数列{a n}，{b n}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，证明：．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD．（1）证明：SH⊥平面BCDE；（2）求三棱锥C﹣SHE的体积．19．（12分）某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：月份x12345销量y（百台）0.60.8 1.2 1.6 1.8（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y（百件）与月份x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．参考公式与数据：线性回归方程，其中，．20．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线y＝x+2是它的一条切线．（1）求p的值；（2）若A（2，4），过点p（m，0）作动直线交抛物线于B，C两点，直线AB与直线AC 的斜率之和为常数，求实数m的值．21．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）恰有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴正半轴重合，直线l 的参数方程为：，曲线C的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，直线l过定点M（2，0），若，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式f（x）+f（x+3）≤5；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣f（x+2a），且存在x0∈R使得成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年重庆一中高三（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：∵U＝{x|﹣1≤x≤4}，A＝{x|﹣1≤x≤3}，∴∁U A＝（3，4]．故选：B．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】利用等比数列前n项和化简，再由虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：i+i2+i3+ (i2019)＝．故选：D．【点评】本题考查等比数列前n项和，考查虚数单位i的性质，是基础题．3．【分析】利用已知条件求出a，b，c，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）分别过点A（2，0）和B（0，﹣1），可得：a＝2，b＝1，所以，从而．故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力．4．【分析】先对图表信息进行处理，再结合等差数列的概念及简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：由2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图可知：选项A，B显然正确；对于选项C，因为，即选项C正确；1.6，1.9，2.2，2.5，2.9不是等差数列，即选项D错误，故选：D．【点评】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，属中档题．5．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式可求tanθ的值，根据二倍角的正切函数公式即可求解．【解答】解：因为，所以，解得tanθ＝7，从而．故选：C．【点评】本题考查三角恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．【分析】设数列{a n}的公差为d，因为数列a3+a6＝20，S5＝35，所以a3+a6＝20，a3＝7，解得a3＝7，a6＝13，利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，因为数列a3+a6＝20，S5＝35，所以a3+a6＝20，a3＝7，解得a3＝7，a6＝13，所以a6﹣a3＝3d＝6，解得，所以a n＝2n+1，，从而S7＝63．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【分析】设出底面半径，求出底面半径与高，即可求解圆柱的侧面积．【解答】解：设底面圆的半径为r，则高为2r，由2r•2r＝36，得r2＝9，所以．故选：A．【点评】本题考查圆柱体的侧面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力．8．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：表示通过可行域内的点（x，y）与坐标原点的直线的斜率，画出不等式组表示的可行域，点A（﹣1，2）坐标原点（0，0）的连线斜率最小，可行域的B（﹣2，1）与原点（0，0）的连线斜率最大，最大值为：．故选：B．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．9．【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，∴，得∠BAC 1＝60°．即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．10．【分析】由已知结合f（4﹣x）＝f（x），从而可得函数的图象关于x＝2对称，交点也关于x＝2对称，结合唯一零点的条件可得f（2）＝0，从而可求．【解答】解：因为f（x）＝x（4﹣x）+m（e x﹣2+e2﹣x），所以f（4﹣x）＝（4﹣x）x+m（e x﹣2+e2﹣x）＝f（x）所以f（4﹣x）＝f（x）即函数图象关于x＝2轴对称，故函数的图象与x轴的交点也关于x＝2对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在（2，0即f（2）＝4+2m＝0，所以m＝﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查了利用函数的对称性求解函数值，解题的关键是发现函数图象关于x＝2对称的性质．11．【分析】如图所示，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，可得p＝2．y2＝4x．由|QF|＝3＝x Q+1，解得x Q＝2．联立，化为：x2﹣（4m2+2）x+5＝0．利用根与系数的关系可得x P，利用＝＝即可得出．【解答】解：如图所示，∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，∴p＝2．∴y2＝4x．|QF|＝3＝x Q+1，解得x Q＝2．联立，化为：x2﹣（4m2+2）x+5＝0．∴2x P＝5，解得x P＝，则＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．【分析】依题意，令g（x）＝，x∈（﹣，），则g（x）＝为奇函数且在区间（﹣，）上单调递增，故f（m）＜f（）cos（﹣m）可等价转化为：＝＜，从而可得答案．【解答】解：令g（x）＝，x∈（﹣，），∵f（x）为奇函数，y＝cos x为偶函数，∴g（x）＝，x∈（﹣，）为奇函数．∵∀x∈（﹣，0），有f′（x）cos x+f（x）sin x＞0，∴g′（x）＝＞0，∴g（x）在区间（﹣，0）上单调递增，又g（x）为奇函数，∴g（x）在区间（﹣，）上单调递增，当x∈（﹣，），cos x＞0，∴f（m）＜f（）cos（﹣m）⇔＝＜，∴﹣＜m＜．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与综合运算能力，考查函数的单调性与奇偶性，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（ln3）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，则f（ln3）＝﹣e ln3＝﹣3，则f（f（ln3））＝f（﹣3）＝（﹣3）2﹣1＝8；故答案为：8．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．14．【分析】基本事件总数n＝10，被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出被抽出的被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率．【解答】解：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数．现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，基本事件总数n＝10，被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列包含的基本事件有：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（15，20，25），共4个，则被抽出的被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为P＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【分析】设与直线x﹣y﹣10＝0平行的直线与椭圆相切时，两条平行线之间的最大值为点到直线的最大距离，将所设直线与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，由平行线间的距离公式可得最大值．【解答】解：设与直线x﹣y﹣10＝0平行的直线x﹣y+c＝0与椭圆相切，两条平行线的距离的最大值为点P到直线x﹣y﹣10＝0的距离的最大值，联立，整理可得25x2+32cx+16c2﹣16×9＝0，△＝322c2﹣4×25×16（c2﹣9）＝0，解得：c2＝25，c＝±5，所以平行线间的距离为：＝或，所以最大值为，故答案为：．【点评】本题考查直线与椭圆相切及椭圆的性质，属于中档题．16．【分析】由题意可知DE⊥平面ABC，球心O在DE上，由球的性质可知，代入可求R，然后结合球的体积公式即可求解．【解答】解：因为AB＝6，AC＝2，AB⊥AC，所以BC＝＝2，由题意可知△ABC外接圆半径r＝＝，因为DE⊥平面ABC，则可知球心O在DE上，由球的性质可知R2＝（5﹣R）2+15，解可得R＝4，故球的体积V＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了球体积的求解，解题的关键是球半径的求解，属于中档试题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的求和公式和裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）因为数列{a n}，{b n}是等差数列，且A2＝3，A5＝B3，所以2a1+d＝3，5a1+10d＝9+6d．解得a1＝d＝1，所以a n＝a1+（n﹣1）•d＝n，即a n＝n，b n＝b1+（n﹣1）•2d＝2n+1，即b n＝2n+1．综上a n＝n，b n＝2n+1．（2）证明：由（1）得，所以，即．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．【分析】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，推导出SH⊥BE．从而CD⊥平面BCDE，进而CD⊥SH，由此能证明SH⊥平面BCDE．（2）三棱锥C﹣SHE的体积V C﹣SHE＝V C﹣SHE＝V S﹣HEC．由此能求出结果．【解答】解：（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得AE＝AB＝2，∴SE＝SB＝2，又点H是BE的中点，∴SH⊥BE．∵SC＝SD，点M是线段CD的中点，从而CD⊥平面BCDE，∴CD⊥SH，又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE．（2）由（1）知，，∴三棱锥C﹣SHE的体积．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，得到线性回归方程，取x＝6求得y 值即可；（2）利用枚举法写出从6人中随机抽取3人的所有情况，再求出从这6人中随机抽取3人的所有情况，由古典概型概率计算公式求解．【解答】解：（1）∵，，∴，则，于是y关于x的回归直线方程为．当x＝6时，（百台）；（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B．从这6人中随机抽取3人的所有情况为（a，b，c）、（a，b，d）、（a，b，A）、（a，b，B）、（a，c，d）、（a，c，A）、（a，c，B）、（a，d，A）、（a，d，B）、（a，A，B）、（b，c，d）、（b，c，A）、（b，c，B）、（b，d，A）、（b，d，B）、（b，A，B）、（c，d，A）、（c，d，B）、（c，A，B）、（d，A，B），共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有（a，A，B）、（b，A，B）、（c，A，B）、（d，A，B），共4种，故所求概率为．【点评】本题考查线性回归方程的求法，训练了利用枚举法求古典概型的概率，是中档题．20．【分析】（1）通过直线与抛物线方程联立，结合△＝（2p）2﹣4×4p＝0，解得p＝4．即可．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），设过点P（m，0）的动直线的方程为x＝ty+m，代入y2＝8x，得y2﹣8ty﹣8m＝0，利用韦达定理，结合直线的斜率，转化求解即可．【解答】解：（1）由y＝x+2，得x＝y﹣2，代入y2＝2px，得y2﹣2py+4p＝0，因为拋物线y2＝2px（p＞0）与直线y＝x+2相切，所以△＝（2p）2﹣4×4p＝0，解得p＝4．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则．设过点P（m，0）的动直线的方程为x＝ty+m，代入y2＝8x，得y2﹣8ty﹣8m＝0，所以△＝64t2+32m＞0，y1+y2＝8t，y1y2＝﹣8m，所以．若t变化，k AB+k AC为常数，则需满足，解得m＝﹣2．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．如果是考试，请参考：评分细则：（1）第（1）问，联立方程组不管是消x还是消y，只要是列出△＝0得（3分），正确解出p的值共得（4分）；（2）第（2）问，正确列出，本步骤得（2分），联立方程组消去一个变量正确得到一个二元一次方程，再得（1分），写出了韦达定理又得（1分），求出得（2分），全部正确解完得满分；（3）若在第（2）问中设过点P（m，0）的动直线的方程为y＝k（x﹣m），只要方法正确，参照评分标准按步骤给分．21．【分析】（1）求函数的导数，讨论a求函数的单调性．（2）由（1）可知：①当a≥0时，．函数f（x）恰有两个零点转换成f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx≥ax2﹣（a﹣1）x+1．只需，分类讨论，解得a＞4+4ln2．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx，其定义域为（0，+∞），所以．①当a≥0时，令f′（x）＜0，得；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在上单调递减，在上单调递增．②当﹣2＜a＜0时，令f′（x）＜0，得或；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在，上单调递减，在上单调递增．③当a＝﹣2时，f′（x）≤0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．④当a＜﹣2时，令f′（x）＜0，得或；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在，上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知：①当a≥0时，．易证lnx≤x﹣1，所以f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx≥ax2﹣（a﹣1）x+1．因为，，f（1）＝2＞0．所以f（x）恰有两个不同的零点，只需，解得a＞4+4ln2．②当﹣2＜a＜0时，，不符合题意．③当a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不符合题意．④当a＜﹣2时，由于f（x）在，上单调递减，在上单调递增，且，又，由于，，所以，函数f（x）最多只有1个零点，与题意不符．综上可知，a＞4+4ln2，即a的取值范围为a∈（4+4ln2，+∞）．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．考查函数的零点问题，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用求出直线的倾斜角，进一步求出直线的斜率．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．（2）把直线l的参数方程为：，代入圆的直角坐标方程x2+（y﹣2）2＝4，得到t2+（4cosα﹣4sinα）t+4＝0，（t1和t2为P、Q对应的参数），由于，所以，整理得，由于α∈[0，π]，所以，故直线的斜率k＝﹣1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用分段函数表示f（x）+f（x+3）的解析式，再解不等式，把最终答案写成解集形式；（2）由题意求出g（x）的最大值g（x）max，再解关于a的不等式．【解答】解：（1）当a＝2时，，当x＜﹣1时，由1﹣2x≤5，解得﹣2≤x＜﹣1；当﹣1≤x＜2时，由3≤5，解得﹣1≤x＜2；当x≥2时，由2x﹣1≤5，解得2≤x≤3；综上可知，原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}；（2）g（x）＝f（x）﹣f（x+2a）＝|x﹣a|﹣|x+a|，存在x0∈R使得成立，等价于；又因为|x﹣a|﹣|x+a|≤|x﹣a﹣x﹣a|＝2a，所以2a≥a2﹣2a，即a2﹣4a≤0，解得0≤a≤4，结合a＞0，所以实数a的取值范围为（0，4]．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，评分细则为：（1）第（1）问中，求出f（x）+f（x+3）的分段函数的形式，得（1分），每种情况正确解得各得（1分），最终的答案未写成解集形式，不扣分；（2）在第（2）问中，写出g（x）＝|x﹣a|﹣|x+a|，得（1分），不管用哪种方法，计算出g（x）max＝2a，都可得到该步骤分（2分），解得0≤a≤4而漏了a＞0，共得（9分）．。
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试文科数学试题(详细答案)
2020年高三第一次联合模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.12 5.下列说法中正确的是（ ）A.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≥”B.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≤”C.若“b a >”是“c a >”的充要条件，则“c b >”D.若“b a <”是“c a >”的充要条件，则“c b <”6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且87cos 21=∠AF F ，则椭圆的离心率e =（ ） A.21 B.23 C.41D.478.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A.31 B.55 C.10103 D.3210.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∆的面积为（ ）A.32B.3C.52D.5 11.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前6项和为（ ）A.125 B.65 C.76 D.73 12.已知)(x f 满足⎪⎩⎪⎨⎧<-≤--=0),2(210,84)(2x x f x x x x f ，若在区间)3,1(-内，关于x 的方程)()(R k k kx x f ∈+=有4个根，则实数k 的取值范围是（ ）A.410≤<k 或1528-=k B.410≤<k C.15280-≤<k D.410<<k第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.已知向量)1,2sin 2(cos ),2,2sin2(cos -+=-=αααααn m，其中),0(πα∈，若n m⊥，则=α .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数5)(,ln )(23--=+=x x x g x x x a x f ，若对于任意的]2,21[,21∈x x ，都有2)()(21≥-x g x f 成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且12FC CF =，求1A 到平面ABF 的距离.19.（本小题满分12分）2020年2月1日0：00时，英国顺利“脱欧”.在此之前，英国“脱欧”这件国际大事被社会各界广泛关注，英国大选之后，曾预计将会在2020年1月31日完成“脱欧”，但是因为之前“脱欧”一直被延时，所以很多人认为并不能如期完成，某媒体随机在人群中抽取了100人做调查，其中40岁以上的55人中有10人认为不能完成，40岁以下的人中认为能完成的占32. （Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”？能完成 不能完成合计 40岁以上 40岁以下 合计（Ⅱ）从上述100人中，采用按年龄分层抽样的方法，抽取20人，从这20人中再选取40岁以下的2人做深度调查，则2人中恰有1人认为英国能够完成“脱欧”的概率为多少？附表：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln )(2>-+-=a xxa x a x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）记函数)(x f 的最小值为)(a g .证明：1)(<a g .（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.一模文数参考答案一、选择题二、填空题13.3π 14.),1(2e 15.992- 16.),1[+∞三、解答题17.（本小题满分12分）（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，……3分因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=．……6分（II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=， 所以22()(2)BA BC BD +=，又23B π=，所以1222=-+ac c a 因为2a =，解方程0822=--c c ，得4c =． ……………………12分18. （本小题满分12分）（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,1BAA ∆中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121AA EM =， 棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且1121AA DC =，所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，又⊄ED 平面11BA C 且⊂1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C …… …… ……4分（2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF侧面11A ABB 中AB B A //11，且⊂AB 平面ABF ，⊄11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，11,B A 到平面ABF的距离相等. …… …… …… …… …… ………… …… ……6分在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为⊂H B 1平面11B BCC ，所以⊥AB H B 1②，又①②及B BF AB = ，得⊥H B 1平面ABF ， 故线段HB 1长为点11,B A 到平面ABF的距离. …… …… …… …… …… ………… …… …10分BCF Rt ∆中2,1==CF BC ，2π=∠C ，得5=BFH B BF BC BB S FBB 1121211⋅=⋅=∆，得5531=H B …… …… …… …… …… ………… …12分 19. （本小题满分12分） （1）由题意可得列联表：……2分22100(45151030)100 3.0305545752533K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由附表知：100.0)706.2(2=>K P ，且706.2030.3>，所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关” ………… …… …… …… …… …………6分（II ）40岁以上人数为55，,40岁以下为45，比例为11:9，抽取的20人中，40岁以下为9人，其中有6人是认为可以完成的，记为a,b,c,d,e,f ，3人认为不能完成,记为A,B,C ， 从这9人中抽取2人共有：（a,b ），（a,c ），（a,d ），（a,e ），（a,f ），（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,c ），（b,d ），（b,e ），（b,f ），（b,A ），（b,B ），（b,C ）， （c,d ），（c,e ），（c,f ），（c,A ），（c,B ），（c,C ）， （d,e ），（d,f ），（d,A ），（d,B ），（d,C ） （e,f ），（e,A ），（e,B ），（e,C ） （f,A ），（f,B ），（f,C ） （A,B ），（A,C ）（B,C ）36个基本事件 …… ………… 8分设事件M ：从20人中抽取2位40 岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”. 事件M 共包括：（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,A ），（e,B ），（e,C ），（f,A ），（f,B ），（f,C ）18个基本事件， …… ………… 10分213618)(==M P 所以从20人中抽取2位40 岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为21. …… ………… 12分20. （本小题满分12分） （1）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =-的距离与到()1,0F 的距离相等，即1)1(22+=+-x y x 故点P 的轨迹方程C 为24y x = …… … …… …… ……… ……4分 （2）设直线t x my MN -=:t y y m y y t m t mt y xy tx my 4,4),(1604442121222-==++=∆⇒=--⇒⎩⎨⎧=-= ……… ……6分22212221212121212131223111)41816()412()21)(21(4)21(21)21(21y y y y y y y x x x x y y x x S S yx S y x S +++=+++=++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=[]2222318)12()418816(44m t t t m t t S S ++=+++=⇒ ……… ……8分)()12()(16)21(41)21(41)21(212222221222212t m t t m t y y t S y y t S ++=++=-+=⇒-+=……… …10分由31224S S S =得[]22228)12()()12(m t t t m t ++=++，化简为t t 8)12(2=+所以0)12(2=-t 即21=t 所以直线MN 经过⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 ……… …………… …………… …………… ……12分 21. （本小题满分12分） （1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()224322221x a x x x a x a f x x x x -+---'=-+=……2分 令()0f x '=，得x a =；当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>； 所以，()f x 的单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a +∞．……4分（2）由（1）可知，函数()f x 的最小值()()1ln g a f a a a a a==--； 012)(,ln 1)(32<--=''-='aa a g a a a g ，故)(a g '在),0(+∞单调递减，…………6分 又02ln 41)2(,01)1(<-='>='g g ，故存在)2,1(0∈a ，0ln 1)(0200=-='a a a g ，2001ln a a =0)(),,(;0)(),,0(00<'+∞∈>'∈∴a g a a a g a a ，故)(a g 在),0(0a 单调递增，在),(0+∞a 单调递减……………………………………………………8分000200000000max 2111ln )()(a a a a a a a a a a a g a g -=-⋅-=--== 000002000)2)(1(212a a a a a a a a -+=--=--， ……………………10分)2,1(0∈a ，所以0)2)(1(000<-+a a a ，所以1200<-a a ，即1)(max <a g ，所以1)(<a g ……12分22. （本小题满分10分）（1）曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）， 因此，曲线C 的普通方程为2214x y +=； …………………………2分曲线D sin cos )ρθρθ+，因此，曲线D 的直角坐标方程为0x y +-=． (5)分（2）设(2cos ,sin )M θθ，则||MN 的最小值为M 到直线0x y +-=的距离d 的最小值，d ==当sin()1θϕ+=时，||MN ………………………10分23. （本小题满分10分）（1）()21,25,2321,3x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，当2x <-时，219x -+>，解得4x <-，所以4x <-； 当23x -≤<时，59>，解得x ∈∅；当3x ≥时，219x ->，解得5x >，所以5x >， 综上所述，不等式()9f x >的解集为{|5x x >或4}x <-． ………………5分（2）2x ++()()230x x +-≤即23x -≤≤时取等） 3251m m ∴-≥⇒≤-或73m ≥……………………………10分。
2020届重庆市一中高三下学期第一次月考数学(文)试卷及解析
2020届重庆市一中高三下学期第一次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若全集{}14U x x =-≤≤ ,集合13273x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,则U C A =（ ） A. []1,3-B. (]3,4C. []3,4D. ()3,4【答案】B【解析】先求出集合A,再按补集的定义求解即可. 【详解】解不等式13273x ≤≤,得13x -≤≤,所以{}13A x x =-≤≤,故(]3,4U C A =. 故选：B.2. 已知i 为虚数单位,则232019i i i i +++⋅⋅⋅+等于（ ）A. 0B. 1C. -1D. i - 【答案】C【解析】按照复数的运算法则和等比数列的前n 项和计算即可. 【详解】232019201922(1)(1)(1)111(1)(1)i i i i i i i i i i i i i i i+++⋅⋅⋅-++=====----++. 故选：C.3. 已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>分别过点()2,0A 和()0,1B -,则该椭圆的焦距为（ ）B. D. 【答案】B【解析】由题意可得a 2＝4,b 2＝1,利用隐含条件求得c ,则2c 即为所求．【详解】由题意可得2a =,1b =,所以a 2＝4,b 2＝1,所以413c =-=,从而223c =.故选B4. 中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图,以下结论不正确的是（ ）A. 每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B. 从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C. 2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D. 从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A ,B 显然正确；对于C ,2.9 1.60.81.6->,选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故D 错.故选D5. 若34tan 43πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,则tan 2θ=（ ）。
2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试文科数学试题(解析版)
东北师大附中 重庆一中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学2020届高三联合模拟考试文科数学试题一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A B =I （ ） A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】D【解析】【分析】 先解不等式求出集合A ，B ，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：由260x x --<即()()320x x -+<解得23x -<<，则()2,3A =-，由2log 1x <解得02x <<，则()0,2B =，∴()0,2A B =I ，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题．2.已知复数1i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A. 1B. -1C. iD. i - 【答案】B【解析】【分析】先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数z ，再根据虚部的定义即可求出答案． 【详解】解：∵1i z i-=11i +=-1i =--， ∴复数z 的虚部是1-，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．3.已知()4cos 5πα-=，且α为第三象限角，则sin 2α的值等于（ ） A. 725 B. 725- C. 2425 D. 2425- 【答案】C【解析】【分析】 先根据诱导公式得4cos 5α=-，再同角的平方关系得3sin 5α=-，再根据二倍角的正弦公式求解即可． 【详解】解：∵()4cos 5πα-=，∴4cos 5α=-，又α为第三象限角，∴3sin 5α=-， ∴24sin 22sin cos 25ααα==，故选：C ．【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式以及同角的平方关系，属于基础题．4.已知向量()2,3a =v ，(),5b x =v ，若()a a b ⊥-v v v ，则x =（ ） A. 38 B. 1- C. 12 D. 2【答案】B【解析】【分析】先求出a b -r r 的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可．【详解】解：∵()2,3a =r ，(),5b x =r ，∴()2,2a b x -=--r r ，又()a a b ⊥-r r r ，∴()()22320x -+⨯-=，解得1x =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（）A. -34B. -36C. -6D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意先求出数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式求出n S ，再计算最小值即可．【详解】解：设数列{}n a 的公差为d ，∵286a a +=-，∴1286a d +=-，又111a =-，∴2d =，∴n S ()112n ndna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的求法，属于基础题．6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确是（）A. 若//m α，n αβ=I ，则//m nB. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥C. 若n β⊥，αβ⊥，则//n αD. 若m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥【答案】B【解析】【分析】以长方体为载体，结合平行与垂直判定与性质求解．【详解】解：作一个任意长方体，A 中，如图，取m AB =，α=面11CCD D ，β=面11BB C C ，1CC n αβ==I ，而1AB CC ⊥，即m n ⊥，故A 错；B 中，若//m β，则根据线面平行的性质，平面β内必存在直线//l m ，而m α⊥，则l α⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，B 对；C 中，如图，取n AB =，α=面11ABB A ，β=面11BB C C ，则n β⊥，αβ⊥，而n ⊂α，故C 错；D 中，取α=面11AB C D ，β=面11BB C C ，11B C l αβ==I ，1m AB α=⊂，1n BB β=⊂则m l ⊥，n l ⊥，但,αβ不垂直，故D 错；故选：B ．【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题．7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为（ ）A. 80B. 47C. 79D. 48【答案】C【解析】【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n ，S 的值，当0n =时，满足条件退出循环，即可得到输出的S 值．【详解】解：模拟程序的运行，可得32n =，32S =，执行循环体，24n =，56S =不满足条件0n =，执行循环体，16n =，72S =，不满足条件0n =，执行循环体，8n =，80S =，满足条件0n =，可得79S =，退出循环，输出S 的值为79；故选：C ．【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．8.设变量x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. -4C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】 作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出答案．【详解】解：变量x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的可行域如图，由240240x y x y -+=⎧⎨--=⎩得()4,4A ， 目标函数2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线经过点A 时，目标函数取得最大值，24412z =⨯+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查简单的线性规划，属于基础题．9.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转动的风车，很有美感(图1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（ ）A. 15B. 25C. 5D. 125【答案】A【解析】【分析】先求出大小正方形的面积，再根据几何概型的概率计算公式求出概率．=5，小正方形的边长为1，其面积为1， 则质点落在小正方形内的概率15P =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据题意选择合适的测度是解题关键，属于基础题． 10.已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ） A. 77,126ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 77,126ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 27,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 27,36ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】 根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出ω的取值范围．【详解】解：∵02x <≤， ∴2666x πππωω<+≤+，又函数()f x 在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值1-， ∴352262πππω≤+<， 解得2736ππω≤<， 故选：C ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）B. 2【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点P 的坐标，结合∠OPF 2＝∠POF 2可知2PF c =，利用两点间距离公式可求得离心率. 【详解】设00(,)P x y 是1F 关于渐近线b y x a =-的对称点，则有000022y a x c b y x cb a ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩； 解得222(,)b a ab Pc c-； 因为∠OPF 2＝∠POF 2，所以2PF c =，222222()()b a ab c c c c--+=； 化简可得2e =，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求,,a b c 之间的关系式.12.已知函数()12a f x x x =+与函数()2ln 3x g x x=-的图象在区间[]1,4上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 取值范围是（ ） A. 5[,42ln 2)2- B. 5[44ln 2,]2- C. [44ln 2,42ln 2)--D. (44ln 2,42ln 2)-- 【答案】A【解析】【分析】由题意可得()()f x g x =-在[]1,4上恰有两个解，分离变量得2132ln 2a x x x =--，令()2132ln 2h x x x x =--，利用导数求出函数()h x 在[]1,4上的函数值变化，由此可得答案． 【详解】解：由题意可得()()f x g x =-在[]1,4上恰有两个解， 即12ln 32a x x x x+=-在[]1,4上恰有两个解，即2132ln 2a x x x =--在[]1,4上恰有两个解， 令()2132ln 2h x x x x =--，则()23h'x x x =--()()12x x x --=-， ∴函数()h x 在[]1,2上单调递增，在[]2,4上单调递减，又()512h =，()242ln 2h =-，()5444ln 22h =-<， ∴542ln 22a ≤<-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用导数讨论函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()5f -=__________． 【答案】3【解析】【分析】利用分段函数的解析式，转化求解即可．【详解】解：∵()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩， ∴()()53f f -=-()()11f f =-=213=+=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查已知分段函数解析式求函数值，属于基础题．14.正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 是棱11A B 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为__________．【答案】10【解析】【分析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角，解三角形即可．【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其中//AB CD ，//AD BC ，连接MD ，1MD ，因为//AD BC ，所以MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角（或其补角）， 设12AB BC AA x ===，则1A M x =，5AM x =，∵111A B C ∆为正三角形，∴111=120B A D ∠︒，由余弦定理得2221111D M A D A M =+1112cos120A D A M -⋅︒2214222x x x x =++⋅⋅⋅， ∴17D M x =，则11DM x =， ∴222cos 2AM AD DM MAD AM AD +-∠=⋅2225252x x==⋅⋅ ∴异面直线AM 与BC 5 5 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题． 15.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且12n n a S +=n a =__________．【答案】21n -【解析】【分析】由题意得()214n n a S +=，当1n =时，解得11a =；当2n ≥时，()21114n n a S --+=，从而推出()()1120n n n n a a a a --+--=，则12n n a a --=，再根据等差数列的通项公式求解即可．【详解】解：∵1n a +=0n a >， ∴()214n n a S +=，当1n =时，()2111144a S a +==，解得11a =； 当2n ≥时，()21114n n a S --+=，则()()221111444n n n n n a a S S a --+-+=-=， ∴()()1120n n n n a a a a --+--=，∴12n n a a --=，或10n n a a -+=（舍去）， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()12121n a n n =+-=-， 故答案为：21n -．【点睛】本题主要考查数列的递推公式，考查定义法判断等差数列，考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．16.已知抛物线216y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线和圆()2244x y -+=于A ，B ，C ，D 四个点，设()11,A x y ，()22,D x y ，则12x x =__________；4||9||AB CD +的最小值为_______． 【答案】 (1). 16 (2). 74 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线l 的方程为4x my =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案． 【详解】解：由题意得()4,0F ，准线方程为4x =-， 圆()2244x y -+=的圆心为()4,0F ，半径2r =，由题意设直线l 的方程为4x my =+，联立2164y x x my ⎧=⎨=+⎩消元得216640y my --=，∴1216y y m +=，1264y y =-，∴()()121244x x my my =++()21212416m y y m y y =+++16=，121244x x my my +=+++()128m y y =++2168m =+，由抛物线定义可得4||9||AB CD +()()4292AF DF =-+-4926AF DF =+-()()12449426x x =+++-124926x x =++1224926x x ≥⋅12122674x x ==，当且仅当1249x x =且1216x x =即16x =，283x =时等号成立， 故答案为：16，74．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos cos ,m A B a b =+v，()sin sin ,n A B a b =-v ，若1(,)2m n a -=v v .（1）求角C 的弧度数；（2）若47c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23π；（2）83【解析】【分析】（1）由题意可得1cos cos sin sin 2A B A B -=，2a b =，根据两角和的余弦公式及三角形内角和即可求出答案；（2）由余弦定理及2a b =可得8a =，4b =，再根据面积公式即可求解．【详解】解：（1）由题意，()1cos cos sin sin ,2(,)2m n A B A B b a -=-=u r r ，∴2a b =，1cos cos sin sin 2A B A B -=，∴1cos()cos 2A B C +=-=，∵0C π<<，∴23C π=；（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且2a b =， ∴222111244()2b b b =+-⨯-， ∴8a =，4b =，∴11sin 84222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，考查向量相等，考查两角和的余弦公式，属于基础题．18.2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在[]0,6内）（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在[]5,6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.【答案】（1）女生，理由见解析；（2）815【解析】 【分析】（1）列出女生周日活动时间频数表，对比男生和女生活动时间频数表即可得出结论； （2）运用古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】解：（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生， 理由如下：列出女生周日活动时间频数表 活动时间 [1,2)[23)，[3,4)[45)，[56]，频数 6712104对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：活动时间在2小时及其以上的男生有22人，女生有34人； 活动时间在3小时及其以上的男生有15，女生有26人；都是女生人数多于男生人数，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；（2）被抽到的80学生中周日活动时间在[56]，内的男生有2人，分别记为A ，B ，女生有4，分别记为a ，b ，c ，d ，从这6人中抽取2.共有以下15个基本事件，分别为：AB ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ；其中恰为1男1女的共有8种情形， 所以所求概率815P =． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，M 在棱PD 上，且35PM PD =，在底面ABCD 中，10BA BC ==，5DA DC ==，2AC =，O 为对角线AC ，BD 的交点.（1）证明：OM P 平面PBC ；（2）若2PA =，求三棱锥M PBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）由题意BAC ∆，DAC ∆都为等腰三角形，故对角线AC BD ⊥，从而可证出23DM DO MP OB ==，借助线面平行的判定定理即可得出结论；（2）由（1）可知：点M 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离，所以三棱锥M PBC -的体积等于三棱锥O PBC -的体积，由此即可求出答案．【详解】（1）证：在底面ABCD 中，BAC ∆，DAC ∆都为等腰三角形，故对角线AC BD ⊥， 所以223BO AB AO =-=，222OD AD AO -=，由M 在棱PD 上，且35PM PD =知：23DM MP =， 所以在PBD ∆中有23DM DO MP OB ==，所以//OM PB ， 又OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以OM P 平面PBC ；（2）解：由（1）可知：点M 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离， 所以三棱锥M PBC -的体积等于三棱锥O PBC -的体积， 而PA ⊥平面ABCD ，所以三棱锥O PBC -的高2h PA ==，所以11321132M PBC P BOC V V --==⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥M PBC -的体积为1．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP P ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】 【分析】（1）依题意可设2(,)b P c a -，则有22221122OPAB POB b bk k ac a S bc b c a ∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解出即可；（2）分类讨论，当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===g g g ； 当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出MN ，ST ，再根据面积公式12S MN ST =g 以及基本不等式即可求出答案． 【详解】解：（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===g g g ； ②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， ∴12222k y y k +=+，12212y y k -=+，∴MN ==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴12S MN ST =g ()()()22228112221k k k +=++g ()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 21.已知函数()222ln f x x kx x =-+（k R +∈）.（1）当k =()f x 单调性；（2）若()()11221()()4x H f x f x H x =-≥，（1x ，2x 为()'f x 的两个零点，且12x x <）求k 的取值范围.【答案】（1）()f x在1(0,)2<和1(,)2+∞上单调递增，在11)22，上单调递减；（2）5[,)2+∞ 【解析】 【分析】 （1）当k =（2）求导得()22222'22x kx f x x k x x-+=-+=，由题意知方程22220x kx -+=在(0,)+∞上有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），由此可得2k >，根据韦达定理化简变形得12112122()2ln x x x xH x x x x =-+，令12(0,1)x t x =∈，则()12ln H t t t t=-+，求导后根据导数研究函数的单调性，从而得出104t <≤，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】解：（1）当k =()2'2f x x x =-=令()'0f x >，解得0x <<或x >， 令()'0f x <，解得1122x <<， 所以()f x在1(0,)2<和)+∞上单调递增，在11)22，上单调递减； （2）()22222'22x kx f x x k x x-+=-+=，由题意知方程22220x kx -+=在(0,)+∞上有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），所以2121240010k x x k x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得2k >，()()1122()x H f x f x x =-()()()2212121222ln ln x x k x x x x =---+- ()()()()221212121222ln ln x x x x x x x x =--+-+-()2221122ln ln x x x x =-+- 222111222ln x x x x x x -=+2111222ln x x x x x x =-+， 令12(0,1)x t x =∈，则()12ln H t t t t=-+， ()212'1H t t t =--+2221t t t -+=-()2210t t-=-<， 所以()H t 在(0,1)上单调递减，又()1()4H t H ≥，所以104t <≤，而221212()x x k x x +=12212x x x x =++12524t t =++≥，当且仅当14t =等号成立 即52k ≥， 综上：实数k 的取值范围为5[,)2+∞．【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，属于难题． 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求23πα=时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，点P 的直角坐标为()1,2，求||||PA PB +的最大值. 【答案】（1）C ：2220x y y +-=， l20y +=；（2） 【解析】 【分析】（1）把2sin ρθ=两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，由直线l 的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t 的几何意义求解．【详解】解：（1）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，当23πα=时，直线l 20y +=； （2）把直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入2220x y y +-=，得()22sin 2cos 10t t αα+++=，()122sin 2cos t t αα+=-+，121t t =，则1t 与2t 同号且小于0，由()22sin 2cos 40αα∆=+->得：2sin 2cos 2αα+<-或2sin 2cos 2αα+>，∴()12||||PA PB t t +=-+2sin 2cos αα=+)4πα=+，∴||||PA PB +的最大值为【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于中档题． 23.已知函数()|1|||f x x x a =-++，()|2|1g x x =-+. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),32,-∞-+∞U ；（2）(][),20,-∞-+∞U ． 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义解出即可；（2）由题意()1f x 的值域为[|1|,)a ++∞，()2g x 的值域为[1,)+∞，根据[|1|,)a ++∞[1,)⊆+∞解出即可．【详解】解：（1）当2a =时，|1||2|5x x -++≥， 由绝对值的几何意义得3x ≤-，或2x ≥， ∴()5f x ≥的解集为(][),32,-∞-+∞U ；（2）由题意可知：()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，()1f x 的值域是：[|1|,)a ++∞，()2g x 的值域为：[1,)+∞，∴|1|1a +≥，解得：0a ≥或2a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][),20,-∞-+∞U ．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查集合的包含关系，属于中档题．。
【5月15日百强校重庆一中高三月考文数】重庆市第一中学2020届高三下学期5月月考文科数学试卷含答案
方程为（ ）
A． x2 y2 1
B． x2 y2 1 2
C． x2 y2 1 23
D． x2 y2 1 33
5．数列an 满足 a1 1， a2 3 ， an1 2n an n 1, 2, ，则 a3 （ ）
A．5
B．9
C．10
D．15
2x y 2≥0
6．设变量
x
A． a≥1
B． a≤1
C． a≥ 3
D． a≤ 3
3．当 0＜x＜1时，下列大小关系正确的是（ ）
A． x3＜3x＜log3 x
B． 3x＜x3＜log3 x
C． log3x＜x3
4．已知双曲线 C 的中心为原点，点 F 2 , 0 是双曲线 C 的一个焦点，点 F 到渐近线的距离为 1，则 C 的
13．已知 b 为实数， i 为虚数单位，若 2 b i 为实数，则 b ________． 1i
2
14．已知正项数列an 的前
n
项和为
Sn
，若以
an
,
Sn
为坐标的点在曲线
y
1 2
x
x
1
上，则数列an 的
通项公式为________．
15．在△ABC 中， AB AC AB AC ， AB 2 ， AC 1 ， E 、 F 为 BC 的三等分点，则 AE AF
（参考数据： sin15 0.2588 ， sin 7.5 0.1305 ）
A．12
B．18
C．24
D．32
11．已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点（点 A 在第一象限），若 AF 3FB ，则直
线 l 的斜率为（ ）
2020年1月数学全国卷高三1月联考 文科数学全解析
A. 6 25%B. 5 5% 6.已知'=(§) %=(-2)—1,c =log2 3’则& 10. 25% D. 31.25%A. a V b V cB. cVb $a 5若『/满足约束条件'十K2；则&=4#1$的最大值为)#11&0, A —B —1& 5D. 68.已知函数,(#) + —'sin 3#1'1*(〉0,# + R)的值域为［ — 5,3'函数 g(#) +*—cos 则)g （工）的图象的对称中心为 A . ( 4，—5)(. + ")& ( f,—4)(+")B , ((#十8，—5)( + ")D, ((#1 #，—4)(. + )数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第"卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容:高考全部内容.第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1. 设集合"=｛#|$ = ln （#—1）｝ ,B = （ x\y =槡 4—#2 ｝，则 A #B =A .[1,2]B . [1,2） C. （1,2] 2. 已知复数&满足&（11i ） + 2i,则复数&的虚部是A1 B &i 3. 已知向量a =（4,—3） ,= （ —1,2）,,的夹角为们则sin !=A. § B . '槡C. *2534. 若各项均为正数的等比数列满足«3+3«1+2fl 2测公比g =A. 1B. 2C. 3 5. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位:万元）如 图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为D.(1,2) D . —i D 2槡55D.4图135%- 30%- 25% 20%- 15%- 10%- 5% 0图29.过双曲线的右焦点F作双曲线/的一条弦AB, O F"+F%=#,若以AB为直径的圆经过双曲线/的左顶点，则双曲线/的离心率为（）..槡 B.槡 C.2 D. V510.在三棱锥P—ABC中1A丄平面ABC,AB + 2,AC+3,/BAC+120；D为线段B/上的动点.若PC与底面ABC所成角为30。