测度论的知识要点与复习自测
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合.空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}·元素与集合的关系:x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合,也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B=｛x｜ x A且x B｝并:A B={x｜ x A或x B｝差：A\B(或写成A—B）=｛x｜ x A且x∉B｝补：=U\A（U是问题要研究的全集)于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={（x,y）| x A且y B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。
④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=;若为递减列，则有=.1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f（x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y.像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ x A｝记为f(A），显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
第三章_测度论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m I m (I E) m (I E c )
(1)
反之，如果存在某个开区间I，使上式不成立，则E自然不应该属于
定理： 有界集E可测的充要条件是：对任何一个
集合A都有 c m A m ( A E) m ( A E )
复习 中点集的测度
n
一、外测度（外包） 作开集序列G1 G2 „ Gn „ E * 则m E inf mGn inf I i Ii E (1) m* E总存在 * (2) 0，开集G E，使得mG m E 二、内测度 m*E I m* (I E) 内填：作闭集序列F1 F2 „ Fn „ E
*
而G是开集，它是可测的 m*G mG c c G (G E) (G E )且(G E) (G E )= * * * c m G m (G E) m (G E ) (3) 将(3)代入(1) m* A m* (G E) m* (G E c ) m* ( A E) m* ( A E c ) * * * c 令 0，有 m A m ( A E) m ( A E ) * c 由(1),(2)知 m A m ( A E) m ( A E )
第三章 测度论
引言
§1 外测度 §2 可测集 §3 可测集类
引言：
19世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的
局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积
分定义。注意到黎曼积分与长度、面积、体积等度量有密切的关系，所 以积分概念的推广，自然要想到对Rn中的点集给于一种度量，使之成
第三章 测度论
第三章 测度论教学目的：1.掌握外测度定义及其性质.2.掌握可测集及其性质. 重点难点：要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.引 入Lebesgue 测度是长度、体积、重量的推广，对于区间],[b a ，a b -是区间长度，对于矩形 ，ab S =是面积.问题:对任意一个集合R E ⊂,能否定义一个“长度”的概念?不妨记其为E ,这就是本章的内容.上一章我们由个数推广到基数,由开区间推广到开集,此处如何推广?对两个区间 ,其“长度”为每个区间长度之和,三个区间类似,那么可数个区间呢?如开集),(1n n n b a G ∞== ,则长度∑∞=-=1)(n n n a b G (长度允许无穷大)可见开集可以定义长度.到此为止并不满意,因开集、闭集都行,但一般集合怎么办?如何定义 “长度”? 即:要考虑对任意集E ,?=E 希望nn E E ∞==1 ,n E E ∑=,而且定义的长度需满足一定的条件,如空集φ的长度为0等等.为此先介绍广义实数. 称λ为一个广义实数,如果R ∈λ或+∞=λ或-∞=λ.即广义实数全体就是在R 中加入了两个新“数”∞+和∞-.(i)广义实数的加法和减法: 若R a ∈,规定±∞=+±∞=±∞+a a )()(; ∞=±∞- )(a ;±∞=-±∞a )(; ±∞=±∞+±∞)()(;±∞=±∞+±∞)()(没有意义. (ii) 广义实数的乘法和除法: 若R a ∈,规定[]][2a 1b 1a 2b⎪⎩⎪⎨⎧∞∞±=⋅±∞=±∞⋅0)()( a a 000=<>a a a(注意此处不要与数分中不定式∞⋅0混同,0lim =n x , ±∞=n y lim ,那么?lim =n n y x 不确定,但此处的∞±指广义实数而不是变量) ;±∞=±∞⋅±∞)()(;-∞=∞⋅±∞)()( ;01=∞±;)(1±∞⋅=∞±a a )0(≠a (iii)广义实数的大小关系:规定+∞<∞-,此外对任何实数R a ∈,+∞<<∞-a .§3.1 引言若I 是一个有界区间,则I 的长度定义为它的两个端点的距离,记为)(I l ;若I 是一个无界区间,则定义I 的长度为∞,也记成)(I l .这样()()1)1,0(]1,0[==l l ,()∞=-∞]0,[l ,()∞=+∞],1[l .我们的目的是希望把上述仅对区间有定义的长度概念推广到更一般的实数集上去.不妨设上述的长度概念推广到R 上的一个集族Ω上.对任何Ω∈E (即E 是R 的一个子集),我们把它的长度记为)(E m .对Ω,我们希望满足下面三个条件:)(1Ω所有区间都是Ω中的元；)(2Ω若Ω∈E ,则Ω∈-=E R E c ；)(3ΩΩ中任意至多可数个元的并是Ω中的元.而对m ,我们希望它满足下面三个条件:)(1m 对每一个Ω∈E ,)(E m 是一个非负广义实数,即)(E m 或者是一个非负实数,或者是∞；)(2m 对每一个区间I ,)()(I l I m =；)(3m 若{}1≥n n E 是Ω中任何一列两两不相交的元,则)()(n n E m E m ∑= .注:),(m Ω是一起出来的,是一个关系.显然Ω可以构造,如Ω是R 的子集全体,但无m 满足的三条)(1m ～)(3m .现在R 上随便拿一个集合E ,有开集包含它(如取R G =),则)()(G m E m ≤,而对于开集G ,我们知道∑∞=-=1)(n n n a b G ,所以≤)(E m ∑∞=-1)(n n na b,于是)(E m 可以定义为∑∞=-1)(n n na b的下确界,即包含E 的所有开集G 的长度的下确界.这是一种办法.还有另一种办法:对任意集合R E ⊂,可否拿来闭集F ,使F E ⊃?可以(如取E 中一点作为F ),则)()(E m F m ≤.这样,所有包含在E 里的闭集F 的长度取上确界得)(E m .但G E F ⊂⊂所定义的长度是否满足三条)(1m ～)(3m ?若)(F m 的上确界与)(G m 的下确界相等,则由两边夹就可能定义)(E m .§3.2 Lebesgue 外测度外测度即)(G m 的下确界. 对R E ⊂)(*E m {}nn n n n n I E I I l ⊂∑=≥是一列开区间并且1}{:)(inf称为E 的Lebesgue 外测度,其中)(n I l 是开区间n I 的长度 (由于开集G是至多可数个两两不相交的开区间的并,所以以上直接用开区间.(我们希望)(*E m 就是前面的m ,满足三条,但不行) .例:设{}1≥n n r 是有理数全体(即{}1≥=n n r Q ),求)(*Q m .解:任取0>ε,)2,2(11+++-=n n n n n r r I εε,则nn I Q ∞=⊂1 ,εε=∑=∑∞=∞=nn n n I l 2)(11所以)(*Q m ε=∑≤∞=)(1n n I l由ε的任意性, 0)(*=Q m .可见,从测度(长度)的观点来说,虽然Q 密密麻麻,但其外测度却是0.由上例可知，R 中任何至多可数子集的外测度为0。
第三章测度论
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 nE R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E = 思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =+⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
测度论
第一章 测度论在本章中，我们将回忆从测度论得出的一些定义和结论。
我们这里的目的是为那些之前还未了解这些概念的读者进行介绍，并对已了解的读者进行复习。
更难的证明，特别是那些对直接证明没太大帮助的，都隐藏在附录中。
在测量论有较强基础的读者可以跳过1.4、1.5和1.7节，这些在先前部分的附录已有。
1.1 概率空间在本书中，术语的定义被设置为粗体。
我们从最基本的数量开始。
概率空间是一个三维空间(,,)F P Ω，这里Ω是指“结果”的集合，F 是指“事件”集合，P 是指[0,1]F →一个指定事件概率的函数。
我们假设F 是一个-σσ-空间（或代数），即Ω的一个非空子集，满足以下性质：（ⅰ)如果A F ∈，则cA F ∈（ⅱ)如果i A F ∈是一个可数集序列，则i iA F ∈在这里，可数意味着有限或可数无限。
由于()c ci i iiA A = ，这表明σ-空间在可数交叉部分是封闭的。
我们忽略了过去定义的属性以使他更容易检查。
除去P ，(,)F Ω可被称为可测空间，即我们可以进行测量的空间。
测度是一个非负可数附加集合函数，那就是一个函数:F R μ→ 满足以下条件：（ⅰ）,()()A F A μμφ∀∈≥（ⅱ）如果i A F ∈是一个可数序列互不相交的集合，则()()iiiiA A μμ=∑如果()1μΩ=，我们称μ是一个概率测度。
在这本书中，概率测度通常用P 表示。
接下来的结论给出一些测度的定义的结果，这些我们以后要用。
在所有的情况下，我们假设我们提的所有集合都在F 内。
定理1.1.1 设μ是一个定义在(,)F Ω上的测度，则 （ⅰ）单调性：若A B ⊂，则()()A B μμ≤（ⅱ）次可加性：若1mm A A∞=⊂，则1()()mm A A μμ∞=≤（ⅲ）左连续性：若12()i iiA A A A A A ↑⊂⊂= 即且,则()()iA A μμ↑(ⅳ)右连续性：若12()i iiA A A A A A ↓⊃⊃= 即且，且1()A μ<∞,则()()iA A μμ↓证明：（ⅰ）设cB A B A-=⋂是两个不同的集合，用+表示不相交的集合的和，()B A B A =+-，所以()()()()B A B A A μμμμ=+-≥（ⅱ）设''11,nn A A A B A=⋂=，且对1''11,()n cn nm m n B A A -=∀>=-因为n B 是互不相交的，是与A 互补的，我们已经使用了测度定义的条件（ⅰ）且m m B A ⊂，且由（ⅰ）知，11()()()m m m m A B A μμμ∞∞===≤∑∑（ⅲ）设1n n n B A A -=-，则n B 两两不相交，且1mm BA ∞== ，1nm n m B A == 所以11()()lim ()lim ()nm m n n n m m A B B A μμμμ∞→∞→∞=====∑∑（ⅳ）11n A A A A -↑-，所以由（ⅲ）知11()()n A A A A μμ-↑- 因为1A B ⊃，我们已知11()()()A B A B μμμ-=-，且得出()()n A A μμ↓最简单的情况，它应该和本科中所学的概率相似。
测度论基础知识
4、独立同分布下的中心 极限定理
P 208 例4.1.5 P 209 2、 4(1)、 13 P 217 2、 4、 7、 13 P 225 10、 14、 19、 20 P 237 1、 9、 15
测度论基础知识
1、集合
集合：按照某种规定而 能识别的一些具体对象 或事物的总体. 通常用A,B,C,…表示.
4、De Morgan公式：
( A B) A B , ( A B) A B
c c c c c c
(A ) A
c c
对于集合序列
1、对集合序列 { An，n 1}，称 An为{ An }的
k 1 n k
上极限集, 记为lim An或 lim sup An ,即
1、设随机变量 X的密度函数为 1 | x | p( x ) e , x 2 2X与| X | 是否独立？ 1X与| X | 是否不相关？
2、设二维随机变量 ( X,Y )的密度函数为 1 p( x,y ) 1 ( x,y ) 2 ( x,y ) 2 其中1 ( x,y)和 2 ( x,y)都是二维正态密度函数 , 且它们 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和 .它们的 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学期望都 是 0，
n
lim An lim sup An An n
n
n
k 1 n k
2、对集合序列 { An，n 1}，称 An为{ An }的
k 1 n k
下极限集, 记为lim An或 lim inf An ,即
n n
lim An lim inf An An
教学大纲_测度论
《测度论》教学大纲课程编号：120502B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2适用对象：经济统计学、统计学先修课程：数学分析、概率论毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题；2.可以建立统计模型，获得有效结论；3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用；4.关注国际统计应用的新进展；5.基于数据结论，提出决策咨询建议；6.具有不断学习的意识；7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系；8.计算机编程技能与经济学基本常识。
一、教学目标测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。
其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。
本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。
通过本课程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。
（二）教学方法和手段教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。
（三）考核方式开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。
（四）学习要求课上听讲，并独立完成课后作业。
三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一节集类1.集合代数2.集合代数的结构第二节可测空间1.西格玛代数2.可测空间的结构第三节单调类定理1.单调类2.单调类定理教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。
课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。
测度论与概率论第一章第一节基本概念(版本14.5.28)
∞
∞
∞
ω ∈ ∩∪ Ak
n =1 k = n ∞
， 对 ∀n 都 有 ω ∈
∞
∪A
k =n
k
， 所 以 ∃n k (ω ) ≥ n ， 使 ω ∈ Ank ω ， 从 而 知
( )
ω ∈ lim An , ∩∪ Ak ⊂ lim An ，故 lim An = ∩∪ Ak 。
n →∞ n =1 k = n n →∞ n →∞ n =1 k = n
∞
∞
（2）任取 ω ∈ lim An ，由注 1.1.2 知，对 ∀n ， ∃n k (ω ) ≥ n ，使 ω ∈ Ak , k ≥ n k (ω ) ≥ n ，
n →∞
故
ω∈
∞
∩
k = nk (ω )
Ak ⊂ (∩ Ak )∪ (∩ Ak )∪ ....∪ (
(E \ F ) ∪ (F \ E)
为 E 和 F 的对称差，记为 E ∆F 。 注 1.1.3 显然 E ∆F 是只属于 E 和只属于 F 的元素的集合。 注 1.1.4 对称差有如下常用的恒等式 （1） A ∩ B = (A ∪ B ) \(A∆B ) ； （2） A ∪ B = (A ∩ B ) ∆(A∆B ) ； （3） A ∩ B = ( A ∪ B ) ∆(A∆B ) ； （4）当 A ⊃ B 时， A \ B = A∆B . 练习 1.1.2 试证注 1.1.4 中的各等式。 注1.1.5（集合组的非相交化）设有一组集合 A1 , A2 , ⋯ , An 或 A1 , A2 , ⋯ , An , ⋯ , 它们是基本 集 X 的子集。所谓集合组的非相交化，就是指将 A1 , A2 , ⋯ , An 或 A1 , A2 , ⋯ , An , ⋯ , 变换成
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第二章测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue外测度的知识要点：◊熟练掌握Lebesgue外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue外测度的特有性质：距离分离性）;◊会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：R n中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；◊特别注意零测集的含义和性质【如R n中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。
自测题：1、叙述只“中Lebesgue外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设Q n R n为有理点集，计算m*Q n0 ；（2）设E R n为至多可数集，计算m*E 0 ；3）设E, F R n，m*E 0，贝U m* F E m*F m* F E。
2、据理说明下面的结论是否成立：设 E R n，（1）若E为有界集，则m*E ；2）若m*E ，则E为有界集；（3）若m*E ，则E为无界集；4）若E为无界集，则m*E 。
3、设I R n为区间，证明：m*l I，其中I表示I的体积（注意I分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设P [0,1] R1为三分Can tor集，则m*P 0 ；（注意三分Ca ntor集的构造）（2）设f（x）为定义在[a,b] R1上的黎曼可积函数，G p（f）（x,y） y f（x）,x [a,b] R2，f （x）在[a,b]的图像，贝9 m*G p（f） 0 ;（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设E R n有内点，贝V m*E 0 ；（4）（外侧度的介值性）设E R1为有界集，m*E 0，则对任意0 c m*E，存在E1 E，使得，口*巳c ;（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设E R1,m*E 0,则对任意0 c m*E，存在E1 E，使得，m*E1 c。
（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）二、Lebesgue可测集的知识要点：◊熟练掌握Lebesgue可测集的卡氏定义（即定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的A E和B E c，总有m* A B m*A m*B ），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；◊熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断(5)mlim E k lim m( E k ) lim mE k ；kki kk集合的可测性；◊记 E R n E 是可测集，则◊熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在 证明中所起的作用；◊熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是 R n 中的可测集）（1） 设E i , 设E i , 2c c ，其中c 为连续基数；理解对单调递减的可测集列为什么要E 2， -，E m 为互不相交的可测集，则mmm E i mE i （有限可加性）；i 1i 1E 2，，E m 为可测集（注意没有互不相交的要求），则mm E ii 1i(2) 设E i ,E2， - ， Ek ， mmE i （次有限可加性）。
i 1-为互不相交的可测集，则(3) (4) 设E i , m^E k mE k （可数可加性）；k 1E 2，，E k ，-为可测集列（注意没有互不相交的要求），则m E kmE k （次可数可加性）。
k 1k 1差集测度的关系（注意思考：条件“ mE ”的作用） 设E和G 都是可测集，且E G ，贝U① mG m （G E ） mE ； ② 当 mE 时，m （G E ） mG mE 。
设E 和G 都是可测集，则① mG m （G E ） mE ； ② 当 mE 时，m （G E ） mG mE 。
单调可测集列测度的极限性 （注意思考成立的条件）设E k 为单调递增的可测集列，m lim E km k设E k 为单调递减的可测集列,k1Ek kimmE k；且存在E k 0，使得mE k 0，则m lim E k一般可测集列测度的极限性设E k 为可测集列，则m k1E k k immE k。
① mIjm E klim m( E k )ki klim mE k （关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）;k②若存在k 0,使得m ik 0E i，则③若lim E k E存在，且存在k o,使得mE© ，则lim mE k存在，且k kk immE k mE。
（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设A R p为可测集，B R q为可测集，则A B为R p+q上的可测集，且m（A B） = mA mB。
自测题：1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“ mE ”的作用）设E,G R n（1）若E和G都是可测集，且E G ,则①mG m（G E） mE ；②当mE 时，m（G E） mG mE。
（2）若E和G都是可测集，则①mG m（G E） mE ；②当mE 时，m（G E） mG mE。
（3）若E和G不是可测集，则①m G m （G E） m E ；②当m*E 时，m*（G E） m*G m* E。
2、利用1和可测集的性质证明：（1）设E,G R n都是可测集，则m G E m G E mG + mE ；【注意：m G E G E G E】（2）利用（1）和等侧包定理证明：设E,G R n（不必为可测集），则m* G E m* G E m*G + m*E。
3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明：（1）设P [0,1] R1为三分Cantor 集，则mP 0 ；【注意：三分Can tor集的构造P [0,1] 口（廿,）），其中I"（i 1,2,|||,2n1）为Cantor集的构造过程中第n步去掉的长度均为丄的幵区间】31（2）对于任意给定正数0 a 1,不改变Can tor集的构造思想，只是将在Can tor集的构造过程中每一步去掉的幵区间分别换为长度分别为撐，釁，宁，川,坍屮I 的幵区间（比如第n步换为去掉2n1个长度都为守的互不相交的幵区间），并记这样得到的集为P0（称为类Cantor集或一般Can tor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：mF0 a。
4、证明一般可测集列测度的极限性：设E k为可测集列，则①mlim E k lim m( E k ) lim mE k (关于测度的 Fatou 定理【入不敷 ki k出】）;② 若存在k o ，使得m E j，则i komlim E k lim m （ E k ） lim mE k ；kki kk③ 若lim E k E 存在，且存在k o ，使得mE©，则lim mE k 存在，且k7klim mE k mE 。
k④ 若 m *E k，则lim E k 和ljm E k 都是零测集。
k 1kL三、可测集的结构的知识要点：◊ R n 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，F 型集,G 型集，Borel 集。
◊熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）：（1） 对任意E R n ，E 与G 型集的关系（等测包定理）; （2） 可测集与开集的关系，可测集与 G 型集的关系； （3） 可测集与闭集的关系，可测集与 F 型集的关系。
自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题： （1）如何将一个G 型集表示成一列单调递减的开集的交集 2）设E R n ，则存在一列单调递减的开集列G k ，使得，对每一个k 1，（3）设E R n 有界，则存在一列单调递减的有界幵集列 G k ，使得，对每一个 k 1，注: （2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。
2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明： 设E k R n （ k1,2,川）为一列单调递增的集列，每个 E k 不必为可测集， 则（1）存在一列单调递增的G 型集G k （ k 1,2,川），使得，对每一个k 1，*E k G k ，且 m E k mG k ；1 一kE*mkG mG k m ^H kkG n mG k m ^H kE m ^Hk（单调递增集列的外侧度的极限性质）。
3、试证明可测集与幵集和闭集的下面的关系（ 致的关系）：设E R n 是可测集，则可测集与幵集和闭集的更细kGm(2) |im m E k mE kC m , x 1,2,川,m )都为常数，E i(x)为E 为全集时E i 的示性(特征)函数, 则称f 在可测集E 上的一个非负简单函数。
试利用4 “可测集的直积的可测性及测度的计算公式”解决下面的问题：设f 是按定义2定义的可测集E 上的非负简单函数，G p f,E 的含义如定义1,则(1) G p f,E ^E i [0,C i )，其中 E i [0,C i ) ( i 1,2,|||,m )互不相交;(2) G p f,E 是R 2上的可测集；m(3) mG p f, E c mE i 。
i 1四、记住一个在构造反例时有用的结论：对任意E R n ，只要m *E 0 ,则存在巳 E , 使得巳为不可测集(即R n 中一定存在不可测集)。
自测题： 据理说明：(1)为什么R n 中的零测集中一定不存在不可测子集(1) 对任意的 0,存在幵集m G (2) 存在一列单调递减的幵集 口1 E G k ，m G k Ek(3) 存存在一列单调递增的闭集口 1 F k E ，.且 m E F k k4、试利用可测集的结构和幵集的结构证明 的计算公式”，即,设A R p 为可测集，B 测集，G ，使得E G ，且E ；G k ( k 1,2，卅),使得，对每一个k 1 ,F k ( k 1,2,||| ),使得，对每一个 k 1 ,“ 可测集的直积的可测性及测度R q 为可测集，则A B 为R p+q 上的可mB oR 1为可测集，记 y f(x)R 2，m(A B) = mA5*、定义1 :设f : E [0,)，其中EG p f ,E (x, y) x E,0则称G p f,E 为非负实函数f 在E 上的下方图形(相当于数学分析中定义在[a,b] 上的一元非负函数所构成的曲边梯形)定义 2 :设E R 1为可测集，且E )E i ，其中 E i ( i 1,2,|||,m )都是 R 1 中的可测集, 定义f : E且互不相交(E [0,)如下：^E i 称为可测集E 的一个有限不交的可测分解),现f(x)G, x C 2, x IE 1E 2C 1h mE 1(X )C 2 E 2(X )屮 C m E m(X )l C E i(x) , X E,1E m|||,m )都为常数,其中c 02）为什么R n中的不可测集总有外侧度，且外侧度一定大于零3）为什么R n中的不可测集一定是不可数集。