高等概率论
高等概率论
高等概率论第一章：测度与积分第一节：集族与测度(Ω,Φ,μ)---------测度空间①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体②Φ----------------σ代数（域）-------由Ω的一些子集组成σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数③μ：Φ+→R （[0,1]）集函数（是Ω的元素的一种测度或度量）例：Ω=[0,1].（a,b]?Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集，I 为区间，()I μ=I 的长度，Φ=B （[0,1]）=()σε--------包含ε的最小σ代数，[0,1]ε=中的一切开集测度的唯一扩张定理,{:()}n x x ωξω?∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数({})a b μξξ<≤---的分布①..()lim ()n x a e μξωμ→∞几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛（弱收敛）②ξ是一维可测函数，积分ξωμωΩ（）d ()-------数学期望积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞→∞ΩΩ=??Fatou 引理，Levy 引理记号、述语：大写英文字母表示Ω的子集（事件）花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类（集类，集族）AαBβXχ?δEεΦφΓγHηIι??KκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυ??ΩωΞξψψZζ 某集类对某种运算封闭：如A 对可数并封闭指：对?A1，A2，…A n ∈A ，则1i ∞=A i ∈A第二节：集族与测度1. 集合序列的极限设1,2,...,,...,A A An ?Ω111limsup {:}{,,...,}x K k k K k n kAn n An X A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω?∈== 可数个不同的，使至少一个发生111lim inf {:}{,,...,}x k k k k n kAn n An A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∈== 除有限个以外，都发生关系：lim inf lim sup n n An An →∞→∞如果lim inf lim sup n n An An →∞→∞=，称{}An 的极限存在，记为lim x An →∞特例：单调上升集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=单调下降集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=例：A,B 是Ω的两个子集，221,,1,2,n n A A A B n -=== ，则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞→∞==11((1),1(1))nn An n n=-+-，则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞==11(,1)(0,1)2211(,1)(0,1)22n n n n An Bn =-↑=-+↓2几种常用集类的定义：①A 称为一个π类：如果A 对有限交封闭②?称为一个λ类：如果：(a).ω∈ ?;(b). ?对真差封闭：若,A B ∈?,且A B ?,则B A -∈? （c ）?对单调上升（下降）集合列的极限封闭③环A ：如果A 对有限并、差运算封闭（交：()A B A A B =-- ）④代数Φ：如果Φ是环，且Ω∈Φ0（代数对一切有限次运算封闭）⑤σ环A ：如果A 对可数并、差运算封闭（?可数交封闭，极限运算封闭）⑥σ代数（域）Φ：如果Φ是σ环，且Ω∈Φ（σ代数对一切可数次集合运算封闭）⑦单调族M ：如果M 对单调上升（下降）列的极限封闭，即：如果An ∈M ，且An ↑，则1n An ∞=∈ M如果An ∈M ，且An ↓，则1n An ∞=∈ M代数、且又是单调族σ?代数π类、且又是λ类σ?代数A 是任意集类，分别称λ（）A ，σ（）A ，M （A ）是由A 生成的最小λ类，最小σ代数，最小单调类。
高等数学概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论 高等院校概率论课件JXHD2-~1
§2.3 连续型随机变量及其分布一. 连续型随机变量的概率分布二. 三种常用分布一. 连续型随机变量及其分布定义2-4 注1：连续型v r .X 的分布函数)(x F 是连续函数。
注2：概率密度)(x f 具有如下性质：（1）0)(≥x f ；（2）⎰∞+∞-=1)(dx x f ；（3）⎰=-=<≤21)()()(}{1221x x dx x f x F x F x X x P ；若v r .X 的分布函数)(x F 可表示成 ⎰∞-=xdu u f x F )()( （2-7）其中)(x f 为一非负可积函数，则称X 为连续型v r .，)(x f 称为X 的概率密度(或概率分布、分布密度)。
（4）若)(x f 在x 点连续，则)()(x f x F ='。
由（2-8）式知，若不计高阶无穷小，则有 xx f x x X x P ∆=∆+<≤)(}{即X 落在小区间),[x x x ∆+上的概率近似等于x x f ∆)(。
注3：若X 是连续型v r .，则R a ∈∀,0}{==a X P 。
结论：若A 是不可能事件，则0)(=A P ，反之不然。
}{b X a P <≤}{b X a P <<= }{b X a P ≤<=}{b X a P ≤≤=几种常用分布：（1）均匀分布:设随机变量X 在有限区间][b a ，内取值,且其分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他，，01)(bx a a b x f ,则称X在有限区间][b a ，上服从均匀分布,记为)(~b a U X ，。
其分布函数为（自行验证）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a a b ax a x x F ，，，10)(Uniform Distribution⎩⎨⎧≤>-=-0001)(x x e x F x，，λ 一般地,若随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x，，λλ其中0>λ为常数，则称X 服从参数为 λ的指数分布。
高等概率论
高等概率论作业一，高等概率论的发展历程现代概率论的研究方向和研究方法已经获得了极大发展，特别是近几十年，概率论和其他学科逐渐交叉结合，形成了一些新的学科分支和增长点，并且在科学研究和实际应用中都取得了突出成果。
这些成果的取得，都源于概率论公理化体系的建立。
概率论的发展历史一般分为四个时期：（1）萌芽时期（1653年之前），以统计数据为主要手段，分析贸易、保险、赌博、占卜等人类实际生活领域中的一些问题。
（2）古典概率论时期（1654-1811年），用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。
（3）分析概率论时期（1812-1932），用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研究连续型随机变量为主。
（4）现代概率论时期（1933年至今），以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础，研究方向呈现多元化。
20世纪30年代以来，因为概率论公理化体系的建立以及科学研究中的一些实际问题的推动，概率论得到了快速的发展，不断取得理论上的新突破。
目前主要研究方向有极限理论、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。
（1）极限理论极限理论主要研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性相关的问题。
20世纪30年代以后，随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列等情形，以及研究收敛速度问题。
近年来，由于统计物理学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。
自1951年唐斯克提出不变原理（随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的中心课题，普罗霍洛夫及斯科罗霍德在这方面做出了最主要的贡献。
1964年斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。
近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致了一些新的结果。
（2）独立增量过程人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松运动，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。
高等概率论与数理统计
高等概率论与数理统计
高等概率论与数理统计是一门数学分支学科，它研究的是随机事件的规律性、概率分布和随机现象的统计规律等。
该学科主要包括概率论和数理统计两个部分。
概率论是研究随机事件及其概率分布规律的数学理论，研究的对象是无法确定结果的随机现象。
概率论主要研究随机变量、随机事件、概率分布、随机过程等概念，以及概率的运算、概率分布的性质和随机过程的统计规律等。
数理统计是研究从已知数据中推断总体特征的一门学科，主要研究样本的统计量及其分布规律以及利用样本信息对总体参数进行估计和假设检验等问题。
数理统计主要包括描述统计和推断统计两个部分，描述统计研究如何对已知数据进行整理、总结和图形化展示，推断统计研究如何从样本中推断总体特征、进行参数估计和假设检验。
高等概率论与数理统计不仅是数学本身的一个重要分支，也是应用数学、统计学、经济学、物理学、生物学等其他学科中的重要工具和方法。
在实际中，它常用于风险评估、决策分析、统计模型的建立和检验等方面，对于随机现象的分析和预测具有重要意义。
高等概率论重要集类归纳
一、重要集类
(一)定义：
1.半域 ：
（1）
（2） ， B
（3）
2.域 ：
（1）
（2） ， B
3.
（1）
（2）对每个n
4.单调类 ：对任一集合序列{ }
（1）当{ }递增时，
（2）当{ }递减时，
5.
（1） ， B
6.
（1）
（2）A,B ,AB= ,A+B
（3）对递增数列{ }
(二)性质比较：
封闭
（定义）
封闭（证明2。5）
封闭（证明2。6）
封闭（证明2。6）
单调类
{ }单调时（证明3.1）
{ }单调时
（证明4.2）
{ }单调时（证明3.3）
{ }单调时（证明3.4）
{ }单调时（证明3.5）
{ }单调时（证明3.5）
封闭（定义）
属于（证明4。2）
属于（证明4.1）
封闭
（定义）
{ }两两互不相交时（定义）
有限交
有限并
A/B
上极限
下极限
半域
属于（定义）
属于（定义）
可表示为两两互不相交的集合的并（定义）
封闭（定义）
域
属于
（证明1。2）
属于（证明1。1）
封闭
（定义）
封闭（证明1。3）
封闭（定义）
封闭（证明1。4）
属于（证明2。2）
属于（证明2。1）
封闭
（定义）
封闭（证明2.4）
封闭（证明2.3）
封闭（证明2.4
{ ห้องสมุดไป่ตู้递增时（定义）
{ }递增时（证明4.3）
{ }递增时（证明4.3）
概率论高等院校概率论课件
应用场景
强大数定律在统计学中用于 估计极端事件发生的概率和 风险，在决策理论中用于评 估最优策略和期望收益，在 可靠性工程中用于分析系统 的可靠性和寿命。
注意事项
强大数定律的应用有一定的 限制条件，例如随机序列必 须是独立同分布的。此外， 强大数定律并不能保证每个 随机事件的绝对正确性，而 只是给出了最大值分布的稳 定性。
连续随机过程
如布朗运动，每一步都是连续 的，每一步的状态都是连续的
。
随机游走与布朗运动
随机游走
一个随机过程，其中每一步都是随机的，通 常用来描述粒子的无规则运动。
布朗运动
一种连续随机过程，由大量微小粒子在流体 中无规则运动产生，通常用来描述微观粒子 的运动。
马尔科夫链与马尔科夫过程
马尔科夫链
一个随机过程，其中下一个状态只依赖于当前状态，与过去状态 无关。
注意事项
大数定律的前提是试验次数必须足够多，并且随 机事件之间必须是独立的。此外，大数定律并不 能保证每个随机事件的绝对正确性，而只是给出 了频率趋于概率的稳定性。
强大数定律
总结词
强大数定律是概率论中的重 要定理之一，它描述了随机 序列中最大值的分布性质。
详细描述
强大数定律指出，对于任意 给定的正整数序列$a_n$和 $b_n$，有$lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n} = 1$的概率 为1。这个定理说明了随机 序列中最大值的分布具有很 强的稳定性。
随机变量的性质
随机变量具有可测性、可加性和有限 可加性。
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在样本空间中取有 限个或可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
高等概率论
高等概率论《高等概率论》是2009年科学出版社出版的图书，作者是胡晓予。
主要介绍测度的扩张定理和分解定理，Lebesgue—Stieltjes测度、可测函数及其积分的基本性质，还有乘积可测空间和Fubini定理等。
第二部分是第4～6章。
主要介绍独立随机变量序列的极限定理，包括中心极限定理、级数收敛定理、大数定律和重对数律。
在介绍中心极限定理之前，介绍了测度的弱收敛、特征函数以及相关结论。
这部分内容突出了经典的概率论证明技巧。
第三部分为第7、8章，介绍一些特殊的随机过程。
第7章介绍离散鞅论，第8章简单介绍了马氏链、布朗运动和高斯自由场。
《高等概率论》适合数学专业的研究生作为教材，亦可作为教师参考用书。
前言第1章测度与积分1.1 符号与假定1.2 集族与测度1.3 测度的扩张1.4 Lebesgue—Stieltjes测度1.5 Hausdorff测度和填充测度1.6 可测函数及其收敛性1.7 可积函数及积分性质习题1第2章测度的分解2.1 测度的Jordan—Hahn分解2.2 Radon—Nikodym定理2.3 Radon—Nikodym定理在实分析中的应用习题2第3章乘积空间上的测度与积分3.1 乘积测度3.2 Fubini定理3.3 无穷维乘积空间上的测度习题3第4章概率论基础4.1 符号与概念4.2 条件概率与条件期望4.3 Borel—Cantelli引理4.4 Kolmogorov零一律第5章中心极限定理5.1 测度的弱收敛5.2 特征函数5.3 Lindeber9中心极限定理5.4 无穷可分分布族5.5 二重随机变量序列的极限定理习题5第6章大数定律6.1 级数收敛定理6.2 大数定律6.3 kolmogorov重对数律习题6第7章离散鞅论7.1 鞅的基本概念7.2 鞅不等式和鞅的几乎处处收敛性7.3 一致可积性与鞅的Lp收敛性7.4 鞅的选样定理第8章随机过程选讲8.1 随机游动与马氏链8.2 布朗运动8.3 高斯自由场。
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立，由 sup E t , 知， sup E t /
tT tT
于是，当 时， p ( t ) E t / sup/ ,
tT
从而 E t I 对任何 t T 成立，即 sup E t I t 。 t
tT
lim sup E t I t 0 ，则称之为一致可积的。
从一致可积的定义可见：有限个期望存在的 r.v. 组成的 r.v. 族是一致可积的；如果 r.v. 族
t , t T 和 t , t T 都一致可积，那么对任何 a, b R ， a t bt , t T 也一致可积。
j 1 i 1 i i j
m
n
Bj
。 E ( X g ) 是一 g 可测随机变量，
满足： E E X g I B E XI B ， B g 条件期望的基本性质： （1） E E X g E X ;
（2）若 X 为 g 可测，则 E X g X a.s. ； （3）设 g 则 E X g E X a.s. ； ， ， （4） E X g E X g E X g a.s. ； （5） X Y a.s. E X g E Y g a.s. ； （6）设 c1 , c2 为实数， X , Y , c1 X c2Y 的数学期望存在，则
P
得E
nN
(
n
, ) 1
nN
E (
n
, ) 1 ,则
n a.s.。 N
不 成 立 ， 存 在 一 些 0 使 得 E ( n , ) 1 沿 着 一 个 子 序 列 如 果 n
j 1
m
E X IBj P( B j )
I
Bj
称 E X g 为 X 关于 g 的
条件数学期望。如果 ( Ai )1i n 是 的一个有限划分，且 Ai F ，1 i n ， X
n i 1 i Ai
aI
为一简单随机变量，则易知 E X g
a P( A B )I
tT
必要性：对任 A F 和 0 ，我们有
sup E t I A sup E t I A t E t I A t
tT tT
P ( A) sup E t I A t
tT
如 t , t T 一致可积，在上式取 A 并让 0 充分大使 sup E t I t 0 1 ，使得
设 An ,n 1为一列事件， （1）若
P( A ) , 则 A , i.o.) 0 ；
n 1 n n
（2）若进一步 An ,n 1为相互独立，则
P( A )
n 1 n
蕴含 P ( An , i.o.) 1 。
证明： （1）设
m
P( An ) , 由于 An ,n 1 An , 从而
EEX g 2 g1 EX g1 a.s. ；
（11）若 X 与 g 相互独立（即 ( X ) 与 g 相互独立） ，则有 E X g E X a.s. 关于条件期望，我们也有相应的单调收敛定理， Fatou 引理，控制收敛定理， Holder 不等 式及 Minkowski 不等式，它们的证明与第三章关于积分情形相应结果的证明类似。
i 1,2...
随机过程的定义：X X t , t T : R 当 T R 时，称为随机过程。 数学期望的定义：设 (, F , P ) 为一概率空间，在高等概率论中，我们称 F 中的元素为 随机事件，称 为必然事件， 上的 F 可测函数称为随机变量。若 关于 P 的积分存在， 则称积分
当且仅当每一个子序列 定理 1：设 , 1 , 2 , 是距离空间 ( S , ) 上的随机元，则 n
P P ） 。 N N 有子序列 N N 使得沿着 N 有 n a.s.（ n
，固定一个任意的子序列 N N ，则我们选择子序列 N N ，使 证明：假设 n
因此，对一切 k 1, 有
m 1 P ( An ) 1 P ( An ) 1 lim P ( An ) lim exp P ( An ) 0 m m nk nk nk nk
从而有
m
m
m
P( An , i.o.) P( An ) lim P( An ) 1
P ； （1） n n d
n ， a.s.常数。 （2） n
P d
三级数定理：设 1 , 2 , 是相互独立的随机变量序列，则
n P n 1 （1） n , a.s. 收敛 （2） n , 依分布收敛 （3） n E n 1收敛 n n n Var n ; n 1
T
,
X F / B ( R )T X i F / B ( R ) i T
dP
为 的数学期望，记为 E 。这与我们在初等概率论期望的定义不同，
它将期望的定义更一般完备化，直接定义为随机变量在其概率测度下的积分。 对这些基础概念定义的准确把握，为我们以后更好的学习概率知识打下了基础。 2.事件和随机变量的独立性及 0-1 定律 在初等概率论中，我们如下定义随机事件的独立，若其中任意有限个事件 Ai1 , Ai 2 ,... Aik 有 P ( Ai1 .... Aik ) P ( Ai1 ) .... P ( Aik ) ， n 族 随 机 事 件 族 1 ,... n 彼 此 独 立 ， 若 任 意
5.第五章主要介绍条件数学期望与条件独立性 条件概率的定义：设 (, F , P ) 为一概率空间， A 和 B 为两个事件，且 P ( A) 0 ，在 A 发生的条件下 B 发生的概率显然等于
P ( AB ) ，我们称之为 B 关于 A 的条件概率，记为 P ( A)
P( A B) 。
记 ( B j )1 j m 为 的一个有限划分，且 B j F ， P ( B j ) 0 ，1 j m 。令 g 为 ( B j ) 生 成的 代数。 对一可积随机变量 X ， 令E X g
一 致 可 积 的 充 要 条 件 ： sup E t , 并 且 对 任 给 0 ， 存 在 0 使 对 一 切 满 足
tT
P ( A) ，均有 sup E t I A ,
tT
证明 充要性：对任给 0 ，存在 0 使对任何满足 P ( A) ， sup E t I A , 有成
分布函数。 值得注意的是， X 的分布函数 F ( x ) 可唯一确定 X 的分布 PX ，并且给定一个分布函数
F ( x) ，也一定存在一个概率空间 (, F , P ) 及其上的随机变量 X 以它为分布函数。
随 机 序 列 的 定 义 ： X X 1 , X 2 , R ， X F / B ( R ) X i F / B ( R ) ，
Ec1 X c2Y g c1EX g c2 EY g a.s.
（右边和式有意义） （7） E X g E X g a.s. ； （8）设 0 X n X , a.s. ,则 E X n g E X g a.s. ； （9）设 X 及 XY 的期望存在，且 Y 为 g 可测，则 E XY g YE X g a.s. ； （10）（条件期望的平滑性）设 g1 , g 2 为 F 的子 代数，且 g1 g 2 ，则
tT
sup E t 0 1 从 而 sup E t 成 立 。 此 外 ， 对 任 给 0 ， 取 充 分 大 使
tT tT
sup E t I t / 2
tT
并令 /( 2 ) ，则对任何 A F ，只要 P ( A) ，则：
n 1
nk
P ( An , i.o.) P ( An ) P ( An ) 0, k .
nk nk
（2）设 An ,n 1相互独立.假定
P( A ) ，则对任何 m k 有
n 1 n
m m m m c 1 P ( An ) P ( An ) (1 P ( An )) exp P ( An ) nk nk nk nk
Ci i (i 1,2..., n) ， C1 ,...C n 独立。
在这 里我们应 当注意到 ， Ai1 , Ai 2 ,... Aik 独立 涉及 2 1 个等 式，因此 光两两独 立或
n
P ( Ai ) P ( Ai ) 是不够的。
i 1 i 1
n
n
Borel Cantelli 引理：
sup E t I A P ( A) / 2 ，即定理成立。
tT
4.第四章主要介绍了几种收敛性及定理， 在测度论的辅助学习下， 我们学习了几乎处处收敛， 依概率收敛和依分布收敛的定义以及三者之间的关系。 以下是几个重要的收敛定理， 这些定 理很好的揭示了三种收敛性之间的关系。
k 1 n k k nk
通过引入尾 代数及尾事件的概念，我们得到 Kolmogrov1 0律 ，即独立随机变量 序列的尾事件的概率为 0 或 1。 第三章主要介绍了胎紧，一致可积等概念。 一 致 可 积 的 定 义 ： 概 率 空 间 (, F , P ) 上 的 r.v. 族 t , t T 如 果 满 足