模糊可靠性优化理论

第18卷第2期湖 北 工 学 院 学 报2003年4月Vol.18No.2 Journal of Hubei Polytechnic University Apr.2003

[收稿日期]2003-01-27

[作者简介]赵 刚(1976-),男,湖北武汉人,武汉科技大学讲师,工学硕士,研究方向:现代设计方法1

[文章编号]1003-4684(2003)04-0065-02

模糊可靠性优化理论

赵 刚

(武汉科技大学机械自动化学院,湖北武汉430063)

[摘 要]模糊可靠性优化可以在设计过程中充分考虑工程的安全因素和过渡因素,从而得到一组关联的分析结果和优化方案,为工程设计的最终确定提供更广泛更可靠的选择.[关键词]模糊可靠性优化;模糊可靠性;模糊约束;水平截集;隶属度函数[中图分类号]N 945.17

[文献标识码]:A

1 具有模糊约束的单目标模糊优化

与常规优化设计一样,目标函数、约束条件和设计变量是模糊优化设计数学模型的三个基本要素.根据模糊目标函数与模糊约束函数的关系,模糊优化数学模型可分为对称和非对称两种类型.具有广义模糊约束的非对称模糊优化模型可表述为

X =(x 1,x 2,,,x n )T ,

min F (X ),

s.t.g i (X )

(1)

2 非对称模糊优化的水平截集法

对于普通模糊约束来说,可采用确定性物理量g j (X )对模糊允许区间G j 的隶属度L G j (g j )作为g j (X )对该模糊约束的满足度.当L G j (g j )=1时,该约束得到严格的满足;当L G j (g j )=0时,该约束根本得不到满足;当00,那么X 即为可用的设计方案.在模糊允许区间G j 中,满足L G j (g j )\K ,K I [0,1]的隶属度构成实数论域上的一个普通子集,即K 水平截集

G j K =(g j |L G j

(g j )\K )(j =1,2,,,J ).(2) K 值越小,G K 包括的范围就越大.当K =0时,G K 包括的范围就是全部允许的范围;当K =1时,G K 就是要求最严的允许范围.从工程设计的观点出

发,具有/设防水平0的含义,即在[0,1]区间内取一系列不同的设防水平K ,就可得到不同的设计方案.

在这些设防水平值K 中必定有一个最优值K *,与之相对应的水平截集

G j K *=(g j |L G j (g j )\K *

)(j =1,2,,,J ).

(3)

称为最优水平截集[1].于是具有普通模糊约束的非对称模糊优化问题就转化为在最优水平截集上的常规优化模型:

X =(x 1,x 2,,,x n )T

,min F (X ),

s.t.L G j

(g j )\K *

)(j =1,2,,,J ).(4)

若依次取设防水平K 1

得到一系列具有不同约束水平的优化方案,从而形成设计空间的优化序列,为多层次的优选及多目标优化问题的求解提供可靠的保障.

3 模糊可靠性优化

模糊可靠性优化的实质在于目标函数或约束条件,特别是约束条件具有一定的模糊性,是对可靠性优化研究的一种发展[2].由于可靠性这一概念本身具有的概率属性,那么在研究模糊可靠性优化方法时,就必须从概率可靠性优化模型着手.

在可靠性优化问题当中,一般将可靠性约束作为约束条件来处理.这时可以将可靠性约束条件用如下形式来表达

P {g(X ,X )\0}\a.

(5)

如果概率约束函数的概率密度函数为标准正态分布f g (X ,X ),那么上式可表述为P {g(X ,X )\0}=

Q

]

-5

-1

(a)

f g (X ,X )d X =

Q

-5

-1

(a)

]

f g (X ,X )d X.

(6)

设概率约束中的X 和X 均为正态分布,且相互独立,则概率约束函数Z =g u (X ,X )也可认为是正态分布.那么Z >0这一事件的发生概率

P{Z \0}=P{g (X ,X )\0}=

Q ]H p

12P exp (-H 22)d H =Q

H p ]12P ex p (-H

22)d H .

(7) 将g u (X ,X )在随机变量和参数的均值处展开为泰勒级数,取其线性项g u (X ,X )U g u (y )+

E n

i=1

(5g u

5y i

| y i

)(y i

-

y i

).(8)

由式(3)知,当P {g u (X ,X )\0}\a u 时,有Q

b

-]12P

exp (-H 2

2)d H \a u

,其中,b = g u /R g u ,由此可得

g u -5-1

(a u )R g u \0.(9)同理,当设计要求为P{g u (X ,X )[0}\a u ,则有

g u +5-1

(a u )R g u

[0.(10)

一般地,概率可靠性优化模型转化为如下形式

的确定型优化模型

min X ,X I [8,T ,P]

f (X )=E{f (X ,X )}=f ( X , X ),s.t.

g u +5-1(a u )R g u [0,g u (X )[0

(u =1,2,,,m ;v =m +1,,,n).

(11)

由可靠性约束条件 g u +5-1(a u )R g u [0,得

g u /-5-1(a u )R g u [1.

(12)

由于零部件的可靠性要求都不一样,而可靠性指标在一定范围内具有模糊特性.故而将式(12)模

糊化,得

g u /-5-1(a u )R g u [1.(13)此时的模糊约束条件成为

G u (X )= g u /-5

-1

(a u )R g u

[1.(14)

为简化数学模型,设计变量和目标函数均作为清晰量处理,约束条件对应的隶属度函数表示为L G u (X ).作为非对称型模糊可靠性优化问题处理,其数学模型可表达如下:

min X I [8,T,P ]F (X ),s.t.L G j (X )\K k ,g v (X )[0

(u =1,2,,,m ;v =m +1,,,n).

(15)

数学模型建立以后,求解模糊优化问题,首先要构造目标满意度函数和约束满足度函数.所谓目标满意度和约束满足度就是目标函数和约束条件在模糊论域区间上的隶属度函数的取值.对目标满意度和约束满足度函数统一构造如下:

L G j

(X )=

exp (

-[G i (X )-G U i ]2

[G i (X )-G U i ]

2)(G U i [G i (X )[G L i ),0(G i (X )>G L i ),1

(G i (X )

(16)

,因此构造这样的隶属度函数要求具有如下性质:1)在

区间[G U i ,G L i ]上保持单调性;2)在区间[G U i ,G L

i ]两端附近,隶属函数变化平缓.3)G i =(G L i -G U i )/2.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 黄洪钟.模糊分析设计方法学的现状和发展对策[J].

中国机械工程,1993(2):21-23.

[2] 苏 曙.基于模糊分析的可靠性优化方法及在机械设

计中的应用[J].机械设计,1999(6):17-19.

Optimization Theory of Fuzzy Reliability

ZHAO Gang

(College o f Mechano -automation,Wuhan Univ.of Sci.and T echnology ,Wuhan 430081,China)Abstract:Optimization design of fuzzy reliability is a neoteric method,which applies fuzzy conception to reliabi-l ity design.Safety factor and transition factor in pro ject can be considered sufficiently in the design process of fuzzy reliability optimization.A serial of analysis and optimization results can be obtained by picking up various v alue of threshold.All these optimization results can offer more choices to the design of project,more w idely,more reliably.

Keywords:optimization of fuzzy reliability;fuzzy reliability;fuzzy constraint;defense level;membership degree function [责任编辑:张培炼]

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