电子科技大学组合数学考题答案-容斥原理
完整版容斥原理习题加答案
1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。
2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25%是白色的, 75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题4答案
习题四（容斥原理）1．试求不超过200的正整数中素数的个数。
解：因为2215225,13169==，所以不超过200的合数必是2,3,5,7,11,13的倍数，而且其因子又不可能都超过13。
设i A 为数i 不超过200的倍数集，2,3,5,7,11,13i =，则22001002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，3200663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，5200405A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7200287A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 112001811A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，132001513A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，232003323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 252002025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，272001427A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2112009211A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 2132007213A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，352001335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，37200937A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 3112006311A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，3132005313A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，57200557A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 5112003511A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，5132003513A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，7112002711A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 7132002713A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，111320011113A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2352006235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 2372004237A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231120032311A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231320022313A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦ 2572002257A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251120012511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251320012513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 271120012711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，271320012713A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 21113200021113A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，3572001357A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，351120013511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦351320013513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，371120003711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，…， 235720002357A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦，…，23571113200023571113A A A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦， 所以 23571113200(1006640281815)(3320149713965533221)(6432211110111i i j i j k i j k lii ji j ki j k li j k l m i j k l m ni j k l mi j k l m nA A A A A A S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A <<<<<<<<<<<<<<<=-+-+-+=-++++++++++++++++++++-+++++++++++++∑∑∑∑∑∑0)00041+-+=但这41个数未包括2,3,5,7,11,13本身，却将非素数1包含其中， 故所求的素数个数为：416146+-=2．问由1到2000的整数中：（1）至少能被2，3，5之一整除的数有多少个？ （2）至少能被2，3，5中2个数同时整除的数有多少个？ （3）能且只能被2，3，5中1个数整除的数有多少个？ 解：设i A 为1到2000的整数中能被i 整除的数的集合，2,3,5i =，则2200010002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，320006663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，520004005A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 23200033323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，25200020025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，35200013335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 235200066235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， （1）即求235A A A ++，根据容斥原理有：235235232535235()1000666400(333200133)661466A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-+++=（2）即求232535A A A A A A ++，根据容斥原理有：232535232535235235235235()333200133266534A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-⨯=（3）即求[1]N ，根据Jordan 公式有：1112233235232535235[1]2()310006664002(333200133)366932N q C q C q A A A A A A A A A A A A =-+=++-⨯+++⨯=++-⨯+++⨯=3．求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第四章容斥原理
容斥原理
应用 限制排列与棋盘多项式 的木棍上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分 成10等份，第二种将木棍分成12等份。如果沿每条刻度线将 木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
4.1 引言
例 在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分 成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15 等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少 段？
那么，A1中的元素可以看作是由S∞的10－4＝6组合再拼上4个 6 3 1 a构成的，所以 A1 28
5 3 1 4 3 1 同理，A2 21, A3 15. 5 4
6
4.3 应用
类似地， A1
(2) |Ai∩Aj|=5!.......
|Ai1∩Ai 2∩… 所以，
A1 A2 A8 8 8 8 8 8 8 8 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1 0! 1 1 2 3 4 5 6 7
4.3 应用
例 确定{1,2,…,n}的恰有k个整数在它们的自然位置上的排列数。
例 确定{1,2,3,4,5,6,7,8}的没有偶数在它的自然位置上的排列数。
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
组合数学考试题附答案2
组合数学试题 共 4 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14：30 至 16：30 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉，张先迪 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2006 年 12 月 2 日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题（每空2分，共22分）1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有5个，第二种有6个，第三种有7个， (1) 从中取出4个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ； (2) 从中取出6个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ；（3）若将所有的月饼排在一个货架上，则排法数有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
（4）若将所有的月饼装在三个不同的盒子中，盒内有序（即盒内作线排列），盒子不空，则不同的装法数又有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
2．棋盘C 如图1所示，则棋子多项式R (C ) =3．设有足够多的红球、黄球和绿球，同色球不加区分，设从中无序地取出n 个球的方式数为a n ，有序地取出n 个球的方式数为b n ，但均需满足红球的数量为偶，黄球的数量为奇，则(1) 由组合意义写出的{a n }的普通母函数为 ；求和后的母函数为 。
(2)由组合意义写出的{b n }的指数母函数为 ；求和后的母函数为 。
4．（1） 将6个无区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………图1题……………无效…组合数学试题 共 4 页 ，第 2 页（2）将6个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
（已知将5个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为25）二、（14 分） 给定重集B = {3·A , 3·B , 4·C ,10·D }。
数学———容斥原理
数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
组合数学 —— 容斥定理
即：A∪B∪C = A+B+C - AB - BC - AC + ABC
当被计数的种类被推到 n 类时，其统计规则即遵循奇加偶减。
容斥定理最常用于求 [a,b] 区间与 n 互质的数的个数，该问题可视为求 [1,b] 区间与 n 互质的个数减去 [1,a-1] 区间内与 n 互质的个数，故而可先对 n 进行因子分解，然后从 [1,b]、[1,a-1] 区间中减去存在 n 的因子的个数， 再根据容斥定理，奇加偶减，对 n 的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。
2.求[1,n]中能/不能被m个数整除的个数
对于任意一个数 a[i] 来说，我们能知道在 1-n 中有 n/a[i] 个数是 a[i] 的倍数，但这样将 m 个数扫一遍一定会用重
复的数，因此需要用到容斥原理
根据容斥定理的奇加偶减，对于 m 个数来说，其中的任意 2、4、...Байду номын сангаас2k 个数就要减去他们最小公倍数能组成的 数，1、3、...、2k+1 个数就要加上他们的最小公倍数，因此 m 个数就有 2^m 种情况，对于每种状态，依次判
cnt=0; memset(bprime,false,sizeof(bprime)); for(LL i=2; i<N; i++) {
if(!bprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(LL j=i*i; j<N; j+=i) bprime[i]=true;
} } } void getFactor(int n){ num=0; for(LL i=0; prime[i]*prime[i]<=n&&i<cnt; i++) {
第二章容斥原理习题及解答.ppt
1、 某甲参加一种会议，会上有6位朋友， 某甲和其中每人在会上各相遇12次，每 二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每 四人各相遇3次，每五人各相遇2次，每 六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5 次，问某甲共参加了几次会议 ？
参考答案
[解] 设Ai为甲与第i个朋友相遇的会议 集， i＝1，…，6．则
A1 A2
1
41
1
3
105
2 1 (8 3) (4 2) 3 7
A1 A3
1
42
1
2
63
A2 A3 0
A1 A2 A3 0
故所求路径数为
| A1 A2 A3 | 495 (168 140 84) (105 63 0) 0 271
参考答案
[解]
令Dn
n!1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
（1）方案数=Dm (n!)m
（2）方案数=
m k0
m k
Dk
(n
!)k
Dmk n
（3）方案数=Dm Dnm
（i=1,2,…,n） 则所求为
|
n i 1
Ai
|
n ko
(1)k
n
k
(2n
k
1)!2k
第二章容斥原理习题
8、一书架有m层，分别放置m类不同种类的书， 每层n册。先将书架上的图书全部取出清理。 清理过程要求不打乱所有的类别。试问: （1）m类书全不在各自原来层次上的方案数 有多少？ （2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数 等于多少？ （3）m层书都不在原来层次，每层n本书也不 在原来位置上的方案数又有多少？
所以
A3 A5 A7 A3 A5 A3 A5 A7
第六节容斥原理参考答案
一.练习故本练习所以志愿练习练习练习练习60-练习所以财政练习则有人。
二.练习阴影∩A 练习A+250-练习集合两种三.两个元素的习1.【解析本题正确答习2.【解析以有10+17-愿者的有17习3.【解析习4.【解析习5.【解析习 6.【解析-12=29+34-习7.【解析解法如下以既不是会政局共有17习8.【解析有88-15=73用集合图三个元素的习1. 影面积为A A +A∩B∩C 习2.2B+3T=40+3-48=2人。
习3.合问题。
63种考试参加画图法 的公式析】考查容斥答案为D。
析】本题属-20=7人既7-7=10人。
析】集合问题析】设两种乐析】由题意可析】可看成-x，解得x=析】集合问题下：会计处也不是71+41=212析】本题答案3人是既有形求解如下的公式A∩B∩C，C，290=6436+30=106所以选B.3+89+47-46的”不包括第六斥原理|A∪于集合问题既是奥运会志所以选择题，489+60乐器都会的可知俱乐部成集合问题=15，所以选题。
是宣传处的人，故应选案为D。
有有手机又有电下：？=76-所以根据公4+180+1606,B+3T=286-24×2+15括“准备选六节 容斥B|=|A|+|B 题。
由题干志愿者也是择C 选项。
06-x=750，的人为x，则部一共有69。
设既穿黑选C。
的人共有（2选D。
有手机的88电脑的人。
-73=3。
公式A∪B -24-70-36+26+24=785=120。
故本选择三种考试斥原理B|-|A∩B|=可知，有5是全运会志愿得到 x=34则62-4+x＝9+58+12-30黑上衣又穿206+177-41人中有15故有电脑没∪C = A+B 6+X，得出8,A+B+T=2本题选A。
试参加的人=27+108-（450-30=20人愿者，所以45。
＝56+11，解0＝109（人穿黑裤子的有）÷2=171人只有手机没手机的人B+C - A∩B X=16，选28+20=48,注：在这里人数”。
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A2............................ 6个c.......................... ..... ...... .....。
A3.............................8个d..................................... .....。
K=n+1时
D2(n+1)-1=D2n+1=(2n+1-1)(D2n+D2n-1)=2n(D2n+D2n-1)为偶数。
D2(n+1)=D2n+2=(2n+2-1)(D2n+1+D2n)=奇数（偶数+奇数）=奇数。
命题也成立。则由数学归纳法原理原命题成立。
3.19a.从S={1,2,3,...,n}中选取k个元素，且无相邻两数，求不同的选取法。
个。
对n个顶点都如此考虑之后，我们将得到X= 个满足要求的k边形。又注意到k边形有k个顶点，所以同一个k边形必在X中被计算了k次，因此满足要求的k边形数有
个。
3.19．在一个宴会上，有n(n 3)对夫妇围圆桌就坐，在男女交替，夫妻不相邻的条件下有多少种就坐方式。
解：我们先让n位女士间隔就坐，并把她们按顺时针方向编号为1，2，...
由容斥原理有，
其中S表示{1，2，…..,8}的所有全排列的集合，故有
而 表示2和4均在自然位置上的全排列的集合，
故
同理，
类似的有
,代入公式得
：本题用有禁区棋盘来解更简单。
3.14.求由数字1，2，….8所组成的全排列中，恰有4个数在其自然位置上的全排列个数。
解：在（1，2，….,8）中有4个数在其自然位置共有 种方式，对某一种方式，均有4个不在其自然位置，这正好是一个错排，其方式数为D4。
习题三
:为方便起见，对本章习题，我们先约定几个记号。
设Wk= k=1,2, ... n。
W0=|S|。
3.1．答案：4000。
3.2．求1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数个数。
解：设A1表示包含完全平方的数的集合，则
表示不包含完全平方的数的集合
A2表示包含完全立方的数的集合，则
表示不包含完全立方的数的集合，故
。
设S为所有坐法的集合，
则W0=n!,
仅考虑具有一种性质时，仅有一人座位固定，其它人可以随便坐，
则W1=
同理Wk= k=1,2,...，n。
显然Wn+1=Wn+2=...=W2n=0;
则女士坐定后男士的坐法数为
W0-W1+W2-.....+(-1)nWn
又女士开始是的选位有(n-1)!种，由乘法原则原问题的总坐法数=
a.求至少问题与书上的“拿错帽子”问题相同。
a. P(错)=Dn/n!
则至少有一次巧遇的概率为
p=1-P(错)=1-Dn/n!=1-1/2!+1/3!-....+(-1)n+11/n!
b.即有m个学生排号正确，而其余n-m个学生产生错排。
此事件个数为 Dn-m。
A2表式两个b相邻的集合，
A3表式两个c相邻的集合，
A4表式两个d相邻的集合，
A5表式两个e相邻的集合，
则
而 (i=1,2,…5)
(i=1,2,…5,j=1,2,…5,i j)
而 ，故
=113400-22680+5040-1260+360-120
=39480。
3.5．在有9个字母a,a,a,b,b,b,c,c,c的全排列中，求相同字母不相邻的排列个数。
W1= =3360，//[][]/*具有一个性质的类型*/
//说明：从a,b,c中任选一个字母的二组合（如aa），有3种选法，将剩下的7个字母（abbbccc）作全排列，有【7！/(3!3!)】种排法，然后将选出的aa进行插空，有8个空，于是有W1。
同理：
W2= + =2940，
[][][] or [][] [][]/*即同时具有两种性质的排列分两类，要么相邻三个位置都为同一字母，要么是分开的两对。*/
令P2表示这样的性质：一个n位数不包含8，
令P3表示这样的性质：一个n位数不包含9，
重令Ai（i=1,2,3）表示具有性质Pi的集合，
则 表示所有n位数包含3，又包含8，又包含9，
由容斥原理：
而
，代入上式得
3.11．求重集B={ .a, 3.b, 5.c , 7.d}的10-组合数。
提示：记B’={ .a, .b, .c, .d}
W3= +4×5×6×3!=1440
[][][] [][] or [][] [][] [][]
W4= + = 420
[][][] [][][] or [][][] [][] [][]
W5=2×3×4×(3 1!)=72
[][][] [][][] [][]
W6=3!=6
[][][] [][][] [][][]
解：我们假设9个字母的排列位置从左到右编号为1，...，9，即：[1][2][3][4][5][6][7][8][9]。
则假设pi:表示位置i和（i＋1）上排的字母相同，Ai为具有性质pi的排列所组成的集合，i=1,2,...，8。
从而所求排列个数X= =W0-W1+W2-....+W8。
W0=|S|= =1680,
所以恰有m此巧遇的概率为：
pm= Dn-m/n!= 。
3.21．有张，王，刘，李四位教师和数学，物理，化学，英语四门课程。
已知张和李都不能教数学和英语，王不能教化学，刘不能教物理和化学。若要为每人安排一门他能教的课程，且一门课程只能被一人教，试问有多少种不同的安排方案？
解：这是一个四元有禁位排列问题，其对应的有禁区棋盘为
由乘法规则有，恰有4个数在其自然位置上的全排列数为 。
3.16．证明：Dn是偶数当且仅当n是奇数。
证：我们把原问题转化为一个等价命题：求证D2k-1为偶数，D2k为奇数，k=1,2,3,....
用归纳法：
k=1时，D1=0为偶数D2=1为奇数，命题成立。
设k=n时命题成立，即：D2n-1为偶数，D2n为奇数。
反之亦然。这样S的满足要求的k子集数就等于S’的一般k子集数
=
:构造一一映射的方法很重要。此题要牢记！
3.19b.证明一个凸n边形中，以其顶点为顶点，对角线为边（不含原多边形的边）的k边形个数是 。
证：任选一点A，去掉左右两个邻点，在剩下的n-3个点中选出k-1个不相邻的点。因为这n-3个点的首尾两点不存在相邻问题，因此其选法数同19a有
表示既不包含完全平方又不包含完全立方数的集合，则由容斥原理知： ,而
|S|=1000,|A1|=31,|A2|=10
表示既是完全平方又是完全立方的数的集合，故
,因此有 。
3.3．答案为：52。
3.4.在有十个字母a,a,b,b,c,c,d,d,e,e的全排列中，求相同字母不相邻的排列个数。
解：设A1表式两个a相邻的集合，
(n-1)!(W0-W1+W2-.....+(-1)nWn)
=
：这是一道难题。解法巧妙，很有意思。对此问题，很容易想到用棋盘多项式来解，事实上它的棋盘很简单，但其多项式很难求。将得到一个递推多项式，然后还要猜想多项式的形式，最后要用数学归纳法证明。
3.20．在一个班上有n名学生，临时将这n个学生任意编号为1，2，...，n。当教师上课按原来的点名册点名时，如果编号为i的学生正好是第i个喊到时，就称为一次巧遇。
设禁区棋盘为C（图中阴影部分）,则易得
R(C)=1+7x+15x2+10x3+2x4
所以r1=7, r2=15, r3=10, r4=2,
则所求排列数为（安排方案）有
4!-7 3!+15 2! 10 1!+2=4种
：用观察法看棋盘的特点也可以分析出仅有4种方案。
注意到john与smith不能同时出现(都有’h’)，由容斥原理得，
而
代入上式即得。
3.8.在所有的n位数中，包含数字3，8，9但不包含数字0，4的数有多少？
解：除去0，4，则在1，2，3，4，5，6，7，8，9这8个数字组成的n位数中，
令S表示由这8位数组成的所有n位数的集合。则|S|=8n.
令P1表示这样的性质：一个n位数不包含3，
n。再让丈夫们就坐，但具有下列性质的坐法被禁止：
R1:丈夫1坐在妻子1的右边。
L1:丈夫1坐在妻子1的左边。
R2:丈夫2坐在妻子2的右边。
L2:丈夫2坐在妻子2的左边。
... ...
Rn:丈夫n坐在妻子n的右边。
Ln:丈夫n坐在妻子n的左边。
我们将这2n个性质看成2n个点将它们编号为1，2，...,2n并顺时针排成一个圆周。可以看出，相邻的性质是不可能同时出现的（Ln与R1相邻）这样由19b的结论，仅具有k种性质出现的坐法数为
解：设{a1,a2,...,ak}是满足要求的一组k元素。因为这是组合问题，不妨设它们是按从小到大的顺序排列的，那么它们必满足
1 a1<a2-1<a3-2<.....<ak-(k-1) n-(k-1)
因此{a1,a2-1,...,ak-k+1}是S’={1,2,3,...,n-k+1}的一个k子集，
W7=W8=0
所以X=1680-3360+2940-1440+420-72+6 = 174。
3.7.在由26个字母a,b,c,…..z组成的全排列中，求不包含字符串john,paul和smith的全排列个数。