金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]
金融数学引论简化版利息理论部分1-3
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1.1.3 贴现函数
考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款， 相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适 当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算? 定义1.7.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一 单位金额在现在的值为t时期现值。 称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。 定义1.8 记对应利率i,称v=1/(1+i)为贴现因子。（相 应的1+i称为累积因子）
利息理论
参考书：金融数学引论 吴岚 黄海 编著
北京大学出版社 2005
1
第一章 利息基本计算
利息基本函数
利率 现值 名利率与名贴现率 利息力与贴现力
利息基本计算
2
在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的 增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越 大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨 胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此， 货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者， 他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报 酬。
4
2) d 4 6% 设累积值为x,则
100
x
1
6% 4
42
x
1001
6% 4
42
112.85
22
名利率与名贴现率之间的关系
i 考虑 (m) 与 d ( p)
1 i [1 i(m) ]m [1 d (P) ] p
m
p
如果m=p,则
4
1.1.1 累积函数
定义1.1 考虑一单位本金，记原始投资为1时在 任何时刻的累积值为a(t)，称为累积函数。
《金融数学引论第二版》复习提纲
《金融数学引论》复习提纲第一章 利息的基本计算 第一节 利息基本函数一. 累积函数a(t)与总量函数A(t)某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n （2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =例题：1.1三.. 贴现函数一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d i i d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.2四．名利率与名贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
例题：1.3五．连续利息计算定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts dsa t e δ⎰=一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=例题：1.4要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。
金融数学引论答案第二版
金融数学引论答案第二版【篇一：北大版金融数学引论第二章答案】>第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+x 元，年利率7%。
计算x 。
解：s = 1000s?7%+xs?7%20p10p20px = 50000 ? 1000s?7% = 651.72s?p7%102．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解：设首次付款为x ，则有10000 = x + 250a?p1.5%48解得x = 1489.3613．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i =n解：p v = na?npi= 1nn+2 =(n + 1)nn2n4．已知：a?pn= x，a?p2n= y 。
试用x和y 表示d 。
解： a?p2n= a?pn+ a?p (1 ? d)则nny ? xd = 1 ? ( x ) n5．已知：a?p7= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。
计算i。
11p18p解：a?p = a?p + a?p v718711解得=i = 6.0%10?p +a∞?p6.证明： 11?v10s。
s10?p北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究证明：s?p + a∞?p=s?10p10+101 = 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。
解：p v = 100a?+ 100a20?8p3% p3% = 2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解：设每年退休金为x，选择65岁年初为比较日=解得x = 8101.658。
最新金融数学习题部分答案
第一章
注：（2）：P=1/4即可。
第二章
注：i=4.5%,以半年为换算周期
注：本题是期初年金，故年金额组成等比数列，取其于网络如有侵权请联系管理员删除收集于网络如有侵权请联系管理员删除收集于网络如有侵权请联系管理员删除收集于网络如有侵权请联系管理员删除收集于网络如有侵权请联系管理员删除收集于网络如有侵权请联系管理员删除收集于网络如有侵权请联系管理员删除收集于网络如有侵权请联系管理员删除收集于网络如有侵权请联系管理员删除
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第一章习题答案1.设总量函数为A(t) = t2 + 2/ + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个吋段的利息【仇°解：把t =()代入得4(()) = 3于是：4(t) t? + 2t + 3啲=丽=3In = 4(北)一A(n一1)=(n2 + 2n + 3) — ((n — I)2 + 2(n — 1) + 3))= 2n+l2.对以下两种情况计算从t时刻到冗(£ < n)时刻的利息：(1)厶(0 < r < n);(2)/r =2r(0<r <n).解：(1)I = A(n) - A(t)—In + in-1+ • • • + A+l n(n + 1) t(t + 1)=2 2I = A(n) - A(t)n n=乞h = 土hk=t+l A：=t+13.已知累积函数的形式为：Q(t) = at2 +几若0时刻投入的100元累积到3吋刻为172元,试计算：5时刻投入的10()元在10时刻的终值。
解：由题意得。
(0) = 1, «(3) = = L72=> a = 0.0& 6=14(5) = 100>1(10) = 4(0) • «(10) = 4⑸• W = 100 x 3 = 300.a(5)4.分别对以下两种总量函数计算订和讪:(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1尸・解：(1)_ 4(5) - 4(4)5 _ 4(4)5二面-.17% . 4(10)-4(9)210 =—4(9)—5=—^ 3.45%145⑵_ 4(5) - 4(4)5 - 4⑷_ 100(1 + 0.1)5 - 100(1 + 0.1)4 = 100(1+ 0.1)4=10%. 4(10) —4(9)皿=_ 100(1+ O.1)10-100(1+ 0.1)9 = 100(1 + 0.1)9=10%5•设4(4) = 1000, i n = O.Oln.试计算4(7)。
金融数学--第二章
n期标准期初年金现值
a (1 i)a (1 i)(v v2 vn )
ni
ni
(1 i) n vk (1 vn )(1 i) 1 vn
k 1
i
d
n期标准期末年金终值
(1 i)n 1
(1 i)n 1
s (1 i)s
(1 i)
a
10
14t 0.05
又因为
a nt i
a ni
vnt
(1 i)t
i
1
所以有 1 v14t 10i
解得 t=0.2067 于是XC =[(1+i)t-1]/i=0.202719(万元)
例2.5 某人每年底存入1000元，年利率为 8%，希望经过若干年后达到25000元。若 最后一次不足1000元的存款将在正常存款的 一年后进行，试计算正常存款年数和最后一
解 假设投入的现金流为 （R ，R，R，……，0） 终值为100万元，则有
Rs 100 12 0.07
解得R=5.224485（万元）
定义2.5 若年金现金流首次发生在递延了一
段时间后进行，这样的年金称为递延年金。
例如，递延m期的n期期末标准现金流
（0，0，…，0，1，1，…，1）
这个现金流的现值可以认为是下面两个现金
ni
ni
i
d
结论2.2 a 和s 有如下关系 ni ni
(1)s a (1 i)n;(2) 1 1 d
ni
ni
as
ni
ni
证明 （2）由（Biblioteka ）有s a (1 i)n
ni
ni
所以
1 s
金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]
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第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。
计算X 。
解：20|7%10|7%50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+==2．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有48|1.5%1000250X a =+解得X = 1489.363．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1。
试计算该年金的现值。
解：22|1( 1)1( 1)n n n n i nv n n n PV na n n n+-+-===+ 4．解： ]]]2(1)nn n n a a a d =+-则1 1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。
计算i 。
解：]]]718711a a a v =+解得i = 6.0%6.证明：]]]10101 110s a v s ∞+=- 证明：]]]1010101010(1)111(1)11i s a i i i s v i∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
解：8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日15]7%100025]8%a s X =￢解得X = 8101.659．已知贴现率为10%，计算8]a 。
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第一章习题答案1.设总量函数为A(t) = t2 + 2/ + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个吋段的利息【仇°解：把t =()代入得4(()) = 3于是：4(t) t? + 2t + 3啲=丽=3In = 4(北)一A(n一1)=(n2 + 2n + 3) — ((n — I)2 + 2(n — 1) + 3))= 2n+l2.对以下两种情况计算从t时刻到冗(£ < n)时刻的利息：(1)厶(0 < r < n);(2)/r =2r(0<r <n).解：(1)I = A(n) - A(t)—In + in-1+ • • • + A+l n(n + 1) t(t + 1)=2 2I = A(n) - A(t)n n=乞h = 土hk=t+l A：=t+13.已知累积函数的形式为：Q(t) = at2 +几若0时刻投入的100元累积到3吋刻为172元,试计算：5时刻投入的10()元在10时刻的终值。
解：由题意得。
(0) = 1, «(3) = = L72=> a = 0.0& 6=14(5) = 100>1(10) = 4(0) • «(10) = 4⑸• W = 100 x 3 = 300.a(5)4.分别对以下两种总量函数计算订和讪:(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1尸・解：(1)_ 4(5) - 4(4)5 _ 4(4)5二面-.17% . 4(10)-4(9)210 =—4(9)—5=—^ 3.45%145⑵_ 4(5) - 4(4)5 - 4⑷_ 100(1 + 0.1)5 - 100(1 + 0.1)4 = 100(1+ 0.1)4=10%. 4(10) —4(9)皿=_ 100(1+ O.1)10-100(1+ 0.1)9 = 100(1 + 0.1)9=10%5•设4(4) = 1000, i n = O.Oln.试计算4(7)。
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第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。
计算X 。
解：20|7%10|7%50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+==2．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有48|1.5%1000250X a =+解得X = 1489.363．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1。
试计算该年金的现值。
解：22|1( 1)1( 1)n n n n i nv n n n PV na n n n+-+-===+ 4．解： ]]]2(1)nn n n a a a d =+-则1 1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。
计算i 。
解：]]]718711a a a v =+解得i = 6.0%6.证明：]]]10101 110s a v s ∞+=- 证明：]]]1010101010(1)111(1)11i s a i i i s v i∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
解：8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日15]7%100025]8%a s X =￢解得X = 8101.659．已知贴现率为10%，计算8]a 。
解： d = 10%，则88]111 191 (1 ) 5.6953i d v a i i=-=--=+= 10.求证：()()]]]]1 12? 1 (1 )n n n n n n a a v s s i =+-=-++；并给出两等式的实际解释。
证明： (1)]111¨ 11n n nn n v v v a v i d ii---===+-+ 所以]]¨ 1n n n a a v =+- (2)]1(1)1(1)1(1)1¨ (1 )1n n n n n i ii i i s i d i ++-+-+-===++- 所以]]¨ 1 (1 )n n n a s i =-++12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。
解：PV = 100a 49】1.5% − 100a 2]1.5% = 3256.88AV = 100s 49]1.5% − 100s 2]1.5% ￢ = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A 和B 。
年金A 在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。
已知：1012v = ，计算Y 。
解： 因两种年金价值相等，则有101030]30]10]?10]? ? i i i v i v a a Y a Y a +=-所以1030103032 1.812v v Y v v --==+- 14.已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。
计算i 。
解： 由题意知，2]]]2 3 362 6n i n i n n i a a a v +==解得i = 8.33%15.已知7]3]]11]]]X Y Z a a s a a s +=+。
求X ，Y 和Z 。
解： 由题意得73111(1 )1(1 )X Z Y v i v v i v-+-=-+- 解得X = 4, Y = 7,Z = 416.化简153015](1 )a v v ++。
解：153015]45](1 ) a v v a ++=17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元，半年结算名利率9%。
解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4.5%)/4.5%× 2000 = 46444.44 ，则232 41300.657(1 )PPV i +==+18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。
解： 设递延时间为t ，有1t P v i=解得ln ln(1)iP t i =-+ 19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一定的金额X ，直至永远。
计算X 。
解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有2920]1000i X a v i= 解得3010 1000((1 )(1 ))X i i =+-+20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人 平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相 同。
计算(1 )n i +。
解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值 为]3n i i a ，而D 得到遗产的现值为v n 。
由题意得 13nn v v -=所以(1 ) 4n i += 21.永久期末年金有A 、B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个n 年，B 接受第二个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。
已知：C 与A 的份额之比为0.49， 求B 与D 的份额之比。
解： 由题意知2]]0.49n n C A n a v PV PV a == 那么]31 0.61n n B n D i a v PV PV v== 22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
解：4]4.5%41]4.5%10010001001000n n a v a v +<>解得n = 17列价值方程216]4.5%100 1 1000a Xv +=解得X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。
如果以同样的年利率计算货币的价值在n 年内将增加一倍，计算n 。
解： 两年金现值相等，则36]4 518i a ⨯=⨯，可知18 0.25v =由题意，(1 ) 2n i += 解得n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k 个月后一 次还6000元。
已知月结算名利率为12%，计算k 。
解： 由题意可得方程100a 60p 1% ￢ = 6000(1 + i )−k解得k = 2925.已知2] 1.75i a =，求i 。
解： 由题意得21 1.75v i -=解得i = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。
已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。
解： 由题意可得价值方程3102]4%2]4%10352]4%2]4%10000 105 100001000010000 979.94105Ka v Ka v v K a v a v =++-==+则28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。
计算首次付款金额X 的表达式。
解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程121424]5]44]5](1 ) 2 2(1 )(1 )1 22(1 )a i j i j P i X X Xa i P i X a a i --+=++++=+++所以29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。
解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。
已知 年利率为12%。
（缺命令）解：5 4400 4600 11466.14PV v =⨯+⨯=31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。
解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：2428]4]324]2744]3]1]1(1 )1(1 )[(1 )1]i i a a i PV a v s i i s s -+-===++-+ 33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R 的表达式。
解： 设年实利率为i ，则(1 + 2%)2 = 1 + i 。
有题意得30]20]p 750750a i i R i s i+=解得R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解： 由题意知3]112591i is =解得i = 20% 35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R 元的永久期初年 金，计算R 。
解： 由题意得2]120 i R d a i==解得R = 1.95 36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延 时间。
解： 设贴现率为d ，则()12211 2(1)i d +=- 设递延时间为t ，由题意得()2]10000 2500t v a ∞=⨯解得12ln 20 ln(1(1))ln(1)d t d +--=- 37. 计算：()()()222]2]1]32 45n n a a s ==，计算i 。
解：()]]1]2223 2 45n i n i i ii i a a s i i i ⨯=⨯=⨯解得：11, 230n v i == 39.已知：11t tδ=+。
求]a n ˉ的表达式。
解：0]0 ln(1 )t s ds na e dt n δ-⎰=⎰=+n ˉ 40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t ，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。