工程力学A单辉祖第13章应力状态分析.ppt
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工程力学第十三章
2 2 2
３.单元体与应力圆的对应关系 点面对应；转向相同，转角二倍。 点面对应；转向相同，转角二倍。
证明： 证明：
应力状态分析
§13-3 极值应力与主应力 13正应力的极值——主应力、主平面的确定 主应力、 一、正应力的极值 主应力 dσ α =0 得 根据式（13- ），由求极值条件 由求极值条件， 根据式（13-1），由求极值条件， dα
n
xy x yx y
∑F
τ α dA (τ xy dA cos α )cos α (σ x dA cos α ) sin α
+ (σ y dA sin α )cos α + (τ yx dA sin α ) sin α = 0
t
=0
考虑切应力互等和三角变换， 考虑切应力互等和三角变换，得：
σα =
正应力取极值的面（也是切应力为零的面） 主平面， 正应力取极值的面（也是切应力为零的面）为主平面， 主方向， 主平面的外法线方向称主方向 正应力的极值称主应力 主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力 对平面一般应力状态通常有两个非零主应力： ，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力σ 、σ ：
σx
τzx B
τxz
C
τ xy
主平面、主单元体、 六、主平面、主单元体、主应力
σ σyy
y
y
主平面( １.主平面(Principal Plane)： ) 切应力为零的截面。 切应力为零的截面。 主单元体(主平面微体) ２.主单元体(主平面微体)：各侧 面上切应力均为零的单元体。 面上切应力均为零的单元体。 主平面上的正应力。 主平面上的正应力。 区分： 区分：正应力和主应力 ４.主应力排列规定：按代数值大小 主应力排列规定： 代数值大小
３.单元体与应力圆的对应关系 点面对应；转向相同，转角二倍。 点面对应；转向相同，转角二倍。
证明： 证明：
应力状态分析
§13-3 极值应力与主应力 13正应力的极值——主应力、主平面的确定 主应力、 一、正应力的极值 主应力 dσ α =0 得 根据式（13- ），由求极值条件 由求极值条件， 根据式（13-1），由求极值条件， dα
n
xy x yx y
∑F
τ α dA (τ xy dA cos α )cos α (σ x dA cos α ) sin α
+ (σ y dA sin α )cos α + (τ yx dA sin α ) sin α = 0
t
=0
考虑切应力互等和三角变换， 考虑切应力互等和三角变换，得：
σα =
正应力取极值的面（也是切应力为零的面） 主平面， 正应力取极值的面（也是切应力为零的面）为主平面， 主方向， 主平面的外法线方向称主方向 正应力的极值称主应力 主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力 对平面一般应力状态通常有两个非零主应力： ，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力σ 、σ ：
σx
τzx B
τxz
C
τ xy
主平面、主单元体、 六、主平面、主单元体、主应力
σ σyy
y
y
主平面( １.主平面(Principal Plane)： ) 切应力为零的截面。 切应力为零的截面。 主单元体(主平面微体) ２.主单元体(主平面微体)：各侧 面上切应力均为零的单元体。 面上切应力均为零的单元体。 主平面上的正应力。 主平面上的正应力。 区分： 区分：正应力和主应力 ４.主应力排列规定：按代数值大小 主应力排列规定： 代数值大小
工程力学13应力状态分析.ppt
t
sx
s y
2
sin 2
tx
cos 2
n
Ox
t
图2
§13–3 平面应力状态分析——图解法
sy
一、应力圆（ Stress Circle）
sx
s
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2
t x
sin 2
y
tx
t
sx
s y
2
sin 2
tx
cos 2
Ox
sx
主平面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
第十三章 应力状态分析
§13–1 应力状态的概念 §13–2 平面应力状态分析——解析法 §13–3 平面应力状态分析——图解法 §13–4 三向应力状态简介 §13–5 复杂应力状态下的应力--应变关系（广义虎克定律）
§13–１ 应力状态的概念
一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P1
P2
q
1
2 3 4
5
sx ty tx
解：由梁弯曲应力公式：
s
x
My Iz
tx
QS
工程力学应力状态分析
H
x y 2
x y 2
cos2
s
x
i
n
2
同理：
H
五、应力圆的应用
§13-2 平面应力状态应力分析
H
H (, )
• 利用应力圆明晰的几何关
系推导并记忆一些基本公
式，避免死记硬背；
o
D H
C 220x
y
F
• 在应用过程中，应当将应 力圆作为思考、分析问题 的工具，而不是计算工具；
y E
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
—坐标系下的圆方程
圆心坐标：
（ x y ， 0） 2
o
R
半径：
R
(
x 2
y
)2
2 x
(x+ y)/2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆
——应力圆
三、应力圆的绘制
绘制方法1：
§13-2 平面应力状态应力分析
以 （ x y ， 0） 为圆心，
0
当
d d
0
时，正应力有极值。
2
x
y 2
sin2
c
x
o
s
2
0
最大正应力方位角α0：
tan2
0
2 x x
y
max x y
•
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。08:305.26.202108:305.26.202108:3008:30:575.26.202108:305.26.2021
工程力学：第19课_第13章_应力状态分析(1)
x
F
y
x+y)/2 x-y)/2 x
设x面和y面的应力分别为 D( x , x ), E ( y , y ),
由于 x
y ,
故DE中点坐标
C(
x
2
y
,
0)
为圆心，DE为直径。
29
第十三章 应力状态分析
y
y y
n
x
x x
D
C x
o
y
F
绘图：以ED为直径，C为圆心作圆
y
面应力： 考察D点逆时针转动2α
2
60 cos60
=8.35MPa
还可取何值 150; 30 （x轴向左）
N 180 不改变 25
第十三章 应力状态分析
二、应力圆
一、应力圆
应力转轴公式
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
在 平面上， , 的轨迹？
应力转轴公式形式变换
x
2
推论：微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
32
第十三章 应力状态分析
几种简单受力状态的应力圆
单向受力状态
x
x
纯剪切受力状态 y
x
E 0,0
o
R=x/2
C
D x ,0
D 0,
R=x
o
双向等拉
C
o
x/2
D 0,
45º方向面上既有正应力又有 45º方向面上只有正应力无剪 剪应力，但正应力不是最大 应力，且正应力最大。 值，剪应力却最大。
工程力学第13章应力状态分析
解：⑴ 求C 点所在截面的剪力、弯矩 F
FS 2 50kN MFl 25kNm
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
M y 2 5 1 0 3 6 0 0 1 0 3/4
CIz 2 0 0 6 0 0 3 1 0 1 2/1 21 .0 4 M P a
C 3 2 F b h S(14 h y 2 2)2 2 3 0 0 5 0 6 0 0 1 0 3 1 0 6(14 6 0 1 0 5 2 0 2 1 0 1 0 6 6)
63.7sin240o( 76.4)cos240o 2
10.7MPa
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
⑶ 求D 点的主应力和主方向及最大切应力
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
63.7 2
(63.7)2(76.4)2 2
114.6M P a
50.9M
Pa
1 1 1 4 . 6 M P a2 03 5 0 . 9 M P a
D63.7MPa D76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
120o
x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2
6 3 .7 6 3 .7 c o s2 4 0 o ( 7 6 .4 ) sin 2 4 0 o 22
50.3M Pa
x 2ysin2xcos2
同理：平行于主应力σ2和σ3方向的任意斜面 II 和 III 上的正 应力和切应力分别与σ2和σ3无关，可分别由应力圆 II 和 III 表
示。
三向应力状态中空间任 意方向面上的正应力和切 应力对应于应力圆I、II、 III所围阴影区域内某一点 的坐标值。
FS 2 50kN MFl 25kNm
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
M y 2 5 1 0 3 6 0 0 1 0 3/4
CIz 2 0 0 6 0 0 3 1 0 1 2/1 21 .0 4 M P a
C 3 2 F b h S(14 h y 2 2)2 2 3 0 0 5 0 6 0 0 1 0 3 1 0 6(14 6 0 1 0 5 2 0 2 1 0 1 0 6 6)
63.7sin240o( 76.4)cos240o 2
10.7MPa
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
⑶ 求D 点的主应力和主方向及最大切应力
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
63.7 2
(63.7)2(76.4)2 2
114.6M P a
50.9M
Pa
1 1 1 4 . 6 M P a2 03 5 0 . 9 M P a
D63.7MPa D76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
120o
x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2
6 3 .7 6 3 .7 c o s2 4 0 o ( 7 6 .4 ) sin 2 4 0 o 22
50.3M Pa
x 2ysin2xcos2
同理：平行于主应力σ2和σ3方向的任意斜面 II 和 III 上的正 应力和切应力分别与σ2和σ3无关，可分别由应力圆 II 和 III 表
示。
三向应力状态中空间任 意方向面上的正应力和切 应力对应于应力圆I、II、 III所围阴影区域内某一点 的坐标值。
工程力学-应力状态
σ 30 100 50 2 100 50 2
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
工程力学第十三章课件
z
zx xz
x
微体上任意方向面上
的应力均匀分布。
z
当一个微体的三个坐标平面上的应力为已知时， 总可以用截面法（平衡条件）求出任意方向面上的 应力，于是当微体三个坐标平面的应力已确定时， 就称该微体的应力状态已确定。
2、主平面、主应力、主方向、主平面微体 定义：微体中
切应力为零的平面称为主平面；主平面上的正应 力称为主应力；主平面的法线方向称为主方向；
微体上角相同的转向
量取圆弧 Dx D ，使 其所对应的圆心角
DxCD 2
F o
Dy
(y,y)
D点的横坐标 OM D点的纵坐标 MD
D (, ) Dx(x,x)
2
x
CM K
n
y
x
y
x
x
y
例题 如图所示微体中已知x=40MPa，x= –30MPa，y= 60MPa，y=30MPa，试用应力 圆求=45，=90+ 两截面上的应力。
0
0
0
0
两向均压
x
2
y
x
y
2
cos 2
x
s in 2
x
y
2
s in 2
x
cos 2
q q
q q
思考：
图示拉扳，试画出A点应力状态的应力圆。
作业：
：拉应力为正，压应力为负。
：顺时针为正，逆时针为负。
y n n
x
y
t
y
：从 x 轴正向逆时针转到截面外法
线方向为正，反之为负。
y
此处任意斜截面的意义，平行
于z轴的任意斜面，该面外法线方向
x
n 与x轴夹角为 ，称为面。
工程力学 (静力学)单辉祖主编PPT课件
y
F
y F
O
x
O
x
(a)
(b)
1-1-2 力的性质
例3：用图解法求合力
(a)
1-1-2 力的性质
例4：用图解法求Fx，Fy,Fz的合力
z Fz
FxxO源自Fyy1-1-2 力的性质
例4：已知系统平衡，画出B、C两点的受力方向
1-1-2 力的性质
例5：已知构件处于平衡状态，求Fc的方向
Fc
(a) (b)
➢ 固体力学研究在外力作用下，可变形固体内部各质点所产生的 位移、运动、应力、应变及破坏等的规律。属于固体力学范畴 的有材料力学、结构力学、弹性力学和塑性力学、复合材料力 学、断裂力学等。
➢ 流体力学的研究对象是气体和液体。研究在力的作用下，流体 本身的静止状态、运动状态及流体和固体间有相对运动时的相 互作用和流动规律等。属于流体力学的有水力学、空气动力学、 环境流体力学等。
据自己的爱好和特长，进一步广泛深入地研究工程力 学相关的其它问题
学习方法与要求
学习要求：
➢ 不可迟到、早退、旷课 ➢ 上课不允许睡觉、做与本课程无关的事、说与上课无关的话 ➢ 积极参与教学过程，认真完成课堂练习 ➢ 按教师要求及时、独立完成课后作业 ➢ 上课带教材、课堂笔记本、练习本、画图工具、计算器
M x M i xM y M i yM z M i z
M= ﹝（∑Mix）2+（Miy）2+（Miz）2 ﹞ ½
n
平面力偶系的简M化：Mi Mi i1
力偶系的平衡条件：
n
M Mi 0
或
i 1
M x M i x 0 M y M i y 0 M z M i z 0
平面力偶系的平衡条件：
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本章主要研究：
应力状态应力分析的基本理论 应力、应变间的一般关系
一、强度条件回顾
§13-1 引言
强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。
• 拉压杆强度条件：
m
a
＝
x
FN A
max
单向应力状态
• 圆轴强度条件：
max
T W p
max
纯剪切应力状态
•
梁的强度条件： max
a
max
O
max
b 1 1
c
t ,max
b
b
1
1
d
C ,max
c
c t ,max
y
y
a 点处: 纯剪切； c , d 点处: 单向应力；
b 点处: , 联合作用
复杂应力状态下（一般情况下），如何建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验找破坏时的组合形式？工作量与难度 ?
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
§13-2 平面应力状态应力分析
y y y
x
x x
• 证明分析
C
o y
D ( x , x )
x
F
y E ( y , y )
(x+y)/2 (x-y)/2
x
C
(
x
y
,
0)
2
R
(
x 2
y
)2
2 x
§13-2 平面应力状态应力分析 四、应力圆与微体对应关系 • 点面对应：
微体截面上的正应力和切应力与应力圆点的坐标值一一对应。
§13-2 平面应力状态应力分析
二、应力圆（图解法）
斜截面上的应力公式
x
y
2
x
2
y co s 2
x s in 2
x
y sin 2
2
x co s2
x
2
y
x
2
y
co s2
x sin 2
0
x
2
y
s i n 2
x co s2
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
2 x
§13-2 平面应力状态应力分析
E(y ,x)
§13-2 平面应力状态应力分析
五、应力圆的应用
H
H (, )
计算斜截面上的应力
y
y y
n
x
x x
D H
C 220x
o y
F
y E
(x+y)/2 (x-y)/2
x
x
y
y x
x
平
三
面
向
单向应力状态
应
应
纯剪应力状态
力
特例
状 态
特例
力 状 态
§13-2 平面应力状态应力分析
y
y
• 平面应力状态
y yy x
x xx
微体有一对平行表面不受力的应力状态。
➢ 微体仅有四个面作用有应力；
x
x ➢ 应力作用线均平行于不受力表面；
z
y
y
y y
α x α x
• 平面应力状态的应力分析
y y
xx
H( , )
O
c
E(y ,x)
D(x ,x)
§13-2 平面应力状态应力分析 四、应力圆与微体对应关系
• 夹角2倍、转向一致：
• 夹角2倍：应力圆半径转过的角度是微体截面法线旋转角度的两倍。 • 转向一致：应力圆半径旋转方向与微体截面法线旋转方向一致。
y y
xx
H( , )
2
O
c
D(x ,x)
已知x , y, x , y 求任意平行于z轴的斜截面上的应力 x
z
§13-2 平面应力状态应力分析
一、平面应力状态斜截面应力
正负号规定
：拉为正；压为负
τx = − τy
τ：使微元体顺时针转动为正（与剪力Fs规定相同）
α：从坐标轴x正向逆时针旋转至斜截面法线方向为正
§13-2 平面应力状态应力分析
材料物质点应力状态· 应力微体 材料失效机理
强度条件
• 应力状态
A
构件受力后，通过其内一点在不同方向面上应力的集合， 称之为该点的应力状态。
• 微（元）体、单元体 围绕所研究点取无限小微六面体
(1)微体的尺寸无限小，边长为1； (2)每个面上应力均匀分布； (3)对面上应力相等。
选取原则：面上应力已知或可求
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
—坐标系下的圆方程
圆心坐标：
（ x y ， 2
0）
o
R
半径：
R
(
x 2
y )2
x2
(x+ y)/2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆
——应力圆
三、应力圆的绘制
绘制方法1：
§13-2 平面应力状态应力分析
以 （ x y ， 0） 为圆心，
平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
§13-2 平面应力状态应力分析
斜截面上的应力公式
解析法
x
2
y
x
2
y cos2
x sin 2
x
2
y
s i n 2
xcos2
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。
R
2
o
R
(
x 2
y
)2
2 x
为半径作圆
(x+ y)/2
缺点：
• 需用解析法计算圆心坐标和半径
• 没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
三、应力圆的绘制
§13-2 平面应力状态应力分析
绘制方法2（重点）
y
y
B
O
x
x
c
E(y ,x)
D(x ,x)
建立坐标系
σ−τ
找两点
确定圆心和半径
D( x , x )、E( y , y )
y
y
y
x
x x
x
z
y
微元体
§13-1 引言
三向（空间）应力状态
x x
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
平面（二向）应力状态
y
y
y
x
x x
x
y
§13-1 引言
单向应力状态 y
( One Dimensional
State of Stresses )
纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
M Wz
max
[ ]
max
F SS z ,max I z
max
[ ]
单向应力状态
纯剪切应力状态
建立强度条件的依据？ 危险点处的应力状态！
螺旋桨轴:
§13-1 引言
A
F
F
T
微体A
采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？
工字梁
d
d C ,max
1
a maxLeabharlann C az工程力学A
Engineering Mechanics A
主讲教师：李荣涛
建筑工程学院
College of Civil Engineering and Architecture
第十三章 应力状态分析
§13-1 引言 §13-2 平面应力状态应力分析 §13-3 极值应力与主应力 §13-4 复杂应力状态的最大应力 §13-5 广义胡克定律
Fn 0 : F 0 :
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )cos ( xdAsin )sin 0
§13-2 平面应力状态应力分析