李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)课后习题-第14章 结构的极限荷载【圣才出品】
结构力学第五版 李廉锟版 14结构动力学
k11
yd y
F1 ( t )
质点在惯性力F1和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：
将F1和Fc的表达式代入 或 令 有
my k11 y 0 my k11 y 0 k11 2 m 2 y 0 y
F1 Fc 0
（14-1） （14-2）
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
单自由度结构自由振动微分方程
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10:36
§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
结构力学
结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。
结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。 考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。
3. 结构动力计算可分为两大类：
ω的单位为弧度／秒(rad／s)，亦常简写为1／s (s-1)。从圆周运动的角度来看 称它为圆频率，一般称ω为自振频率。
根据式(14-1)，可给出结构自振频率ω的计算公式如下：
李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【课后习题】(矩阵位移法)【圣才出品】
第10章矩阵位移法复习思考题1．矩阵位移法的基本思路是什么？答：矩阵位移法的基本思路：（1）单元分析单元分析是指将结构先分解为有限个较小的单元，即离散化，在较小的范围内分析单元的内力与位移之间的关系，建立单元刚度矩阵或单元柔度矩阵。
（2）整体分析整体分析将将单元分析中的各单元集合成原来的结构，要求各单元满足原结构的几何条件（包括支承条件、结点处的变形连续条件）和平衡条件，建立整个结构的刚度方程或柔度方程，以求解原结构的内力和位移。
（3）支承条件引入支承条件，修改结构原始刚度方程。
（4）求解解算结构刚度方程，求出结点位移，计算各单元杆端力。
2．试述矩阵位移法与传统位移法的异同。
答：矩阵位移法与传统位移法的异同点：（1）相同点传统位移法的基本原理，是以在小变形的基础的结构体系中，内力是可以叠加的，位移也是可以叠加的，而矩阵位移法是按传统位移法的基本原理运用矩阵计算内力和位移的方法。
因此矩阵位移法和传统位移法的基本原理在实质上是一致的。
（2）不同点①矩阵位移法中一般考虑杆件轴向变形的影响，传统位移法忽略杆件的轴向变形；②矩阵位移法一般在计算机上进行计算，可以解决大型复杂问题；传统位移法的计算手段一般是手算，只用来解决简单问题。
3．矩阵位移法中，杆端力、杆端位移和结点力、结点位移的正负号是如何规定的？答：杆端力沿局部坐标系的、的正方向为正，杆端弯矩逆时针为正；杆端位移的正负同杆端力和弯矩。
结点力沿整体坐标系x、y的正方向为正，结点力偶逆时针为正；结点位移的正负同结点力和力偶。
4．为何用矩阵位移法分析时，要建立两种坐标系？答：因为单元刚度矩阵是建立在杆件的局部坐标系上的，但对于整体结构，各单元的局部坐标系可能不尽相同，在研究结构的几何条件和平衡条件时，需要选定一个统一的坐标系即为整体坐标系，另外按局部坐标系建立的单元刚度矩阵可以通过坐标转换到整体坐标系中，从而得到整体坐标系中的单元刚度矩阵。
故建立两种坐标系使矩阵位移法的思路更清晰，物理意义更明确，且不会影响计算结果。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(12-15章)【圣才出品】
阶方阵）。
十、地震作用计算 ★★ 整节非考研初试重点，但为考研复试的考察重点，需重点掌握基本概念。地震作用的基 本概念见表 12-1-14。
表 12-1-14 地震作用的基本概念
十一、计算频率的近似法 ★★ 本节掌握集中质量位置选择的基本思路即可，其他的为非重点。具体内容见表 12-1-15。
表 12-1-15 计算频率的近似法
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••
•
简写为 MY＋cY＋KY＝F（t）。
式中，cij 为质点 j 处的运动速度引起质点 i 处的阻力系数；Fi（t）为作用在质点 i 处的
任意荷载；Y 为速度列向量；F（t）为任意荷载列向量（n×1 阶列矩阵）；c 为阻尼矩阵（n×n
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12.2 课后习题详解 复习思考题
1．怎样区别动力荷载与静力荷载？动力计算与静力计算的主要差别是什么？ 答：（1）静力荷载：指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去 惯性力影响的荷载； 动力荷载：指将使结构产生不容忽视的加速度，因而必须考虑惯性力的影响的荷载。 主要差别在于是否考虑惯性力的影响。
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第 12 章 结构动力学
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12.1 复习笔记
【知识框架】
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【重点难点归纳】 一、基本概念 ★★★ 1．动力载荷与静力载荷（见表 12-1-1）
图 12-1-1 （1）刚度系数与柔度系数（见表 12-1-5）
表 12-1-5 刚度系数与柔度系数
李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)章节题库-第14章 结构的极限荷载【圣才出品】
2．用试算法求图 14-5 所示刚架的极限荷载。
图 14-5 解：（1）确定基本机构 可能出现塑性铰的截面为 A、B、C、D、E、F，h＝6，静不定次数 n＝3，所以，基 本机构数 m＝3。 图 14-6（a）～（c）分别为机构 1，机构 2 和机构 3。 （2）试算 对组合机构进行试算如下： ①组合机构 I＝机构 1＋机构 3（侧移机构），如图 14-6（d）所示，虚功方程为
3．超静定梁和刚架成为破坏机构时，塑性铰的数目 m 与结构超静定次数 n 之间的关 系为（ ）。
A．m＝n B．m＞n C．m＜n
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台
D．取决于体系构造和所受荷载的情况
【答案】D
【解析】塑性铰数目与超静定次数并无必然的关系。
二、填空题 1．在同向竖向荷载作用下，连续梁的极限状态通常是______。 【答案】在各跨独立形成破坏机构
2．如图 14-1 所示梁的极限荷载
为______。
图 14-1
【答案】 【解析】图示梁为静定，先作出其弯矩图，如图 14-1（a）所示。分析可知塑性铰产
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生在 C 处，即
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3．如图 14-2 所示阶梯状变截面梁的极限荷载 Pu＝______。
图 14-2 【答案】 【解析】注意变截面处的极限弯矩为 Mu。
三、判断题 1．一个 n 次超静定梁必须出现，n＋1 个塑性铰后才可能发生破坏。（ ） 【答案】× 【解析】不一定必须如此。当塑性铰的出现使某构件或某局部的构件成为破坏机构， 就发生破坏。
机构 1 则
图 14-4
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(NEW)李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 结构动力学12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 结构弹性稳定13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 结构的极限荷载14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 悬索计算15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第12章 结构动力学12.1 复习笔记【知识框架】动力荷载与静力荷载基本概念自由振动和强迫振动 结构动力计算的目的 振动自由度的定义结构振动的自由度 结构按自由度的数目分类：单自由度结构和多自由度结构 确定结构的振动自由度 无限自由度结构 自由振动的原因：初始位移、初始速度单自由度结构的自由振动 不考虑阻尼时的自由振动 考虑阻尼时的自由振动 简谐荷载作用下单自由度受迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 不考虑阻尼的纯受迫振动考虑阻尼的纯受迫振动 瞬时冲量作用于质点单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 任意动力载荷作用下的质点位移公式 振动微分方程 两种特殊载荷作用下的质点位移公式 按柔度法求解多自由度结构的自由振动按刚度法求解主振型的正交性多自由度结构在筒谐荷载作用下的的受迫振动 按柔度法求解振型分解法的优点 按刚度法求解振型分解法振型分解法的步骤 振动微分方程组的建立多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 振动微分方程组的解耦待定常数的确定求解的具体步骤 地震作用的基本概念 地震作用的定义地震作用的计算 地震作用的分类：水平地震和竖向地震地震作用的实质单自由度结构的地震作用计算 多自由度结构的地震作用计算 梁的自由振动无限自由度结构的振动简谐均布干扰力作用下的受迫振动计算频率的近似计算方法：能量法、集中质量法、用相当梁法计算桁架的最低频率【重点难点归纳】一、基本概念1．动力载荷与静力载荷（1）静力载荷静力荷载是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。
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第12章 结构动力学复习思考题1．怎样区别动力荷载与静力荷载？动力计算与静力计算的主要差别是什么？答：（1）静力荷载：指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载；动力荷载：指将使结构产生不容忽视的加速度，因而必须考虑惯性力的影响的荷载。
主要差别在于是否考虑惯性力的影响。
（2）计算上的差别：①计算式中是否加入惯性力的数值；②静力计算时，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化；而动力计算时，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化；③动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法与荷载类型无关。
2．何谓结构的振动自由度？它与机动分析中的自由度有何异同？如何确定结构的振动自由度？答：（1）结构振动的自由度是指结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。
（2）机动分析中的自由度简称静力自由度（又称动力自由度）。
①两者相同点：在数学意义上是一致的，都是强调体系空间质量所需的几何参量的个数。
②不同点：静力自由度是机构移动即刚体位移，排除了各个组成部件的变形运动；而动力自由度是变形位移导致机构位置改变，即体系变形过程质量的运动自由度。
（3）确定结构振动自由度的两种方法：①直接由确定质点位置所需的独立参数数目来判定；②加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的振动自由度数目即等于所加入链杆的数目。
3．建立振动微分方程有哪两种基本方法？每种方法所建立的方程代表什么条件？答：（1）建立振动微分方程的两种基本方法：刚度法和柔度法。
（2）刚度法代表力的平衡条件，柔度法代表变形协调条件。
4．为什么说结构的自振频率和周期是结构的固有性质？怎样改变它们？答：（1）自振频率和周期是结构的固有性质的原因：结构的自振频率和周期只取决于结构自身的质量和刚度，反映着结构固有的动力特性，而外部干扰力只能影响振幅和初相角的大小并不能改变结构的自振频率。
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二、选择题
1．如图 12-3 所示结构，不计阻尼与杆件质量，若要发生共振，θ 应等于（
）。
[天津大学 2005 研]
2k
A．
3m
k
B．
3m
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2k
C．
5m
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k
D．
5m
图 12-3
【答案】B
【解析】当体系的自振频率与外部激励荷载的频率相同时，体系发生共振。首先求该
该结构的质量矩阵为
。
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2．如图 12-2 所示结构的动力自由度为______（不计杆件质量）。[中南大学 2003 研]
图 12-2 【答案】3 【解析】一个自由质点的动力自由度为两个（不考虑转动自由度），本题所示结构中有 三个质点，第一层的两个质点只有一个水平自由度，第二层的质点有水平和竖向两个自由 度，故一共有三个动力自由度。
2．可用下述方法求如图 12-8（a）所示单自由度体系的频率；由图 12-8（b）可知 ， 。（ ）[西南交通大学 2008 研]
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图 12-8
【答案】错
【解析】设质点 m 处的位移为 u，则体系惯性力分别为 mu&&和 2mu&&，支座处的弹簧弹
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名校考研真题
第 12 章 结构动力学
一、填空题 1．设直杆的轴向变形不计，则图 12-1 所示体系的质量矩阵[M]＝______。[西南交通 大学 2007 研]
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b．F＞Fcr
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如图 13-1-2（b）所示，当 F 达到临界值 Fcr（比上述中心受压直杆的临界荷载小）时，
即使荷载丌增加甚至减小，挠度仍继续增加。
②特征
平衡形式并丌发生质变，变形按原有形式迅速增长，使结构丧失承载能力。
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第 13 章 结构弹性稳定
13.1 复习笔记
【知识框架】
结构失稳形式 第一类失稳（分支点失稳）
结构失稳概述
第二类失稳（极值点失稳）
临界荷载的确定
结构稳定的自由度
静力法的描述
用静力法确定临界荷载 单自由度结构的丼例
多自由度结构的丼例
当 φ≠0 时，φ 不 F 的数值仍是一一对应的（图 13-1-3（c）中的曲线 AC）。 ③近似处理 若丌涉及失稳后的位秱计算而只要求临界荷载的数值。则可采用近似方程求解。 3．多自由度结构 对于具有 n 个自由度的结构 （1）对新的平衡形式列出 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立参数（丌全为 0）的齐次 方程； （2）由系数行列式 D＝0 建立稳定方程； （3）求解稳定方程的 n 个特征荷载，其最小值便为临界荷载。
图 13-1-3 （1）平衡条件
Flsinφ－kφ＝0 当位秱很微小时，sinφ＝φ，式（13-1）可近似写为
（Fl－k）φ＝0 （2）平衡二重性 ①对于原有的平衡形式，φ＝0，上式成立； ②对于新的平衡形式，φ≠0，因而 φ 的系数应等于零，即
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（13-1） （13-2）
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第14章 结构的极限荷载
复习思考题
1．什么叫极限状态和极限荷载？什么叫极限弯矩、塑性铰和破坏机构？
答：（1）极限状态和极限荷载的含义：
①极限状态是指整个结构或结构的一部分超过某一状态就不能满足设计规定的某一功能要求时所对应的特定状态；
②极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。
（2）极限弯矩、塑性铰和破坏机构的含义：
①极限弯矩是指某一截面所能承受的弯矩的最大数值；
②塑性铰是指弯矩不能再增大，但弯曲变形则可任意增长的截面；
③破坏机构是指出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系的结构。
2．静定结构出现一个塑性铰时是否一定成为破坏机构？n次超静定结构是否必须出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构？
答：（1）静定结构出现一个塑性铰时一定成为破坏机构。
因为根据几何组成分析，当静定结构出现一个塑性铰时，结构由几何不变变成几何可变或几何瞬变体系，此时该结构一定成为了破坏机构。
（2）n次超静定结构不必出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构。
因为n次超静定结构出现n个塑性铰时，如果塑性铰的位置不合适，也可能使原结构变成几何瞬变的体系，此时的结构也成为了破坏机构。
3．结构处于极限状态时应满足哪些条件？
答：结构处于极限状态时应满足如下三个条件：
（1）机构条件
机构条件是指在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构（几何可变或瞬变体系），可沿荷载作正功的方向发生单向运动。
（2）内力局限条件
内力局限条件是指在极限状态中，任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩。
（3）平衡条件
平衡条件是指在极限状态中，结构的整体或任一局部仍维持平衡。
4．什么叫可破坏荷载和可接受荷载？它们与极限荷载的关系如何？
答：（1）可破坏荷载和可接受荷载的含义：
可破坏荷载是指满足机构条件和平衡条件的荷载（不一定满足内力局限条件）；
可接受荷载是指满足内力局限条件和平衡条件的荷载（不一定满足机构条件）。
（2）与极限荷载的关系
极限荷载是所有可破坏荷载中的最小者，是所有可接受荷载中的最大者。
习题
14-1 已知材料的屈服极限σs＝240MPa。
试求下列截面的极限弯矩值：（a）矩形截面b＝50mm，h＝100mm；（b）20a工字钢；（c）图示T形截面。
图14-1（题14-1）解：（a）由题意知
I s （b）查型钢表有，20a工字钢：I x＝2370，/17.2
x x
故
（c）设x为T型截面的形心到翼缘板下边缘的距离，则
80×20＋20x＝20（100-x）解得
x＝10mm
故
W s
＝80×20×20＋20×10×5＋20×90×45＝
114000mm 3
则
14 试求图示圆形截面及圆环形截面的极限弯矩。
设材料的屈服极限为σs 。
图14-2（题14）
解：直接代入公式得
（a ）u s s s s D D D M W πσσσπ==⨯⨯⨯⨯=2
3
1222436
（b ）()u s s D D D M D δδσσ⎡⎤⎡⎤
-⎛⎫=-=-
-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦33
33221166614-3 试求等截面静定梁的极限荷载。
已知a ＝2m ，M u ＝300kN·m 。
图14-3（题14-3）
图14-4
解：作出静定结构弯矩图，如图14-4所示。
由弯矩图知
则
14-4 试求阶梯形变截面梁的极限荷载。
图14-5（题14-4）
图14-6
解：作出变截面梁的弯矩图，如图14-6所示。
则由弯矩图可知,则。
14-5 试求等截面梁的极限荷载。