结构力学——结构的极限荷载 免费
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结构力学结构的极限荷载
P
C
B
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P 代入，得
A
5Pl / 32
P
C
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
P 2M u / 3l Pu P P 6 M u / l
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的 Pu 平衡可直接求出极限荷载。 Mu A B 1 l C Mu MA 0 RB ( Pu M u ) l 2 2 RB P l Pu l M u A MC 0 M u RB B 2 4 2 C
Ms s M A ydA A ydAe A s ydA p [3 ( )2 ] 2 Ms s M ——弯矩与曲率关系(非线性关系) M [3 ( )2 ] 或 s 3 2 2 Ms
e p
塑性极限状态： 截面上各点应力均达到屈服 s
§9-4
单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A 截面先出现塑性铰，这时 M A 3Pl / 16 M u
A
P
C
B
P 16 M u / 3l
再增加荷载 l/2
3Pl / 16
A
l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令 MC Mu
只能出现一个塑性铰，所以
9M u Pu l
2 Pl 9
讨论： M C Pl / 9 1 Pl Mu Mu 9 Mu
M D 2 Pl / 9 1 Pl Mu 4M u 18 M u
结构力学(二)第4版龙驭球第17章结构的极限荷载
第17章 极限荷载【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(212δδδσb hbh M s u +=。
（b ）圆形截面的极限弯矩为63D M s u σ=。
（c ）环形截面的极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=33)21(16D D M su δσ。
【解】（a ）工字形截面的等面积轴位于中间。
静距计算公式：2021d xy y xy S y ==⎰考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）：)41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122222212bhb b h h bh h h b bh hb h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(21212δδδb h bh S +=因此极限弯矩为)41()(212δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：2021d xy y xy S y==⎰ 6322d 2))2(d(21)2(4d )2(43)2(023)2(0202222202222D uu u y D y D y y y D S D DDD =⋅=⋅=-⋅-=⋅-=⎰⎰⎰关/注；公，众。
号：倾听细雨因此极限弯矩为63D S M s s u σσ==（c ）圆的静距为63D S =则圆环的静距为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=3333)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==33)21(16D D S M ss u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。
设材料的屈服应力为s σ。
【解】设等面积轴距上顶面距离为xmm 。
由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得405550))50(21(22⨯+⨯=-+x x x ，解得mm x 723.4=。
单个角钢上下截面面积矩：32323232233214879mm ])723.440(20)723.440(31)723.445(20)723.445(31[)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431723.4)723.450(21=+⨯++⨯-+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯==⨯+⨯-⨯=S S由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+⨯=+=【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。
11 结构力学—— 结构的极限荷载
MC
哈工大 土木工程学院
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17
结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
哈工大 土木工程学院
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17
结构的塑性分析和极限荷载
限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m
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结构的塑性分析和极限荷载
s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l
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结构的塑性分析和极限荷载
q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
第十二章结构的极限荷载5PPT课件
图（b）表示截面处于弹性阶段。这个阶段结束的
标志是最外纤维处的应力达到屈服极限 σs ，图（c）
所示，此时的弯矩： ---屈服弯矩Ms
Ms
bh2 6
s
也称为:弹性极限弯矩Ms
b）弹塑性阶段
b ho z
σs
yo yo
y
（a）
σs （d）
图（d）表示截面处于弹塑性阶段。这时截面在靠
外部分形成塑性区，其应力为 σs
矩形截面：
A
C
Mu
y1 y2
A1 y
•
h
b A2 y
A1 y
•
A2 y
Mu A1 s y1 A2 s y2
2(b
h 2
h4)s
bh2 4
s
二、塑性铰
1、塑性铰的概念
qu
A
C
Mu
C
当截面达到塑性流动阶段时，在 极限弯矩保持不变的情况下，两个无 B 限靠近的截面可以产生有限的相对转 角，这种情况与带铰的截面相似。因 此这时的截面可以称为 塑性铰。
§12-2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构、静定梁的计算
一、屈服弯矩与极限弯矩
以理想弹塑性材料的矩形截面梁受纯弯曲情况为例，说 明梁由弹性阶段到弹塑性阶段以及最后达到塑性阶段的过程 及一些基本概念。
M
M
h
b
随着M的增大，梁的变形情况经历了以下几个阶段：
a）弹性阶段
b
σ
σs
ho z
y
（a）
σ （b）
σs （c）
结构力学
道路与桥梁工程系
§12-1 概 述
1、弹性计算
——在计算中假设应力与应变为线性关系，荷载 全部卸除后结构没有残余变形。
结构的极限荷载
1 1 Pl = M J + M J 3 3
C MJ D
l/3
MJ
P A
l/3
P B
3 l/3
C MJ D1 Pl
l/3
MJ
PJ =
4M J l
检查屈服条件： 检查屈服条件：
1 2 2 M C = Pl M J = M J < M J 3 3 3
§10-3 连续梁的极限荷载 10一.连续梁的极限状态
对任一静力满足屈服条件和平衡条件的可接受荷载，将 小于或等于极限荷载，因此可接受荷载中的极大值是极限荷 载的下限值。
五.极限荷载的单值定理（唯一性定理） 极限荷载的单值定理（唯一性定理）
既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则为极限荷载。 或同时满足机构条件、屈服条件和平衡条件的荷载，必为 极限荷载。
P A
q MJ l
x
*精确解
V
V=
ql M J 2 l
Q=
ql M J qx = 0 2 l
x= l MJ 2 ql
M max = (
ql M J l M J 1 l M )( ) q( J )2 = M J l 2 ql 2 2 2 ql
q θ MJ 2θ θ
解得 q = 11.66
l *近似解 x = 2
M J = W Sσ s
矩形截面
1 h bh 2 W S = 2 × bh × = 2 4 4 bh 2 W= 6
W S ≥ W 经济
（2）塑性铰 当截面达到塑性极限状态时，中性轴上、下各点应 力全都达到受压和受拉的屈服极限，截面两侧可以互相 转动，从变形上看，如同出现一个铰，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的不同之处： 塑性铰与普通铰的不同之处： ①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 ②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 Mu ③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
C MJ D
l/3
MJ
P A
l/3
P B
3 l/3
C MJ D1 Pl
l/3
MJ
PJ =
4M J l
检查屈服条件： 检查屈服条件：
1 2 2 M C = Pl M J = M J < M J 3 3 3
§10-3 连续梁的极限荷载 10一.连续梁的极限状态
对任一静力满足屈服条件和平衡条件的可接受荷载，将 小于或等于极限荷载，因此可接受荷载中的极大值是极限荷 载的下限值。
五.极限荷载的单值定理（唯一性定理） 极限荷载的单值定理（唯一性定理）
既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则为极限荷载。 或同时满足机构条件、屈服条件和平衡条件的荷载，必为 极限荷载。
P A
q MJ l
x
*精确解
V
V=
ql M J 2 l
Q=
ql M J qx = 0 2 l
x= l MJ 2 ql
M max = (
ql M J l M J 1 l M )( ) q( J )2 = M J l 2 ql 2 2 2 ql
q θ MJ 2θ θ
解得 q = 11.66
l *近似解 x = 2
M J = W Sσ s
矩形截面
1 h bh 2 W S = 2 × bh × = 2 4 4 bh 2 W= 6
W S ≥ W 经济
（2）塑性铰 当截面达到塑性极限状态时，中性轴上、下各点应 力全都达到受压和受拉的屈服极限，截面两侧可以互相 转动，从变形上看，如同出现一个铰，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的不同之处： 塑性铰与普通铰的不同之处： ①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 ②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 Mu ③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
结构力学课件 第十二章 结构的极限荷载
Mu
× 2δθ
=
0
Pu
A
δθ B
δθ
C Mu
2δθ
Pu/2
本例中，截面上有剪力，剪力 会使极限弯矩值降低，但一般 影响较小，可略去不计。
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
A截面先出现塑性铰，这时 M A = 3Pl /16 = M u P = 16M u / 3l
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
上节定理的应用：
极小定理的应用
穷举法：列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏 机构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。
试算法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破 坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏 荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。
Pu1 ≥ Pu2 若把 Pu2看成可破坏荷载，Pu1 看成可接受荷载。
故有
Pu1 ≤ Pu2 Pu1 = Pu2
3.极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
证明：由于极限荷载 Pu 是可接受荷载，由基本定理 Pu ≤ P+ 4.极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明：由于极限荷载 Pu 是可破坏荷载，由基本定理 Pu ≥ P−
令 M max = M u ，得
Pu
=
4Mu
/
l
=
4 4000
× 26.79×106
=
26.79
kN
l/2
l/2
结构力学教学课件-12结构的极限荷载-1 补充 弯曲应力
EIz称为梁的抗弯刚度。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
E E y
1 M
EIz
M y
Iz
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应 力的计算公式。
M ----- 横截面上的弯矩
Iz ----- 横截面对中性轴的惯性矩 y ----- 求应力的点到中性轴的距离
纯弯曲时梁横截面上的正应力
讨论：
M y
dA E
A
ydA ESz 0
A
Sz A ydA yC A
C
Sz为截面图形对z的静矩, 因 中性轴
z
E/≠0, 必有Sz ＝0, 所以中性
轴必通过横截面形心。
y
中性轴(z轴)过形心且与横截面的对称 轴y垂直。
M y
z dA E
A
z y dA EI yz 0
A
这是保证梁为平面弯曲的条件。
max
Mymax Iz
矩形截面梁横截面上正应力 分布如图所示
c max t max max
ymax C
z ymax
y
c max
M
t max
纯弯曲时梁横截面上的正应力
令
Wz
Iz ymax
max
Mymax Iz
得
max
M Wz
C y
ymax
z ymax
Wz称为弯曲截面系数。是截面的几何性质之一, 其值与横截面的形状和尺寸有关, 单位是m3。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
b z
h
矩形截面的抗弯截面系数
Wz
Iz h/2
bh2 6
y d
z y
圆形截面的抗弯截面系数
Wz
Iz d /2
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例７－１ 求图示连续梁的极限荷载
L
L
3
3
L 3
７－３ 超静定梁的极限分析
平衡弯矩法 解：１）先设第一跨形成机构破坏：q1u
塑性铰一般常出现在集中荷载作
用点、截面突变、支座截面等处。
1.5M u
q1uL
Mu
q1 u
4
L
1 2
1.5Mu
Mu
1.5Mu
q1 u
11Mu L
1.5M u Mu
Mu
2q
2 u
１弹性阶段
Mu M
形心轴
弹性阶段末对应的最大弯矩—屈服弯矩 My
My wE y w
y
７－２ 静定梁的塑性分析
塑性区 弹性区
形心轴
y
２ 弹塑性阶段
y
y
３ 全塑性阶段末 —极限状态
极限阶段 My —破坏前能承受的使全截面进入塑性 工作状态（极限状态）最大弯矩
７－２ 静定梁的塑性分析
q3 u
7 Mu
L2
2M u
MF
q3 u
L
3
L
1 3 Mu
2Mu
q3 u
7 Mu
L2
７－３ 超静定梁的极限分析
机动法
解：１）设第一跨先形成机构
q1uL
２）设第二跨先形成机构
q2 u
Mu
Mu
1.5M u
Mu
*
2
x
Mu
1.5M u
q1 u
L
L 2
1.5Mu
2
Mu
q1 u
7Mu
L2
L
2 2 0
2q
2 u
y NC z1 z2 Nt y
Mu NcZ1 Nt Z2 yA上Z1 yA下Z２
y S上 S下
y Mu
塑性截面模量
h1 中性轴（等面积线）
形心轴
h2
X 0
Nc y A上
Nt y A下
Mu
Wu
2
bh 2
h 4
1.5
My WE
1 bh2
6
７－２ 静定梁的塑性分析
二 横力弯曲简支梁 Pu
Pu
M u 2
W外 Pu *, W内 Mu 2
其中
*
1 2
L, Pu
2 *
Mu
4Mu L
７－３ 超静定梁的极限分析
一 单跨超静定梁
１ 弹性工作阶段 P1 Py, y
P
P1 Py
C
由Ｍ图可知： MA MC
3 16
P1L
P1
A
C
B
5 32
P1L
M图
可见，本阶段末，首先在支座截面进入塑性状 态（表层）。继续加载支座截面由部分塑性发 展为全截面塑性形成塑性铰。此时，梁处于弹、 塑性工作状态，成为静定梁。
足够数目 的截面（该处弯矩达到极限弯矩值）形成塑性铰，
而使结 构变为一破坏机构。
２屈服条件—当荷载达到极限值时，结构上各个截 面的弯矩
都不能超过其极限值，即 MJ M MJ ３平衡条件—当荷载达到极限值时，作用在结构整 体上或任
一局部上所有的力都必须维持平衡。
７－４ 比例加载的几个定理
二 三个定理
７－３ 超静定梁的极限分析
２ 弹塑性阶段 Py P2 Pu
P2
P2
Mu
P2
A
C
B
P3
３ 极限工作状态
进一步加载，A截面的弯矩
A
C
B
维持 M u 不变。C截面的弯矩逐
步增大到也使该截面进入全塑性
P3
P3
状态，形成第二个塑性铰，梁称
为可变的机构，结构处于极限状A 态。
A CB
C
B
７－３ 超静定梁的极限分析
2)设第二跨形成机构：
1
8
2q
2 u
L2
Mu
Mu
Mu
q2 u
8 Mu L2
７－３ 超静定梁的极限分析
2)设第三跨形成机构： a)假定E处先出现塑性铰
Mu
q3uL q3uL
此种情况不 2M u 2Mu 可能出现
PL
PL
3
3
b)假定F处先出现塑性铰
Mu
q3uL q3uL
综上可知：
q m in
全塑性阶段： Pu
Mu
C Mu
跨中截面的弯矩达到 M u ，即该处可沿荷载作用方向 作单向转动—塑性铰。梁成为机构，此时的工作状态
称为极限状态，对应的荷载称为极限荷载。
求 的方法： ①平衡弯矩法—作极限状态下的弯矩图
Pu
MC
Mu
1 4
PuL, Pu
4Mu L
Mu
７－２ 静定梁的塑性分析
②机动法—虚位移原理
２ 弹塑性阶段 Py P2 Pu
P2
P2
Mu
P2
A
C
B
P3
３ 极限工作状态
进一步加载，A截面的弯矩
A
C
B
维持 M u 不变。C截面的弯矩逐
ห้องสมุดไป่ตู้
步增大到也使该截面进入全塑性
P3
P3
状态，形成第二个塑性铰，梁称
为可变的机构，结构处于极限状A 态。
A CB
C
B
７－３ 超静定梁的极限分析
二 多跨超静定梁的极限荷载 １ 基本假定 ①各跨的极限荷载在跨内相同（等截面） ②全梁实施比例加载，求极限荷载问题转化为求其公共因子的 极限值 ③各跨单独形成机构达到极限状态 ２ 公式算法：平衡弯矩法或机构法，取其中最小值
➢１上限定理—对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一 可能的破坏机构，由平衡条件所求得的荷载将大于或等于极限 荷载。
➢ 此荷载同时满足机构条件和平衡条件，称之为可破坏荷载 ➢２下限定理—对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一 静力可能而又安全的弯矩分布所求得的荷载将小于极限荷载。
➢ 此荷载同时满足平衡条件和屈服条件，称之为可接受荷载 ➢３单值定理—对于一比例加载作用下的给定结构，如荷载既 是可破坏荷载又是可接受荷载，则此荷载即极限荷载
结构力学
第七章 结构的极限荷载
７－１ 有关概念 ７－２ 静定梁的塑性分析 ７－３ 超静定梁的极限分析 ７－４ 比例加载的几个定理 ７－５ 用矩阵位移法求刚架的极限荷载 ７－６ 本章要点
７－１ 有关概念
一 弹性分析与塑性分析
屈服限 y
o
计算假定 理想弹塑性模型
y
７－２ 静定梁的塑性分析
一 纯弯曲梁
➢ 此荷载同时满足平衡条件、屈服条件和机构条件
７－５ 用矩阵位移法 求刚架的极限荷载
一 计算假定 １作用在刚架上的荷载是按比例加载的节点荷载 ２塑性铰位于某一截面上
二 计算原理 利用矩阵位移法由弹性分析→内力分布状况
→比较后确定第一个塑性铰位置→修正原 K
→重新计算内力分布→比较确定第二个塑性铰
→ K 修正→分阶段 P1 P2
→直到出现若干塑性铰使结构称为机构为止 此法称之为“增量变刚度法”
７－５ 用矩阵位移法 求刚架的极限荷载
第一阶段
形成第一个塑性铰前该阶段末的荷载 P1
先令 P1 1 各截面的
Mu M1
m in
值越小，越易出现塑性铰
2M u
Mu
dx
x
Mu
3
q
2 u
8Mu
L2
７－３ 超静定梁的极限分析
３）设第三跨先形成机构
q3uL q3uL
Mu
2
q
3 u
L
L 3
q3 u
L
2 3
L
2Mu
3
Mu
q3 u
7 Mu
L2
综上可知：
3
Mu
q m in
q3 u
7 Mu
L2
７－４ 比例加载的几个定理
一 极限状态下的三个条件 １机构条件—当荷载达到极限值时，结构上必将有
L
L
3
3
L 3
７－３ 超静定梁的极限分析
平衡弯矩法 解：１）先设第一跨形成机构破坏：q1u
塑性铰一般常出现在集中荷载作
用点、截面突变、支座截面等处。
1.5M u
q1uL
Mu
q1 u
4
L
1 2
1.5Mu
Mu
1.5Mu
q1 u
11Mu L
1.5M u Mu
Mu
2q
2 u
１弹性阶段
Mu M
形心轴
弹性阶段末对应的最大弯矩—屈服弯矩 My
My wE y w
y
７－２ 静定梁的塑性分析
塑性区 弹性区
形心轴
y
２ 弹塑性阶段
y
y
３ 全塑性阶段末 —极限状态
极限阶段 My —破坏前能承受的使全截面进入塑性 工作状态（极限状态）最大弯矩
７－２ 静定梁的塑性分析
q3 u
7 Mu
L2
2M u
MF
q3 u
L
3
L
1 3 Mu
2Mu
q3 u
7 Mu
L2
７－３ 超静定梁的极限分析
机动法
解：１）设第一跨先形成机构
q1uL
２）设第二跨先形成机构
q2 u
Mu
Mu
1.5M u
Mu
*
2
x
Mu
1.5M u
q1 u
L
L 2
1.5Mu
2
Mu
q1 u
7Mu
L2
L
2 2 0
2q
2 u
y NC z1 z2 Nt y
Mu NcZ1 Nt Z2 yA上Z1 yA下Z２
y S上 S下
y Mu
塑性截面模量
h1 中性轴（等面积线）
形心轴
h2
X 0
Nc y A上
Nt y A下
Mu
Wu
2
bh 2
h 4
1.5
My WE
1 bh2
6
７－２ 静定梁的塑性分析
二 横力弯曲简支梁 Pu
Pu
M u 2
W外 Pu *, W内 Mu 2
其中
*
1 2
L, Pu
2 *
Mu
4Mu L
７－３ 超静定梁的极限分析
一 单跨超静定梁
１ 弹性工作阶段 P1 Py, y
P
P1 Py
C
由Ｍ图可知： MA MC
3 16
P1L
P1
A
C
B
5 32
P1L
M图
可见，本阶段末，首先在支座截面进入塑性状 态（表层）。继续加载支座截面由部分塑性发 展为全截面塑性形成塑性铰。此时，梁处于弹、 塑性工作状态，成为静定梁。
足够数目 的截面（该处弯矩达到极限弯矩值）形成塑性铰，
而使结 构变为一破坏机构。
２屈服条件—当荷载达到极限值时，结构上各个截 面的弯矩
都不能超过其极限值，即 MJ M MJ ３平衡条件—当荷载达到极限值时，作用在结构整 体上或任
一局部上所有的力都必须维持平衡。
７－４ 比例加载的几个定理
二 三个定理
７－３ 超静定梁的极限分析
２ 弹塑性阶段 Py P2 Pu
P2
P2
Mu
P2
A
C
B
P3
３ 极限工作状态
进一步加载，A截面的弯矩
A
C
B
维持 M u 不变。C截面的弯矩逐
步增大到也使该截面进入全塑性
P3
P3
状态，形成第二个塑性铰，梁称
为可变的机构，结构处于极限状A 态。
A CB
C
B
７－３ 超静定梁的极限分析
2)设第二跨形成机构：
1
8
2q
2 u
L2
Mu
Mu
Mu
q2 u
8 Mu L2
７－３ 超静定梁的极限分析
2)设第三跨形成机构： a)假定E处先出现塑性铰
Mu
q3uL q3uL
此种情况不 2M u 2Mu 可能出现
PL
PL
3
3
b)假定F处先出现塑性铰
Mu
q3uL q3uL
综上可知：
q m in
全塑性阶段： Pu
Mu
C Mu
跨中截面的弯矩达到 M u ，即该处可沿荷载作用方向 作单向转动—塑性铰。梁成为机构，此时的工作状态
称为极限状态，对应的荷载称为极限荷载。
求 的方法： ①平衡弯矩法—作极限状态下的弯矩图
Pu
MC
Mu
1 4
PuL, Pu
4Mu L
Mu
７－２ 静定梁的塑性分析
②机动法—虚位移原理
２ 弹塑性阶段 Py P2 Pu
P2
P2
Mu
P2
A
C
B
P3
３ 极限工作状态
进一步加载，A截面的弯矩
A
C
B
维持 M u 不变。C截面的弯矩逐
ห้องสมุดไป่ตู้
步增大到也使该截面进入全塑性
P3
P3
状态，形成第二个塑性铰，梁称
为可变的机构，结构处于极限状A 态。
A CB
C
B
７－３ 超静定梁的极限分析
二 多跨超静定梁的极限荷载 １ 基本假定 ①各跨的极限荷载在跨内相同（等截面） ②全梁实施比例加载，求极限荷载问题转化为求其公共因子的 极限值 ③各跨单独形成机构达到极限状态 ２ 公式算法：平衡弯矩法或机构法，取其中最小值
➢１上限定理—对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一 可能的破坏机构，由平衡条件所求得的荷载将大于或等于极限 荷载。
➢ 此荷载同时满足机构条件和平衡条件，称之为可破坏荷载 ➢２下限定理—对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一 静力可能而又安全的弯矩分布所求得的荷载将小于极限荷载。
➢ 此荷载同时满足平衡条件和屈服条件，称之为可接受荷载 ➢３单值定理—对于一比例加载作用下的给定结构，如荷载既 是可破坏荷载又是可接受荷载，则此荷载即极限荷载
结构力学
第七章 结构的极限荷载
７－１ 有关概念 ７－２ 静定梁的塑性分析 ７－３ 超静定梁的极限分析 ７－４ 比例加载的几个定理 ７－５ 用矩阵位移法求刚架的极限荷载 ７－６ 本章要点
７－１ 有关概念
一 弹性分析与塑性分析
屈服限 y
o
计算假定 理想弹塑性模型
y
７－２ 静定梁的塑性分析
一 纯弯曲梁
➢ 此荷载同时满足平衡条件、屈服条件和机构条件
７－５ 用矩阵位移法 求刚架的极限荷载
一 计算假定 １作用在刚架上的荷载是按比例加载的节点荷载 ２塑性铰位于某一截面上
二 计算原理 利用矩阵位移法由弹性分析→内力分布状况
→比较后确定第一个塑性铰位置→修正原 K
→重新计算内力分布→比较确定第二个塑性铰
→ K 修正→分阶段 P1 P2
→直到出现若干塑性铰使结构称为机构为止 此法称之为“增量变刚度法”
７－５ 用矩阵位移法 求刚架的极限荷载
第一阶段
形成第一个塑性铰前该阶段末的荷载 P1
先令 P1 1 各截面的
Mu M1
m in
值越小，越易出现塑性铰
2M u
Mu
dx
x
Mu
3
q
2 u
8Mu
L2
７－３ 超静定梁的极限分析
３）设第三跨先形成机构
q3uL q3uL
Mu
2
q
3 u
L
L 3
q3 u
L
2 3
L
2Mu
3
Mu
q3 u
7 Mu
L2
综上可知：
3
Mu
q m in
q3 u
7 Mu
L2
７－４ 比例加载的几个定理
一 极限状态下的三个条件 １机构条件—当荷载达到极限值时，结构上必将有