结构力学：极限荷载2
结构力学结构的极限荷载
P
C
B
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P 代入，得
A
5Pl / 32
P
C
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
P 2M u / 3l Pu P P 6 M u / l
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的 Pu 平衡可直接求出极限荷载。 Mu A B 1 l C Mu MA 0 RB ( Pu M u ) l 2 2 RB P l Pu l M u A MC 0 M u RB B 2 4 2 C
Ms s M A ydA A ydAe A s ydA p [3 ( )2 ] 2 Ms s M ——弯矩与曲率关系(非线性关系) M [3 ( )2 ] 或 s 3 2 2 Ms
e p
塑性极限状态： 截面上各点应力均达到屈服 s
§9-4
单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A 截面先出现塑性铰，这时 M A 3Pl / 16 M u
A
P
C
B
P 16 M u / 3l
再增加荷载 l/2
3Pl / 16
A
l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令 MC Mu
只能出现一个塑性铰，所以
9M u Pu l
2 Pl 9
讨论： M C Pl / 9 1 Pl Mu Mu 9 Mu
M D 2 Pl / 9 1 Pl Mu 4M u 18 M u
结构力学(二)第4版龙驭球第17章结构的极限荷载
第17章 极限荷载【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(212δδδσb hbh M s u +=。
（b ）圆形截面的极限弯矩为63D M s u σ=。
（c ）环形截面的极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=33)21(16D D M su δσ。
【解】（a ）工字形截面的等面积轴位于中间。
静距计算公式：2021d xy y xy S y ==⎰考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）：)41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122222212bhb b h h bh h h b bh hb h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(21212δδδb h bh S +=因此极限弯矩为)41()(212δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：2021d xy y xy S y==⎰ 6322d 2))2(d(21)2(4d )2(43)2(023)2(0202222202222D uu u y D y D y y y D S D DDD =⋅=⋅=-⋅-=⋅-=⎰⎰⎰关/注；公，众。
号：倾听细雨因此极限弯矩为63D S M s s u σσ==（c ）圆的静距为63D S =则圆环的静距为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=3333)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==33)21(16D D S M ss u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。
设材料的屈服应力为s σ。
【解】设等面积轴距上顶面距离为xmm 。
由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得405550))50(21(22⨯+⨯=-+x x x ，解得mm x 723.4=。
单个角钢上下截面面积矩：32323232233214879mm ])723.440(20)723.440(31)723.445(20)723.445(31[)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431723.4)723.450(21=+⨯++⨯-+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯==⨯+⨯-⨯=S S由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+⨯=+=【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。
11 结构力学—— 结构的极限荷载
MC
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结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
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结构的塑性分析和极限荷载
限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m
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结构的塑性分析和极限荷载
s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l
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结构的塑性分析和极限荷载
q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB
结构力学专题十六(单跨梁极限荷载计算)
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)课后习题-第14章 结构的极限荷载【圣才出品】
第14章 结构的极限荷载复习思考题1．什么叫极限状态和极限荷载？什么叫极限弯矩、塑性铰和破坏机构？答：（1）极限状态和极限荷载的含义：①极限状态是指整个结构或结构的一部分超过某一状态就不能满足设计规定的某一功能要求时所对应的特定状态；②极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。
（2）极限弯矩、塑性铰和破坏机构的含义：①极限弯矩是指某一截面所能承受的弯矩的最大数值；②塑性铰是指弯矩不能再增大，但弯曲变形则可任意增长的截面；③破坏机构是指出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系的结构。
2．静定结构出现一个塑性铰时是否一定成为破坏机构？n次超静定结构是否必须出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构？答：（1）静定结构出现一个塑性铰时一定成为破坏机构。
因为根据几何组成分析，当静定结构出现一个塑性铰时，结构由几何不变变成几何可变或几何瞬变体系，此时该结构一定成为了破坏机构。
（2）n次超静定结构不必出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构。
因为n次超静定结构出现n个塑性铰时，如果塑性铰的位置不合适，也可能使原结构变成几何瞬变的体系，此时的结构也成为了破坏机构。
3．结构处于极限状态时应满足哪些条件？答：结构处于极限状态时应满足如下三个条件：（1）机构条件机构条件是指在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构（几何可变或瞬变体系），可沿荷载作正功的方向发生单向运动。
（2）内力局限条件内力局限条件是指在极限状态中，任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩。
（3）平衡条件平衡条件是指在极限状态中，结构的整体或任一局部仍维持平衡。
4．什么叫可破坏荷载和可接受荷载？它们与极限荷载的关系如何？答：（1）可破坏荷载和可接受荷载的含义：可破坏荷载是指满足机构条件和平衡条件的荷载（不一定满足内力局限条件）；可接受荷载是指满足内力局限条件和平衡条件的荷载（不一定满足机构条件）。
（2）与极限荷载的关系极限荷载是所有可破坏荷载中的最小者，是所有可接受荷载中的最大者。
龙驭球《结构力学Ⅱ》配套题库-名校考研真题(结构的极限荷载)【圣才出品】
所以由原点到 2/3l 时下降的距离为：
2l
3 d
2l 3
1
(
y)2
dx
2l 3
1
a2 (l2
3x2 )2
dx
7
a2l5
0
02
02
45
则集中荷载做的功为：
T2
ql
7 45
qa2l 6
微段上荷载所做的功为：
T1
1 2
q(l
x
dx)( y)2 dx
1 2
q(l
x)(
y)2 dx
沿杆长积分，可得：
2/7
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图 17-3
则由图示可得，由于杆件的倾斜会是整个系统产生向下的下降，距离为：
d dx dx cos 2 sin2 dx 1 2dx 1 ( y)2 dx
22
2
式中， y (l2 3x2 ) 。
T1
1 1 q(1 x)( y)2dx 1 q
1
(1
x)a2
(l
2
3x2
)2
dx
3
qa2l 6
02
20
20
所以外力的势能为：
V
(T1
T2 )
3 20
7 45
qa
2l
6
11 36
qa 2l 6
3/7
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系统的总能量为：
方程为 qu× l ×θ1x＝Mu（θ1＋θ1＋θ2），其中 2
代入虚功方程幵整理得
qu＝
由
解得 x＝0.586l。将 x 值代入虚功方程，解得
结构力学 结构的极限荷载与弹性稳定图文
A
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解: AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
塑性铰的可能位置：A、B、D。
A l/3
B
Mu B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
1）B、D截面出现塑性
FPu
铰，由弯矩图可知，只 有当 Mu 3Mu 时，此破
A l/3
B
Mu B
分析：(1) 图(a)表示截面处于弹性阶段。
该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，
称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性 s a)
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b)
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性
2
C l
2 4
B Mu
由We=Wi，可得 所以有1 4q源自l 24M uqu
16M l2
u
三次超静定 三个塑性铰
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
例11-4-3 已知梁截面极限弯矩为Mu ，求极限荷载 。 解:塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面C。
q
qu
A
l
BA
Mu A
Mu C C B
l-x
x
例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载 作用(图a)，试求极限荷载FPu 。
解：由M图知跨中截面 弯矩最大，在极限荷载作用 下，塑性铰将在跨中截面形 成，弯矩达极限值Mu(图b)。
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
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试算法： 每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏
荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可
破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构
继续运算。
唯一性定理的应用
例11-6：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解：1.用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
l 2
Mu
1 x
Mu(l
1 x
1) x
0
q 2l x 2Mu x(l x) l
dq 0 dx
x2 4lx 2l 2 0
x1 (2 2)l x2 (2 2)l
qu
qm in
11.66
Mu l2
§11-6 连续梁的极限荷载
连续梁的破坏机构
一跨单独破坏
相邻跨联合破坏 在各跨等截面、荷载方向相同条件下， 破坏机构只能在各跨内独立形成。
由前面例题可见:若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即 可求出极限荷载。
同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等 因素无关。
§11-5 比例加载时判定极限荷载的定理
比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。
P1
P1 1P P2 2P q1 1P q2 2P
Mu
由作出的弯矩图可见，C截面不满足内力
2l / 3 3 l / 3
5M u / l 5M u / l
Mu
局限性条件。
（2）选A、C出现塑性铰形成的破坏机构
P
2
l 3
P
l
3
Mu
Mu
3
0
P
4 l
Mu
Mu
4Mu / 3
2
l / 3 2l / 3 3
由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。
4Mu / l
2
2l / 3
3 l / 3 2
l / 3 2l / 3 3
P
l 3
Mu
Mu
2
0
P
9 l
Mu
Pu
4 l
Mu
l / 3 2
例11-6 求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解： 2.用试算法求解
（1）选A、B出现塑性铰形成的破坏机构
P
P
A
D
B
C
P
2
l 3
P
l
3
Mu
2
Mu
3
0
2
P
5 l
例11-6 求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解：1.用穷举法求解
共有三种可能的破坏机构：
（1）A、B出现塑性铰
P
2
l 3
P
l
3
Mu
2
Mu
3
0
P
5 l
Mu
（2）A、C出现塑性铰
P
2
l 3
P
l
3
Mu
Mu
3
0
P
4 l
Mu
（3）B、C出现塑性铰
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
PP
P 3.75M u / a
D （2）BC跨破坏时
2
0.8P q=P/a
2
PP
P a
1 2a a 2
Mu
Mu 2
Mu
P 4Mu / a
（3）CD跨破坏时
有三种情况：
例11-8 求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的
极限弯矩为Mu ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。
0.8P q=P/a A
PP
B
CE F
解：先分别求出各跨独自破坏时的
可破坏荷载. D （1）AB跨破坏时
a a 2a 0.8P q=P/a
a aa PP
0.8P a M u 2 M u
P 3.75M u / a
D （2）BC跨破坏时
0.8P q=P/a
PP
P a
1 2a a 2
Байду номын сангаас
Mu
比例加载时关于极限荷载的定理：
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
P P
证明： 取任一可破坏荷载 P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程 n P M ui i i 1
取任一可接受荷载 P，在与上面相同虚位移上列虚功方程
n
P
M
i
i
M
i
Mui
i 1
P P
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。 证明：设同一结构有两个极限荷载Pu1和Pu2 。
求极限荷载相当于求P的极限值。
q1
q2
P2
结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：
1.单向机构条件； 2.内力局限条件； 3.平衡条件。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。 P 可接受荷载--- 同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。 P
极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
例11-8 求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的
极限弯矩为Mu ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。
0.8P q=P/a A
PP
B
CE F
解：先分别求出各跨独自破坏时的
可破坏荷载. D
（1）AB跨破坏时
a a 2a
0.8P q=P/a
a aa
0.8P a M u 2 M u
3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。 证明：由于极限荷载Pu 是可接受荷载，由基本定理
Pu P
4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。 证明：由于极限荷载Pu 是可破坏荷载，由基本定理
Pu P
定理的应用：
极小定理的应用
穷举法： 列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机 构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。
取任一可接受荷载 P，在与上面相同虚位移上列虚功方程
n
P
M
i
i
M
i
Mui
i 1
P P
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。 证明：设同一结构有两个极限荷载Pu1和Pu2 。
若把Pu1看成可破坏荷载，Pu2看成可接受荷载。
Pu1 Pu 2
若把Pu2看成可破坏荷载，Pu1看成可接受荷载。
Pu1 Pu 2 故有 Pu1 Pu2
Mu 2
Mu
P 4Mu / a
（3）CD跨破坏时 有三种情况
0.8P q=P/a
P P P a P 2a Mu 3Mu 3
2
P 3.33M u / a
3
Pu 3.33Mu / a
若把Pu1看成可破坏荷载，Pu2看成可接受荷载。
Pu1 Pu 2
若把Pu2看成可破坏荷载，Pu1看成可接受荷载。
Pu1 Pu 2 故有 Pu1 Pu2
1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。
P P
证明： 取任一可破坏荷载 P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程 n P M ui i i 1
Mu
4Mu / l
Pu
4 l
Mu
Mu /3
Mu
例11-7 求图示等截面梁的极限荷载.已知梁的极限弯矩为Muq。
解: 用上限定理（极小定理）计算。
A
B
q
1 2
l
M u A
M uC
0
B
l
x
;
A
x
C
A
B
( l
1 x
1 ) x
l
Mu
q
A
C
B
A
x
Mu B C
q
l 2
Mu
x
Mu(l
1
x
1 ) x
0
q