结构力学 极限荷载讲解
合集下载
9-结构的极限荷载--上限定理(共17张)
（3）用刚体虚位移原理法（机动法）求静定梁的极限弯矩
荷载的虚功=塑性铰截面极限弯矩的虚功
第7页，共17页。
q
MJ l q
MJ 1 ql2 8
q
θ
θ
2θ
*平衡
(pínghéng)弯矩 法 M max
1 8
ql 2
MJ
qJ
8M J l2
*机动法
qJ
(1 l 2
l )
2
MJ
2
0
qJ
8M J l2
第8页，共17页。
二.连续(liánxù)梁的极限荷载
第17页，共17页。
AB跨破坏
qlΔ 1.2Muθ B Mu 2θ B 0
q1
6.4
Mu l2
BC跨破坏
ql 2
1.2MuθB
1.2MuθC
Mu 2θB
0
q2
17.6
Mu l2
CD跨破坏
q3
6.756
Mu l2
qu
6.4
Mu l2
b（脆性） s（塑性）
k —— 安全系数
第2页，共17页。
2.结构(jiégòu)的塑性分析和极限荷载法
塑性流动状态
屈服 极限
s
A
II
C
I
弹性状态
o s
残余应变
理想弹塑性模型
第3页，共17页。
3.梁的极限(jíxiàn)状态、极限(jíxiàn)弯矩和塑性铰 （1）梁的极限状态和极限弯矩
*弹性分析： 截面的最外层纤维达到材料的屈服应力，即
复习 第十章
第1页，共17页。
§10-1 概述
一.结构的塑性分析和极限荷载的概念
荷载的虚功=塑性铰截面极限弯矩的虚功
第7页，共17页。
q
MJ l q
MJ 1 ql2 8
q
θ
θ
2θ
*平衡
(pínghéng)弯矩 法 M max
1 8
ql 2
MJ
qJ
8M J l2
*机动法
qJ
(1 l 2
l )
2
MJ
2
0
qJ
8M J l2
第8页，共17页。
二.连续(liánxù)梁的极限荷载
第17页，共17页。
AB跨破坏
qlΔ 1.2Muθ B Mu 2θ B 0
q1
6.4
Mu l2
BC跨破坏
ql 2
1.2MuθB
1.2MuθC
Mu 2θB
0
q2
17.6
Mu l2
CD跨破坏
q3
6.756
Mu l2
qu
6.4
Mu l2
b（脆性） s（塑性）
k —— 安全系数
第2页，共17页。
2.结构(jiégòu)的塑性分析和极限荷载法
塑性流动状态
屈服 极限
s
A
II
C
I
弹性状态
o s
残余应变
理想弹塑性模型
第3页，共17页。
3.梁的极限(jíxiàn)状态、极限(jíxiàn)弯矩和塑性铰 （1）梁的极限状态和极限弯矩
*弹性分析： 截面的最外层纤维达到材料的屈服应力，即
复习 第十章
第1页，共17页。
§10-1 概述
一.结构的塑性分析和极限荷载的概念
结构力学结构的极限荷载
P
C
B
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P 代入，得
A
5Pl / 32
P
C
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
P 2M u / 3l Pu P P 6 M u / l
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的 Pu 平衡可直接求出极限荷载。 Mu A B 1 l C Mu MA 0 RB ( Pu M u ) l 2 2 RB P l Pu l M u A MC 0 M u RB B 2 4 2 C
Ms s M A ydA A ydAe A s ydA p [3 ( )2 ] 2 Ms s M ——弯矩与曲率关系(非线性关系) M [3 ( )2 ] 或 s 3 2 2 Ms
e p
塑性极限状态： 截面上各点应力均达到屈服 s
§9-4
单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A 截面先出现塑性铰，这时 M A 3Pl / 16 M u
A
P
C
B
P 16 M u / 3l
再增加荷载 l/2
3Pl / 16
A
l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令 MC Mu
只能出现一个塑性铰，所以
9M u Pu l
2 Pl 9
讨论： M C Pl / 9 1 Pl Mu Mu 9 Mu
M D 2 Pl / 9 1 Pl Mu 4M u 18 M u
11 结构力学—— 结构的极限荷载
MC
哈工大 土木工程学院
25 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
哈工大 土木工程学院
哈工大 土木工程学院
12 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m
哈工大 土木工程学院
7 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l
20 / 46
哈工大 土木工程学院
17
结构的塑性分析和极限荷载
q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB
结构力学 A 极限荷载
,
或:qu
16M l2
u
钢筋混凝土连续梁考虑塑性内力充分布的计算中，多
采用弯矩调幅法。即先按弹性分析求出结构的截面弯矩， 然后将支座弯矩降低，跨中弯矩增大。
M u ql 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
α=
1/11 －1/11 1/16 －1/16………………………………………
如将跨间塑性铰取在中点，则：
ql 2 8
Mu
Mu 2
qu
12M u l2
, 误差为：3%.
均布荷载作用下，如杆件两端弯矩在基线同侧且 悬殊不太大时，可将跨间塑性铰取在中点。
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
16
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qul2/8
MU
l/2
l/2
MU
2M
u
qul 8
2
M
u
qul 2 16
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
例15-1求图示简支梁的Pu。 静力法：根据平衡条件
M
u
Pu l 4
得：
Pu
4M l
u
机动法：采用刚塑性假设
画机构虚位移图
虚功方程：
Pu M u 2 0
Pu
2
Mu
4M u l
9
P
l
l
M
u
Pu 4
l
θ
Mu P Mu
Δ
2θ
2
l
极限平 静力法根据塑性铰截面的弯矩Mu，由平衡方程求出. 衡法求Pu 机动法利用机构的极限平衡状态，根据虚功方程求得。
塑性铰可能出现在A、D和B处， l/3
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
结构的极限荷载
1 1 Pl = M J + M J 3 3
C MJ D
l/3
MJ
P A
l/3
P B
3 l/3
C MJ D1 Pl
l/3
MJ
PJ =
4M J l
检查屈服条件： 检查屈服条件：
1 2 2 M C = Pl M J = M J < M J 3 3 3
§10-3 连续梁的极限荷载 10一.连续梁的极限状态
对任一静力满足屈服条件和平衡条件的可接受荷载，将 小于或等于极限荷载，因此可接受荷载中的极大值是极限荷 载的下限值。
五.极限荷载的单值定理（唯一性定理） 极限荷载的单值定理（唯一性定理）
既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则为极限荷载。 或同时满足机构条件、屈服条件和平衡条件的荷载，必为 极限荷载。
P A
q MJ l
x
*精确解
V
V=
ql M J 2 l
Q=
ql M J qx = 0 2 l
x= l MJ 2 ql
M max = (
ql M J l M J 1 l M )( ) q( J )2 = M J l 2 ql 2 2 2 ql
q θ MJ 2θ θ
解得 q = 11.66
l *近似解 x = 2
M J = W Sσ s
矩形截面
1 h bh 2 W S = 2 × bh × = 2 4 4 bh 2 W= 6
W S ≥ W 经济
（2）塑性铰 当截面达到塑性极限状态时，中性轴上、下各点应 力全都达到受压和受拉的屈服极限，截面两侧可以互相 转动，从变形上看，如同出现一个铰，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的不同之处： 塑性铰与普通铰的不同之处： ①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 ②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 Mu ③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
C MJ D
l/3
MJ
P A
l/3
P B
3 l/3
C MJ D1 Pl
l/3
MJ
PJ =
4M J l
检查屈服条件： 检查屈服条件：
1 2 2 M C = Pl M J = M J < M J 3 3 3
§10-3 连续梁的极限荷载 10一.连续梁的极限状态
对任一静力满足屈服条件和平衡条件的可接受荷载，将 小于或等于极限荷载，因此可接受荷载中的极大值是极限荷 载的下限值。
五.极限荷载的单值定理（唯一性定理） 极限荷载的单值定理（唯一性定理）
既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则为极限荷载。 或同时满足机构条件、屈服条件和平衡条件的荷载，必为 极限荷载。
P A
q MJ l
x
*精确解
V
V=
ql M J 2 l
Q=
ql M J qx = 0 2 l
x= l MJ 2 ql
M max = (
ql M J l M J 1 l M )( ) q( J )2 = M J l 2 ql 2 2 2 ql
q θ MJ 2θ θ
解得 q = 11.66
l *近似解 x = 2
M J = W Sσ s
矩形截面
1 h bh 2 W S = 2 × bh × = 2 4 4 bh 2 W= 6
W S ≥ W 经济
（2）塑性铰 当截面达到塑性极限状态时，中性轴上、下各点应 力全都达到受压和受拉的屈服极限，截面两侧可以互相 转动，从变形上看，如同出现一个铰，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的不同之处： 塑性铰与普通铰的不同之处： ①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 ②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 Mu ③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
结构的极限荷载和例题讲解
简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力～应变关系下图所示。
§12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算
一、弹塑性阶段工作情况
理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时
弹性状态：
图b：截面处于弹性阶段，σ<σs （屈服极限） 图c：截面最外边缘处σ＝σs （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Wσs（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，σ＝σs ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性——极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 ——极限弯矩，以Mu 表示。
等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性——弹塑性阶段——极限状态过程:
（1）弹性阶段弯矩图：P≤Ps （2首）先弹在塑A性端阶形段成M并图扩：大荷，载然超后过CP截s，面塑也性形区成
塑性性铰区。。A端首先达到Mu并出现第一个塑
（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩 增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达 到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁 即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此 时的荷载称为极限荷载Pu——极限状态（e）。
破坏机构——极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 ——结构丧失承载能力
三、静定梁的计算
静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即 成为破坏机构。
对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩， 该截面形成塑性铰。
由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静 定梁的极限荷载。
结构的极限荷载和例题 讲解
§12－1 概述
结构设计方法：
1、容许应力法（弹性分析法）：
结构力学课件结构的极限荷载
中性轴附近处于弹性状态，处于弹性的部分称为弹性核。
（3）塑性流动阶段
Mu
bh2 4
s
—— 塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M u 1.5 —— 截面形状系数。圆形截面1.7，工字形
Ms
截面1.10-1.17，圆环截面1.27-1.40。
※塑性铰
当截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 κ。u
s 3 2 Mu 0
（2）只需考虑平衡条件，无需考虑变形协调条件，比弹 性计算简单；
（3）超静定结构的极限荷载，不受温度变化、支座移动 等因素的影响。
例：求图示变截面梁的极限荷载。已知 AB 段的极限弯矩 为2Mu，BC 段为Mu 。
A
BP
2Mu
C
A
BD
3Mu
C
A
D
l/3 l/3 l/3
Mu
Mu D
C
B Mu
2Mu A
0.5Mu D
C
B
Mu
Pu min P1 , P2 , P3
7.5M u l
4Mu
P l 3 l
2l 3
1 3
2M
u
4M u ,
P1
21M u l
P l 3 l
2l 3
1 3
3M
u
Mu,
P2
9M u l
P l 3 l
2l 3
1 3 2M u
Mu,
P3
7.5M u l
例：求图示变截面梁的极限荷载。已知 AB 段的极限弯矩 为2Mu，BC 段为Mu 。
3. 连续梁的极限荷载
超静定结构有多余约束，必须出现足够多的塑性铰 才能成为机构，从而丧失承载能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
q
h
ql2/8
b
应 力
s
s
s
应 变
s
塑性区
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
y
卸载时有残余变形
第15章
15.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构
一、屈服弯矩与极限弯矩 1、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到流动极限时对应的弯矩。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第15章
一、弹性分析
梁和刚架的极限荷载
15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q
A s e p
A
B b h
l
1、设计：
ql2/8
o
s———流动极限（屈服极限） e———弹性极限 p———比例极限
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
（1）弹性阶段
qs
qs l 2 12 qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末
Mu
可得： qu 2 4Mu l2
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 p1 2.27 Mu a
2
Mu
3
机构（ 2） p2 a M u M u 2
机构（1）
Mu
q
1.1 p
Mu
p
x
q
机构（4）
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
第15章
弯矩（ M）、剪力（ Q）与荷载集度 (q) 关系:
0
A
ql 2
q
B
N
q( x )
M
M+dM N+dN Q
x
dx
l
ql 2
q
dx
Q+dQ
x
q( x ) q
q
y0
ql qx 2
ql 2
x
dQ q( x ) dx
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
q
l
qu
A
x
Mu x
l 2
2
B
dx C
Mu
Mu
临 界 状 态 时 ， 由 虚 功程 方： 2 x qu dx M u M u M u 2
1 2 l qu 4 M u 4 16M u qu l2
l 2 0
第15章
3、确定单跨梁极限荷载的静力法
Mu
Mu
M u qu 2 l 2 2 8
Mu
Mu
令
12M u 由情况（ 3） ， 可 知 ： qu1 l2 12M u 4 M u 16M u 于 是 q u q u1 q u 2 2 l2 l l2
M u qu 2 l 2 Mu 2 8
（4）极限状态
第15章
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
2a
a
1.1 p
a
a
p
2
Mu
验 算 屈服 条 件 ：
M图
第15章
例题3 求图示结构的极限荷载。
p
解： 机构（ 1） p1 2a p1 a M u M u 3 p1 1.33 Mu a
p
q 2p
a
1.2 p
A
E
F
B
C
D
a
p
机构12Leabharlann aap Mu
3
2a
q 2p a
a
a
1.2 p
机构（ 2） p2 a p2 2a M u 2 M u 3 p1 1.67
1.1 p
p
2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 (1)分析弯矩与曲率的关系 : p 1.1 p
A D B E
C
1
y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
p1
Mu Mu
p2
B
Mu
p1
p2
B
p1
p2
B
Mu
机构（一）
Mu
机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
p1
p2
B
机构（二）
Mu
Mu
机构（二）M 图情况
Mu
p1
机构（三）
p2
B
M u2
不可能出现，为什么？
第15章
15.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载
a ) p1 1 p, p2 2 p, , pn n p b) q1 1q, q2 2q , , qn nq
2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
qu 2
Mu
Mu 4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响
5、正负极限弯矩值相等
Mu Mu
Mu
第15章
二、结构极限状态时应满足的三个条件 1、机构条件
当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变 成机构。
p
矩形截面：
B
A
C
M u A1 s y1 A2 s y2 h h bh2 2 (b ) s s 2 4 4
A1 s A1 s A1 s
Mu
y1 y2
A1 s
h
A
C
b
A2 s
A2 s
A2 s
A2 s
第15章
2a
a
1.1 p
Mu 机构（3）
a
p
a
Mu
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 。 值
x
M
M
y
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
d 2M q dx2 (a )当q为 正 值 (向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 ； 值 (b)当q为 负 值 (向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 。 值
dM Q( x ) dx
ql 2
M 0
Q( x )
Q
x
ql 2 8 ql 1 M ( x) x q x 2 2 2
d 2M q( x ) 2 dx
M
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法1 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与 机构（ 1） 相应的 M图， p1 2.27
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
验算屈 服条件：
M EC 1 1 p1 2a M u 4 2 M 1 1 ( 2.27 u ) 2a M u 4 a 2 0.635M u M u
2
Mu
3
机构（1）
1.1 p
Mu
p
Mu
M图
M EC
经验算各截面弯矩值足 满屈服条件， M pu 2.27 u a
Mu
M DA
机构（2）
1.1 p
Mu
p
1 2 (1.1 p2 ) 2a M u 3 3 3M u 1 2 (1.1 ) 2a M u 3 a 3 1.53M u M u
M DA
Mu
经 验 算 各 截 面 弯 矩 值满 不足 屈 服 条 件 ， M p2 3 u 不 是 极 限 荷 载 。 a
d3
32
h 2 h 2
s
h 2 2
y
2、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。
h
ql2/8
b
应 力
s
s
s
应 变
s
塑性区
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
y
卸载时有残余变形
第15章
15.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构
一、屈服弯矩与极限弯矩 1、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到流动极限时对应的弯矩。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第15章
一、弹性分析
梁和刚架的极限荷载
15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q
A s e p
A
B b h
l
1、设计：
ql2/8
o
s———流动极限（屈服极限） e———弹性极限 p———比例极限
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
（1）弹性阶段
qs
qs l 2 12 qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末
Mu
可得： qu 2 4Mu l2
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 p1 2.27 Mu a
2
Mu
3
机构（ 2） p2 a M u M u 2
机构（1）
Mu
q
1.1 p
Mu
p
x
q
机构（4）
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
第15章
弯矩（ M）、剪力（ Q）与荷载集度 (q) 关系:
0
A
ql 2
q
B
N
q( x )
M
M+dM N+dN Q
x
dx
l
ql 2
q
dx
Q+dQ
x
q( x ) q
q
y0
ql qx 2
ql 2
x
dQ q( x ) dx
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
q
l
qu
A
x
Mu x
l 2
2
B
dx C
Mu
Mu
临 界 状 态 时 ， 由 虚 功程 方： 2 x qu dx M u M u M u 2
1 2 l qu 4 M u 4 16M u qu l2
l 2 0
第15章
3、确定单跨梁极限荷载的静力法
Mu
Mu
M u qu 2 l 2 2 8
Mu
Mu
令
12M u 由情况（ 3） ， 可 知 ： qu1 l2 12M u 4 M u 16M u 于 是 q u q u1 q u 2 2 l2 l l2
M u qu 2 l 2 Mu 2 8
（4）极限状态
第15章
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
2a
a
1.1 p
a
a
p
2
Mu
验 算 屈服 条 件 ：
M图
第15章
例题3 求图示结构的极限荷载。
p
解： 机构（ 1） p1 2a p1 a M u M u 3 p1 1.33 Mu a
p
q 2p
a
1.2 p
A
E
F
B
C
D
a
p
机构12Leabharlann aap Mu
3
2a
q 2p a
a
a
1.2 p
机构（ 2） p2 a p2 2a M u 2 M u 3 p1 1.67
1.1 p
p
2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 (1)分析弯矩与曲率的关系 : p 1.1 p
A D B E
C
1
y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
p1
Mu Mu
p2
B
Mu
p1
p2
B
p1
p2
B
Mu
机构（一）
Mu
机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
p1
p2
B
机构（二）
Mu
Mu
机构（二）M 图情况
Mu
p1
机构（三）
p2
B
M u2
不可能出现，为什么？
第15章
15.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载
a ) p1 1 p, p2 2 p, , pn n p b) q1 1q, q2 2q , , qn nq
2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
qu 2
Mu
Mu 4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响
5、正负极限弯矩值相等
Mu Mu
Mu
第15章
二、结构极限状态时应满足的三个条件 1、机构条件
当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变 成机构。
p
矩形截面：
B
A
C
M u A1 s y1 A2 s y2 h h bh2 2 (b ) s s 2 4 4
A1 s A1 s A1 s
Mu
y1 y2
A1 s
h
A
C
b
A2 s
A2 s
A2 s
A2 s
第15章
2a
a
1.1 p
Mu 机构（3）
a
p
a
Mu
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 。 值
x
M
M
y
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
d 2M q dx2 (a )当q为 正 值 (向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 ； 值 (b)当q为 负 值 (向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 。 值
dM Q( x ) dx
ql 2
M 0
Q( x )
Q
x
ql 2 8 ql 1 M ( x) x q x 2 2 2
d 2M q( x ) 2 dx
M
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法1 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与 机构（ 1） 相应的 M图， p1 2.27
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
验算屈 服条件：
M EC 1 1 p1 2a M u 4 2 M 1 1 ( 2.27 u ) 2a M u 4 a 2 0.635M u M u
2
Mu
3
机构（1）
1.1 p
Mu
p
Mu
M图
M EC
经验算各截面弯矩值足 满屈服条件， M pu 2.27 u a
Mu
M DA
机构（2）
1.1 p
Mu
p
1 2 (1.1 p2 ) 2a M u 3 3 3M u 1 2 (1.1 ) 2a M u 3 a 3 1.53M u M u
M DA
Mu
经 验 算 各 截 面 弯 矩 值满 不足 屈 服 条 件 ， M p2 3 u 不 是 极 限 荷 载 。 a
d3
32
h 2 h 2
s
h 2 2
y
2、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。