二次函数与距离最小值
二次函数与距离最小值问题
二次函数与距离最小值问题 知识点：在对称轴或二次函数的对称轴两边的点到对称轴或坐标轴上的点的距离最小值时，这个点就是直接连接两已知点与轴的交线的交点即是轴上的点到两已知点距离的最小值点；当两已知点是在轴的一边时，先把其中一点作轴的对称点，再把对称点与另一交点相连，交点即是所要找的点。
1．如图，抛物线22
12-+=bx x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
2．（9分）（2013•广东线的两边的点到线之间距离最短问题）已知二次函数y=x 2﹣2mx+m 2﹣1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．
3、（扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数最大值最小值公式
二次函数最大值最小值公式
二次函数应用范围很广泛，其函数曲线特性让它成为研究高等教育及资格考试
的重要分析工具。
学生可以通过分析二次函数的最大值最小值公式，实现梯度优化，进而改善成绩。
二次函数最大值最小值公式指的是求解一般格式为y=ax²+bx+c的函数中最小
和最大值的方法。
在该公式中，a,b,c都是整数，表示常数项；x是变量，表示函
数参数；y是函数值。
求解二次函数的最大值最小值的步骤如下:
1.先在表达式中观察：“若a>0，则该函数图像形式为顶点朝上的双曲线；若
a<0，则该函数图像形式为顶点朝下的双曲线”；
2.将表达式化简为二元一次方程，对其解析解，得到函数的最值；
3.将二元一次方程得出的极值代入原式，求得函数最值y。
解析上述步骤可以有效提升学生的学习效果，使其取得更优秀的成绩。
有针对
性的解析题，其优化的空间就会宽敞的多，且学习的效果也会有很大的提高，可以有效的掌握高校的学习离不开详细的解析。
二次函数的最大最小值可以帮助学生对概念有更深入的理解，让学生更加全面
的融入现代的高校学习环境，从而发挥出自我价值，从而实现学生的多元化发展。
尤其是在把握大考前的梯度优化中，利用二次函数的最大最小值，可以让学生在考试前进行有针对性地备考，使学习成绩得以提升，及时进入到理想的高校学习环境中。
二次函数最小值
二次函数最小值二次函数，又称为二次多项式，是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不为0。
它是数学中非常重要的一个函数，研究二次函数的最小值也是二次函数的一个重要应用之一首先，我们来回顾一下二次函数的一些基本特性。
二次函数的图像是一条开口朝上或者朝下的抛物线。
如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。
抛物线关于y轴对称，对称轴方程为x=-b/2a。
二次函数的最小值即为抛物线的顶点的纵坐标。
要求一个二次函数的最小值，首先要确定这个二次函数是开口朝上还是开口朝下。
如果a>0，即二次函数开口朝上，那么它的最小值即为抛物线顶点的纵坐标。
通过求导数可以确定顶点的横坐标，再将横坐标代入二次函数的表达式中，就可以求得最小值。
举个例子，假设有二次函数y=2x^2+3x+1、我们首先判断这个二次函数开口的方向，由于a=2>0，所以抛物线开口朝上。
接下来，我们来求顶点的横坐标。
它的横坐标可以通过求导数dy/dx=4x+3=0来得到，解这个方程可以得到x=-3/4，再将x代入二次函数的表达式中，可以得到最小值y=(-3/4)^2+3*(-3/4)+1=2/16-9/4+1=-5/16如果二次函数开口朝下，那么它的最小值也就不存在。
因为抛物线是开口朝下的，所以它的顶点实际上是一个最大值点。
如果我们要求二次函数开口朝下的最大值，可以采取类似的方法。
求导数找到顶点的横坐标，然后代入二次函数的表达式求得最大值。
具体的过程和刚才求最小值时的过程是相似的。
最后，我们来分析一下二次函数的最小值的应用。
二次函数的最小值在实际生活中有很多应用，例如最小成本、最小时间等问题。
通过建立一个二次函数的模型，我们可以求解最小值，从而得到最优解。
比如，我们在购买一种物品的时候，不仅要考虑价格的大小，还要考虑到物品的质量。
如果我们将价格和质量分别表示为x和y，我们就可以建立一个二次函数来描述这个问题。
专题06 二次函数最小值问题(解析版)
∴△QEF周长的最小值为 ，此时Q（ ， ）．
4．如图1，二次函数y＝ x2﹣2x+1的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且AO：BN＝1：7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使△QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和△QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），
＝（m﹣1）4+ （m﹣1）2+ ，
∴PM2＝PF2，
∴PM＝PF，
∴点P在MF的垂直平分线上，
（3）如图，E（ ），EF＝ ，
作QN⊥l于N，由（2）知：QN＝QF，
∴要想△QEF的周长最小，只要使EQ+QN最小，
作EN'⊥l于N'，交抛物线于Q'，
∵EQ+QN≥EN'，
∴E、Q、N三点共线时，EQ+QN最小，
∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，
∴PE×PD＝（k+1）（3﹣ k）＝﹣ k2+ k+3，
∴当k＝ 时，PE×PD最大，即：PE×PF最大，
此时G（5， ），
∵△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，
∴ BH＝B1H，GH+ BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，
2021年中考复习： 二次函数压轴题——线段问题
二次函数压轴题——线段问题解析类型一：距离最值常见模型1. “变动的两线段之和的最小值”时大都应用“两点之间的连线中，线段最短”这一模型．2. “变动的两线段之差的最大值”时大都应用“三角形两边之差小于第三边”这一模型．1. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)，B (－4，－4)，且抛物线与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ，AC .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上的点，求△PBC 周长的最小值及此时点P 的坐标；答案：(1)y =−14x 2+12x +2;（2）2√13+6√22.如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y ＝kx +n 与y 轴交于点C ，与抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的另一个交点为D ，已知A （﹣1，0），D （5，﹣6），P 点为抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE +PF 的最大值；答案（1）y=−x2+3x+4 ;（2）当x＝2时，其最大值为18；3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．求DE的最大值；【解答】解：（1）y=−x2−4x−3;（2）44.如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；答案（1）y=−x2+2x+3;（2）p(1,2),√10+3√25.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；答案：（1）y=−12x2+x+72;（2）32√56．直线132y x=-与抛物线2y x bx c=-++相交于A(),4m-和B（4，n）两点，点P是抛物线位于线段AB上方异于点A，B的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，交线段AB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）在P点运动过程中，线段PQ的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由；答案（1）y=−x2+52x+5;（2）P(1,132),最大值9类型二距离和差积关系利用坐标的几何意义求距离1.已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）（1，﹣4）；（Ⅱ）3√2−1（Ⅲ）42.抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．答案(1)y=x2−4x+3 (2)94；(3)存在.M(2，－3)3.抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．答案（1）14x2+12x−2 ;（2）58。
二次函数求最大值和最小值的公式
二次函数求最大值和最小值的公式一次函数一般可以表示为y=ax+b，在图像上可以表示为一条直线，而二次函数则是数学中的一个更抽象的概念，它更常见的模式是y=ax^2+bx+c，它表示的是一条弧线，而这个弧线的最大值和最小值，就称作“二次函数求最大值和最小值的公式”，今天我们就来讲讲这个求最大值和最小值的公式。
首先，我们来看看如何求解二次函数的最大值和最小值的公式。
对于给定的二次函数 y=ax^2+bx+c，求其最大值和最小值的公式是f(x)=ax^2+bx+c，其中 a，b，c常数。
根据高等数学规律，二次函数的最大值或最小值的取值是在其函数的一阶导数为零的位置上，也就是求解一元二次方程 ax^2+bx+c=0，这就是求解二次函数最大值和最小值的公式。
其次，我们来讲讲求解二次函数最大值和最小值的具体步骤，它可以总结为三个步骤：（1）计算函数的一阶导数：由二次函数得到它的一阶导数f(x)=2ax+b，并将它代入原函数，求出原函数的最大值或最小值。
（2）求出一元二次方程的解：根据一元二次方程的求解公式，将 f(x)=2ax+b入一元二次方程 ax^2+bx+c=0，计算出一元二次方程的解。
（3）用解代入原函数：将解代入原函数，即 f(x)=ax^2+bx+c，计算出的就是原函数的最大值或最小值。
总结一下，求解二次函数求最大值和最小值的公式，需要计算函数的一阶导数，将求得的一元二次方程解代入原函数，即可得出原函数的最大值或最小值。
在学习求解二次函数求最大值和最小值的公式时，需要注意的是，在计算最大值和最小值的时候，要根据题目要求，判断函数是求最大值还是求最小值，这样才能得出准确的答案。
总之，二次函数求最大值和最小值的公式是一个比较重要的数学概念，理解和掌握了它，就可以帮助我们更加准确地解决数学中的问题了。
二次函数的最值与最值点
二次函数的最值与最值点二次函数是指具有形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0.在数学中，我们常常关注二次函数的最值与最值点，它们对于函数图像的形状与性质具有重要意义。
一、二次函数的最值最值是指函数在定义域内所能取得的最大值或最小值。
对于二次函数而言，其最值与函数的开口方向有关。
1. 当二次函数的抛物线开口向上时，函数的最值为最小值。
在这种情况下，最小值点是抛物线的顶点，也是二次函数的最值点。
2. 当二次函数的抛物线开口向下时，函数的最值为最大值。
同样地，最大值点也是抛物线的顶点，它也是二次函数的最值点。
二、如何求二次函数的最值要求二次函数的最值与最值点，需要进行一些计算与分析。
1. 首先，可以通过计算二次函数的导数，找出导数为零的点。
导数为零的点对应的x坐标就是二次函数的最值点的横坐标，也就是x值。
2. 其次，通过将x值代入二次函数中，可以求得相应的y值，即最值点的纵坐标。
这个y值就是二次函数的最值，它可以是最大值或最小值。
三、举例说明假设有二次函数f(x) = -3x² + 6x + 2，我们来求解它的最值与最值点。
1. 首先，计算导数f'(x) = -6x + 6，并令其为零，解得x = 1。
这说明x = 1是二次函数的最值点的横坐标。
2. 将x = 1代入原函数f(x)中，得到f(1) = -3(1)² + 6(1) + 2 = 5。
因此，最值点的纵坐标为y = 5，即最值为最小值。
综上所述，对于给定的二次函数，我们可以通过计算导数来求解最值点的横坐标，并通过代入求得相应的纵坐标，从而得到最值与最值点的具体数值。
最值与最值点对于理解二次函数的图像特征和函数性质具有重要作用，它们帮助我们分析和预测函数在不同区间内的变化趋势，为实际问题的求解提供了依据。
二次函数压轴题专题一 最短路径问题
二次函数压轴题专题一最短路径问题——和最小知识梳理最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下 两个方面：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。
常用思考的方式：1、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
例题导航例1：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,··CDA BEa∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，常见问题归纳“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DElBAllllBAOBOB＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．二次函数中最短路径例题例1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．BOB Oll练习1．（11菏泽）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．练习2．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．例2．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．【思路点拨】 （1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出； （3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN•MN －12OM •OE ＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1＝－x 2＋92x ＋92 ＝－（x －94）2＋15316 ∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）． （3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值． 如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得：⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图2练习3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．例4．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了． （1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12 (x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12 (x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)21＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．例5．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ． （ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1； （2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ； （3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°．∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点．∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．l。
二次函数最值题分类精选---取值范围
二次函数最值题分类精选---取值范围二次函数是中学数学中比较基础和重要的一章，对于二次函数最值问题的分类和解决具有重要的意义。
在许多情况下，我们需要讨论二次函数的取值范围来解决最值问题。
一、二次函数与取值范围对于标准的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a \neq 0, x \in R)$，其对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，开口方向由系数 $a$ 的正负号决定。
当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，最小值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。
当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，最大值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。
二、二次函数最值问题分类在讨论二次函数的最值问题时，可以把问题分为以下两类：1. 二次函数最小值问题当二次函数开口向上时，函数存在最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。
2. 二次函数最大值问题当二次函数开口向下时，函数存在最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。
三、应用案例1. 数列问题在一个数列中，第 $n$ 项为 $a_n=n^2-2n+3(n \in N^*)$，求该数列的最大值。
分析：将 $a_n$ 化为标准的二次函数形式，得 $a_n=(n-1)^2+2$，开口向上，最小值为 $2$，当 $n=1$ 时取到。
因此，该数列的最大值为 $a_1=2$。
2. 圆外切正方形问题已知一个半径为 $r$ 的圆，内切一个边长为 $a$ 的正方形。
现在把正方形边长加倍成 $2a$，请问圆心到正方形顶点的距离 $d$ 的最小值是多少？分析：圆心到正方形顶点的长度就是圆形半径到正方形顶点的长度，最小值即为圆心到正方形的最远距离，可以证明正方形对于圆心的影响取决于正方形对角线与圆的位置关系。
二次函数最小值的求法
二次函数最小值的求法二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a \ne 0$，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$、$c$ 是常数。
二次函数的最小值就是曲线的最低点对应的$y$值，又被称为顶点。
为了找到二次函数的最小值，我们需要以下两个步骤：1.求出二次函数的顶点坐标。
2.将顶点坐标代入二次函数的表达式，得到最小值。
首先，我们来讨论如何求二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算得到：$$x = -\frac{b}{2a}$$$$y = f(x) = ax^2 + bx + c$$其中，$x$ 表示顶点的横坐标，$y$ 表示顶点的纵坐标。
$-\frac{b}{2a}$ 是二次函数的对称轴的横坐标，也是顶点的横坐标。
在得到顶点的横坐标后，我们可以将其代入二次函数的表达式，计算出对应的纵坐标，即最小值。
这就完成了求二次函数最小值的过程。
下面，我们通过一个具体的例子来详细讲解。
例子：求函数$y=x^2-4x+3$的最小值。
首先，我们可以找到二次函数的$a$、$b$、$c$值分别为$1$、$-4$、$3$。
根据公式 $x = -\frac{b}{2a}$，我们可以计算出顶点的横坐标：$$x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$将横坐标代入二次函数的表达式，我们可以计算出纵坐标：$$y = f(x) = x^2 - 4x + 3 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$$所以，函数$y=x^2-4x+3$的最小值为$-1$，对应的顶点坐标为$(2,-1)$。
当然，除了使用公式计算顶点坐标外，我们还可以通过其他方法求解二次函数的最小值。
一种方法是通过二次函数的图像来确定最小值。
我们可以将二次函数$y = ax^2 + bx + c$ 转化为顶点形式 $y = a(x-h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 表示顶点坐标。
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二次函数与距离最小值
１.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
参考答案：
①y?x2?4
②BD：y?x?2 ；M（0，?2)
③S?ABM?2；P1(22,4),P2(?22,4),P3(0,?4)
２.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
参考答案：①B（1，3）
223x?x ②y?33③AB：y?2x?；C（?1,3） 33④y??319(x?)2? 228
；P(?
15,
?) 241。