二次函数——定值问题

【中考数学压轴题专题突破01】二次函数中的定值问题

【中考压轴题专题突破】二次函数中的定值问题1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t ≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D．①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由；②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t 的值．2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B （3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．4．已知二次函数y＝kx2+x+（k是常数）．（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；（3）若抛物线y＝kx2+x+与x轴交于A（x A，0）、B（x B，0）两点，且x A＜x B，x A2+x B2＝34，若与y轴不平行的直线y＝ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．5．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）直接写出b的值及点A的坐标；（2）∠BAC的平分线交y轴于点D，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．①直接写出：+＝；②当直线l绕点D旋转时，+是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC．T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C 出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A 点时，点S停止运动．设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值．【中考压轴题专题突破】二次函数中的定值问题参考答案与试题解析1．解：（1）由题意得，解得．故二次函数解析式为y＝﹣x2+1．（2）①＝，理由如下，将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：﹣2t═﹣x2+1，x＝，∴点P坐标（，），∴OP中点C的坐标（，），∴CD＝1﹣（）＝，OP＝＝2t+，∴OP＝2CD∴＝．②∵圆心到直线l的距离d＝|﹣（1﹣3t）|＝|2t﹣|，半径r＝OP＝t+，EF＝，又∵（）2+d2＝r2，∴+（2t﹣）2＝（t+）2，解得t＝1或，∴t＝1或时，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，EF＝．2．解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当n＝0时，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F的坐标为（4，﹣5）．设直线DF的函数表达式为y＝kx+a（k≠0），将D（0，3），F（4，﹣5）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线DF的函数表达式为y＝﹣2x+3．过点E作EQ∥y轴，交直线DF于点Q，如图1所示．∵点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点Q的坐标为（t，﹣2t+3），∴EQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）＝﹣t2+4t，∴S＝EQ•（x F﹣x D）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴当t＝2时，S取最大值，最大值为8．（3）当n取不同数值时，S的值不变．过点DM∥y轴，过点F作FM∥x轴，交直线DM于点M，过点E作EN⊥FM于点N，交直线DF于点G，如图2所示．当t＝2时，点D的坐标为（n，﹣n2+2n+3），点E的坐标为（n+2，﹣n2﹣2n+3），点F 的坐标为（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴点M的坐标为（n，﹣n2﹣6n﹣5），点N的坐标为（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM＝8n+8，EN＝4n+8，MN＝2，NF＝2，∴S＝S梯形DMNE+S△ENF﹣S△DMF，＝MN•（DM+EN）+NF•EN﹣DM•MF，＝12n+16+4n+8﹣16n﹣16，＝8．∴当n取不同数值时，S的值永远为8．3．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，则x＝1±，故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），则PQ＝＝2，为定值．4．解：（1）∵二次函数y＝kx2+x+与x轴有两个不同的交点，∴，解得k＜且k≠0．（2）设反比例函数解析式为y＝，∵经过点（1，k），∴m＝k，∵反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，∴k＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣，根据二次函数以及反比例函数的性质可知：当x＜0或0＜x＜﹣时，y随x的增大而增大．（3）结论：＝1．理由：令y＝0，则有kx2+x+＝0，∴x A+x B＝﹣，x A•x B＝，∵x A2+x B2＝34，∴（x A+x B）2﹣2x A•x B＝34，∴（）2﹣﹣34＝0，解得k＝﹣或由（1）可知k＜，∴k＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，设过点P的直线为y＝kx+b，把P（1，3）代入得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴过点P的直线为y＝kx+3﹣k，∵过点P的直线为y＝kx+3﹣k与物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，∴y1＝kx1+3﹣k，y2＝kx2+3﹣k，由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k＝0，∴x1+x2＝﹣（4k﹣2），x1x2＝﹣3﹣4k，∴＝＝＝＝＝1．5．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝，解得b＝，将点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得c＝3，所以，y＝﹣x2+x+3，令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，整理得，x2﹣2x﹣9＝0，解得x1＝﹣，x2＝3，所以，点A的坐标为（﹣，0）；（2）①∵A的坐标为（﹣，0），∴AO＝，∵点C（0，3），∴OC＝3，根据勾股定理得，AC＝＝＝2，所以，+＝+＝+＝；故答案为：．②+为定值．理由如下：如图，过点D作DE∥AC交x轴于E，则∠ADE＝∠CAD，∵∠BAC的平分线交y轴于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠OAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∵DE∥AC，∴△NED∽△ANM，∴＝，由图可知，EN＝AN﹣AE，∴＝＝＝1﹣，∴1﹣＝，整理得，+＝，∵tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分线与y轴相交于点D，∴∠DAO＝∠BAC＝×60°＝30°，∴DO＝AO•tan∠DAO＝×tan30°＝×＝1，∵DE∥AC，∴∠DEO＝∠BAC＝60°，∴DE＝DO÷sin∠DEO＝1÷sin60°＝1÷，∴＝，∴+＝．6．解：（1）∵y＝ax2+bx+c的顶点是（0，﹣），∴抛物线的对称轴是y轴，∴b＝0，故可设抛物线的解析式是：y＝ax2﹣，又∵三角形ABC是等边三角形，且有CO⊥AB，CO＝∴AO＝1，∴A（﹣1，0）把点A代入y＝ax2﹣，得a＝∴抛物线的解析式是y＝x2﹣．（2）当0＜t＜1时，OT＝1﹣t，CS＝t；∴S＝OT•CS＝（1﹣t）t＝﹣t2+t；当1＜t＜2时，OT＝t﹣1，CS＝t；∴S＝OT•CS＝（t﹣1）t＝t2﹣t；综上，S与t的函数关系式为：S＝．（3）当0＜t＜1，（如图1）过D作DH⊥y轴，显然有TB＝TE，又∠B＝60度，∴三角形TBE为等边三角形，∴BE＝TB＝t，∵△SDH∽△STO，设DH＝a，则有，即，∴a＝，∴DC＝1﹣t，∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣（1﹣t）＝1．当1＜t＜2，（如图2）同理，△SDH∽△STO，即有，a＝，DC＝t﹣1，∴DE＝DC+CE＝t﹣1+（2﹣t）＝1．。

【中考数学压轴题专题突破01】二次函数中的定值问题

【中考压轴题专题突破】二次函数中的定值问题1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t ≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D．①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由；②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t 的值．2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B （3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．4．已知二次函数y＝kx2+x+（k是常数）．（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；（3）若抛物线y＝kx2+x+与x轴交于A（x A，0）、B（x B，0）两点，且x A＜x B，x A2+x B2＝34，若与y轴不平行的直线y＝ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．5．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）直接写出b的值及点A的坐标；（2）∠BAC的平分线交y轴于点D，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．①直接写出：+＝；②当直线l绕点D旋转时，+是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C（0，﹣），与x轴交于点A、B，连接AC、BC，得等边△ABC．T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从点C 出发，以每秒个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D，当点T到达A 点时，点S停止运动．设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）设△TSC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点T运动的过程中，线段ED的长是一定值，并求出该定值．【中考压轴题专题突破】二次函数中的定值问题参考答案与试题解析1．解：（1）由题意得，解得．故二次函数解析式为y＝﹣x2+1．（2）①＝，理由如下，将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：﹣2t═﹣x2+1，x＝，∴点P坐标（，），∴OP中点C的坐标（，），∴CD＝1﹣（）＝，OP＝＝2t+，∴OP＝2CD∴＝．②∵圆心到直线l的距离d＝|﹣（1﹣3t）|＝|2t﹣|，半径r＝OP＝t+，EF＝，又∵（）2+d2＝r2，∴+（2t﹣）2＝（t+）2，解得t＝1或，∴t＝1或时，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，EF＝．2．解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当n＝0时，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F的坐标为（4，﹣5）．设直线DF的函数表达式为y＝kx+a（k≠0），将D（0，3），F（4，﹣5）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线DF的函数表达式为y＝﹣2x+3．过点E作EQ∥y轴，交直线DF于点Q，如图1所示．∵点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点Q的坐标为（t，﹣2t+3），∴EQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）＝﹣t2+4t，∴S＝EQ•（x F﹣x D）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴当t＝2时，S取最大值，最大值为8．（3）当n取不同数值时，S的值不变．过点DM∥y轴，过点F作FM∥x轴，交直线DM于点M，过点E作EN⊥FM于点N，交直线DF于点G，如图2所示．当t＝2时，点D的坐标为（n，﹣n2+2n+3），点E的坐标为（n+2，﹣n2﹣2n+3），点F 的坐标为（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴点M的坐标为（n，﹣n2﹣6n﹣5），点N的坐标为（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM＝8n+8，EN＝4n+8，MN＝2，NF＝2，∴S＝S梯形DMNE+S△ENF﹣S△DMF，＝MN•（DM+EN）+NF•EN﹣DM•MF，＝12n+16+4n+8﹣16n﹣16，＝8．∴当n取不同数值时，S的值永远为8．3．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，则x＝1±，故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），则PQ＝＝2，为定值．4．解：（1）∵二次函数y＝kx2+x+与x轴有两个不同的交点，∴，解得k＜且k≠0．（2）设反比例函数解析式为y＝，∵经过点（1，k），∴m＝k，∵反比例函数和二次函数y＝kx2+x+都是y随x的增大而增大，∴k＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣，根据二次函数以及反比例函数的性质可知：当x＜0或0＜x＜﹣时，y随x的增大而增大．（3）结论：＝1．理由：令y＝0，则有kx2+x+＝0，∴x A+x B＝﹣，x A•x B＝，∵x A2+x B2＝34，∴（x A+x B）2﹣2x A•x B＝34，∴（）2﹣﹣34＝0，解得k＝﹣或由（1）可知k＜，∴k＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，设过点P的直线为y＝kx+b，把P（1，3）代入得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴过点P的直线为y＝kx+3﹣k，∵过点P的直线为y＝kx+3﹣k与物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，∴y1＝kx1+3﹣k，y2＝kx2+3﹣k，由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k＝0，∴x1+x2＝﹣（4k﹣2），x1x2＝﹣3﹣4k，∴＝＝＝＝＝1．5．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝，解得b＝，将点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得c＝3，所以，y＝﹣x2+x+3，令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，整理得，x2﹣2x﹣9＝0，解得x1＝﹣，x2＝3，所以，点A的坐标为（﹣，0）；（2）①∵A的坐标为（﹣，0），∴AO＝，∵点C（0，3），∴OC＝3，根据勾股定理得，AC＝＝＝2，所以，+＝+＝+＝；故答案为：．②+为定值．理由如下：如图，过点D作DE∥AC交x轴于E，则∠ADE＝∠CAD，∵∠BAC的平分线交y轴于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠OAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∵DE∥AC，∴△NED∽△ANM，∴＝，由图可知，EN＝AN﹣AE，∴＝＝＝1﹣，∴1﹣＝，整理得，+＝，∵tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分线与y轴相交于点D，∴∠DAO＝∠BAC＝×60°＝30°，∴DO＝AO•tan∠DAO＝×tan30°＝×＝1，∵DE∥AC，∴∠DEO＝∠BAC＝60°，∴DE＝DO÷sin∠DEO＝1÷sin60°＝1÷，∴＝，∴+＝．6．解：（1）∵y＝ax2+bx+c的顶点是（0，﹣），∴抛物线的对称轴是y轴，∴b＝0，故可设抛物线的解析式是：y＝ax2﹣，又∵三角形ABC是等边三角形，且有CO⊥AB，CO＝∴AO＝1，∴A（﹣1，0）把点A代入y＝ax2﹣，得a＝∴抛物线的解析式是y＝x2﹣．（2）当0＜t＜1时，OT＝1﹣t，CS＝t；∴S＝OT•CS＝（1﹣t）t＝﹣t2+t；当1＜t＜2时，OT＝t﹣1，CS＝t；∴S＝OT•CS＝（t﹣1）t＝t2﹣t；综上，S与t的函数关系式为：S＝．（3）当0＜t＜1，（如图1）过D作DH⊥y轴，显然有TB＝TE，又∠B＝60度，∴三角形TBE为等边三角形，∴BE＝TB＝t，∵△SDH∽△STO，设DH＝a，则有，即，∴a＝，∴DC＝1﹣t，∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣（1﹣t）＝1．当1＜t＜2，（如图2）同理，△SDH∽△STO，即有，a＝，DC＝t﹣1，∴DE＝DC+CE＝t﹣1+（2﹣t）＝1．。

二次函数-定值问题典型例题

二次函数-定值问题【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．，再根据x=代入y=与抛物线的图象上；++，根据两角对应相等的两三角=，即可证明﹣（﹣）﹣（﹣，x=y=x y=）与抛物线）在反比例函数++y=kx+8=x+++++，++，OFB=90 =，=【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．出均有=x1=x4=x9==．xx，）均有==，AB==CD=，m==m==（﹣（m y=m m﹣m2=m m m =m2m==m=．故答案为：；；．【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．）代入求出），a=y=y=x+；（y=（﹣（y=（﹣ECP=﹣﹣=﹣，ECP=【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．的长，然后代入+x x，然后表示出+，，x，AO=mAM=+=+x x +==，+=取何值，++是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且ABsin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ．在Rt ABD △中，AB =sin OAB ∠=sin 3BD AB OAB ∴=∠==．又由勾股定理，得6AD ===．1064OD OA AD ∴=-=-=．点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ········· 2分（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-．对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，．而点(43)C -，，1(63)P ∴-，．在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+．将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，；而点(100)A ，，2(612)P ∴-，．过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =．在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，．过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =．在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ······················· 1分综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ．可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭．3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················ 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例6】、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，，为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ，，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。

二次函数专题定值问题

(2) y＝－x2－2x＋3.
(3)过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B ，D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合)，PA，PB 与直线DE分别交于点F，G，当点P运动时，EF＋EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
EF＋EG＝8
练习2：如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C 点，A点坐标为(－1，0)，OC＝2，OB＝3，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式；
OE OF 2 OC
(3)直线l过点G(0，－2)且平行于x轴．若D为抛物线y＝ax2 ＋c(a≠0)上的一个动点，点D到直线l 的距离记为d，试判断d＝DO是否恒成立，并说明理由．
d＝DO 恒成立
(4)直线y＝kx交抛物线于E，F两点，过E，F两点分别作直线l∶y＝－2的垂线，垂足分别为点M，N.试说明无论k 取何值， 1 1 的值都等于同一个常数．
EM FN
1 1 1 EM FN
练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋ c交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C(0，3)，抛物线的顶点坐标为D(－1，4)． (1)求A，B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式；
(1)A(－3，0)，B(1，0)
二次函数专题
（七）＋c(a≠0)经过B(2，0)， C(0，－1)两点； (1)求抛物线的解析式．
y 1 x2 1 4
(2)如图2，已知P是x轴下方的抛物线上的一个动点，直线 PA，PB与y轴分别交于E，F两点．当点P运动时，O E O F是
OC
否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
y2x2 4x3 33
(2)P为坐标平面内一点，以B，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；

方法必备07二次函数中定值、定点问题(8类题型)原卷版

方法必备07二次函数中定值、定点问题（8类题型）题型一面积（面积比）定值题型二线段（线段比）定值题型三线段和差倍定值题型四线段乘积为定值题型五横（纵）坐标定值题型六其它定值问题题型七结合韦达定理求定点题型八直线过定点题型一面积（面积比）定值1．（2023•花都区二模）已知，抛物线22(22)2y x m x m m =-+++与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧）．（1）当0m =时，求点A ，B 坐标；（2）若直线y x b =-+经过点A ，且与抛物线交于另一点C ，连接AC ，BC ，试判断ABC ∆的面积是否发生变化？若不变，请求出ABC ∆的面积；若发生变化，请说明理由；（3）当5221m x m --时，若抛物线在该范围内的最高点为M ，最低点为N ，直线MN 与x 轴交于点D ，且3MD ND=，求此时抛物线的解析式．2．（2023•兴化市一模）已知抛物线2(0)y ax a =>经过第二象限的点A ，过点A 作//AB x 轴交抛物线于点B ，第一象限的点C 为直线AB 上方抛物线上的一个动点．过点C 作CE AB ⊥于E ，连接AC 、BC ．（1）如图1，若点(1,1)A -，1CE =．①求a 的值；②求证：ACE CBE ∆∆∽．（2）如图2，点D 在线段AB 下方的抛物线上运动（不与A 、B 重合），过点D 作AB 的垂线，分别交AB 、AC 于点F 、G ，连接AD 、BD ．若90ADB ∠=︒，求DF 的值（用含有a 的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接BG 、DE ，试判断BGF DBES S ∆∆的值是否随点D 的变化而变化？如果不变，求出S BGF S DBE ∆∆的值，如果变化，请说明理由．题型二线段（线段比）定值3．（2023•绵阳）如图，抛物线经过AOD ∆的三个顶点，其中O 为原点，(2,4)A ，(6,0)D ，点F 在线段AD 上运动，点G 在直线AD 上方的抛物线上，//GF AO ，GE DO ⊥于点E ，交AD 于点I ，AH 平分OAD ∠，(2,4)C --，AH CH ⊥于点H ，连接FH ．（1）求抛物线的解析式及AOD ∆的面积；（2）当点F 运动至抛物线的对称轴上时，求AFH ∆的面积；（3）试探究FG GI 的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．4．（2023•金东区三模）如图，一次函数(0,0)b y x b a b a=-+>>与坐标轴交于A ，B 两点，以A 为顶点的抛物线过点B ，过点B 作y 轴的垂线交该抛物线于另一点D ，以AB ，AD 为边构造ABCD ，延长BC 交抛物线于点E ．（1）若2a b ==，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点E 的坐标．（2）如图2，请问BE AB是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．5．（2023•黑龙江一模）已知，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，点P 是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若PCB ACO ∠=∠，求直线PC 的解析式；（3）如图2，当点P 位于第二象限时，过P 点作直线AP ，BP 分别交y 轴于E ，F 两点，请问CE CF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．题型三线段和差倍定值6．（2023•红桥区三模）已知抛物线22(y ax bx a =++，b 为常数，0)a ≠经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴相交于点C ，其对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC ，在该抛物线上是否存在点P ，使PCB ABC ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）Q 为x 轴上方抛物线上的动点，过点Q 作直线AQ ，BQ ，分别交抛物线的对称轴于点M ，N ，点Q 在运动过程中，EM EN +的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．7．（2023•呼和浩特）探究函数22||4||y x x =-+的图象和性质，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x ⋯52-2-32-1-12-012132252⋯y ⋯52-032m 32032232052-⋯其中，m =.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；（2）点F 是函数22||4||y x x =-+图象上的一动点，点(2,0)A ，点(2,0)B -，当3FAB S ∆=时，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标；（3）在图2中，当x 在一切实数范围内时，抛物线224y x x =-+交x 轴于O ，A 两点（点O 在点A 的左边），点P 是点(1,0)Q 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段OP ，AP （不含端点）于M ，N 两点．当直线l 与抛物线只有一个公共点时，PM 与PN 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．8．（2023•平遥县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；（2）点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使PCB ABC ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l ，交x 轴于点D ．若点M 是二次函数图象上一动点，且点M 始终位于x 轴上方，作直线AM ，BM ，分别交l 于点E ，F ，在点M 的运动过程中，DE DF +的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．9．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；（3）如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．10.（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．（1）如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)-中恰有三个点在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ≠的图象上．①a =；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a >的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．11．（2023•长汀县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A -，(0,2)B -两点．（1）用含a 的式子表示b ；（2）当2a =时，如图1，点C 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求点C 到直线AB 距离的最大值．（3）当1a =时，如图2，过点1(2P -，2)-的直线交抛物线2(0)y ax bx c a =++>于M ，N ．①若//MN x 轴，计算11PM PN +=．②若MN 与x 轴不平行，请你探索11PM PN+是否定值？请说明理由．12．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数15544y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2x =的抛物线22(0)y ax bx c a =++≠也经过点A 、点C ，并与x 轴正半轴交于点B ．（1）求抛物线22(0)y ax bx c a =++≠的函数表达式；（2）设点25(0,)12E ，点F 在抛物线22(0)y ax bx c a =++≠对称轴上，并使得AEF ∆的周长最小，过点F 任意作一条与y 轴不平行的直线交此抛物线于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点，试探究11FP FQ +的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线22(0)y ax bx c a =++≠适当平移后，得到抛物线23()(1)y a x h h =->，若当1x m <时，3y x -恒成立，求m的最大值．13．（2023•武侯区校级模拟）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若(1,0)A -且3OC OA =．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P 是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接BC 、AP 相交于点G ，当12PBG ABG S S ∆∆=时，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，AP 交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与线段AB ，AC 分别交于E ，F ，当直线l 绕点M 旋转时，m n AE AF+为定值3，请求出m 和n 的值．14．（2023•丹阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，其中B 点的坐标为(3,0)，点M 为抛物线上的一个动点．（1）二次函数图象的对称轴为直线1x =．①求二次函数的表达式；②若点M 与点C 关于对称轴对称，则点M 的坐标是；③在②的条件下，连接OM ，在OM 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图象交于点Q ，求线段PQ 的最大值．（2）过点M 作BC 的平行线，交抛物线于点N ，设点M 、N 的横坐标为m 、n ，在点M 运动的过程中，试问m n +的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m n +的值．题型四线段乘积为定值15．（2023•南充）如图1，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点(1,3)K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．题型五横（纵）坐标（坐标和）定值16．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线26(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点(2,0)A -，(6,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．（1）抛物线的解析式为；（直接写出结果）（2）在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；（3）如图2，若动直线l 与抛物线交于M ，N 两点（直线l 与BC 不重合），连接CN ，BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当//MN BC 时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．17．（2023•清江浦区校级三模）如图，已知抛物线2:23(0)T y ax ax a a =-->与y 轴交于点C ，交x 轴于点A ，B ，且OB OC =．（1）求抛物线T 的解析式；（2）如图1，直线1:(0)2l y x b b =+<交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，将MON ∆沿直线l 翻折，得到MPN ∆，点O 的对应点为点P 若点O 的对应点P 恰好落在抛物线上，求b 的值；（3）如图2，点D 是抛物线T 上一动点，连接AD ，并将直线AD 沿x 轴翻折交抛物线T 于点E ．设点D 的横坐标为D x ，点E 的横坐标为E x ，试问：D E x x +是否为定值？若为定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．题型六其它定值问题18．（2023•宿豫区二模）阅读下列材料：在九年级下册“5.2二次函数的图象和性质”课时学习中，我们发现，函数：2()y a x k h =-+中a 的符号决定图象的开口方向，||a 决定图象的开口大小，为了进一步研究函数的图象和性质，我们作如下规定：如图1，抛物线上任意一点（A ）（异于顶点)O 到对称轴的垂线段的长度(AB 的长度）叫做这个点的“勾距”，记作m ；垂足（B ）到抛物线的顶点()O 的距离()BO 叫这个点的“股高”，记作h ；点（A ）到顶点()O 的距离(AO 的长度）叫这个点的“弦长”，记作l ；过这个点（A ）和顶点()O 的直线()AO 与对称轴()BO 相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作α．由图1可得，对于函数2(0)y ax a =≠．（1）当勾距m 为定值时，①2||h am =、22(1)l m a m =+；股高和弦长均随a 增大而增大；②1tan ||amα=；偏角随||a 增大而减小；（如：函数23y =中，当1m =时，2||3h am ==22(1)2l m a m =+=、13tan ||30)3am αα===︒（2）当偏角α为定值时，③1||tan m a α=、21||(tan )h a α=、2cos ||(sin )l a αα=，勾距、股高和弦长均随||a 增大而减小；（如：函数2y x =中，当45α=︒时，1||1tan m a α==、21||1(tan )h a α==、2cos ||2)(sin )l a αα==利用以上结论，完成下列任务：如图2：已知以A 为顶点的抛物线211(2)2y x =-与y 轴相交于点B ，若抛物线22()y a x b =-的顶点也是A ，并与直线AB 相交于点C ，与y 轴相交于点D ．（1）函数22y x =中，①当1m =时，h =，②当60α=︒时，l =；（2）如图2：以(2,0)A 为顶点作抛物线：211(2)2y x =-和22()y a x b =-，1y 与y 轴相交于点B ，2y 与直线AB 相交于点C ，与y 轴相交于点D ；①当12a >时，设S AC OD =⋅，随a 的取值不同，S 的值是否发生改变，如果不变，请求出S 的值，如果发生改变，请直接写出S 的取值范围；②若点M 在抛物线1y 上，直线AM 与2y 的另一个交点为N ，记BAM ∆的面积为1S ，CAN ∆的面积为2S ，若1249S S =，请求出a 的值．19．（2023•宜都市二模）抛物线234(0)y ax ax ac a =--<与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ．（1）写出抛物线的对称轴，并求c 的值；（2）如图1，90ACB ∠=︒，点1(D x ，11)(0)y x <是抛物线上234y ax ax ac =--的动点，直线DO 与抛物线的另一个交点为E ；①若D ，E 关于点O 对称，求D 点坐标；②若点(0,)P m 是y 轴上一点，直线DP 的表达式为11y k x b =+，直线EP 的表达式为22y k x b =+，当12k k +的值是一个定值时，求m 的值．20．（2023•长沙）我们约定：若关于x 的二次函数21111y a x b x c =++与22222y a x b x c =++同时满足22121()||0b b c a +++-=，202312()0b b -≠，则称函数1y 与函数2y 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于x 的二次函数2123y x kx =++与22y mx x n =++互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；（2）对于任意非零实数r ，s ，点(,)P r t 与点(Q s ，)()t r s ≠始终在关于x 的函数212y x rx s =++的图象上运动，函数2y 与1y 互为“美美与共”函数．①求函数2y 的图象的对称轴；②函数2y 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数21y ax bx c =++与它的“美美与共”函数2y 的图象顶点分别为点A ，点B ，函数1y 的图象与x 轴交于不同两点C ，D ，函数2y 的图象与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD EF =时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．题型七结合韦达定理求定点21．（2023•汉阳区校级模拟）抛物线2222y x mx m m =-+-+，(0)m >交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边），C 是抛物线的顶点．（1）当2m =时，直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（2）如图1，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，COB OCD ∠=∠，求线段CD 长度；（3）如图2，将抛物线平移使其顶点为(0,1)，点P 为直线3y x =+上的一点，过点P 的直线PE ，PF 与抛物线只有一个公共点，问直线EF 是否过定点，请说明理由．题型八直线过定点22．（2023•锦江区校级模拟）已知抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，顶点为P ，与y 轴交于C 点，且ABC ∆的面积为6．（1）求抛物线的对称轴和解析式；（2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y 轴于E ，顶点Q 在原抛物线上，当四边形APQE 是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；（3）若过定点(2,1)K 的直线交抛物线于M 、N 两点(N 在M 点右侧），过N 点的直线2y x b =-+与抛物线交于点G ，求证：直线MG 必过定点．2123．（2023•洪山区校级模拟）如图，已知抛物线21:3C y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，3OB OC OA ==．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）如图2，已知点P 为第一象限内抛物线1C 上的一点，点Q 的坐标为(1,0)，45POC OCQ ∠+∠=︒，求点P 的坐标；（3）如图3，将抛物线1C 平移到以坐标原点为顶点，记为2C ，点(1,1)T -在抛物线2C 上，过点T 作TM TN ⊥分别交抛物线2C 于M ，N 两点，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．。

14 专题十四、二次函数与定值问题

专题十四、二次函数与定值问题【专题导入】1．若线段AB=x+2，线段PQ=-x+7,则AB+PQ=_____,也即是说，AB与PQ线段和为定值。

2．求证：不论m取什么实数，二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+m（m+2）的图象与x轴两个交点之间的距离为定值．【方法技巧】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。

平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。

一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用：①参数计算法。

即：在图形运动中，选取其中的变量（如线段长、点坐标）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。

②韦达定理法。

当涉及到直线（一次函数图像或x轴）与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。

【典例剖析】3．如图，直线y=−32x+6分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=−18x2+8，与y轴交于点D，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，过点P作PC⊥x轴于点C．（1）点A的坐标为_______，点D的坐标为_______；（2）试判断：对于任意一点P，PB+PC的值是否为定值？并说明理由。

4．如图，已知直线y＝kx﹣9k（k＜0）与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于A，B两点，与x轴交于点P．过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，求证：PD•PC为定值．【举一反三】5．（2017•武汉模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）填空：A点坐标是________，B点的坐标是________；（2）当a＝1时，如图，将直线BC沿y轴向上平移交抛物线于M，N，交y轴于点P，求证：PM﹣PN是定值.【强化训练】6．已知直线y ＝kx +2与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）交于A 、B 两点，AM ⊥y 轴于M ，BN ⊥y 轴于N ，求OM •ON 的值．7．已知关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 的图象与直线y ＝kx +1．（1）若k ＝1，求证：无论m 为何值，二次函数图象与直线总有两个不同交点．（2）在（1）条件下，若两图象交于两点A 、B ，试证明AB 的长为定值，并求出这个定值． 8．如图，抛物线C 1：y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0）、C （0，54）两点，与x 轴正半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线C 1的函数表达式；（2）设点D （0，2512），若F 是抛物线C 1：y ＝ax 2+bx +c 的对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1（x 1，y 1）、M 2（x 2，y 2）两点，试探究1M 1F +1M 2F 是否为定值，请说明理由。

二次函数-定值问题典型例题

二次函数-定值问题【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．，再根据x=代入y=与抛物线的图象上；++，根据两角对应相等的两三角=，即可证明﹣（﹣）﹣（﹣，x=y=x y=）与抛物线）在反比例函数++y=kx+8=x+++++，++，OFB=90 =，=【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．出均有=x1=x4=x9==．xx，）均有==，AB==CD=，m==m==（﹣（m y=m m﹣m2=m m m =m2m==m=．故答案为：；；．【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．）代入求出），a=y=y=x+；（y=（﹣（y=（﹣ECP=﹣﹣=﹣，ECP=【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．的长，然后代入+x x，然后表示出+，，x，AO=mAM=+=+x x +==，+=取何值，++是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且ABsin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ．在Rt ABD △中，AB =sin OAB ∠=sin 3BD AB OAB ∴=∠==．又由勾股定理，得6AD ===．1064OD OA AD ∴=-=-=．点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ········· 2分（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-．对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，．而点(43)C -，，1(63)P ∴-，．在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+．将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，；而点(100)A ，，2(612)P ∴-，．过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =．在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，．过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =．在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ······················· 1分综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ．可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭．3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················ 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例6】、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，，为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ，，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。

二次函数求最值的六种考法(含答案)

二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值．【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0，即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0，解得x 1＝1，x 2＝5．如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5．则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值．【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2，解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38；故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值．【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2，又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4，解得a =−14，故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ．【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2．故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8．故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值．【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）．（2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）．设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，则{−3m +n =0n =−3，解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t，解得{k =−12t =52，故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152；（Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1，故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4，解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q，解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t，解得{a =1t =2，故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0），抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4．故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5，故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）．【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）．【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。

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