反比例函数基础知识表格
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
数学反比例函数知识点大全
数学反比例函数知识点大全反比例函数知识点反比例函数定义一般地，如果两个变量某、y之间的关系可以表示成y=k/某(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是某的反比例函数。
因为y=k/某是一个分式，所以自变量某的取值范围是某≠0。
而y=k/某有时也被写成某y=k或y=k·某^(-1)。
反比例函数图像性质反比例函数的图像为双曲线。
1.当k>0时，反比例函数图像经过一，三象限，每一象限内，从左往右，y随某的增大而减小。
2.当k<0时，反比例函数图像经过二，四象限，每一象限内，从左往右，y随某的增大而增大。
反比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点;反比例函数的图像也是轴对称图形，其对称轴为y=某和y=-某;反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。
知识点1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/某，若在分母上加减任意一个实数m(即y=k/某(某±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。
(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)反比例性质1规律：反比函数与一次函数(与正比例函数相交，交点关于原点对称)相交，求线段数量关系时，切记“原点O到两交点的距离是相等的”若给出反比函数解析式，那么最终求得的结果的过程肯定要转化成关于“k”的几何意义。
2规律：一次函数与反比函数相交且两函数解析式都未知，此时一次函数所在直线与交点分别于某轴，y轴做垂线的交点所连接的线段是相互平行的，同时一次函数与反比函数的交点到一次函数与某轴，y轴的交点的距离是相等的。
3规律：题目中给出线段比例和四边形的面积求k问题，利用同底等高三角形面积与高之间的关系，面积与k之间的关系。
求出k(此时不用具体求出点坐标)。
4规律：有中点时利用中点坐标公式，再根据反比函数上任何一点处的几何意义都相同的思想转化出面积问题。
5规律：若反比例函数图像经过多个点，那么在这几点处的几何意义是相同的。
反比例函数基础知识表格
①根据两变量之间的反比例关系，设y＝ ；
②代入图像上一个点的坐标，即x，y的一对对应值，求出k的值；
③写出表达式
反比例函数与一次函数的图像的交点的求法
求直线y＝k1x＋b(k1≠0)和双曲线y＝ (k2≠0)的交点坐标，解这两个函数表达式组成的方程组即可
(2)反比例函数的性质
函数
字母取值
图像Байду номын сангаас
所在象限
性质
y＝ (k≠0)
k>0
第一、三象限(x，y同号)
在每个象限内，y随x增
大而减小
k<0
第二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y随x增
大而增大
考点3 反比例函数比例系数k的几何意义
k的几何意义
反比例函数图像上的点(x，y)具有两数之积为常数(xy＝k)这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
反比例函数基础知识表格
反比例函数
考点1 反比例函数的概念
形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是比例系数.
考点2 反比例函数的图像与性质
(1) 反比例函数的图像:反比例函数y＝ (k≠0)的图像是________关于________对称
推导
如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝ ， ∴xy＝k,∴S＝|k|
拓展
过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数
考点4 反比例函数的应用
01-第六章1反比例函数
解析 ∵24= 1 xy,∴xy=48,即y= 48 (x>0),
2
x
∴y是x的反比例函数.
当x=6时,y= 48 =8.
6
因此斜边长= 62 82 =10(m).
答:两条直角边长x与y之间的关系式是y= 48 (x>0),y是x的反比例函数,
x
当x=6时,另一条直角边长为8 m,斜边长为10 m.
型,最后解决实际问题. (2)一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.
1 反比例函数
栏目索引
例2 由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已知电 压不变,电阻R=12.5欧姆时,电流强度I=0.2安培. (1)求I与R的函数表达式; (2)当R=5欧姆时,求电流强度.
分析 因为I与R成反比例,所以可设I=U R (U≠0),解析式中只有U一个待定 系数,所以只要将R=12.5,I=0.2这一组数据代入I=U (U≠0)即可.
每小时注水量h(单位:m3)的函数关系式为
,自变量的取值范围
是
.
答案 t= 60 ;h≥6
h
解析 依题意可得t= 60 .
h
∵要在10 h内注满水,∴ 60 ≤10,解得h≥6.
h
1 反比例函数
栏目索引
7.用反比例函数表达式表示下列问题中两个变量间的对应关系: (1)小明完成100 m赛跑时,所用时间t(s)随他跑步的平均速度v(m/s)的变 化而变化; (2)一个密闭容器内有0.5 kg气体,气体的密度ρ随容器体积V的变化而变化; (3)压力为600 N时,压强p随受力面积S的变化而变化; (4)三角形的面积为20,一边上的高h随这一边的长a的变化而变化.
x
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =〔k 为常数，0k ≠〕的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值X 围是0x ≠的一切实数，函数值的取值X 围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成局部； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =〔0k ≠〕， ②1kx y -=〔0k ≠〕， ③k y x =⋅〔定值〕〔0k ≠〕； ⑸函数xky =〔0k ≠〕与y k x =〔0k ≠〕是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
〔k 为常数，0k ≠〕是反比例函数的一局部，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =〔0k ≠〕中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =〔0k ≠〕中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越准确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右〔或从右至左〕用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数 xky =〔0k ≠〕 k 的符号 0k > 0k <图像性质①x 的取值X 围是0x ≠，y 的取值X 围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
反比例函数知识点汇总
反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征：反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。
反比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲线的形状。
2.反比例函数的基本性质：(a)定义域：x≠0，即x不能为0。
(b)值域：排除0，即y不能为0。
当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
(c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。
(d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。
(e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。
(f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。
(g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。
3.确定反比例函数的常数k：y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k，可以得到：y1*y2=k因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。
4.反比例函数的应用：(a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。
例如，当一个物体的质量与加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个函数来解决问题。
(b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例关系。
当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。
(c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。
当投资金额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。
(d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流较小；当电阻较小时，电流较大。
总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双曲线的形状。
反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心和渐进线等。
确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。
反比例函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。
反比例函数知识点归纳--最经典最好的笔记
反比例函数知识点归纳（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）（k 为常数，＼（k ≠ 0\））的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中，x 是自变量，y 是函数，k 称为比例系数。
例如，当速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系可以表示为\（s ＝vt\），如果时间 t 与路程 s 成反比例关系，那么可以表示为\（t ＝＼frac{s}｛v}＼）（其中 v 是常数），此时 t 就是 s 的反比例函数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是\（x ≠ 0\），因为在分式中分母不能为 0。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、＼（y ＝＼frac{k}｛x}＼）（k 为常数，＼（k ≠ 0\）），这是反比例函数的基本形式。
2、＼（y ＝ kx^｛－1}＼）（k 为常数，＼（k ≠ 0\）），将\（＼frac{k}｛x}＼）变形可得。
3、＼（xy ＝ k\）（k 为常数，＼（k ≠ 0\）），通过\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）两边同时乘以 x 得到。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。
当\（k ＞ 0\）时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当\（k ＜ 0\）时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
例如，函数\（y ＝＼frac{2}｛x}＼），因为\（k ＝ 2 ＞ 0\），所以图像在第一、三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。
绘制反比例函数图像的一般步骤：1、列表：在自变量取值范围内选取一些值，算出对应的函数值，列成表格。
2、描点：以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。
3、连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线将所描的点依次连接起来。
四、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。
反比例函数知识点框架
反比例函数知识点框架
反比例函数是数学中一种重要的函数类型，本文将介绍反比例函数的基本定义、性质及其运用。
一、定义及性质
1、定义
反比例函数是以x为自变量而y为因变量的函数，它是满足以下关系的函数：
y=k1/x
其中k1是常数，反比例函数的图像具有以下性质：
2、性质
（1）反比例函数的图像关于y轴对称，关于原点对称；
（2）反比例函数的导数与比例函数相反，即y′＝ k1/x2；
（3）反比例函数的凹凸性与比例函数相反，即比例函数是凹函数，而反比例函数是凸函数。
二、运用
1、求反比例函数
用反比例函数可以解决求所求函数表达式的问题。
例如：若一个问题中x与y的大小关系为：越大的x对应越小的y，即满足：
y=k/x，则可求出反比例函数的表达式：y=k1/x
2、应用于实际问题
反比例函数还可以应用于实际问题，如：
（1）价格和数量之间的关系：如果某种商品的价格上涨，那么该商品的销量就会下降，可用反比例函数来描述这一关系；
（2）在流体力学中，当水流的流量增加，水流的压力就会下降，反之，当水流的流量减小，水流的压力也会相应增加，也可以用反比例函数来说明此种关系。
三、总结
反比例函数是以x为自变量而y为因变量的函数，它是满足以下关系的函数：y=k1/x，其图象具有对称性，导数为负值，凹凸性与比例函数相反。
它可以用来求反比例函数，以及应用于实际问题，如价格与数量之间的关系、水流的压力和流量之间的关系等。
总之，反比例函数是一个非常有用的工具，可以用来解决实际问题。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结一、反比例函数定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。
二、图象特征1. 反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限。
3. 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限。
4. 双曲线的对称轴是 y 轴。
三、性质1. 反比例函数不是定义在全体实数上的函数，其定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
2. 反比例函数的值域为全体实数 R。
3. 反比例函数是奇函数，具有对称性，其对称中心为原点 (0, 0)。
4. 当 x 的值增大时，y 的值减小；当 x 的值减小时，y 的值增大。
5. 反比例函数没有渐近线，但当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大或负无穷大。
四、运算法则1. 反比例函数的加法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 + y2 = (k1x2 + k2x1) / (x1x2)。
2. 反比例函数的减法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 - y2 = (k1x2 - k2x1) / (x1x2)。
3. 反比例函数的乘法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 * y2 = (k1 * k2) / (x1 * x2)。
4. 反比例函数的除法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 /y2 = (k1 / k2) * (x2 / x1)。
五、实际应用反比例函数在物理学、经济学、生物学等领域有广泛的应用。
例如，在电路分析中，电流与电阻的关系可以由欧姆定律表示为 I = V/R，其中 V 为电压，I 为电流，R 为电阻，这可以看作是反比例函数的一个特例。
六、常见问题及解析1. 问题：如何确定反比例函数的定义域和值域？解析：反比例函数的定义域为除去 0 的所有实数，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
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①根据两变量之间的反比例关系，设y＝ ；
②代入图像上一个点的坐标，即x，y的一对对应值，求出k的值；
③写出表达式
反比例函数与一次函数的图像的交点的求法
求直线y＝k1x＋b(k1≠0)和双曲线y＝ (k2≠0)的交点坐标，解这两个函数表达式组成的方程组即可
函数
字母取值
图像
所在象限
性质
y＝ (k≠0)
k>0
第一、三象限(x，y同号)
在每个象限内，y随x增
大而减小
k<0
第二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y随x增
大而增大
考点3 反比例函数比例系数k的几何意义
k的几何意义
反比例函数图像上的点(x，y)具有两数之积为常数(xy＝k)这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
反比例函数
考点1 反比例函数的概念
形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是比例系数.
考点2 反比例函数的图像与性质
(1) 反比例函数的图像:反比例函数y＝ (k≠0)的图像是________关于________对称
(2)反比例函数的性质
推导
如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝ ， ∴xy＝k,∴S＝|k|
拓展
过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数
考点4 反比例函数的应用
求函数表达式的方法步骤