第四章 摩擦(H)
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摩擦、磨损与润滑概述
1、摩擦是引起能量损耗的主要原因。
2、摩擦是造成材料失效和材料损耗的主要原因。
3、摩擦学：
关于摩擦、磨损与润滑的学科(Tribology)
4、润滑是减小摩擦和磨损的最有效的手段。
§4-2 摩 擦
一、摩擦的概念：
正压力作用下，相互接触的两物体受切向外力的影 响而发生相对位移，或有相对滑动的趋势时，在接触 表面上就会产生抵抗滑动的阻力－摩擦。
Ff Ar B
Ar Ari A a b
干摩擦理论：
机械理论： 摩擦力是两表面凸峰的机械啮合力的总和。
分子理论： 产生摩擦的原因是表面材料分子间的吸引力作用。
分子-机械理论： 摩擦力是由两表面凸峰的机械啮合力和表
面分子相互吸引力两部分组成。
粘附理论：
阿蒙顿摩擦定律：
第一定律：摩擦力与法向载荷成正比。
R —0.4两粗糙面3.的0 综合不平混度合摩擦
3～4
流体摩擦
( 1 时，不平度凸峰为总载荷的30%)
流体摩擦：
1、定义：
当两摩擦面间的油膜厚度大到足以将两表面的不平凸峰完全 分开，这种摩擦叫液体摩擦。
2、特点：
3～4
①、油分子大都不受金属表面的吸附作用的支配，而能完全移动。
件上。润滑脂还可以用于简单的密封。
常用的润滑装置
常用润滑装置
一、间歇润滑装置
常用润滑装置
一、间歇润滑装置
常用润滑装置
二、间歇润滑装置
§4-5 流体润滑原理简介
英国的雷诺于1886年继前人观察到的流体动压现象流，体润总滑1 结出流体动压润滑理 论。20世纪50年代普遍应用电子计算机之后，线接触弹性流体动压润滑的理论开 始有所突破。
摩擦学原理(第4章磨损理论)
将磨损分类的主要目的是为了将实际存在的各种各样的磨损现象归纳 为几个基本类型，从而更好地分析磨损规律。早期人们根据摩擦的作 用将磨损分为以下三大类：
1．机械类 由摩擦过程中表面的机械作用产生的磨损，包括磨粒磨损、表面塑性 变形、脆性剥落等，其中磨粒磨损是最普遍的机械磨损形式。 2．分子-机械类 由于分子力作用形成表面粘着结点，再经机械作用使粘着结点剪切所 产生的磨损，这类磨损的主要形式就是粘着磨损。 3．腐蚀-机械类 这类磨损是由介质的化学作用或电化学作用引起表面腐蚀，而摩擦中 的机械作用加速腐蚀过程，它包括氧化磨损和化学腐蚀磨损。
为了设计具有足够抗磨能力的机械零件和估算其磨损寿命，还必须 建立适合于工程应用的磨损计算方法。近年来通过对磨损状态和磨 屑分析以及对磨损过程的深入研究，提出了一些磨损理论，它们是 磨损计算的基础。磨损计算方法的建立必须考虑磨损现象的特征。 而这些特征与通常的强度破坏很不相同。
第四章 磨损机理
表4.1磨损类型
分类 磨损机理 1．粗糙峰变形或去除 2．犁沟导致的磨损 3．剥层磨损 主要由材料的机械行为引起的磨损 4．粘着磨损 5．磨料磨损 6．微动磨损 7．固体颗粒冲击引起的磨损 1．腐蚀磨损 2．氧化磨损 主要由材料的化学行为引起的磨损 3．扩散磨损 4．表面层溶解引起的磨损 5、高温下的粘着磨损 磨损常数K（范围） 10-4 10-4 10-4 10-4 10-2~10-1 10-6~10-4
第二篇 磨损理论
各种磨损形式有着不同的作用机理：
磨粒磨损主要是犁沟和微观切削作用； 粘着磨损过程与表面间分子作用力和摩擦热密切相关； 接触疲劳磨损是在循环应力作用下表面疲劳裂纹萌生和扩 展的结果； 而氧化和腐蚀磨损则由环境介质的化学作用产生。 接触面的塑性变形常常引起磨损，也就是说变形导致磨损， 化学作用也常能引起磨损。此外，有很多种磨损机理必 须利用机械学、热力学等学科的理论来分析。
1．机械类 由摩擦过程中表面的机械作用产生的磨损，包括磨粒磨损、表面塑性 变形、脆性剥落等，其中磨粒磨损是最普遍的机械磨损形式。 2．分子-机械类 由于分子力作用形成表面粘着结点，再经机械作用使粘着结点剪切所 产生的磨损，这类磨损的主要形式就是粘着磨损。 3．腐蚀-机械类 这类磨损是由介质的化学作用或电化学作用引起表面腐蚀，而摩擦中 的机械作用加速腐蚀过程，它包括氧化磨损和化学腐蚀磨损。
为了设计具有足够抗磨能力的机械零件和估算其磨损寿命，还必须 建立适合于工程应用的磨损计算方法。近年来通过对磨损状态和磨 屑分析以及对磨损过程的深入研究，提出了一些磨损理论，它们是 磨损计算的基础。磨损计算方法的建立必须考虑磨损现象的特征。 而这些特征与通常的强度破坏很不相同。
第四章 磨损机理
表4.1磨损类型
分类 磨损机理 1．粗糙峰变形或去除 2．犁沟导致的磨损 3．剥层磨损 主要由材料的机械行为引起的磨损 4．粘着磨损 5．磨料磨损 6．微动磨损 7．固体颗粒冲击引起的磨损 1．腐蚀磨损 2．氧化磨损 主要由材料的化学行为引起的磨损 3．扩散磨损 4．表面层溶解引起的磨损 5、高温下的粘着磨损 磨损常数K（范围） 10-4 10-4 10-4 10-4 10-2~10-1 10-6~10-4
第二篇 磨损理论
各种磨损形式有着不同的作用机理：
磨粒磨损主要是犁沟和微观切削作用； 粘着磨损过程与表面间分子作用力和摩擦热密切相关； 接触疲劳磨损是在循环应力作用下表面疲劳裂纹萌生和扩 展的结果； 而氧化和腐蚀磨损则由环境介质的化学作用产生。 接触面的塑性变形常常引起磨损，也就是说变形导致磨损， 化学作用也常能引起磨损。此外，有很多种磨损机理必 须利用机械学、热力学等学科的理论来分析。
摩擦学原理知识点整理
绪论1、摩擦学定义：是关于相对运动的相互作用表面的科学技术，包括摩擦、润滑、磨损和冲蚀。
2、摩擦学研究内容主要包括：摩擦、磨损、润滑以及表面工程技术。
3、摩擦：是抵抗两物体接触表面在外力作用下发生切向相对运动的现象。
4、磨损：着重研究与分析材料和机件在不同工况下的磨损机理、发生规律和磨损特性。
5、润滑：研究内容包括流体动力润滑、静力润滑、边界润滑、弹性流体动力润滑等在内的各种润滑理论及其在实践中的应用。
6、表面工程技术：将表面与摩擦学有机结合起来，解决机器零部件的减摩、耐磨，延长使用寿命的问题。
第一章1、表面形貌：微观粗糙度、宏观粗糙度（即波纹度）和宏观几何形状偏差。
2、表面参数：（1）算术平均偏差Ra 是在一个取样长度lr 内纵坐标值Z （x ）绝对值的算术平均值。
（2）轮廓的最大高度Rz 是在一个取样长度lr 内最大轮廓峰高Zp 和最大轮廓谷深Zv 之和的高度。
（3）均方根偏差Rq 是在一个取样长度lr 内纵坐标值Z （x ）的均方根值。
3、对于液体，表层中全部分子所具有的额外势能的总和，叫做表面能。
表面能越高，越易粘着。
4、物理吸附：当气体或液体与固体表面接触时，由于分子或原子相互吸引的作用力而产生的吸附叫做物理吸附，是靠范德华力维系的，温度越高，吸附量越小。
物理吸附薄膜形成的特点是吸附和解吸附具有可逆性，无选择性。
5、化学吸附：极性分子与金属表面的电子发生交换形成化学键吸附在金属表面上，且极性分子呈定向排列。
化学吸附的吸附能较高，比物理吸附稳定，且是不完全可逆的，具有选择性。
6、粘附：是指两个发生接触的表面之间的吸引。
7、影响粘附的因素：①润湿性，②粘附功，③界面张力，④亲和力。
8、金属表面的实际结构：（1）外表层：①污染层，②吸附气体层，③氧化层；（2）内表层：①加工硬化层，②金属基体。
第二章1、固体表面的接触分类：（1）点接触和面接触。
（2）①弹性接触（赫兹接触），②塑性接触，③弹塑性接触，④粘弹性接触。
理论力学第四章摩擦问题
x F2max N1
F2max f N2
Pmax
sin cos
f cos f sin
Q
3、综上得出:要维持物体平衡时,力P的值应满足的条件是
:
sin f cos Q P sin f cos Q
cos f sin
cos f sin
例4-3 杆AB的A端置于光滑水平面上，AB与水平面夹角 为20°，杆重为P=50 KN。B处有摩擦。当杆在此处临界平衡时 ，试求B处摩擦角。
m f 从何而来？分析滚动摩擦，必须考 虑变形的影响。物体接触面上受力情况较复杂。
将这些力系向A点简化，得到一个主矢 FR 和一个主矩 m f ，主矢 FR 分解成支反力N和滑动摩擦力Ff （此处Ff
＜ F max ). 主矩 m f 称为滚动摩擦力偶矩， 简称为滚阻力偶。
N
G
F
O
AB
R
GG
F
OO
AB Ff Ff
解： 以AB为研究对象，画受 力图，N为B处的正压力。
Fx 0
N tgΦm. cosθ=N sinθ
tgΦm = tgθ
∴ Φm =θ=20°
x y
NA
FSmax m N
例4-4 * 已知： b , d , fs ,
不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之a 值。
解：取挺杆为研究对象，设挺杆处于卡住临界 状态。
F 0 X
FAx FBx 0
注意BC杆是二 力杆。
（休止角）沙堆滑塌、山体滑坡现象。
§4-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程可用，求解步骤与前面基本相同。 几个新特点 1 、画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 、严格区分物体处于临界、非临界状态；
理论力学教程(第四章)
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
2 大小：
3
（库仑摩擦定律）
④静摩擦系数的测定方法(倾斜法)
两种材料做成物体
和可动平面测沿下面滑
动时的 。
p
F=mgsin =fmgcos
2)、动滑动摩擦
tg f
两物体接触表面有相对运动时,沿接触面产生的切向 阻力称为动滑动摩擦力。
1)、静滑动摩擦
① 定义 两相接触物体虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止F时，
给接触面产生的切向阻力，称为静滑动摩擦力或简称静摩 擦力。
满足
0 F Fmax (最大静摩擦力)
当 F Fmax时,则物体处于临界平衡状态
F
P Fmax f N (库仑静摩擦定律)
若物体静止，则 F P
摩擦的现象和概念
在大学物理已经讲到什么是摩擦：当物体与另一物体 沿接触面的切线方向运动或有相对运动的趋势时，在两物 体的接触面之间有阻碍它们相对运动的作用力，这种力叫 摩擦力。接触面之间的这种现象或特性叫“摩擦”。这里 来作更深入的研究，首先来看它的分类：滑动摩擦和滚动 摩擦。
滑动摩擦：相对运动为滑动或具有滑动趋势时的摩擦。
第四章 摩擦
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料群：
引言
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体 之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下 都存在有摩擦。 [例]
平衡必计摩擦 3
摩擦
☆§4–1 滑动摩擦 ☆§4–2 摩擦角和自锁现象 ☆§4–3 考虑摩擦时物体的平衡问题 ☆§4–4 滚动摩阻的概念
性质：当物体静止在支承面时，支承面的总反力的偏角
2025人教版高中物理必修一知识点-第四章 1.牛顿第一定律
1.牛顿第一定律【课程标准】1.理解牛顿第一定律。
2.能用牛顿第一定律解释生产生活中的有关现象、解决有关问题。
【知识导图】情境引入《周礼》中有“劝登马力,马力既竭,辀(zhou)犹能一取焉”,意思是马拉车的时候,马虽然对车不再施力了,但车还能继续向前运动一段距离。
请同学们思考,这一现象符合伽利略的观点还是亚里士多德的观点?学完本节你就会明白。
必备知识·认知导学一、“运动与力的关系”的历史认知1.亚里士多德认为:必须有力作用在物体上,物体才能运动;没有力的作用,物体就要静止在一个地方。
2.伽利略的理想实验(1)斜面实验:让静止的小球从第一个斜面滚下,冲上第二个斜面,如果没有摩擦,小球将上升到原来释放时的高度;减小第二个斜面的倾角,小球滚动的距离增大,但所达到的高度相同;当第二个斜面放平,小球将永远滚动下去。
(2)推理结论:力不是(选填“是”或“不是”)维持物体运动的原因。
二、牛顿第一定律1.内容:一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态,除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
2.意义(1)指出力不是维持物体运动的原因,而是改变物体运动状态的原因,即力是产生加速度的原因。
(2)指出了一切物体都有惯性,因此牛顿第一定律又称惯性定律。
3.惯性(1)定义:物体具有保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质。
(2)量度:质量是物体惯性大小的唯一量度,质量大的物体惯性大,质量小的物体惯性小。
(3)普遍性:惯性是物体的固有属性,一切物体都有惯性,与物体的运动情况和受力情况无关。
[提醒]任何物体、任何时候都有惯性。
动手求真在验证“伽利略的理想斜面实验”的描述中,是由于摩擦作用导致小车停止,设计以下情景演示,让一个小车从同一斜面上同一高度处滑下,水平面上分别放置毛巾、木板和玻璃板,水平面与斜面平滑连接,小车行驶距离最大的是玻璃表面,其次是木板表面,距离最小的是毛巾表面。
明辨是非1.运动速度大的物体不能很快地停下来,是因为物体的速度越大,惯性也越大。
第五章 工程力学摩擦li
F1max
sin f s cos P cos f s sin
PAG 15
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§4-3
考虑摩擦时物体的平衡问题
y
（二）下滑 (1)取物体为研究对象
(2) 受力分析
(3) 建坐标系，列平衡方程
' 0 Fx 0, F1 cos P sin Fmax
PAG 21
③ M max与滚子半径无关;
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§4-4
滚动摩阻的概念
4.滚动摩擦系数 的说明 ①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关; ③ 的物理意义见图示。
根据力线平移定理
R
' N
P F
A
R
Fs A
§4-1 2、状态
P
Fs
FN
滑动 摩擦实验
滑动摩擦 ①静止： （静摩擦力）
FT
Fs FT (FT Fs 不固定值)
②临界：（将滑未滑）（最大静摩擦力）
力 静摩擦因数
Fx 0, FT FS 0 FS FT
法线间夹角的最大值
tan f Fmax f s FN fs FN FN
Fmax Fs
摩擦角的正切=静摩擦系数
PAG 9
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§4-2
摩擦角和自锁现象
二、自锁现象
①如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦 锥内，则不论这个力多大，物体总能平衡。
PAG 17
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力学第四章
(1)
(2)
fs FN Fmax
sin f s cos F2 P cos f s sin
(3) F2
为使物块静止，应有
即
F2 F F1 sin f s cos sin f s cos PF P cos f s sin cos f s sin
FNA = 800 N ， FNB = 800 N， s = 0.456 l
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§4-4
滚动摩阻的概念
用手按住小车，先按图(a)的方式推动小车，再按图(b)的方式 推动小车。
比较先后两次手感受到的阻碍情况是否相同。
(a) 滑动
(b) 滚动
古代，人类就已经发明用滚动来代替滑动可以大大减小摩擦， 如下图所示，在搬运重物时，在重物下垫上滚木。
d d b (a极限 ) tan f (a极限 ) tan f 2 2
2a极限 tan f 2a极限 f s
a极限 b 2 fs
b 所以 a 2 fs
例4-3
已知：制动器构造尺寸如图。物块重 P，鼓轮重心位于 O1 处， 制动块与鼓轮间的摩擦因数为 fs ，闸杆重量不计。 求：制动鼓轮所需铅直力F。
摩擦角 f = 20˚，F = P。问物块动不动？为什么？
FR
全部主动力的合力
FR F P
合力与法线夹角为12.5˚ 合力在摩擦角内，自锁
3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件
tan tan f f s
斜面自锁条件 螺纹自锁条件
f
f
一般螺纹升角 4 ~ 430
螺纹看成绕圆柱体的斜面
（思考题4-4）
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FN
Q
Fs
解得
Fs 403.6N, FN 1499N Fmax f s FN 299.8N
P
因为 Fs Fmax
物块不可能静止，而是向下滑动。
此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为
Fd f FN 269.8N
第四章 摩擦
例 题 2
已知： P=10N， fs1 =0.1， fs2 = 0.25。 Fs F
Fmin 47.81N
思考题
2 重量均为 P 的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置在水
平桌面上，球与桌面间摩擦系数为 fs ，一水平力F 作用于
A球，系统平衡时 Fmax 。
A
B
30°
F
第四章
摩擦
思考题
3
均质杆重P，长l，置于粗糙的水平 面上，两者间的静摩擦系数为fs。 现在杆的一端施加与杆垂直的力F， 试求使杆处于平衡时的Fmax.设杆的 高度忽略不计。
a AD B
e
FA f s FNA FB f s FNB
第四章 摩擦
a极限
b 2 fs
FA FNB
FNA FB F
O
b
d
M
例 题 5
已知： P=1000N， fs =0.52
C B 5cm 30° 10cm A
求：不致破坏系统平衡时的Qmax 解: (1) 取销钉B为研究对象 Fy 0, FBA sin 30 Q 0
间的摩擦系数为0.40。求可能执书的最大数目。
第四章
摩擦
例 题 3
已知：P，，fs
求：平衡时水平力 Q 的大小。 Q
解：取物块为研究对象，先求其最大值。
Fx 0, Qmax cos P sin Fmax 0 Fy 0, FN P cos Qmax sin 0 Fmax f s FN
第 4 章
※ 滑动摩擦
摩
擦
※ 考虑摩擦时物体的平衡 ※ 摩擦角与自锁现象
※ 滚动摩阻
※ 结论与讨论
第四章 摩擦
引
摩擦的分类
言
按两物体的 相对运动形式 分，有滑动摩擦和滚动摩阻。
按两物体间 是否有良好的润滑，滑动摩擦又可分为干摩擦和 湿摩擦。
摩擦的机理
1. 接触表面的粗糙性 2. 分子间的引力
摩擦的利弊
摩擦
Fmax P
O
② 处于翻倒的临界平衡状态时
M O (F ) 0 sin 30 2.5 FBA cos 30 5 0 P 2.5 FBA
Q2 max P 405.83N 2( 3 0.5)
Qmax 405.83N
FBA ′
FN
A
Q1max
1 2 3 4
Fs F
问：要提起这四本书需加的最小压力。 解：（1）取整体为研究对象
Fy 0, 2 Fs 4 P 0
Fs=20N
PPPP
F12 FN1
Fs Ff s 2 , F 80N
（2）取书1为研究对象
Fs F
1
Fy 0, Fs P F12 0 F12 10 N
第四章
fs P 429.03N 3 fs
Fmax
P
O
摩擦
已知： P=100N，FB=50N ，fc =0.4， 例 题 7 =60°，AC = CB = l /2， r。 求：(1) 若fD =0.3， 轮心O的水平推力Fmin (2) 若fD =0.15， 轮心O的水平推力Fmin 解: (1) 取AB杆为研究对象
第四章 摩擦
FRA
思考题
4
已知摩擦角 f= 20°，F=P，问物块动不 动？为什么？
30°
F
思考题
P
5
已知摩擦角均为 f ，问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况 下的 ， 角应为若干？
第四章
摩擦
解答
FRA
FSA
FSB F RB FNB
FNA
第四章
摩擦
例 题 8
用几何法求解例3 Qmin
FNC ′
o
F P FND
FC ′
FD
D
解得：FD=40N ，F = 26.6N，FND=184.6N
FD max f D FND 0.3 184.6 55.39N
由于 FD﹤FDmax，D处无滑动，上述假定正确
Fmin 26.6N
第四章 摩擦
(3) 当 fD =0.15 时
FD max f D FND 0.15 184.6 27.7 N
§4-2
考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的系统平衡问题的特点
1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知 数增多。 2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 Fs≤fsFN 。 3. 除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程
Fmax = fsFN 。
● 检验物体是否平衡； ● 临界平衡问题； ● 求平衡范围问题。
P
F12 Ff s1 , F 100 N
第四章 摩擦
Fmin 100N
（3）取书2为研究对象
F12 ′
2
F23 P 0 Fy 0, F12 F23 0 N
FN1 ′
P
F23 FN2
思考题
1
有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加一压力225N。
如每本书的质量为0.95kg，手与书间的摩擦系数为0.45，书与书
已知：fs，b 。
求：a为多大，推杆才不致被卡。
A
解：取推杆为研究对象
B
Fx 0, FNA FNB 0 Fy 0, FA FB F 0 d d M D ( F ) 0, Fa FNB b FB FA 0 2 2
考虑平衡的临界情况，可得补充方程
第四章 摩擦
几个有意义的实际问题
赛 车 起 跑
为什么赛车运动员起跑前要将车轮与 地面摩擦生烟？
第四章 摩擦
几个有意义的实际问题 赛车结构
Fw
ma
F FN
为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？
第四章
摩擦
几个有意义的实际问题
台式风扇放在光滑的桌面上，风扇工作时将 会发生什么现象？ 落地扇工作时又会发生什么现象？
Q
FBA=2Q
(2) 取物块A为研究对象 ① 处于滑动的临界平衡状态时
B
FBC Q
FBA
cos 30 Fmax 0 Fx 0, FBA sin 30 0 Fy 0, FN P FBA Fmax f s FN
FBA ′ FN
A
Q1max
第四章
fs P 429.03N 3 fs
FN
Qmin
Fmax
P
得：
sin f s cos Q min P cos f s sin
sin f s cos sin f s cos P Q P cos f s sin cos f s sin
第四章 摩擦
例 题 4
P
★ 静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定
第四章 摩擦
2. 最大静滑动摩擦力
静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体 间的正压力成正比 Fs
FN F P
Fmax f s FN 0 Fs Fmax
3. 动滑动摩擦力
f s 静摩擦系数
Fd fFN
第四章 摩擦
f 动摩擦系数, 且 f fs
d b
f C f
解: 由图示几何关系得
B
F
O
a
d d (a极限 ) tan f (a极限 ) tan f b 2 2
b b a极限 2 tan f 2 f s
第四章 摩擦
§4-4
滚动摩阻的概念
P O Fs
F
FN
A
P O
A
F
FR
P O
A
F
P O
F
FN
M
Fs A MQmaxຫໍສະໝຸດ fFRf -
P FR
FR
P
f+
P Qmax
P
FR
f
Qmin
Qmax P tan( f )
Qmin P tan( f )
P tan( f ) Q P tan( f )
第四章 摩擦
例 题 9
用几何法求解例4
a极限
A
F
第四章
摩擦
解答
A B
解：（1）取小球 A 为研究对象
30° F
FSA Pf s
（2）取小球 B 为研究对象 FSA
A
FA
FSB Pf s
Fmax ( FSA FSB ) cos 30 3Pf s
第四章 摩擦
FSB
Fmax
FSA
解答
O
解：取杆 AB 为研究对象
A
l
B
x
mgf s mgf s Fy 0, F x (l x) 0 l l mgf s x 2 mgf s (l x) 2 M O ( F ) 0, F x 0 2l 2l
B
FNC
FC FB
FAy
A
C
FAx FNC ′
o
补充方程： FD FD max f D FND 解得：FD= FC =25.86N ，F = 47.81N