等比数列的通项公式及性质
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列性质
等比数列的性质【知识梳理】等比数列通项公式的推广及运算性质(1) 在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋l (m ，n ，p ，l ∈N *)，则a m ·a n ＝l p a a ,．①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝2k a ．②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….(2) 在等比数列{}n a 中，每隔)(*N k k ∈项取出一项，按原来的顺序排列，所得到的数列为等比数列。
(3) 如果{}{}n n b a ,均为等比数列，那么数列{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n b a b a k R k ka a ,),0,(,1且仍是等比数列。
3．等比数列的单调性等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1(a 1q ≠0)，当a 1>0，q >1时，等比数列{a n }是递增数列；当a 1<0，0<q <1时，等比数列{a n }是递增数列；当a 1>0，0<q <1时，等比数列{a n }是递减数列；当a 1<0，q >1时，等比数列{a n }是递减数列；当q <0时，等比数列{a n }是摆动数列；当q ＝1时，等比数列{a n }是常数列．4．等比数列的常用结论(1)若{a n }是公比为q 的等比数列，则下列数列：①{ca n }(c 为任一不为零常数)是公比为q 的等比数列．②{|a n |}是公比为|q |的等比数列．③{a m n }(m 为常数，m ∈N *)是公比为q m 的等比数列．(2)若{a n }，{b n }分别是公比为q 1，q 2的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q 1·q 2的等比数列．题型一等比数列性质的应用1．已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5 D．－72．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于()A．12B．10C．8 D．2＋log353．在等比数列{a n}中，a n>a n＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a6a16等于()A.32 B.23C.16D．64．在等比数列{a n}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________．5．已知{a n}为等比数列，若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5.题型二灵活设项求解等比数列问题1．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，则这四个数的和是________．2．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．3．有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．4．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列．求原来的等比数列．[方法归纳]几个数成等比数列的设法：(1)三个数成等比数列设为a q ，a ，aq .推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …2qa ，a q ，a ，aq ，aq 2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为：a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…a q 5，a q 3，a q ，aq ，aq 3，aq 5…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3.题型三等差、等比数列的简单综合问题1．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．162．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝________．3．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则此数列的公比等于( )A ．1B ．2C ．－2D ．－14．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝m a a n n +(m ∈N *)． (1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．5．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3，4S 2＝S 4. ①求数列{a n }的通项公式；②求证：数列{2a n }是等比数列；③求使得2+n S >2S n 成立的n 的取值集合．6．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项，第5项，第14项分别是一个等比数列的第2项，第3项，第4项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n （a n ＋3），S n为数列{b n }的前n 项和，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n ＞t 36成立？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．。
等比数列基本的5个公式
等比数列基本的5个公式
等比数列是指数列中，任意两个相邻项的比值相等的数列。
在等比数列中，通常会用到以下五个基本的公式来求解问题：
1.第n项公式：
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的值可表示为：
aₙ=a₁×q^(n-1)
2.前n项和公式：
设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和的值可表示为：
Sₙ=a₁×(1-q^n)/(1-q)
3.公比与比值的关系：
公比q等于任意两个相邻项的比值：
q=aₙ/aₙ₊₁
4.通项公式的推导：
根据公比和比值的关系，可得到通项公式的推导过程：
aₙ₊₁=aₙ×q
将第n项公式代入可得：
aₙ₊₁=(a₁×q^(n-1))×q
化简得到通项公式：
aₙ₊₁=a₁×q^n
5.等比数列的性质之一：
当公比q在-1到1之间（不包括-1和1）时，等比数列的前n项和存在有限值。
这个有限值可以根据前n项和公式计算得到。
这些公式是解决等比数列问题的基础，在实际运用中常常会结合具体问题进行推导和运用。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意对问题进行分析和理解，确保正确使用公式求解。
等比数列的所有公式
等比数列的所有公式等比数列是高中数学中的一个重要概念，在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本篇文章将系统地介绍等比数列的定义、性质和相关公式，帮助读者深入了解和掌握等比数列。
文章将从以下六个方面进行讲解：1. 等比数列的定义2. 等比数列的前n项和3. 等比数列的通项公式4. 等比数列的公比5. 等比数列的性质6. 等比数列在实际生活中的应用一、等比数列的定义等比数列是指从第二个数开始，每个数与它的前一个数的比都相等的数列。
这个比数叫做等比数列的公比。
如果等比数列的首项为a，公比为q，那么等比数列就是：a，aq，aq²，aq³，aq⁴，……其中，a是等比数列的第一项，q是等比数列的公比。
二、等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指等比数列的前n项数之和，表示为Sn。
Sn的公式为：Sn = a(1-qⁿ)/(1-q)其中,a为数列的第一项，q为数列的公比，n为数列的项数。
三、等比数列的通项公式等比数列通项公式可以用来求出数列中任一项的值。
等比数列的通项公式形式如下：an = aqⁿ⁻¹其中，a是等比数列的第一项，q是等比数列的公比，n是数列中任意一项的下标。
四、等比数列的公比等比数列的公比是指相邻两项的比值相等的常数。
公比可以用以下公式计算：q = a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ = ……其中，a₁、a₂、a₃、a₄是等比数列的四个连续项，q是等比数列的公比。
五、等比数列的性质等比数列有以下性质：1. 任意两项的比等于公比对于等比数列的任意两项aₙ和aₙ（n>m），它们的比是：aₙ/aₙ = a(qⁿ⁻ᵐ)可以看出，等比数列任意两项之间的比都等于一个常数q。
这也就是等比数列的重要性质之一。
2. 应用通项公式可以求出任意项的值等比数列的通项公式an=aqⁿ⁻¹可以用来求出任意一项的值。
这使得我们对等比数列有了更深的认识和理解。
3. 后一项除以前一项等于公比由等比数列的定义可知，相邻两项的比等于公比。
等比数列的通项与求和公式
等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，由于其特殊的规律性质，在各个领域都有广泛的应用。
本文将以等比数列的通项与求和公式为主线，探讨其定义、性质及应用等方面内容。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母r表示公比，公比r≠0。
二、等比数列的通项公式设等比数列的首项是a，公比是r，第n项是an。
根据等比数列的定义，可得等式：an = ar^(n-1)即等比数列的通项公式为an = a × r^(n-1)。
三、等比数列的求和公式对于等比数列的求和，有两种情况要讨论。
1. 当公比r不等于1时，求和公式为：Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
2. 当公比r等于1时，求和公式为：Sn = na这是因为当r=1时，等比数列变为等差数列，其求和公式为Sn =(n/2)(a + an) = na。
四、等比数列的性质1. 等比数列的比值恒定：对于等比数列中的任意两项an和an+1，它们的比值都等于公比r，即an+1 / an = r。
2. 等比数列前n项的和与后n项的和的关系：等比数列的前n项和Sn与后n项和Sn'的关系是Sn' = Sn × r^n。
3. 等比数列的性质与对数函数的关系：等比数列与指数函数和对数函数密切相关，等比数列的通项公式可以看作是指数函数的离散形式，而求和公式则与对数函数有着密切的联系。
五、等比数列的应用等比数列在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 财务分析：某企业每年的盈利额按等比数列递增或递减，通过求和公式可以计算出多年的总盈利额。
2. 投资计算：等比数列可以用来计算复利的本金增长情况，根据投资年限和年复利率，可以计算出多年后的本金总额。
3. 几何形状分析：等比数列可以用来分析几何形状中的边长、面积、体积等相关问题，如等比缩放、等比放大等。
等比数列的通项求和及其性质
等比数列通项求和及其性质1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形 通项公式：a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －m .4 等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是：ΛΛ=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。
如图所示：44448444476444344421Λn n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321 ③若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． ④若数列{}n a 是公比不为－1的等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列,其公比为q k 。
如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 5 等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n )1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 6 等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列．7 等比数列及其前n 项和的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．① 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.② 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．③ 若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．④ S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .⑤ 当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．⑥ 若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n，…成等比数列． ⑦ 若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .题型一 基本量运算【例1】在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3【例2】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．题型二 等比数列的判定与证明【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【例2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)设b n ＝a n n 2，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝a n ＋1－2a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .题型三 等比数列性质的应用【例1】设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B ．－18 C.578 D.558【例2】已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.过关练习1.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．842．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列3.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．34．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2B.73C.83D ．35．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和S n .课后练习【补救练习】1．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)22.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公比q ＝2，S k ＋2－S k ＝48，则k 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．43.数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.5.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .6.已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．【巩固练习】1.已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( )A ．512B ．256C ．81D ．162．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【拔高练习】1.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152B.314C.334D.1722.数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2015110，则a 21＝______.3.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．。
等比数列的通项公式及性质
一、等比数列的通项公式
设等比数列{an
}的公比为q，则：
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
a…3 …
累乘法
an q an 1
累乘得： an qn1
a1
a 等比数列的通项公式： na1q 源自 1 法二： a2 a1q
a3 a2q (a1q)q a1q2
特别地，若m+n=2p,则aman ap2. m, n，p,q N
1、在等比数列中，
(1)若a2= 2，a10=20,则a5a7=
a6=
(2)若a3a5a8a10=16 ，则 a4a9=_____
(3)若a3a4a5a6a7=-32，则 a5=______
（5)若a3=-2，则等比数列的前5项的积为______
作业：P15---练习，P19---A组1,2,3,4,5
能力提升
例4：在数列an中，a1=1，an 3an1,
求数列的通项公式an。
二、性质
性质1：an amqnm
m, n N
可变形为：an am
q
nm
分例析2：：1已数知列任{意an一}为项等am及比公数比列q即：可求出通项公式。
从第2项起,每一项与它前 概
一项的比等同一个常数 念
等差数列
从第2项起,每一项与它前
一项的差等同一个常数
公比(q)
常
数
q可正可负,但不可为零 性
质
an a1 qn1
通 项
通
an am qnm (m, n N*)
项 变
形
等比数列的定义和通项公式
等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
（1）等比数列中任一项都不为0，且公比$q≠0$。
（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。
2、等比数列的通项公式（1）通项公式若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。
在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。
所以有：① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。
（2）等比数列中项的正负对于等比数列${a_n}$，若$q<0$，则${a_n}$中正负项间隔出现，如数列1，-2，4，-8，16，$\cdots$；若$q>0$，则数列${a_n}$各项同号。
综上，等比数列奇数项必同号，偶数项也同号。
3、等比中项如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。
若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。
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②叠乘法
a2 q, a3 q, a4 q, an1 q, an q
a1
a2
a3
an2
an1
这
n
1个式子相乘得
an a1
q n 1，所以 an
a1qn1
Hale Waihona Puke .例3: 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求
它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是 a1 ，公比是 q，那么
a1q2 12
（2）-1， ±2 ，-4
（3）-12，±6 ，-3
（4）1，±1 ，1
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那
么G叫做a与b的等比中项。
G ab
即G 2 ab
求下列两组数的等比中项： (1) 4,9; (2) 4 3 , 4 3 .
(1) 6 (2) 13
设数列an
为等差数列，且m,
练习2：P53A组第一题
等比数列通项公式的变形
已知等比数列的公比为q,第m项为 am,求 an .
解：由等比数列的通项公式可知
an a1qn1
am a1qm1
两式相除，得 an am
qnm
an amqnm
试比较 a n =a1qn-1 与an amqnm
练习
已知等比数列｛an｝中，a5=20,a15=5,求a20.
一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列
就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公
比，公比通常用字母q表示。 (q≠0)
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1
an1 q(n N *) an
思考：能否改写为若数列的项依次满足 an1 an q (n N * )
等比数列
an1 an
q(q
0, an
0)
q叫公比
通项公式 an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
性质
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
你还知道等差数列有什么性质吗? 你能类比写出等比数列的性质吗?
三.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列：
（1）1，±3， 9
若m+n=s+t ,则aman=asat 若m n 2s,则aman as2.
1. 等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 （ ）
A.4 B.8 C.16
D.32
2、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________
探究二
已知等比数列{an}首项a1, 公比q，取出数列中的所有 奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？ 取出a1 , a4 , a7 , a11 …… 呢？
等比数列的通项公式及性质
课前小练
数列
等差数列
定义 同一常数
an+1-an=d d 叫公差
通项公式 性质
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
观察
课本P48的4个例子：
①1，2，4，8，16，…（细胞分裂）
②1， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，…（一尺之棰，日取其半） 2 4 8 16
(q为常数）则数列an 是等比数列吗？
思考：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？
(2)公比q能不能是1？
不能 能
2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ .
① 1，-1，1，…，(-1)n+1√； ②1，2，4，6…； ×
③a，a，a，…，a；
⑤ m, 2m, 4m2 ,8m3,...
× ×
④已知a1=2，an=3an+1√；
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
二.等比数列的通项公式
问题：如何用a1 和 q 表示第 n 项an.
①归纳猜想法 a2 a1q, a3 a2q a1q2 , a4 a3q a1q3,, an a1qn1
你能得到一般性结论吗？
性质：在等比数列中，把序号成等差数列的项按 原序列出，构成新的数列，仍是等比数列
解：由a15=a5q10，得
q10 a15 5 1 a5 20 4
q5 1 2
a20
a15q5
5
1 2
5 2
或a20
5 2
例：由下列等比数列的通项公式，求首项与公比
（1）an=2n
(2) an= 3×10n
思考:你能判断它们的增减性吗?
解：n=1 a1=21=2 n=2 a2=22=4
且 m , n , s , t N+ ,若m+n=s+t
am,an,as ,at有什么关系
证明 则a a qn1, a a qm1,
n
1
m
1
从而an am
a q2 mn2 1
同理可得as at
a q2 st2 1
又因为m n s t
所以aman asat .
要积极 思考哦
性质：
若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，且 且 m , n , s , t N+
①
a1q3 18
②
作差（等差）
把②的两边分别除以①的两边，得
q3
2
16
把③代入① ，得 a1 3
因此
a2
a1q
16 3
3 2
8
作商（等比）
答：这个数列的第1项与第2项分别是 16 与 8 .
3
练习1.在等比数列
a n
中,
(1)a4 27, q 3,求an; (2)a3 12, a4 18,求a1.
可得：q=2
解：由等比数列的 通项公式的特点可 得：q=10,a1=-30
an An+B（等差）
an A×Bn（等比）
公比q对数列的影响
q>1 0<q<1 q=1 q<0
a1>0 递增 递减
常数列 摆动数列
a1<0 递减 递增
常数列 摆动数列
五.小结
数列 定义 同一常数
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
n,
p,
q
N
，
若m n p q,则am an ap aq.
若m n 2 p,则am an 2ap.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？ a32=a1.a5是否成立?
你能得到更一般的结论吗？
思考 设等比数列an首项为a1,公比为q
③1，20， 202 ， 203 ， 204 ，…（计算机病毒传播）
④100001.0198，100001.01982 ，
100001.01983 ，100001.01984 ，100001.01985 ，… …（复利） 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数 列有什么共同特征？
一、等比数列的概念