一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)
特殊矩阵特征值求解方法

A = (1 − b) I + bαβ T
α = β = (1,1,",1) T λ1 = λ2 = " = λn−1 = 1 − b , λn = (1 − b) + bn = 1 + (n − 1)b .
由推论 1, 易得 A 的特征值为
再求 A 的特征向量及满足条件的可逆矩阵 P(见[2]).
i
其中
∑a
i =1
n
≠ 0 ,试讨论 a1 , a 2 ,", a n 和 b 满足何种关系时,
(1)方程组仅有零解; (2)方程组有非零解?在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
2
1 1 分析:注意到方程组的系数矩阵为 A = bI + ( a1 , a 2 , " , a n ) # 1
4
令 则
α = (1,1,",1) T , β = (a1 , a 2 ," , a n ) T ≠ 0
A = bI + αβ T
A = b n −1 (b + ∑ ai面根据 A ≠ 0 或 A = 0 讨论方程组解的情况(见[2]).
例4 2
[ ]
ax1 + bx 2 + bx3 bx + ax 2 + bx3 设齐次线性方程组 1 " " bx bx + 2 + bx3 1
A = αβ T ,
A 2 = β T αA = ( β T α ) T A = (α T β ) A = 0
由定理 1 知 A = αβ T 的特征值为:
λ1 = λ2 =…= λn−1 =0, λn = β T α = ( β T α ) T = α T β = 0
矩阵的特殊运算与应用

矩阵的特殊运算与应用矩阵作为线性代数中的重要概念,广泛应用于各个领域。
除了基本的矩阵运算外,还存在一些特殊的矩阵运算,这些运算不仅有助于简化计算过程,还能应用于多个实际问题的求解。
本文将介绍一些常见的矩阵特殊运算及其应用。
1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列交换得到新的矩阵。
转置运算可以方便地进行多个矩阵的运算,例如矩阵的相加、相乘等。
在应用上,转置还可以用于解决一些实际问题,比如图像处理中的图像旋转操作。
2. 矩阵的逆对于一个可逆方阵A,存在一个矩阵B,使得A与B的乘积为单位矩阵,即AB=BA=I。
这个矩阵B称为矩阵A的逆矩阵,记作A^-1。
矩阵的逆在解线性方程组、求解方程等问题中具有重要作用。
另外,还可以利用逆矩阵进行矩阵的消元运算,简化计算过程。
3. 矩阵的迹矩阵的迹指的是矩阵的主对角线上元素的和。
迹运算在求解矩阵的特征值、行列式等问题时经常使用,能够提供关于矩阵性质的重要信息。
此外,迹运算还可以应用于图像处理、模式识别等领域。
4. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值,可以用于判断矩阵是否可逆、计算矩阵的特征值等。
行列式的求解可以通过展开式、拉普拉斯定理等方法进行。
在实际应用中,行列式也被广泛用于求解概率统计问题、图像处理中的滤波操作等。
5. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵运算中的重要概念。
矩阵的特征值指的是满足方程Av=λv的λ值,其中A是矩阵,v是非零向量。
特征值与特征向量可以用于判断矩阵是否可逆、计算矩阵的幂等等操作。
6. 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解是矩阵分解的一种形式,将矩阵分解为三个矩阵的乘积,在信号处理、数据压缩等领域具有广泛的应用。
奇异值分解可以用于图像压缩、音频处理、文本挖掘等问题的解决。
7. 矩阵的广义逆矩阵的广义逆是对非方阵定义的逆操作,可以解决非方阵的求逆问题。
广义逆矩阵在最小二乘问题、信号处理、图像恢复等领域有着重要的应用。
总结而言,矩阵的特殊运算在数学和工程领域中具有广泛的应用。
数学中矩阵的运算与特征值应用

数学中矩阵的运算与特征值应用矩阵是数学中最重要的工具之一,它可以用来描述复杂的系统和变换。
在现代科学和工程中,矩阵被广泛应用于各种领域,例如信号处理、控制系统、图像处理、机器学习等。
本文将主要介绍矩阵的基本运算和特征值应用。
一、矩阵的基本运算1.1 矩阵乘法在矩阵乘法中,两个矩阵相乘的必要条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
假设有两个矩阵A和B,它们的维度分别为m×n和n×p,则它们的乘积C为一个m×p的矩阵,其中每个元素c_ij满足以下公式:c_ij = Σ(a_ik * b_kj) (k=1,2,...,n)1.2 矩阵加法和减法矩阵加法和减法都是为了实现矩阵之间的加减运算。
假设有两个矩阵A和B,它们的维度相同,分别为m×n,则它们的和C和差D分别由以下公式计算:C_ij = A_ij + B_ijD_ij = A_ij - B_ij1.3 矩阵转置矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到一个新的矩阵。
其转换后的矩阵记作A^T,其第i行第j列元素为原矩阵的第j行第i列元素。
即:A^T_ij = A_ji二、特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义特征值和特征向量是线性代数中特别重要的概念,它们有助于研究矩阵的性质及其在数学和物理领域中的应用。
对于一个n×n的矩阵A,如果存在一个非零向量x,满足以下公式:Ax = λx (λ为一个常数)则x称为A的一个特征向量,λ称为A的对应特征值。
2.2 特征值与特征向量的计算求解特征值和特征向量,最常用的方法是通过线性方程组求解。
将上述公式展开,可以得到以下方程:(A-λI)x = 0 (I为n阶单位矩阵)由于x是一个非零向量,因此方程组的解必须是非平凡解,即系数矩阵(A-λI)必须是奇异矩阵,即:|A-λI| = 0因此,求解特征值就是求解该方程的根。
求解特征向量,则是根据求解得到的特征值,通过线性方程组求解获得对应的特征向量。
求矩阵特征值的方法

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念,它在许多领域中都有着广泛的应用,如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种,下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘,得到一个新的矩阵B=A-λI,其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式,得到一个关于λ的多项式,称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下:1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0,得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始,不断地将其乘以矩阵A,直到向量的方向趋于特征向量的方向,同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下:1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||,其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时,停止迭代,此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值,xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代,得到一个对角矩阵,对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下:1. 对矩阵A进行QR分解,得到A=QR。
2. 对R进行迭代,得到一个对角矩阵D,对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点,具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中,还可以结合多种方法进行求解,以提高计算精度和效率。
求矩阵特征值的方法

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是线性代数中一个非常重要的概念,对于矩阵的特征值和特征向量的求解是解线性代数问题和应用的关键之一。
下面将从基本概念、性质、求解方法等方面全面介绍矩阵特征值的方法。
一、基本概念矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A,存在常数λ,使得线性方程组(A-λI)x = 0有非零解x存在。
其中,I是n阶单位矩阵。
λ称为矩阵A的特征值,而满足(A-λI)x = 0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
二、性质1. 矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值,但对应的特征向量不同。
2. 矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。
3. n阶矩阵A的特征值个数不超过n个,包括相同特征值重数。
即重特征值可以有多个线性无关的特征向量。
4. 矩阵的特征向量是线性无关的。
三、求解方法1. 特征值的定义法根据特征值的定义,我们将(A-λI)x = 0进行变换,得到(A-λI)x = 0,即(A-λI)x = 0。
利用行列式的性质求解此方程,得到特征值λ的值,再带入方程组中求解特征向量。
2. 特征值的代数重数和几何重数特征值λ是使(A-λI)x = 0有非零解的λ值,λ称为矩阵的代数重数。
而对应特征值λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间,零空间的维数称为矩阵的几何重数。
通常,代数重数大于等于几何重数。
3. 矩阵的特征向量特征向量是矩阵A与特征值λ的关联,通过求解(A-λI)x = 0可以得到特征向量。
特征向量是在特征值确定的情况下,通过解方程组取出的非零向量。
4. 特征值和特征向量的计算法常用的计算特征值和特征向量的方法有幂法、反幂法、QR方法、稀疏特征问题求解方法等。
(1)幂法幂法是求解矩阵最大特征值和特征向量的一种迭代方法。
首先初始化一个非零向量b0,然后进行迭代计算,直到满足迭代终止条件。
迭代过程为:b(k+1) = A*b(k),其中b(k)表示第k次迭代后的向量。
最后得到的向量b即为矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
矩阵特征问题的计算方法

矩阵特征问题的计算方法首先,我们来定义特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A,如果存在一个非零向量X,使得下式成立:AX=λX其中,λ是一个实数常数,称为特征值;X是一个非零向量,称为特征向量。
也可以将上面的等式写成(A-λI)X=0,其中I是n阶单位矩阵。
接下来,我们介绍一些常用的计算特征值和特征向量的方法。
一、特征方程法特征方程法是最常用的求解特征值和特征向量的方法。
对于n阶方阵A,我们可以将特征方程写成:A-λI,=0其中,A-λI,表示A-λI的行列式。
解特征方程即可得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
对于每个特征值λi,我们可以代入(A-λiI)X=0,求解出对应的特征向量Xi。
二、幂法幂法是一种迭代计算特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是,假设一个向量X0,然后通过迭代的方式不断计算Xk+1=AXk,直到收敛为止。
此时,Xk就是所求的特征向量,而特征值可以通过计算向量Xk与Xk+1的比值得到。
三、雅可比迭代法雅可比迭代法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是,通过矩阵的相似变换将对称矩阵转化为对角矩阵。
雅可比迭代法的具体步骤如下:1.初始化一个对称矩阵A,令Q为单位矩阵。
2.找到A的非对角元素中绝对值最大的元素(a,b)。
3.计算旋转矩阵R,使得AR=RD,其中D为对角矩阵,D的对角线元素与A的特征值相等。
4.更新矩阵A=R^TAR,更新矩阵Q=Q×R,重复步骤2和3,直到达到收敛条件。
四、QR分解法QR分解法是一种计算特征值和特征向量的常用方法。
它的基本思想是,将矩阵A分解为QR,其中Q是正交矩阵,R是上三角矩阵。
然后,通过对R进行迭代得到对角矩阵D,D的对角线元素与A的特征值相等。
具体步骤如下:1.初始化一个矩阵A。
2.对A进行QR分解,得到矩阵Q和R。
3.计算新矩阵A=RQ,重复步骤2和3,直到达到收敛条件。
特征值和特征向量在实际应用中具有重要的意义。
矩阵的特殊矩阵及其性质和应用

矩阵的特殊矩阵及其性质和应用矩阵是数学中一个非常重要的概念,它被广泛应用于各个领域,包括物理、经济学、统计学等。
特殊矩阵是一类具有特殊特性的矩阵,它们拥有许多重要的性质和应用。
在本文中,我们将探讨一些常见的特殊矩阵及其性质和应用。
对称矩阵对称矩阵是一个非常重要的特殊矩阵,具有以下性质:1. 对称矩阵的主对角线上的元素都相等。
2. 对称矩阵是实数域上的矩阵,且所有对称矩阵都可以对角化。
3. 对称矩阵的特征值都是实数,且对应的特征向量可以正交化。
对称矩阵在物理学中经常出现,例如量子力学中的哈密顿矩阵。
此外,在机器学习中,对称矩阵也被广泛应用于协方差矩阵的计算。
旋转矩阵旋转矩阵是一种常见的特殊矩阵,它们有以下特性:1. 旋转矩阵的行列式为1,且逆矩阵等于它的转置。
2. 旋转矩阵在欧几里得空间中保持距离、角度和方向不变,因此旋转矩阵在三维图像处理中被广泛应用于图像变换和计算机动画。
对角矩阵对角矩阵是一个具有以下特点的特殊矩阵:1. 对角矩阵的主对角线之外的元素都为0。
2. 对角矩阵的行列式等于对角线上的元素的乘积,因此可以很方便地进行行列式计算。
3. 对角矩阵是一个非常常见的矩阵,常常在代数学中使用。
4. 对角矩阵也是一类特殊的压缩矩阵,可以被用于计算机图形学和计算机视觉中。
希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵是一种非常有趣的特殊矩阵,它们具有以下特性:1. 希尔伯特矩阵是一个n x n的方阵,其中第i行第j列的元素为1/(i+j-1)。
2. 希尔伯特矩阵是非对称的,且行列式随n的增大而缩小。
3. 希尔伯特矩阵是条件数极大的矩阵,因此求解它的逆矩阵需要耗费很大的计算资源。
4. 希尔伯特矩阵在数值分析中有广泛的应用,例如矩阵求逆、插值等。
总结特殊矩阵是数学中一个非常重要的概念,不同的特殊矩阵具有不同的性质和应用。
在本文中,我们探讨了四类常见的特殊矩阵,包括对称矩阵、旋转矩阵、对角矩阵和希尔伯特矩阵。
它们在各个领域都有广泛的应用,例如量子力学、机器学习、图形处理、计算机视觉等。
一些特殊矩阵的特殊计算方法

特殊矩阵的特征值求法摘要矩阵计算是科学和工程计算的核心,可以毫不夸张地讲,大部分科学与工程问题都要归结为矩阵计算的问题。
本文主要研究矩阵计算中的三大基本问题之一——特征值问题。
本文首先讨论了一般矩阵特征值的求解方法,特别是对一些特殊矩阵的特征值求解方法进一步讨论。
关键词:矩阵;特征值;计算方法。
Some special matrix eigenvalue and the calculationmethod of applicationAbstractMatrix computation is the core of science and engineering calculations, no exaggeration to speak, most scientific and engineering problems are attributed to matrix calculations. This paper mainly studies the eigenvalue problems which is one of the three fundamental problems in matrix calculation. This paper firstly discusses the general method to solve the matrix eigenvalues, especially for some special matrix method to solve eigenvalue of further discussion.Keywords:matrix;eigenvalue;calculation method目录第一章前言 (1)第二章矩阵特征值的计算方法 (2)2.1利用求特征多项式后的行列式变换来化简计算特征值 (2)2.1.1 特征值的证明和求法 (2)2.1.2 已知部分特征值和特征向量,求另外部分特征值和特征向量 (3)2.1.3 已知一矩阵的特征值,求解与之相关矩阵的特征值 (4)2.2利用矩阵的初等变换来求解方阵的特征值…………………………………………………2.2.1初等矩阵的选择 (3)2.2.2方法应用 (3)2.3利用矩阵的分解降阶求特征值 (4)2.4 利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解 (5)2.5利用简便求矩阵特征多项式的递推法间接球特征值 (4)第三章特征值在一些数学解题上的应用 (6)3.1已知特征值或特征向量,反求参数 (6)3.2已知特征值或某部分特征值条件,求行列式 (10)3.3已知矩阵,利用特征值求矩阵的幂方 (15)第四章结束语 (22)参考文献 (2)第一章 前 言矩阵的特征值问题在科学计算和工程问题中经常用到,在数学物理 、地球物理 、光学 、力学 、结构设计和优化等领域都具有重要的应用,它表面看来是一个简单的非线性方程组问题 X AX λ=,其中X 是属于特征值λ的特征向量 ,对于求解λ,一个最简单的想法是求解方程()det 0A I λ-=。
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本科毕业设计题目:一些特殊矩阵特征值的求法与应用作者:高英学号: 2010012491所属学院:金融与数学书院专业班级:应数1002班指导教师:赵建中职称:院长完成时间: 2014 年 4月 10日皖西学院教务处制独创性声明本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
学生签名:日期:年月日论文版权使用授权书本人完全了解皖西学院有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权保留送交论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。
同意皖西学院可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。
(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)学生签名:日期:年月日导师签名:日期:年月目录摘要 .......................................................... 错误!未定义书签。
Abstract ...................................................... 错误!未定义书签。
第1章绪论 .................................................. 错误!未定义书签。
1.1 课题研究背景及目的................................... 错误!未定义书签。
1.2 研究现状 (1)1.3研究方法 (2)1.4研究内容 (2)第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误!未定义书签。
2.1 正交矩阵............................................. 错误!未定义书签。
2.2 幂零矩阵 (2)2.3 对称矩阵 (3)2.4 三对角矩阵 (4)第3章矩阵特征值的求法与应用 (4)3.1 一般矩阵的求法与应用 (4)3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7)结语 (20)致谢 (20)参考文献 (21)摘要主要介绍了正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角矩阵等特殊矩阵的相关概念以及这些矩阵的主要性质,同时介绍了这四类矩阵的特征值的求法及其应用,并结合例题体现了特殊矩阵在实际问题中的应用.关键词:正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角矩阵;特征值;应用AbstractMainly introduces the orthogonal matrix, nilpotent matrices, symmetric matrices, and other special tridiagonal matrix of the matrix related concept and the main properties of the matrix, at the same time introduces the four kinds of characteristic value of matrix calculation methods and its application, and combined with examples, embodies the special matrix in the application of the practical problems.Keywords: orthogonal matrix, nilpotent matrices, symmetric matrices and tridiagonal matrix; Characteristic value; application第一章绪论1.1课题研究背景及目的在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义,但对矩阵特征值的性质研究很少,对特殊矩阵的特征值性质的研究更少,而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义。
我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论一些特殊矩阵的性质。
为此,本文围绕对合矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明,同时列举了一些相关应用。
1.2 研究现状矩阵理论作为数学的一个重要分支,具有极为丰富的内容。
它不仅是学习数值分析、最优化理论以及概率统计等数学学科的基础,而且在其他许多科学技术领域,如控制理论、力学、电学、信息科学与工程等,都有十分重要的应用。
矩阵特征值问题的研究一直是矩阵理论中的热门领域,特征值问题在工程上和科学上应用广泛,如机件和机械的振动问题,量子力学、最优控制理论等实际问题目前,对矩阵特征向量和特征值进行研究的文献也是举不胜数,而且越来越多的专家和学者正在进行更加深入的研究和拓展1.3研究方法主要通过对一般矩阵的研究来要论特殊矩阵特征值的求法1.4研究内容(1) 描述正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角等特殊矩阵的基本概念和主要性质。
(2)描述几个特殊矩阵特质值的求解过程,并说明具体的求解思路和求解技巧。
(3)概况总结求解这些特殊矩阵特征值时的重点和难点。
(4)结合具体问题进一步展示正交矩阵、对称矩阵、幂零矩阵、三对角矩阵等特殊矩阵特征值的实际应用价值。
第二章 几类特殊矩阵的基本概念及主要性质2.1正交矩阵2.1.1概念 A 为n 阶实矩阵,若A T A=E,则称A 为正交矩阵.2.1.2性质1 设为A 正交矩阵,则:(1)|A|=1;(2)A 可逆,其逆A -1也是正交矩阵; (3)A T ,A *也是正交矩阵. 2 设A ,B 都是正交矩阵,则:AB ,A m (m 为自然数),A T B ,AB T ,A -1B ,AB -1,A -1BA 等都是正交矩阵; 3 (1)设A ,B 为正交矩阵,且|A|=-|B|,则A+B 必不可逆;(2)设为A ,B 奇数阶正交矩阵,且|A|=|B|,则必A-B 不可逆.2.2 幂零矩阵2.2.1概念 令A 为n 阶方阵,若存在正整数k ,使0=k A ,A 称为幂零矩阵。
若A 为幂零矩阵,满足0=k A 的最小正整数称为A 的幂零指数2.2.2性质1.A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.2.若A 为幂零矩阵,B 为任意的n 阶矩阵且有BA AB =,则AB 也为幂零矩阵3.若A 为幂零矩阵,则A 一定不可逆但有1,1=-=+A E E A .4.A 为幂零矩阵的充分必要条件为0,=∈∀+k trA Z k .5.若A 为幂零矩阵,则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块,且J 和主对角线上的元素为06.若A 为幂零矩阵且0=k A ,则有()121--++++=-k A A A E A E .2.3 对称矩阵2.3.1概念 如果有n 阶矩阵A ,其各个元素都为实数,矩阵A 的转置等于其本身(A T = A) ,则称A 为实对称矩阵 2.3.2性质 1.特征值为实数;2.属于不同特征值的特征向量正交;3.特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等;4.必存在正交矩阵,将其化为对角矩阵,且对角矩阵对角元素即为特征值.2.4 三对角矩阵2.4.1概念:若矩阵()n j i ij a A ≤≤=,1 的非零项位于由主对角线及其之上的一条对角线与其之下的一条对角线组成的带内,如下式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---n nn n n d b a d b a d b a d b a d A .........0......0..................0...00...00 (00)11133322211那么称()n j i ij a A ≤≤=,1为三对角矩阵,此时有()10>-=j i a ij .第三章 矩阵特征值得求法与应用3.1一般矩阵的求法与应用3.1.1 一般矩阵特征值的求法概念 1设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零n 维列向量n x P ∈,使得Ax x λ=则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量.现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设V 是数域P 上n 维线性空间, 12,,,n ξξξ是它们的一组基, 线性变换/A 就是在这组基下的矩阵是A . 设0λ是特征值,它的一个特征向量ζ在12,,,n ξξξ下的坐标是n x x x 00201,,, . 则由Ax x λ=, 这说明特征向量ζ的坐标()01020,,,n x x x 满足齐次次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,02211202222121101212111n n nn n n n n n n x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a λλλ 即()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+---=---+-=----.0,0,0022112222012112121110n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ (1.1) 由于0≠ζ, 所以它的坐标n x x x 00201,,, 不全为零, 即齐次线性方程组有非零解. 从而, 齐次线性方程组(1.1)式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零, 即00212220211121100=---------=-nnn n n n a a a a a a a a a A E λλλλ.我们引入以下定义.概念2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式nnn n nna a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211, 称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式.上面的分析说明, 如果0λ是线性变换A 的特征值, 那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根; 反过来, 如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根, 即00E A λ-=, 那么齐次线性方程组(1.1)式就有非零解. 这时,如果()01020,,,n x x x 是方程组(1.1)式的一个非零解, 那么非零解向量0110220n n x x x ζξξξ=+++.满足(1.1)式, 即0λ是线性变换A 的一个特征值, ζ就是属于特征值0λ的一个特征向量.因此, 确定一个线性变换A 的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步: 1、在线性空间V 中取一组基12,,,n ξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ;2、求出A 的特征多项式E A λ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换A 的全部特征值;3、把所有得的特征值逐个代入方程组(1.1)式, 对于每一个特征值, 解方程组(1.1)式,求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基12,,,n ξξξ下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值, 而相应的线性方程组(1.1)式的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量.、3.1.2一般矩阵的应用例1⎪⎩⎪⎨⎧--=--=21221141412165y y dt dy y y dt dy的通解.解 令Y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=dt dy dt dy dt dY 21 , A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----41412165则方程组的矩阵形式为AY dtdY=. 由特征方程41412165++=-λλλA E =()1+λ(λ+121) 得矩阵A 的特征值为1-和121-,从而得特征值1-和121-对应的特征向量为 1X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡13,2X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32.令P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3123. 由方程()1.2.3的通解表达式C P Y Λ=λ得:Y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3123⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--t te e 121⎥⎦⎤⎢⎣⎡21c c . 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=----tt t t e c e c y e c e c y 121212121211323 .例2 设线性变换A 在基1ξ,2ξ,3ξ下的矩阵是122212221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求A 的特征值与特征向量.解 因为特征多项式为()()212221215221E A λλλλλλ----=---=+---- ,所以特征值-1(二重)和5.把特征值-1代入齐次方程组()()()1231231231220212022120x x x x x x x x x λλλ⎧---=⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩得到123123123222022202220x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩ 它的基础解系是101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 因此,属于-1的两个线性无关的特征向量就是113223ζξξζξξ=-=-,而属于-1的全部特征向量就是1122k k ζζ+,1k ,2k 取遍数域P 中不全为零的全部数对. 再用特征值5代入, 得到123123123422024202240x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩,它的基础解系是111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因此, 属于5的一个线性无关的特征向量就是3123ζξξξ=++,而属于5的全部特征向量就是3ξk , k 是数域P 中任意不等于零的数3.2关于一些特殊矩阵特征值的求法及应用3.2.1正交矩阵特征值的求解与应用 1.正交矩阵的求法据已知正交矩阵特征根模为1 ,则它一定有特征根1 或- 1 ,而其它的特征根为共轭复根.命题 (i) A 为正交矩阵, | A| = 1 , n 为奇数,则A 至少有特征根1. (ii) A 为正交矩阵, | A| = - 1 ,则A 一定有特征根- 1.证 (i)由实系数多项式非实复数根成对出现,正交矩阵 A 的特征多项式为实系数多项式,所以A 一定有奇数 2k+1 个实特征根(至少一个) ,这样A 的全部特征根为122111,;,,,--k k n μμμλλλ . 其中()12,2,1+=k i i μ为实根.而由前面命题知A 的特征根模长为1 ,正交矩阵的实特征根为±1 ,1=∏∏∏∏∏+===-=+=-====121121211211k j k j jjkn i ik j j kn i i i A μμλμλλ从而()12,2,1+=k i i μ中至少有一个为1.由实系数多项式非实复数根成对出现,正交矩阵 A 的特征多项式为实系数多项式, 所以设A 的复特征根为2k 个:()k i i i ,,1, =λλ , 实特征根为()k n j j 2,,1-= μ. 因为A 正交, 所以j μ 只能是1或- 1. 由∏∏∏∏∏-=-=-======kn j jk n j jkn j ki ij ki j i A 212121211μμλμλλ及| A| = - 1 ,所以A 不可能全为复根,即n - 2 k ≥1 ,且由121-=∏-=kn j j μ故可知A 的特征根至少有一个为- 1.2.正交矩阵在数学分析物理问题中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量. 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的量.例 设曲线()()()(){}1111r t x t y t z t =与曲线()()()(){}r t x t y t z t =只差一个运动, 从曲线()1r t 到曲线()1r t 的变换为111213x x b y A y b z z b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.6) 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是三阶正交矩阵, 123,,b b b 是常数.对(2.6)两边求n 阶导数得()()()()()()111n n n n n n x x y A y z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦从而有111121312122231313233m m m m m m m m m m m m m m m x x a x a y a z y A y a x a y a z z z a x a y a z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥==++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2.7)因为A 是正交矩阵, 所以也有()()1r t r t = (2.8) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵''''''111''''''''''''111''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z A x y z xy z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦两边取行列式, 由det 1A =±得'''''''''111''''''''''''''''''111'''''''''''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z x y z A x y z x y z x y z x y z ==± 现在取()()()()()()()()111r t r t r t r t r t r t =可类似地讨论. 因为'''111''''''''''''''''111111111111'''''''''''''''''''''111111111m x y z y z z x x y x y z x y z y z z x x y x y z =++ (2.9)'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''x y z y z z x x y x y z x y z yz zx xy x y z =++(2.10)(2.7)代入(2.9)的右边得()()()''''''''''''''''''''''''111111111213212223313233''''''''''''111111mmmy z z x x y ax a y a za x a y a za x a y a zyzzxzy ++++++++'''''''''''''''111111112131''''''''''''111111y z z x x y a x a x a x y zzxx y ⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ''''''''''''111111122232''''''''''''111111m y z z x x y a y a ya yy z z x x y ⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦'''''''''''''''111111132333''''''''''''111111y z z x x y a z a za zy zzxxy ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2.11)因(2.9)与(2.10)右边相等, 有(2.10)右边与(2.11)式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a zz y y ''''''+''''''+''''''=''''''111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质2知, ij ij a A =且由1(,1,2,3)njikj jk i AA j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''+21122211121311()y z A A A y z ''++''''+21122221222311()z x AAAz x ''++''''+ 21122231323311()x y AAA x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数, 即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可推得111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.3.2.2幂零矩阵特征值得求法与应用 1.幂零矩阵的求法幂零矩阵特征值全为零证明 必要性 设A m =0 由schun 定理,存在可逆矩阵P ,使得P -1AP=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡*n λλλλ 321,其中n λλλ......,21.是A 的特征根 从而P -1AP=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡*n m m mλλλ21=0 故mi λ=0,从而0=i λ,i=1,2...m,即A 的特征值全为零 另证 设λ为A 的任意特征值,则m λ为A m =0的特征值 故m λ=0,从而λ=0充分性 由于A 的特征值全为0,故n A E λλ=-,由哈密尔-凯莱定理得A n =0,即 A 为幂零阵。