一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)

本科毕业设计题目：一些特殊矩阵特征值的求法与应用

作者：高英

学号： 2010012491

所属学院：金融与数学书院

专业班级：应数1002班

指导教师：赵建中职称：院长

完成时间： 2014 年 4月 10日

皖西学院教务处制

独创性声明

本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

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目录

摘要 .......................................................... 错误！未定义书签。Abstract ...................................................... 错误！未定义书签。第1章绪论 .................................................. 错误！未定义书签。

1.1 课题研究背景及目的................................... 错误！未定义书签。

1.2 研究现状 (1)

1.3研究方法 (2)

1.4研究内容 (2)

第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误！未定义书签。

2.1 正交矩阵............................................. 错误！未定义书签。

2.2 幂零矩阵 (2)

2.3 对称矩阵 (3)

2.4 三对角矩阵 (4)

第3章矩阵特征值的求法与应用 (4)

3.1 一般矩阵的求法与应用 (4)

3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7)

结语 (20)

致谢 (20)

参考文献 (21)

摘要

主要介绍了正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角矩阵等特殊矩阵的相关概念以及这些矩阵的主要性质，同时介绍了这四类矩阵的特征值的求法及其应用，并结合例题体现了特殊矩阵在实际问题中的应用.

关键词：正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角矩阵；特征值；应用

Abstract

Mainly introduces the orthogonal matrix, nilpotent matrices, symmetric matrices, and other special tridiagonal matrix of the matrix related concept and the main properties of the matrix, at the same time introduces the four kinds of characteristic value of matrix calculation methods and its application, and combined with examples, embodies the special matrix in the application of the practical problems.

Keywords: orthogonal matrix, nilpotent matrices, symmetric matrices and tridiagonal matrix; Characteristic value; application

第一章绪论

1.1课题研究背景及目的

在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具，在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义，但对矩阵特征值的性质研究很少，对特殊矩阵的特征值性质的研究更少，而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论一些特殊矩阵的性质。为此，本文围绕对合矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明，同时列举了一些相关应用。

1.2 研究现状

矩阵理论作为数学的一个重要分支，具有极为丰富的内容。它不仅是学习数值分析、最优化理论以及概率统计等数学学科的基础，而且在其他许多科学技术领域，如控制理论、力学、电学、信息科学与工程等，都有十分重要的应用。

矩阵特征值问题的研究一直是矩阵理论中的热门领域，特征值问题在工程上和科学上应用广泛，如机件和机械的振动问题，量子力学、最优控制理论等实际问题

目前，对矩阵特征向量和特征值进行研究的文献也是举不胜数，而且越来越多的专家和学者正在进行更加深入的研究和拓展

1.3研究方法

主要通过对一般矩阵的研究来要论特殊矩阵特征值的求法

1.4研究内容

(1） 描述正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角等特殊矩阵的基本概念和主要性质。

(2）描述几个特殊矩阵特质值的求解过程，并说明具体的求解思路和求解技巧。 (3）概况总结求解这些特殊矩阵特征值时的重点和难点。

(4）结合具体问题进一步展示正交矩阵、对称矩阵、幂零矩阵、三对角矩阵等特殊矩阵特征值的实际应用价值。

第二章 几类特殊矩阵的基本概念及主要性质

2.1正交矩阵

2.1.1概念 A 为n 阶实矩阵,若A T A=E,则称A 为正交矩阵.

2.1.2性质

1 设为A 正交矩阵，则：

(1)|A|=

1；

(2）A 可逆，其逆A -1也是正交矩阵； (3）A T ，A *也是正交矩阵. 2 设A ，B 都是正交矩阵，则：

AB ，A m (m 为自然数),A T B ，AB T ，A -1B ，AB -1，A -1BA 等都是正交矩阵； 3 (1）设A ，B 为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B 必不可逆；

(2）设为A ，B 奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B 不可逆.

2.2 幂零矩阵

2.2.1概念 令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0=k A ，A 称为幂零矩阵。若A 为幂零矩阵，满足0=k A 的最小正整数称为A 的幂零指数