统计学专业基础课与专业课之间的典型相关分析

统计学专业基础课与专业课之间的典型相关分析

摘要

本文基于统计学系0301－0302两个班的66名学生17门课程（包括专业基础课和专业课）的考试成绩，运用典型相关分析法研究了统计学系基础课和专业课的相关程度。通过运用统计分析软件SAS运行得到变量间的相关系数以及标准化后的典型相关系数，进而求出典型相关变量。最后结合分析结果和实际情况对教学提了一点小小的建议。

关键词：基础课；专业课；典型相关分析；典型相关系数

Canonical Correlation Analysis Between The Major and Basic

Subjects of The Statistics Major

Abstract

With the method of canonical correlation analysis,I study about the correlation between the major and basic subjects of the statistics major.The research is based on the examination scores of66students of classes0301and0302who are in the major of statistics,including only17 subjects,the major and basic subjects.The article then gives the standard canonical correlations between the variables from which we can know the canonical correlative variables.In the end,I give some suggestions about education,according to the output of the analysis and the matter of fact.

Key word:basic subject,major,canonical correlation,canonical coefficients

1引言

对于统计学系的学生来说，对数学理论的理解和掌握要求比较高，而且更重要的是要做到融会贯通，举一反三，学会理论联系实际，并利用统计分析的方法来解决日常生产生活中的问题，因而专业基础课程（如数学分析和高等代数等）的学习无疑是相当重要的，因为它直接关系到后续专业课的学习效果。本文通过对部分学生各个学科的成绩进行相关分析，来体现学科间的联系。运用典型相关分析法来分析基础课（数学分析和高等代数等）和后续的专业课（如多元统计分析等）的相关程度，只希望由此能够对今后的教学提出有价值性的建议。

数据来源于统计学系03级学生的成绩，共66人17门课程（仅包括专业基础课和专业课）的成绩。

2理论背景知识

2.1典型相关分析

典型相关分析（Canonical Correlation Analysis）又称正则相关分析或典则分析，是研究两组指标（变量）之间相关关系的一种多元统计方法。

大家知道，两个随机变量间的相关关系通常是用相关系数来衡量的，而复相系数则被用来研究一个随机变量和多个随机变量的线性相关关系。在实际研究问题时，也常常需要知道两个随机变量之间的相关关系。例如：在研究组织结构对“职业满意度“的影响时，需要分析职业特性变量（用户反馈、任务重要性、任务多样性、任务特权、自主权）和职业满意度变量（主管满意度、事业前景满意度、财政满意度、工作强度满意度、公司地位满意度、工种满意度、总体满意度）的相关程度；医学上要研究（抑郁症、健康状况）与（性别、年龄、教育程度、收入）是否具有某种相关性等。

典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系，其研究焦点是一组变量的线性组合和另一组变量的线性组合之间的相关关系。

基本思想是：首先在每组变量中找出变量的线性组合，使得两者之间的相关达到最大（即两组典型变量的相关达到最大值），这两组指标多半是相同研究对象有关系的两组不同指标。这两组典型变量彼此之间的最大相关就是第一个典型相关，而线性组合的系数称为典型相关系数。然后再在和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合配对中，选取相

关系数最大的一对，如此反复迭代，直到两组变量之间的相关性被提取完毕（即配对的典型变量的个数等于两组原始变量中个数较少的那一个数）为止。

由于典型相关分析以对两组指标的每一组指标作为整体考虑，比一般相关分析仅考虑一个指标与一个指标间的关系或一个指标与多个指标间的关系，向前迈了一大步，更能反映现象的本质联系。因此，典型相关分析广泛应用于变量群之间的相关分析研究，在经济学，生物学，医药卫生以及教育统计中都有广泛的应用。

2.2典型变量和典型相关系数计算

设随机向量来代表第一组个变量，随机向量代表第二组的个变量。对于()1X p ()2X q 随机向量，,令设随机向量来代表第一组p 个变量，随机向量代表第二()1X ()2X ()1X ()2X 组的q 个变量。对于随机向量,，令

()1X ()2X ()()()

11E X μ=()()

111COV X =Σ()()()

2

2

E X μ=()22

2)(∑=X COV ()()T X X COV 211221),(∑=∑=()()()()()1122X E X E X μμμ????===????

????????

()()()()()()()()11121

1221222p p p p q X X X X X X X X X +++????????????????==????????

????????

????

M M ???

?

????∑∑∑∑=??=∑22211211

))((T X X E μμ协方差是第一组变量与第二组变量的协方差，个元素量度了两组变量之间的12∑p q ×联系。当p 和q 较大时，整体地解释中的元素基本上是不可能的。线性组合可以提12∑供对一组变量简单扼要的度量，为此，作两组变量的线性组合，设

()1T U a X =()

2T V b X =

()1

11var()cov()T T U a X a a a

==Σ()b b b X b V T T 222)cov()var(∑==()()b

a b X X T 1221T ),cov(a V)cov(U, ∑==b

b a a b a V U corr T T T 221112),(∑∑∑=

第一对典型变量，或第一典型变量配对是具有单位方差的线性组合U 和V 的配对，11它使对应的相关系数最大化。

第二对典型变量，或第二对典型变量配对是具有单位方差的线性组合U 和V 的配对，22且在与第一对典型变量不相关的所有配对中，其对应的相关系数最大。

第K 对典型变量，或第K 对典型变量配对是具有单位方差的线性组合U 和V 的配k k 对，且在第K -1个典型变量配对都不相关的所有配对中，其相关系数最大。

易见:我们希望寻找使相关系数达到最大的向量a ，b ，由于随机向量乘以常数时并不改变它们的相关系数，所以，为防止结果的重复出现，令：，1)var(11=∑=a a U T ，1)var(22=∑=b b V T b

a V U corr T 12),(∑=问题就成为在上述约束条件下，求使达到最大的系数向量a 和

b 。b a V U corr T 12),(∑=根据数学分析中极值的求法引入Lagrange 乘数，将问题转化为求

的极大值。由极值条件

)1(2

)1(2),(221112?∑??∑?∑=b b a a b a b a T T T μ

λ?(1)

0022211112=∑?∑=??=∑?∑=??b a b

a b a μ?

λ?

求解得λ恰好是线性组合U ，V 之间的相关系数。

(2)

00

2

12111

2112222112212111=?∑∑∑∑=?∑∑∑∑????b b a a λλ由式②求得:特征根，相应单位特征向量a ,a a ,b ,b b 222

120p λλλ≥≥≥L ()1()2L ()p ()1()2L ()

q P 对线性组合：，()()111T U a X =()()121;

T V b X =，()()212T U a X =()()222;

T V b X =

M

()()1,p T p U a X =()()

2p T p V b X =3典型相关分析的应用

通过编程运行SAS 统计软件得到以下结果：

表1给出了各个学科成绩的均值和标准差，从表2表3表4则可以看出两组变量各门课程之间的相关系数，表5表6分给出了相关系数的假设检验结果，而表7－8和表9－10则分别给出了标准化前后的典型相关系数。注：表1－表6见附录，表7－表10如下。

表7基础课变量的典型相关系数

表8专业课变量的典型相关系数

1

V 2

V 3

V 4

V 5

V 6

V 7

V 1

X 0.6627

0.464

-0.333

-0.4164

-0.0755

-0.2323

-0.0391

2

X 0.84810.0546-0.0479-0.05150.1162-0.42280.2838

3

X 0.7422-0.0357-0.2141-0.34270.49980.0544-0.1781

4

X 0.7301-0.071-0.2428-0.2424-0.24130.26670.4635

5

X 0.75720.49760.12410.33020.12650.19620.0079

6

X 0.6962-0.17660.4279-0.089-0.41370.0222-0.3485

7

X 0.75450.0806-0.480.3501-0.1533-0.1916-0.1046

1

W 2

W 3

W 4

W 5

W 6

W 7

W 8

X 0.8574-0.0568-0.2073-0.2057-0.10010.0699-0.32139X 0.67720.31420.3828-0.0145-0.34060.01730.140810

X 0.8432

0.1684

-0.1023

0.2015

0.0131

-0.0595

0.1342

表9标准化后的基础课变量的典型相关系数

表10标准化后的专业课变量的典型相关系数

11X 0.77350.18030.35410.14120.37310.0559-0.246212X 0.80540.20290.09580.1498-0.17680.20140.190913X 0.50180.1677-0.01210.5371-0.16060.20530.012114X 0.77730.04190.18220.1684-0.0739-0.40210.029115X 0.41570.7321-0.22480.04360.0636-0.2993-0.203216X 0.27370.36450.204-0.24460.26830.20640.44917

X 0.265

0.1934

-0.4107

0.2926

0.464

-0.2372

0.1112

1

V 2

V 3

V 4

V 5

V 6

V 7

V 1

X -0.1231

1.0909

-0.2719

-0.8589

-0.5215

-0.3251

-0.3149

2

X 0.2671-0.28090.65060.13520.4047-1.25390.8801

3

X 0.2706-0.5401-0.2659-0.32550.97620.4348-0.5603

4

X 0.1988-0.3007-0.2989-0.2509-0.4230.84710.8027

5

X 0.2160.88850.50230.52560.30310.60630.1427

6

X 0.3112-0.33390.6141-0.1942-0.5679-0.0253-0.6024

7

X 0.1708-0.4038-1.01240.8171-0.3281-0.1376-0.5254

1

W 2

W 3

W 4

W 5

W 6

W 7

W 8

X 0.4759

-0.3968

-0.6457

-0.8505

-0.0743

0.218

-0.3906

（1）由表9——标准化后的第一组变量的典型相关系数可以求出：专业基础课的第一对典型相关变量是：

11234567

0.12310.26710.27060.19880.21600.31120.1708Z X X X X X X X =?++++++同样由表10——标准化后的第二组变量的典型相关系数求出专业课的典型相关变量是：

1891011121314

151617

0.47590.13170.30970.09790.12040.08010.17980.21280.06630.1495W X X X X X X X X X X =++++?+?++在第一基础课变量中，各个学科所起的作用大致相当，稍微显著一点的是数学分析常微分方程和运筹学。在专业课变量中，起主导作用的是概率论和数理金融。W 和Z 的相关系11数为0.894891，可见Z 对W 的影响很大。由此可以得出结论：专业基础课每一科的学习11对于后续专业课的学习都相当重要。数学分析中就有很多重要的思想，比如极限思想可以说是由基础数学向高等数学迈进的最重要的一种思想。学好数学分析，对于我们视野的开阔和理性思维的培养是很有帮助的。运筹学中的规划和指派问题等的分析研究让我们拥有解决实际问题更有力的武器。而很多其他的专业课的学习过程中差不多都有关于概率的计算，置信区间的求法，还有中心极限定理和大数定律等的应用等等，这就是考验我们概率论的掌握情况的问题了。

注：同上由表和表10可以求出专业基础课和专业课的余下几对典型相关变量（2）专业基础课的第二对典型相关变量是：

9X 0.13170.50250.4897-0.3188-0.4804-0.34140.3310X 0.3097-0.2977-0.52030.26580.3576-0.11070.3811X 0.09790.0650.85360.27540.87990.3828-0.846712X 0.12040.2411-0.15510.1198-0.69880.98770.232113X -0.08010.0258-0.0680.9842-0.12920.3829-0.150814X 0.1798-0.63090.46310.0966-0.1641-1.33140.305615X -0.2128 1.0767-0.2255-0.0625-0.2606-0.1907-0.61416X 0.06630.09940.0583-0.57240.55590.14190.731817

X 0.1495

0.0345

-0.4632

0.095

0.446

-0.2672

-0.2672

21234567

1.09090.28090.54010.30070.88850.33390.4037Z X X X X X X X =???+??专业课的第二对典型相关变量是：

28910111213

14151617

0.39680.50250.29770.06500.24110.02580.6309 1.07670.09940.0345W X X X X X X X X X X =?+?+++?+++在第二基础课变量中，起主导作用的是高等代数，在第二专业课变量中，多元统计分析和抽样调查起到了主要作用。W 和Z 的相关系数为0.640345，Z 对W 的牵制作用也不2222小。因此我们可以总结出：高等代数中的代数理论使得我们的思维在扩展后的更多更高维的空间中得到升华，还有矩阵的学习让我们在描述大量信息时不再犯愁，对于复杂问题有了直观的理解。多元统计分析则结合理论和实际教会了我们不少分析解决实际问题的能力，我们可以利用降维的思想把多个指标转换为较少的几个不相关的综合指标（也就是主成分）来描述研究对象几乎所有的信息，也可以用几个潜在的不易观察的随机量去描述许多变量间的协方差关系，还可以通过求相关系数来分析两组变量之间的相关关系…….当然这一切都要建立在熟练掌握主成分分析，因子分析，相关分析等重要方法的基础上，不仅要知道如何去做，更重要的是要明白为什么要这样做。抽样调查则告诉我们怎样评价一个好的抽样方案，各种不同的抽样方法的适用范围和优缺点等，让我们知道如何根据具体的情况来抽取有代表性的样本，以便作出更加有价值的分析和决策。（3）专业基础课的第三对典型变量是：

31234567

0.27190.65060.26590.29890.50230.6104 1.0124Z X X X X X X X =?+??++?专业课的第三对典型变量是：

.

38910111213

14151617

0.64570.48570.52030.85360.15510.06800.46310.22550.05830.4632W X X X X X X X X X X =?+?+??+?+?在第三基础课变量中，起主导作用的是数值分析。在第二专业课变量中，概率论和随机过程起到了相对重要的作用。W 和Z 的相关系数为0.588848。

33其他的四对典型相关变量及其相关系数类似可得。不过在此仅仅需要选取两对典型变量就已经能够描述原变量的大部分信息和它们之间的相关程度了。

4总结和建议

以上的分析结果不是太理想，不能很好地说明专业基础课与专业课的相关程度。因为很多同学平时没有认真学习，只是在考前一个月或是更短的时间突击学习了一下，就算会

解题，对于知识的理解可能也只是一只半解，不能做到举一反三。更有甚者，有的同学还能把题目的完整的标准答案死记硬背下来。因为大学学习的课程比较多，一般老师在课程上完之后都会给学生划考试范围，让学生能够有针对性的复习，做到“有的放矢”，所以考试只是一种检验学生学习和老师教学的一种手段而已，并不能真实反映学生对知识的掌握情况和能力。

尽管如此，在一定的程度上从以上的成绩以及分析结果还是可以看出，高等代数和数学分析等专业基础课的学习对于后续专业课的学习效果有着举足轻重的作用.许多同学数学分析没学好,其他科目的成绩也好不到哪里去.因为不仅基础不过硬,计算能力也差劲,象随机过程等难度大的科目更是毫无头绪，甚至碰到一些简单的积分计算都不会，更别说那些繁琐的定理的证明了。有人高等代数没学好，碰到矩阵的乘法也会出错。就我个人而言，概率论就学得很不好，以至于后面很多科目象多元统计分析中要到中心极限定理或是大数定律的时候,因为掌握得不牢靠,也就谈不上灵活运用了.

数学分析和高等代数分别代表两种不同的思维方式.数学分析是学习分析类课程的基础,如复变函数就是数学分析在复数域上的推广.高等代数的矩阵理论在其他很多学科中也都会用到.常微分方程则让我们学会更多的解方程的办法,而且不仅仅局限于低阶方程,一些高阶方程只要方法恰当求解也不会太复杂.运筹学中的对偶理论可以使复杂的问题简单化,其他的一些规划问题等等可以让我们在日常的生产生活过程中更好地节约人力,物力,才力还有资源。概率论中有很多检验方法用来检验总体的分布,我们可依此作出更准确合理的判断。数理金融教给我们一些金融方面的定理如一价律，套利定理等等，如果能熟练掌握我想对于今后的投资决策和理财应该会有不小的帮助。

对于刚步入统计系学生来说，数学分析、高等代数等专业基础课学起来也会有点吃力，但是千里之行始于足下的道理相信谁都懂，所以基础课的学习不容忽视。虽然纯理论的东西学起来会有些枯燥，但只要端正学习态度，多花时间和精力就一定能学好，而且一旦学好了真可以说是有“一劳永逸的”的效果。即便这样，我们千万要避免走向另一个极端，有的人只注重理论的理解和推导，却忽略了计算能力的培养。只动脑而不动手，这是绝对不行的，要知道看得懂与会做并不是一回事，甚至可以说有很大的差距。我们系2007年考研情况很不理想，有的人就是因为数学没考好。我个人认为：作为统计系的学生，在数学理论方面比别人学得深，本应比工科学生更有优势，却反而栽在数学上，这显然跟部分人眼高手低有很大关系。只希望今后的同学能够吸取经验教训，在思想和行动上重视学好专业基础课的重要性。不仅在课堂上要认真听老师讲课，课余时间也要多下功夫，复习、预

习等环节绝不能少，力争把理论弄懂吃透，遇到确实不明白的地方就去请教老师。还要多做习题，在熟练掌握理论知识的基础上灵活运用计算方法练习，提高计算能力，也迫切希望老师能够给予学生更多的督促、建议和帮助。

参考文献：

[1]Richard A.Johnson Dean W.Wichern.实用多元统计分析.北京:清华大学出版社,2001

[2]黄平,梁满发.统计分析与SAS软件.华南理工大学出版社,75－76

[3]薛富波,张文彤,田晓燕.SAS8.2统计应用软件.北京希望电子出版社:16，212－220

[4]何晓群,多元统计分析.中国人民大学出版社,2004：288－289

[5]薛薇.统计分析与SPSS的应用.北京:中国人民大学出版社,2002.11

附录：

SAS程序代码【2】

DATA D123;

TITLE'统计系成绩分析';

INPUT X1-X17;

LABEL

X1='GAODENGDAISHU'X2='SHUXUEFENXI'X3='CHANGWEIFENFANGCHENG' X4='FUBIANHANSHU'X5='XIANDAIFENXIJICHU X6='YUNCHOUXUE'

X7='SHIZHI FENXI`X8='GAILVLUN`X9='SHULITONGJI'

X10='SHULIJINRONG'X11='SUIJIGUOCHENG'X12='SHIYONG HUIGUIFNXI'

X13='SHIJIANXULIEFENXI'X14='DUOYUANTONGJIFENXI'X15=`CHOUYANGDIAOCHA' X16='TONGJIJISUAN'X17='ZHILIANGGUANLI';

CARDS;

8980789392989092858268788174829377 8185908471819094737372827166858886 6279687876878176667567726072808782 97929395911009994868870887884909387 8778838568826882917269727663699576 93929385881009489968583908285829188 6971667772609674676548687165717989 8182828897969996969384897484898086 6669747760807074885563656776768782 6869608577678081627361729166939889 8181979580778997818370707376818282 8288848773809594626563627470689390 7280656060839386646163606782777882 7974738462639287637754647771688678 63706579621008584806363666260547082 9492978792899597938885878090969492 6372647663866773846060736160417087 8778778765918495897066707565919282 6451746360616766605454405131758285 8979687793798973926868797874919385 8474637182929190968871877477968386 8269767491889496857481947576949888 9183829887929093828169886886918186 9483808864948986858371746771949785 9187959095949595949188947892949788 91919495871009897899577888587927886 8984938995909397919182888687959485 72816995959182857570888173919487 9382866965888765877472788068838186 6576796287949587817280778977828382

82667098871009084826768906775749678 8081796697629086958078828578939890 8162746264608087625152547365.8877 8581778177878980756661798072859186 6980709870838991958587828284878890 89979698978399100938385787474688882 7879636472288166716460.6454609381 8988658786829394876870788974877587 959297989310095100959392848394969482 7576656762837687706372746673799774 6269654476886183846663627477839873 6568606268787960746768647668709278 6252745561616763666560796965668684 6061757576877992896860688470749178 8174697868658867727444607662859382 6362608368627581877061608364758873 6174617560888777887463867881679878 8985889777708785846162706467669678 6565785670849085816860607064728377 6062746966716775747464556168669374 8281688771928294937661747884948874 7785779296809198957574878366799674 8791978595909390969377897286919790 7590799588869390978468808081809288 7587848187848982858066777676839478 9791939077849798959885948389919786 6880849082788595758083987888889582 9682799186879896998468807684958878 8778786888928780816478707266738584 8086788375818587987964868265698474 8382749284919286987569787676799277 7874638377868785877972647963698582 8284739197899796999770857976829184 8081819287968987928261898082809576 6976716988948983908473707668769183 7578667493849381968475747876919178 ;

RUN;

PROC CANCORR data=D123simple corr vprefix=v wprefix=w;

Title'DIANXING XIANGGUAN FENXI';

var X1-X7;

with X8-X17;

RUN;

注：X -X 为第一组变量，X -X 为第二组变量,X 高等代数，X 数学分析

1781712X 常微分方程,X 复变函数X 现代分析基础X 运筹学X 数值分析X 概率论X 数理统345678计X 数理金融X 随机过程X 实用回归分析X 时间序列分析X 多元统计分析X 抽101112131415样调查X 统计计算X 质量管理

1617表1

表2第一组变量各门课程之间的相关系数

变量均值标准差标签178.3174610.9836高等代数278.111119.789908数学分析376.9047610.96875常微分方程481.1428612.75053复变方程579.174612.24421现代分析基础683.2063513.30918运筹学786.936519.226318数值分析886.142869.619968概率论984.0317511.31081数理统计1075.9047611.1003数理金融1169.5396810.30945随机过程1275.9523811.81228实用回归分析1369.539687.940189时间序列分析1474.7777810.72311多元统计分析1575.9523811.4599抽样调查1674.77778 6.888104统计计算17

74.1746

5.27886

质量管理

1

X 2

X 3

X 4

X 5

X 6

X 7

X 1X 10.70320.64590.57080.49850.31380.61172X 0.703210.640.63020.58040.40860.68273X 0.64590.6410.49080.4770.31840.47154X 0.57080.63020.490810.43280.38280.51425X 0.49850.58040.4770.432810.41230.60976

X 0.3138

0.4086

0.3184

0.3828

0.4123

1

0.3701

表3第二组变量各门课程之间的相关系数

表4两组变量之间的相关矩阵

7

X 0.61170.68270.47150.51420.60970.37011

8

X 9

X 10

X 11

X 12

X 13

X 14

X 15

X 16

X 17

X 8

X 1

0.481

0.6084

0.5759

0.5599

0.4781

0.5953

0.4175

0.1753

0.0963

9

X 0.48110.63960.51760.58550.46740.48080.26570.264-0.0846

10

X 0.60840.639610.61470.68560.53480.65610.50560.29930.1979

11

X 0.57590.51760.614710.66620.37250.6570.43870.2740.3323

12

X 0.55990.58550.68560.666210.46330.72590.42150.34310.25

13

X 0.47810.46740.53480.37250.463310.48730.36230.377-0.0041

14

X 0.59530.48080.65610.6570.72590.487310.55210.3080.2141

15

X 0.41750.26570.50560.43870.42150.36230.552110.3530.3401

16

X 0.17530.2640.29930.2740.34310.3770.3080.3531-0.1453

17

X 0.0963-0.08460.19790.33230.25-0.00410.21410.3401-0.14531

8

X 9

X 10

X 11

X 12

X 13

X 14

X 15

X 16

X 17

X 1

X 0.5673

0.4291

0.5391

0.4081

0.4848

0.252

0.4366

0.5196

0.2477

0.2483

2

X 0.62820.50690.65970.5750.590.34680.62730.37150.23320.2657

表5相关系数及假设检验结果

表6零检验:当前行典型相关其余的行相关度为零

极大似然估计

3

X 0.62030.33210.53810.52060.46290.23220.44950.29590.21470.2569

4

X 0.59540.41810.54570.38220.53620.29950.44370.22020.19140.1491

5

X 0.51940.57120.64180.64510.64030.46710.44370.4910.30780.2578

6

X 0.53340.52270.46160.50970.51090.29520.52570.12150.12-0.047

7

X 0.61450.37760.63460.43360.54310.42360.52310.40450.07720.3309

典型相关系数调整后的典型相关系数

近似的标准误差

典型相关系数的平方值

10.8948910.8676940.0252950.8008320.6403450.489753

0.0749250.41004230.5888480.0829640.34674240.3985950.152413

0.1068230.15887850.3492780.1115070.12199560.2693690.1177850.072567

0.203936

0.121718

0.04159

Ratio

F Value Num DF Den DF Pr>F 10.0503874 2.6370275.04<.000120.2529876 1.454244.250.04630.4288229 1.1440212.020.27840.65643730.7928178.090.76850.78043050.7218141.910.78460.88886820.62101020.7947

0.9584101

0.56

4

52

0.6897