统计学 典型相关分析
统计学中常用的数据分析方法10典型相关分析与ROC分析
统计学中常用的数据分析方法
典型相关分析
相关分析一般分析两个变量之间的关系，而典型相关分析是分析两组变量（如3个学术能力指标与5个在校成绩表现指标）之间相关性的一种统计分析方法。
典型相关分析的基本思想和主成分分析的基本思想相似，它将一组变量与另一组变量之间单变量的多重线性相关性研究转化为对少数几对综合变量之间的简单线性相关性的研究，并且这少数几对变量所包含的线性相关性的信息几乎覆盖了原变量组所包含的全部相应信息。
R0C分析
R0C曲线是根据一系列不同的二分类方式(分界值或决定阈）.以真阳性率（灵敏度)为纵坐标，假阳性率（1-特异度)为横坐标绘制的曲线
用途：
1、R0C曲线能很容易地査出任意界限值时的对疾病的识别能力用途；
2、选择最佳的诊断界限值。
R0C曲线越靠近左上角，试验的准确性就越高；
3、两种或两种以上不同诊断试验对疾病识别能力的比较，一股用R0C曲线下面积反映诊断系统的准确性。
统计学第9章 相关分析和回归分析
回归模型的类型
回归模型
一元回归
线性回归
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多元回归
线性回归 非线性回归
非线性回归
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归模型
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统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归
1. 涉及一个自变量的回归 2. 因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量 (dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变 量称为自变量 (independent variable) ，用 x 表示
统计学
STATISTICS (第二版)
3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关 系的密切程度；回归分析不仅可以揭示 变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由 回归方程进行预测和控制 4.回归系数与相关系数的符号是一样的，但 是回归系数是有单位的，相关系数是没 有单位的。
10 - 27
统计学
STATISTICS (第二版)
10 - 19
统计学
STATISTICS (第二版)
相关系数的经验解释
1. 2. 3. 4.
|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关
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统计学
STATISTICS (第二版)
函数关系
(几个例子)
某种商品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
统计学专业基础课与专业课之间的典型相关分析
统计学专业基础课与专业课之间的典型相关分析摘要本文基于统计学系0301－0302两个班的66名学生17门课程（包括专业基础课和专业课）的考试成绩，运用典型相关分析法研究了统计学系基础课和专业课的相关程度。
通过运用统计分析软件SAS运行得到变量间的相关系数以及标准化后的典型相关系数，进而求出典型相关变量。
最后结合分析结果和实际情况对教学提了一点小小的建议。
关键词：基础课；专业课；典型相关分析；典型相关系数Canonical Correlation Analysis Between The Major and BasicSubjects of The Statistics MajorAbstractWith the method of canonical correlation analysis,I study about the correlation between the major and basic subjects of the statistics major.The research is based on the examination scores of66students of classes0301and0302who are in the major of statistics,including only17 subjects,the major and basic subjects.The article then gives the standard canonical correlations between the variables from which we can know the canonical correlative variables.In the end,I give some suggestions about education,according to the output of the analysis and the matter of fact.Key word:basic subject,major,canonical correlation,canonical coefficients1引言对于统计学系的学生来说，对数学理论的理解和掌握要求比较高，而且更重要的是要做到融会贯通，举一反三，学会理论联系实际，并利用统计分析的方法来解决日常生产生活中的问题，因而专业基础课程（如数学分析和高等代数等）的学习无疑是相当重要的，因为它直接关系到后续专业课的学习效果。
统计学案例分析
1/6陳例13-1］我国人身保险业的发展情况保险可分为财产保险和人身保险两大类。
人身意外伤害险是人身保险的一部分。
随着我国国民经济的快速发展，我国保险业也呈现出良好的发展态势，由人身意外伤害险的保费收入的变化可见一斑。
案例思考与分析要求：1.利用Excel绘制岀该动态序列的折线图。
2.按本章第四节中所讲的动态数列构成因素的分类和特征，观察折线图并说明我国人身意外伤害险保费收入的变化中受哪几种构成因素的影响？3.对上述月度数据计算同比增长速度和环比增长速度各有什么意义？4.汇总出各年度保费收入总额，并根据年度数据计算2000—2006 年间的:(1)年平均发展水平。
(2)各年的逐期增长量、累计增长量和年平均增长量，验证逐期增长量与累计增长量之间的关系。
(3)各年的增长速度(环比、定基)、平均发展速度和平均增长速度, 并指岀增长速度超过一般水平的是哪几年？(4)年度保费收入总额呈现岀哪种形态的长期趋势?用恰当的数学模拟合效果的好坏，并预测2007年和2008年的发展水平。
5.如果要根据月度数据来测定保费收入序列的长期趋势，适合采用移动平均法还是数学模型拟合法?为什么?若采用移动平均法，平均的项数应为几项?试用Excel的移动平均工具进行计算并输出图表。
［案例1KL］表8—12中是16只公益股票某年的每股账面价值和当年红利：2/6根据表8—12屮的资料：⑴画出这些数据的散点图；⑵根据散点图，表明二变量之间存在什么关系？(3)求出当年红利是如何依赖每股账面价值的估计的回归方程；(4)对估计的回归方程屮的估计回归系数(斜率)的经济意义作出解释；(5)若序号为6的公司的股票每股账面价值增加1元，估计当年红利可能为多少？［案例口・2］股票分析案例背景随着中国经济的发展和经济体制改革的深入，建立一个繁荣有效的金融市场势在必行，证券市场作为它的重要组成部分，正在发挥越来越重要的作用。
在这一进程中，股票投资成为了一个越来越被普遍接受的投资选择。
典型相关分析的应用前提是
典型相关分析的应用前提是典型相关分析是统计学中一种重要的分析方法，用于研究两组变量之间的关系。
在进行典型相关分析之前，有一些前提条件需要满足，以确保结果的有效性和可靠性。
1. 数据的正态性：典型相关分析是基于正态分布假设的。
因此，在进行分析之前，需要确保所使用的变量满足正态分布的要求。
可以通过正态性检验（如Shapiro-Wilk检验）来判断数据是否符合正态分布。
如果数据不符合正态分布，可以尝试进行变换（如对数变换或Box-Cox变换）来使其满足正态分布假设。
2. 相关性：典型相关分析是用于研究两组变量之间的关系的方法。
因此，在进行分析之前，需要确保所选择的变量之间存在相关性。
可以通过计算变量之间的相关系数（如Pearson相关系数或Spearman相关系数）来评估它们之间的相关性。
如果两个变量之间不存在或弱相关，则不适合使用典型相关分析方法。
3. 样本量要求：典型相关分析需要有足够的样本量才能获得可靠的结果。
一般来说，至少需要50个观测样本以进行典型相关分析。
较小的样本量可能会导致结果的不稳定性和不可靠性。
如果样本量较小，可以考虑使用其他方法（如相关分析或线性回归）进行数据分析。
4. 独立性：在进行典型相关分析之前，需要确保所选取的样本是独立的。
独立的样本是指各个观测值之间相互独立，不受其他观测值的影响。
如果样本之间存在依赖关系或相关性，可能会导致结果的偏差和不准确性。
5. 同方差性：典型相关分析假设不同组变量的方差是相等的。
因此，在进行分析之前，需要检验不同组变量的方差是否相等。
可以使用方差齐性检验（如Levene检验）来评估不同组变量的方差是否具有显著差异。
如果不同组变量的方差不相等，可能会对典型相关分析的结果产生影响。
总之，典型相关分析是一种有用的统计分析方法，可以帮助研究人员探索和理解两组变量之间的关系。
然而，在进行典型相关分析之前，需要确保数据满足正态分布、具有相关性、样本量足够、样本独立以及方差相等等前提条件，以保证分析结果的有效性和可靠性。
典型相关分析和协整
2 应用领域
具体应用领域也是选择方 法的一个因素，例如需要 研究市场平衡时可以使用 协整分析。
3 实际需求
根据实际问题中的需求， 选择合适的分析方法。
总结
典型相关分析和协整是两种不同的统计分析方法，各自有其适用领域和局限 性。使用这些方法可以从不同维度和角度解读变量之间的关系，有助于更好 地理解和分析数据。
原理和应用领域
适用于研究两个或两个以上时间序列之间的长期关 系，可以用于股票市场、汇率、商品价格等领域的 分析。
步骤和计算方法
选择需要分析的时间序列，进行单位根检验以判断
优势和限制
可以排除短期市场波动的影响，更容易发现市场中
典型相关分析与协整的不同之处
基础理论
典型相关分析基于主成分分析， 而协整分析基于时间序列分析。
原理和应用领域
适用于研究多个变量之间的关系，既可以揭示 变量之间的线性关系，也可以检测非线性关系。
优势和限制
可以提高变量之间的关系解释效果，但需要数 据具有一定的正态性和线性性。也会受到样本 数量的限制，在样本量较少时易受到误导。
什么是协整分析
定义
在时间序列分析中，指两个或两个以上的时间序列 彼此关联，但是它们的差分是平稳的。即可以通过 线性组合消除非平稳性。
分析对象
典型相关分析基于多个变量之 间的关系，而协整分析常用于 两个或两个以上时间序列的分 析。
数据要求
典型相关分析对数据正态分布 和线性相关性的要求较高，而 协整分析对数据平稳性的要求 较高。
如何选择方法
1 数据类型
对于数量型变量，可以考 虑使用典型相关分析；对 于时间序列数据，可以使 用协整分析。
典型相关分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ协整
统计学-线性相关分析
二、计算公式
样本相关系数 r 的计算公式为：
r ( X X )(Y Y ) l XY ( X X )2 (Y Y )2 l XX lYY
例13-2：
第三节 相关系数的假设检验
目的是推断总体相关系数 是否等于0 ？
检验统计量 t 的计算公式为：
tr
r 0 Sr
r ,v n2 1 r2 n2
零相关（r=0）
相关系数 r 的取值及两变量间相关关系的直观图示：
r=0
零相关（r=0）
相关系数 r 的取值及两变量间相关关系的直观图示：
r=0
零相关（r=0）
相关系数 r 的取值及两变量间相关关系的直观图示：
r=0
零相关（r=0）
第二节 线性相关系数
一、概念
相关系数又称pearson积差相关系数， 符号: 常用 r 表示样本相关系数，用 表示总体相 关系数。相关系数可用来说明具有直线关系 的两变量间相关的方向和密切程度。
第十二章 线性相关分析
第一节 线性相关的概念
一、散点图
例13-1 为研究中年女性体重指数和收缩压 之间的关系，随机测量了16名40岁以上女性 的体重指数和收缩压，见表13-1，试作分析。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
合计
体重指数 X 2.86 3.41 3.62 3.20 2.79 2.96 3.84 4.01 3.75 3.96 3.36 3.62 3.91 4.12 3.33 3.76
4. 不能直接根据样本相关系数r绝对值的大小 来说明两事物间有无相关关系及相关的紧密方 向而需对总体相关系数作假设检验。
第六节 直线回归与直线相关的区别和联系
统计学 第 七 章 相关与回归分析
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
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我们知道如何衡量两个变量之间是否相关的问题； 这是一个简单的公式就可以解决的问题(Pearson相关 系数、 Kendall’s t、 Spearman 秩相关系数)。公 式
如果我们有两组变量，如何能够表明它们之间的关
系呢？
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2
例子（数据tv.txt)
业内人士和观众对于一些电视节目的观点有什么样的关系 呢？该数据是不同的人群对30个电视节目所作的平均评分 。
观众评分来自低学历(led)、高学历(hed)和网络(net)调查 三种,它们形成第一组变量；
而 业 内 人 士 分 评 分 来 自 包 括 演 员 和 导 演 在 内 的 艺 术 家 (arti)、发行(com)与业内各部门主管(man)三种，形成第 二组变量。人们对这样两组变量之间的关系感到兴趣。
99.427%。它们的典型相关系数也都在0.95之上。
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11
计算结果
对于众多的计算机输出挑出一些来介绍。下面表格给出的是第一组变量相应于上面三个特征根的三个典型变量V1、V2 和V3的系数，即典型系数(canonical coefficient)。注意，SPSS把第一组变量称为因变量(dependent variables)， 而把第二组称为协变量(covariates)；显然，这两组变量是完全对称的。这种命名仅仅是为了叙述方便。
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7
典型相关系数
这里所涉及的主要的数学工具还是矩阵的特征
值和特征向量问题。而所得的特征值与V和W的典
型相关系数有直接联系。 由于特征值问题的特点，实际上找到的是多组
典相关型，变而量V(2V和1,W2W次1)之, 等(V等2,，W2),…，其中V1和W1最
h
8
典型相关系数
不而相且关V1。, 这V2样, 又V3,出…现之了间选及择而多且少W组1,典W型2,变W量3,…(V之,
h
5
14.2 典型相关分析
由于一组变量可以有无数种线性组合（线性组合由 相应的系数确定），因此必须找到既有意义又可以确 定的线性组合。
典 型 相 关 分 析 (canonical correlation analysis) 就是要找到这两组变量线性组合的系数使得这两个由 线性组合生成的变量（和其他线性组合相比）之间的 相关系数最大。
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6
典型变量
假定两组变量为X1,X2…,Xp和Y1,Y2,…,Yq，那么，问题就在于 要寻找系数a1,a2…,ap和b1,b2,…,bq，和使得新的综合变量（ 亦称为典型变量(canonical variable)）
Va1X1a2X2 apXp Wb1Y1b2Y2 bqYq
• 之间的相关关系最大。这种相关关系是用典型相关系数 （canonical correlation coefficient）来衡量的。
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3
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4
寻找代表
如直接对这六个变量的相关进行两两分析，很难得 到关于这两组变量之间关系的一个清楚的印象。
希望能够把多个变量与多个变量之间的相关化为两 个变量之间的相关。
现在的问题是为每一组变量选取一个综合变量作为 代表；
而 一 组 变 量 最 简 单 的 综 合 形 式 就 是 该 组 变 量 的 线 性 组合。
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16
SPSS的实现
对例tv.sav，首先打开例14.1的SPSS数据tv.sav， 通过File－New－Syntax打开一个空白文件（默认文件名为Syntax1.sps），再在其中键入下面命令行：
MANOVA led hed net WITH arti com man
/DISCRIM ALL ALPHA(1)
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计算结果
类似地，也可以得到被称为协变量(covariate)的标准化的第 二组变量的相应于头三个特征值得三个典型变量W1、W2和W2的 系数： 。
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14
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15
例子结论
从这两个表中可以看出，V1主要和变量hed相关，而V2主要和 led及net相关；W1主要和变量arti及man相关，而W2主要和com 相关；这和它们的典型系数是一致的。
代由表于的V1和艺W术1最家相(a关rt，i)这及说各明部V门1所经代理表(m的an高)观学点历相观关众；和而W1所由主于要V2 和W2也相关，这说明V2所代表的低学历(led)及以年轻人为主 的 网 民 (net) 观 众 和 W2 所 主 要 代 表 的 看 重 经 济 效 益 的 发 行 人 (com)观点相关，但远远不如V1和W1的相关那么显著（根据特 征值的贡献率）。
的F值，两个自由度和p值（均为0.000）。
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10
计算结果
下面一个表给出了特征根(Eigenvalue)，特征根所占的百分比(Pct)和 累 积 百 分 比 (Cum. Pct) 和 典 型 相 关 系 数 (Canon Cor) 及 其 平 方 (Sq.
Cor)。看来，头两对典型变量(V, W)的累积特征根已经占了总量的
这些系数以两种方式给出；一种是没有标准化的原始变量的线性组合的典型系数(raw canonical coefficient)，一 种是标准化之后的典型系数(standardized canonical coefficient)。标准化的典型系数直观上对典型变量的构成给 人以更加清楚的印象。
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12
可以看出，头一个典型变量V1相应于前面第一个（也 是最重要的）特征值，主要代表高学历变量hed；而 相应于前面第二个（次要的）特征值的第二个典型变 量V2主要代表低学历变量led和部分的网民变量net， 但高学历变量在这里起负面作用。
间互
W)的
问题了。实际上，只要选择特征值累积总贡献占主要
部分的那些即可。
软件还会输出一些检验结果；于是只要选择显著的
那些(V, W)。
对实际问题，还要看选取的(V, W)是否有意义，是
否能够说明问题才行。至于得到(V, W)的计算，则很
简单，下面就tv.txt数据进行分析。数学原理？
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9
计算结果
第一个表为判断这两组变量相关性的若干检验，包括Pillai迹 检验，Hotelling-Lawley迹检验，Wilks l检验和Roy的最大根 检验；它们都是有两个自由度的F检验。该表给出了每个检验