2019北京市高考数学试卷(理科)含答案
2019年北京卷数学(理)高考真题(选择题和填空题)详解版
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A（B（C）3 （D）5考点：复数的基本概念及其四则运算概念：①；②两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数解析：因为所以所以z ⋅⎺z = (2+i) (2-i)=22-i2=4-(-1)=5，答案：D（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4考点：考查程序框图的应用，考查学生逻辑推理能力、运算求解能力解析：解决此类问题最常用的方法就是代入求值法。
当k=1，s=1时，，不满足k≥3，进入循环；当k =2，s =2时，，不满足k ≥3，进入循环； 当k =3，s =2时，， 满足k ≥3，退出循环；输出s =2； 答案：B（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65考点：考查点到线的距离【直线与方程】和参数方程与一般方程的转化 概念：平面中点(m,n )到直线ax+by+c =0的距离为d解析：首先，将直线l 由参数方程转变为一般方程。
由x=1+3t 可得,将t 代入至y=2+4t 中可得转化成一般方程为4x-3y+2 =0其次，根据点到直线的距离公式，代入公式算出数值即可答案：D（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2（C ）a =2b （D ）3a =4b考点：椭圆的性质概念：①椭圆（a ＞b ＞0）的离心率解析：根据椭圆方程的公式可知：推出推出3a 2=4b 2 答案：B（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7考点：不等式的计算及应用解析：解题思路：作图法。
2019年高考真题北京卷理科数学试卷(详解版)(加密版)
2019 年高考真题北京卷理科数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）1.已知复数z = 2 + i，则z⋅ z =（）．A.√3B.√5C.3D.5【答案】D【解析】复数z = 2 + i，∴z= 2 − i，∴z⋅ z = (2 + i)(2 − i)= 4 − i2 = 5．故选D ．2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得k = 1，s = 1；s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 2，s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 3，s = 2，此时，满足条件k⩾ 3，退出循环，输出s的值为2．故选：B．3.己知直线l 的参数方程为{x = 1 + 3t（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）．y = 2 + 4tA.1 B.2 C.4 D.6 5 5 5 5【答案】 D【解析】 l 的参数方程{x = 1 + 3t ，y = 2 + 4t∴l 的一般方程：4x − 3y + 2 = 0，∴点(1,0)到l 的距离，d =|4+2| √42+32故选D ．= 6． 54.已知椭圆x 2+ y 2= 1（a > b > 0）的离心率为1，则（ ）．a 2b 22A.a 2 = 2b 2B.3a 2 = 4b 2C.a = 2bD.3a = 4b【答案】 B【解析】 由题意，c = 1，得c 2 = 1，则a 2−b 2 = 1，a2a 24a 24∴ 4a 2 − 4b 2 = a 2，即3a 2 = 4b 2． 故选：B ．5.若x ，y 满足|x | ⩽ 1 − y ，且y ⩾ −1，则3x + y 的最大值为（ ）．A.−7B.1C.5D.7【答案】 C【解析】 由{|x | ⩽ 1 − yy ⩾ −1作出可行域如图，联立{y = −1x + y − 1 = 0，解得A (2, −1)，令z = 3x + y ，化为y = −3x + z ，由图可知，当直线y = −3x + z 过点A 时，z 有最大值为3 × 2 − 1 = 5．故选：C．6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2 −m1 =5 lg E1，其中星等为m的星的亮度为E (k = 1,2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是2 E2k k−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）．A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10−10.1【答案】A【解析】设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，由题得，−1.45 − (−26.7) =5 lg2E1，E2∴lg E1E2= 25.25 × 25= 10.1，∴E1 = 1010.1 ．E2故选A．→→→→→7.设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A，B，C不共线，→→→BC = AC− AB，→→→若|AB + AC| > |BC|，→→→→即|AB + AC| > |AC− AB|，→→→→∴(AB + AC)2 > (AC− AB)2，→→→→→→→→即AB2 + AC2 + 2AB⋅ AC > AB2 + AC2− 2AB⋅ AC，→→4AB⋅ AC > 0，→→|AB| ⋅ |AC| ⋅ cos A > 0，∴cos A > 0，→→即AB与AC为锐角或同向共线，∴A，B，C不共线，→→∴AB与AC夹角为锐角，→→→→→∴“AB与AC的夹角是锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的充要条件．故选C．8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C: x2 + y2 = 1 + |x|y就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）．A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C【解析】将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x = 0时，代入得y2 = 1，∴ y = ±1，即曲线经过(0,1)，(0, −1)；当x > 0时，方程变为y2− xy + x2− 1 = 0，所以Δ = x2− 4(x2− 1) ⩾ 0，解得x∈ (0，2√3]，3所以x只能取整数1，当x = 1时，y2− y = 0，解得y = 0或y = 1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x > 0时，由x2 + y2 = 1 + xy得x2 + y2− 1 = xy⩽x 2+y2，（当x = y时取等），2∴ x2 + y2⩽ 2，∴ √x2 + y2 ⩽√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积= 1 × 2 = 2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积= 12× 2 × 1 = 1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2 + 1 = 3，故③错误．故选C ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.函数f (x ) = sin 22x 的最小正周期是 ．【答案】π 2【解析】 f (x ) = sin 22x=1−cos 4x2 = − 12cos 4x + 1，2∴最小正周期T = 2π = π．42故答案为：π．210.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2 = −3，S 5 = −10，则a 5 = ，S n 的最小值为．【答案】 0 −10【解析】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2 = −3，S 5 = −10，a 1 + d = −3∴ {5a+ 5×4 d = −10 ，2解得a 1 = −4，d = 1，∴ a 5 = a 1 + 4d = −4 + 4 × 1 = 0，S = n a+n (n−1) d = −4n +n (n−1)19 281，n12= (n − ) −22 2 8∴ n = 4或n = 5时，S n 取最小值为S 4 = S 5 = −10． 故答案为：0，−10．11. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ．1。
2019年北京卷 理科数学真题(解析版)
2019年北京卷 理科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。
1.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ） A.3B.5C. 3D. 5【答案】D 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .3.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【答案】D【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离226543d ==+,故选D.4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.5.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A. −7 B. 1C. 5D. 7【答案】C 【详解】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】D【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E EE E -=⋅= ， 故选D.7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不2结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考理科数学北京卷(附参考答案和详解)
4!数学中 有 许 多 形 状 优 美/寓 意 美 好 的 曲 线# 曲线 .,#$0&$'!0"#"& 就是 其 中 之 一$如 图 %!给 出 下 列 三 个 结 论 ,
曲线 . 恰 好 经 过 & 个 整 点 $即 横/纵 坐 标
均 为 整 数 的 点 %-
第4题图
曲线 . 上任意一点到原点的距离都不超过槡$-
三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
!"!$本小题满 分 !+ 分%在 '+0. 中#''+#(()'$#5290'
(
! $
!
$!%求(#) 的 值 -
$$%求9/: $0(.%的值!
.!( .
!&!$本小题满分!)分%如图#在 四 棱 锥 12+0.5 中#1+& 平
面 +0.5#+5&.5#+5,0.#1+'+5'.5'$#0.'+!
曲线 . 所围成的&心形'区域的面积小于+! 其 中 #所 有 正 确 结 论 的 序 号 是
*% -%
! ! !,% ! ! !.%
$! ! %
第二部分
二 填 空 题本大题共&小题每 小 题 " 分共 +# 分!把 答 案
填在题中横线上
8!函数 *$#%'9/:$$# 的最小正周期是!!!!! !#!设 等 差 数 列!'-"的 前- 项 和 为,-#若'$ ' (+#," ' (!##
2019年高考理科数学北京卷含答案
AC
|2
＞|BC
|2
，
2 AB
2 AC
+2AB
AC＞|BC
|2
，
∵点 A ， B ， C 不共线，∴线段 AB ， BC ， AC 构成一个三角形 ABC ，设内
角 可知A，，ABB2，
CAC对2 +应2的AB边分AC别＞为|BaC，|2
9.函数 f x sin2 2x 的最小正周期是
.
10.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 3 ， S5 10 ，则 a5
最小值为
.
， Sn 的
11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小
正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为
递增子列末项的最小值为 2s 1 ，且长度为 s 末项为 2s 1 的递增子列恰有 2s1
个（ s 1,2,），求数列an 的通项公式.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷
数学（理）答案解析
第一部分
一、选择题
1．【答案】D
【解析】∵ z 2 i ，∴ z 2 i, z z 2 i2 i 5 ．故选 D．
的最大值为
.
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.(本小题 13 分)
在 △ABC 中， a3， b c 2 ， cos B 1 .
2
（Ⅰ）求 b ， c 的值；
（Ⅱ）求 sin B C 的值.
数学试卷 第 3页（共 16页）
【考点】共轭复数，复数的运算
2．【答案】B
2019年北京市高考数学试卷(理科)以及答案解析
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019北京高考试题解析版-数学(理)(纯word)
2019北京高考试题解析版-数学（理）（纯word ）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数学〔理〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分、考试时长120分钟、考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分、在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项、1、集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，那么A B =〔〕A 、()1-∞-，B 、213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭， C 、233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 、()3+∞，【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A 、应选D 、 【答案】D2、设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D 、在区域D 内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是〔〕A 、π4B 、π22-C 、π6D 、4π4-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，应选D 。
【答案】D3、设a b ∈R ，、“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的〔〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】当a ＝0时，如果b 也等于0，那么i a b +是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +为纯虚数，那么一定有a ＝0，所以是必要条件，选B 。
2019年高考理数真题试卷(北京卷)(word版+答案+解析)
2019年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数z=2+i ，则 z ·z −=（ ）A. √3B. √5C. 3D. 5 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知直线l 的参数方程为 {x =1+3ty =2+4t （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（ ）A. 15 B. 25 C. 45 D. 65 4.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （a>b>0）的离心率为 12 ，则（ ） A. a 2=2b 2 B. 3a 2=4b 2 C. a=2b D. 3a=4b 5.若x ，y 满足|x|≤1-y ，且y≥-1.则3x+y 的最大值为（ ） A. -7 B. 1 C. 5 D. 76.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2= 52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.17.设点A ，B ，C 不共线，则“ AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任一点到原点的距离都不超过 √2 ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D． 10 10.1
.
. 专业资料 .
.
.
.
【思路分析 】把已知熟记代入 m2
m1
5 lg
E1
， 化简后利用对数的运算性质求解
．
2 E2
【解析 】：设太阳的星等是 m1 26.7 ，天狼星的星等是 m2 1.45 ，
由题意可得 ： 1.45 ( 26.7)
lg E1 50.5 10.1 ， 则 E1
C． a 2b
6 D．
5 D． 3a 4b
5． 若 x ， y 满足 | x |, 1 y ，且 y… 1， 则 3x y 的最大值为 (
)
A． 7
B． 1
C．5
D．7
6 ． 在天文学中 ， 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述
． 两颗星的星等与亮度满足
m2
m1
5 lg
E1
， 其中星等为
mk 的星的亮度为
14 ． 李明自主创业 ， 在网上经营一家水果店 ， 销售的水果中有草莓 、 京白梨 、 西瓜 、 桃 ，
价格依次为 60 元 / 盒 、 65 元 / 盒 、 80 元 / 盒 、90 元 / 盒 ． 为增加销量 ， 李明对这四种水果
进行促销 ： 一次购买水果的总价达到 120 元 ，顾客就少付 x 元 ．每笔订单顾客网上支付成
4
.
. 专业资料 .
.
.
.
（Ⅰ） 求曲线 y f (x) 的斜率为 l 的切线方程 ；
（Ⅱ） 当 x [ 2 ， 4] 时 ， 求证 ： x 6剟f ( x) x ；
（Ⅲ） 设 F (x) | f ( x) ( x a) | (a R) ， 记 F ( x) 在区间 [ 2 ， 4] 上的最大值为 M （ a）． 当
Ek (k
1,2) ． 已知太阳的星等是
2 E2
26.7 ， 天
狼星的星等是 1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为 (
)
A
．
10.1
10
B． 10.1
C． lg10.1
10.1
D． 10
7． 设点 A ， B ， C 不共线 ， 则 “AB 与 AC 的夹角为锐角 ”是 “| AB AC | | BC |”的 (
2
| z| 求解 ．
【解析 】： z 2 i ， z z | z |2 ( 22 12 )2 5 ． 故选 ： D ．
【归纳与总结 】本题考查复数及其运算性质 ， 是基础的计算题 ．
D．5
2． 执行如图所示的程序框图 ， 输出的 s 值为 (
)
A．1
B． 2
C．3
D．4
【思路分析 】由已知中的程序语句可知 ： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 值， 模拟程序的运行过程 ， 分析循环中各变量值的变化情况 ， 可得答案 ．
【解析 】：模拟程序的运行 ， 可得
k 1， s 1
s2 不满足条件 k…3， 执行循环体 ， k 2 ， s 2
不满足条件 k…3， 执行循环体 ， k 3 ， s 2 此时 ， 满足条件 k…3， 退出循环 ， 输出 s 的值为 2 ．
故选 ： B ．
【归纳与总结 】本题考查了程序框图的应用问题 ， 解题时应模拟程序框图的运行过程
.
. 专业资料 .
.
.
.
2019 年北京市高考数学试卷 （ 理科 ）
参考答案与试题解析
一、 选择题 共 8 小题 ， 每小题 5 分， 共 40 分。 在每小题列出的四个选项中 ， 选出符合题
目要求的一项 。
1． 已知复数 z 2 i ， 则 z z (
)
A． 3
B． 5
C．3
【思路分析 】直接由 z z
学生中随机抽取了 100 人 ， 发现样本中 A ， B 两种支付方式都不使用的有 5 人 ， 样本中仅
使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下 ：
支付金额 （ 元 ) 支付方式
(0 ， 1000]
(1000 ， 2000]
大于 2000
仅使用 A
18 人
9人
3人
仅使用 B
10 人
14 人
)
A． 充分而不必要条件
B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D． 既不充分也不必要条件
8． 数学中有许多形状优美 、 寓意美好的曲线 ， 曲线 C : x 2 y 2 1 | x | y 就是其中之一 （ 如
图）． 给出下列三个结论 ：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点 （即横 、 纵坐标均为整数的点 ）；
6 ． 在天文学中 ， 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述
． 两颗星的星等与亮度满足
m2
m1
5 lg
E1
， 其中星等为
mk 的星的亮度为
Ek (k
1,2) ． 已知太阳的星等是
2 E2
26.7 ， 天
狼星的星等是 1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为 (
)
A． 1010.1
B． 10.1
C． lg10.1
M （ a） 最小时 ， 求 a 的值 ．
20 ．（ 13 分 ）已知数列 { an } ， 从中选取第 i1 项 、 第 i 2 项 、 、第 i m 项 (i1 i 2
im ) ， 若
a a i1
i2
aim ， 则称新数列 ai1 ， ai2 ， ， aim 为 { an } 的长度为 m 的递增子列 ． 规定 ：
CD ， AD / / BC ， 1
． 3
（Ⅰ） 求证 ： CD 平面 PAD ；
（Ⅱ） 求二面角 F AE P 的余弦值 ； （Ⅲ） 设点 G 在 PB 上 ， 且 PG 2 ． 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内， 说明理由 ．
PB 3
17 ．（ 13 分 ） 改革开放以来 ， 人们的支付方式发生了巨大转变 ． 近年来 ， 移动支付已成为 主要支付方式之一 ． 为了解某校学生上个月 A ， B 两种移动支付方式的使用情况 ， 从全校
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过
2；
.
. 专业资料 .
.
.
.
③曲线 C 所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3．
其中 ， 所有正确结论的序号是 (
)
A．①
B．②
C．①②
D ．①②③
二、 填空题 共 6 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 30 分 。
9． 函数 f ( x)
2
sin 2 x 的最小正周期是
数列 { an} 的任意一项都是 { an } 的长度为 1 的递增子列 ．
（Ⅰ） 写出数列 1， 8， 3 ，7 ， 5，6 ， 9 的一个长度为 4 的递增子列 ；
（Ⅱ） 已知数列 { an } 的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 末项的最小值为 an0 ． 若 p q ， 求证 ： am0 an0 ；
最优解 ， 把最优解的坐标代入目标函数得答案 ．
| x |, 1 y
【解析 】：由
作出可行域如图 ，
y… 1
y1
联立
， 解得 A(2, 1) ，
x y10
令 z 3x y ， 化为 y 3x z ，
由图可知 ，当直线 y 3x z 过点 A 时， z 有最大值为 3 2 1 5 ．
故选 ： C ．
【归纳与总结 】本题考查简单的线性规划 ， 考查数形结合的解题思想方法 ， 是中档题 ．
． 现从样本仅使用 A 的学生中 ， 随
机抽查 3 人 ，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元 ．根据抽查结果 ， 能否认为样本仅使
用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化 ？ 说明理由 ．
18 ．（ 14 分 ）已知抛物线
2
C:x
2 py 经过点 (2, 1) ．
（Ⅰ） 求抛物线 C 的方程及其准线方程 ；
4a 2 4b2 a 2 ，即 3a2 4b2 ．
故选 ： B ．
【归纳与总结 】本题考查椭圆的简单性质 ， 熟记隐含条件是关键 ， 是基础题 ．
5． 若 x ， y 满足 | x |, 1 y ，且 y… 1， 则 3x y 的最大值为 (
)
A． 7
B． 1
C．5
D．7
【思路分析 】由约束条件作出可行域 ，令 z 3x y ，化为直线方程的斜截式 ， 数形结合得到
.
.
2019 年北京市高考数学试卷 （ 理科 ）
一、 选择题 共 8 小题 ，每小题 5 分 ， 共 40 分。 在每小题列出的四个选项中 ， 选出符合题
目要求的一项 。
1． 已知复数 z 2 i ， 则 z z (
)
A． 3
B． 5
C．3
D．5
2． 执行如图所示的程序框图 ， 输出的 s 值为 (
．
10 ． 设等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ， 若 a2 为．
3 ， S5
10 ， 则 a5
， Sn 的最小值
11 ． 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得
， 其三视图如图所示 ． 如果网格纸上小
正方形的边长为 l ， 那么该几何体的体积为
．
12 ． 已知 l ， m 是平面 外的两条不同直线 ． 给出下列三个论断 ：
am0 ， 长度为 q 的递增子列的
（Ⅲ） 设无穷数列 { an } 的各项均为正整数 ， 且任意两项均不相等 ． 若 { an } 的长度为 s 的递 增子列末项的最小值为 2s 1 ， 且长度为 s 末项为 2s 1 的递增子列恰有 2s 1 个 (s 1 ， 2 ，
) ， 求数列 { an} 的通项公式 ．