上海2020届高三二模数学卷汇总(全)
上海市普陀区2020届高三数学二模考试试题含解析
某某市普陀区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为1(2.9 4.3) 3.62⨯+=．故答案为：3.6．【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据增广矩阵概念直接求解.【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.3.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-， 所以15,2==a m . 故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.4.已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】()26441a a a =-，∴()()42424441202a a a a -⇒-==⇒=，故答案为：2.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.6.A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】13【解析】 【分析】古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有2242223=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到13P =故答案为：13【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π 【解析】 【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4， 可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设()()()()11101111nnn n n x a x a x a x a --+=-+-++-+，若110729n n a a a a -++++=，则3a =______.【答案】160 【解析】 【分析】先将(1)nx +化为(2(1))nx +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．【详解】解：原式[2(1)]nx =+-，令11x -=，即2x =得：611037293n n n a a a a -=++⋯++==，所以6n =．所以展开式中含3(1)x -项为：333362(1)160(1)C x x -=-．故3160a =． 故答案为：160．【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=n n Sn ______.【答案】12- 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．【详解】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d d S n a n ∴=+-（其中d 是公差），1()22n S d dn a n =+-，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，21122(1)111lim lim lim()22222n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-． 故答案为：12-【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22n d dS n a n =+-，属于中档题． 10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______. 【答案】4π 【解析】 【分析】由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.222+=+c a b即222c a b =+-，由余弦定理可得，cos 2C =，4C π∴=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.11.在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.【答案】2116【解析】 【分析】连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．【详解】解：连接BD ， 0AB BC AD DC ==，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，1||||cos cos2AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，120BAD ∴∠=︒，BD ∴== 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，60DBC BDC ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，设(M x ，0)(03)x，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，∴22321(216AM DM x x =+=+，∴当x =AM DM 取得最小值2116．故答案为：2116．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．12.设双曲线r ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.6 【解析】 【分析】由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ． 【详解】解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即222121t a a a +=+， 解得22t a =，由余弦定理可得22224(2)2(2)c t t a t t a =++-+， 即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+， 解得212a =，22312c a =+=，则焦距32262c =．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离为2，即充分性是成立的；反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是24x y =，即必要性不成立， 综上可得， “方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.14.已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（ ） A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =,但集合,B C 中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个. 故选：A.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）A. 直线AD 与BC 是异面直线B. 直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C. 过AD 有且只有一个平面与BC 平行D. 过AD 有且只有一个平面与BC 垂直 【答案】D【解析】 【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误． 【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ， 不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合， 又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l αβ=矛盾，故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误． 故选：D ．点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()22221f t t s a a =+++-成立，则实数a的取值X 围是（ ） A. .[][]1,01,2-⋃ B. .{}[]10,2- C. .[][]2,10,1-- D. .{}[]12,0⋃-【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求X 围．【详解】解：由函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，可得1()2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=， 可得()0f x '=的解为34x =，由1(0)2f =，f （1）=3()14f =，且()f x 在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()f x 的最小值为12，最大值为1， 可得()f x 的值域为1[2，1]，而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，22]a a ++，由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，22]a a ++，即有221122a a a a +-<++，即为2101a a a -⎧⎨-⎩或，解得01a 或21a --，则a 的X 围是[][]2,10,1--，故选：C ．【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.17.设函数()()31,20,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩是偶函数.（1）某某数m 的值及()g x（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1gx -，当时，()122log 5ag ->（0a >且1a ≠）时，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）2m =，()31xg x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．【详解】解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =，当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31xf x f x -=-=，故()31xg x =-.（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1gx -，则()12312g --=，即()121g -=，即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 151a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即205a <<或1a > 则实数a 的取值X 围为()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数()22sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值X 围. 【答案】（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期； （2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，0>ω，求得ω的X 围.【详解】（1）()22sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即2262k πππωπ⋅+=+，k ∈Z ，即243k ω=+， 又01ω<<，则23ω=， 则函数()f x 的最小正周期为23ππω=.（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .即626k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则156212k k ω-≤≤+，k ∈Z ， 因为156212k k -≤+，k ∈Z ，所以76k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，则所求的ω的取值X 围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）32arctan 20；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】（1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.【详解】（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ， 则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32tan 2052FO FOB BO ∠===，即FBO ∠=，则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan20； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13104030022=⨯⨯⨯=（立方米），两个四棱锥的体积222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==⋅=⋅⋅235105032=⨯⨯⨯=（立方米）， 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）.【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点 （1）求2PQF 周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦，求直线l 的斜率k 的取值X 围.【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()1212MN d d ⋅⋅+，根据10813S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果. 【详解】（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =， 则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+， 要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF 周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，平行弦中点的坐标为()00,x y ，联立22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，化简整理得2213189360x mx m -+-=， 当()()()22218413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->即m <<则1209213x x x m +==，1212042213y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=， 故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），由22194x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()229436k x +=，即1x =，21x x =-=，依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，由221942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得213360x x -=，解得0x =或3613x =， 所以3613N x =，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，则13MN =. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10513361813ONk k ->==-，即5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 点P ，Q 到直线MN的距离分别为1d =2d =，则()12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形12=118216(1)2131313k =⨯=+=，又108,1313S ⎡∈⎢⎣⎦，即108216131313≤≤. 化简整理得，225808172160k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得805k ≤≤， 又5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以805k ≤≤.则所求的直线l 的斜率k 的取值X 围为80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.21.对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N成立，则称ka 具有性质()P m .（1）设()*3n a n n N=-∈，若对任意的k *∈N ，ka 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，某某数d 的取值X 围； （3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1）5；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. 【解析】 【分析】（1）计算得出167a a a <<<、256a a a <<<、()123k k k a a a k ++<<<≥，求得每种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出23d k >+，由此可得出d 的取值X 围； （3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，得出1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 【详解】（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<，此时3m ≥；当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<，此时m 1≥.综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5； （2）由已知可得，()122n n n S n d -=-+，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立， 即()()()()177122722k k k k k d k d -++--+<-++，整理得：23d k >+.因为1k ，则2132k ≤+，所以12d >.因此，实数d 的取值X 围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （3）对于299t ≤≤，t *∈N ， 因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<<<，而当()2n n *≥∈N 时，存()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2ni aa =，所以1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、、2t ，又因为1t a +、2t a +、、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<<，欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992， 欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，下面分别计算前100项和：()()()()2319912121002222222t t t t t t a a a a a a ++++++++++=++++++++100222t =+-，当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；()()()()232310112121002222222t t t t t a a a a a a -+++++++++=++++++++10122266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭.当且仅当101222tt =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ， 这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为()5051502226626+-=⋅-.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。
2020年上海市虹口区高中数学高考二模试卷含详解
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.函数()3cos21f x x =+的最小值为.2.函数()f x =的定义域为.3.设全集UR =，若{}23A x x =-≥，则U C A =.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为.5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =.6.设复数cos sin i ziαα=+（i为虚数单位），若z =，则tan 2α=.7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为.8.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若8,30b c A ︒===，则sin C =.9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅ 的最大值为.10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为.12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。
13.已知抛物线24y x =上的点M 到它焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）A.2B.4C.5D.614.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：cm ）为（）A.32B.36C.40D.4815.已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）14141010()2,()2,(),4(),63333A B C D ⎛⎤⎡⎫⎡⎫⎛⎤⎪⎪⎥⎢⎢⎥⎝⎦⎣⎭⎣⎭⎝⎦16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,m n N ∈，若存在正整数,(1)i j i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为（）A.16B.12C.8D.6三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤。
上海市2020届崇明区高三下学期高考数学二模试卷及答案
20.（1） 3 2 2
（2）证明略 （3）证明略
21.（1）37 （2）5 （3）证明略
第5页
f
( x1 ) − g ( x2 )
= 2 的任意 x1, x2 ，
x1 − x2
的最小值是 3
，则 的最小值是____________
10. 已知样本数据 x1, x2 , x3, x4 的每个数据都是自然数，该样本的平均数为 4，方差为 5，且样本数据两两
互不相同，则样本数据中的最大值是____________
2020 年崇明区高三数学二模试卷
一、填空题
12
1. 行列式
的值等于____________
34
2. 设集合 A = x | −1 x 2, B = x | 0 x 4 ，则 A B = ____________
3+i +i
3. 已知复数 z 满足
= i ，i 为虚数单位，则 z=____________
16. 已 知 函 数 f ( x) = m 2x + x2 + nx ， 记 集 合 A = x | f ( x) = 0, x R ， 集 合
( ) B = x | f f ( x) = 0, x R ，若 A=B，且 A, B 都不是空集，则 m+n 的取值范围是（ ）
A. 0, 4)
14. 若抛物线 y2 = 8x 的焦点 F 与双曲线 x2 − y2 = 1的一个焦点重合，则 n 的值为（ ） 3n
A. −1
B. 1
C. 2
D. 13
15. 设an 是各项为正数的无穷数列， Ai 是边长为 ai , ai+1 的矩形的周长 (i = 1, 2, ) ，则“数列An 为等
上海市2020届高三模拟考试2数学试题 Word版含解析
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|1,A x y x x R ==-∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 【详解】解：由A 中1y x =-10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.若函数()1f x x =，()1g x x x -，则()()f x g x +=__________． 【答案】11x +-(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果. 【详解】()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：α是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴==-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题． 4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】 由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >,∴9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线2sec (2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec 2tan xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______. 【答案】34【解析】 【分析】 化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t . 【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++,∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+,∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2i iM AB AP =⋅（1,2,,10i =），则1210M M M +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ， 直线33B C 的方程为3(6)y x =--， 可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=， 即有233i i i i M AB AP x =⋅=+ 3(3)18i i x y =+=，则12101810180M M M++⋯+=⨯=．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa xf x a ax x x⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x≤的解集为(],3,-∞则实数a的取值范围为___________.【答案】(]1,3【解析】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a>，且1a≠，设函数21()21xa xf xx x x⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x的解集是(-∞，3]，当1x时，2|2|3x x-，可得2323x x--，解得13x ；当1x<，即(,1)x∈-∞时，3xa，不等式恒成立可得13a<．综上可得13a<．∴实数a的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.已知*n N∈，从集合{}1,2,3,,n中选出k（k∈N,2k≥）个数12,,,kj j j，使之同时满足下面两个条件：①121kj j j n≤<<≤；②1i ij j m+-≥（1,2,,1i k=-），则称数组()12,,k j j j 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m的组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=，故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题． 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题． 15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x ，||1y ，可得||2z ，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x ，||1y ，则||2z ，故充分性不成立；由||1z ，则221x y+，所以||1x ，||1y ，即必要性成立．所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( )A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-,即有()()()2121f x f x x x αα--<<-, 令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+,则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos126AB AC AB AC π⋅==，可得83AB AC =ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin )B B B B B =+ 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12= 又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴83AB AC =∴111sin 2622ABC S AB AC π∆==⨯=考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价． 【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，221201216h =-=cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2， 故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由. 【答案】（1）2a =22（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x 3得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D 0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=>⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y（2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =- 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++.【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列； （2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论． 【详解】（1）证明：112n n n S a a +=，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=， 又11a =，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n nb b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k nb b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>， 2211(1)2c m c c -∴==-，232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯，3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m ---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅ 1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
上海市黄浦区2020届高三二模数学卷(含答案)
yxO PA BC Q 上海市黄浦区2020届高三二模数学卷2020年5月一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．若集合{1,2,3,4,5}A =，2{|60}B x x x =−−<，则A B ∩=.2．函数22cos 2y x =+的最小正周期为．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选户.4．若直线1:350l ax y +−=与2:210l x y +−=互相垂直，则实数a的值为.5．如果sin 3α=−，α为第三象限角，则3πsin()2α+=.6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为.7．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为.8．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[2,0]−，则(1)f −=.9．当,x y 满足270101x y x y x +−−−，， 时，|2|x y a − 恒成立，则实数a 的取值范围是.10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．11．已知a R ∈，函数22(0)()1(0)a x f x xx x+> = +≤ ，若存在不相等的实数123,,x x x ，使得11()f x x =22()f x x =33()2f x x =−，则a 的取值范围是．12．点A 是曲线y =(2)y ≤上的任意一点，(0,2)P −,(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ．则下列结论：（1）||||AP AQ −为定值；（2）||QB ||BC +为定值5；（3）||||||PA ABBC ++为定值5+.其中正确结论的序号是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．“函数()()f x x R ∈存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（）..A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件14．设12,z z 是复数,则下列命题中的假命题是（）..A 若12||0z z −=,则12z z =.B 若12z z =,则12z z =.C 若||||21z z =,则2112··z z z z =.D 若12||||z z =,则2122z z =15.已知e f ,是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅= ，21n f a n ⋅=+ ，n b 是向量f 与n a夹角的正切值，则数列{}n b 是（）..A 单调递增数列且1lim 2n n b →∞=.B 单调递减数列且1lim 2n n b →∞=.C 单调递增数列且lim 2n n b →∞=.D 单调递减数列且lim 2n n b →∞=16．如图，直线l ⊥平面α,垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，, A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥，则下列判断：①点O 到棱BC 中点E1+；②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为（）..A ①②都正确.B ①②都错误.C ①正确，②错误.D ①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱椎P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，90,BAC ∠=D E F 、、分别是棱AB BC CP 、、的中点，1AB BC ==,2PA =．（1）求异面直线PB 与DF 所成的角；（2）求点P 到平面DEF 的距离．图①图②18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设1122(,),(,)A x y B x y 是函数21log 21xy x =+−的图像上任意两点，点00(,)M x y 满足OM = 1()2OA OB + ．（1）若012x =，求证：0y 为定值；（2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园.如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点,E F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上．（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域1111A B C D 为花卉展览区．如图②所示，矩形1111A B C D 的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点11,A B 分别在,OE OF 上，点11,C D 在扇形的弧上.某同学猜想：当矩形1111A B C D 面积最大时，两矩形1111A B C D 与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区1111A B C D 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点,A B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 且点A 是圆:Γ222((0)x y r r +=>的圆心．动直线:l y kx =与椭圆交于,P Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，()OS OP R λλ+=∈，且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于,G H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =，求r 的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若数列{}n a 与函数()f x 满足：①{}n a 的任意两项均不相等，且()f x 的定义域为R ；②数列{}n a 的前n 的项的和()n n S f a =对任意的*n N ∈都成立，则称{}n a 与()f x 具有“共生关系”.（1）若*2()n n a n N =∈,试写出一个与数列{}n a 具有“共生关系”的函数()f x 的解析式；（2）若()f x ax b =+与数列{}n a 具有“共生关系”，求实数对(,)a b 所构成的集合,并写出n a 关于,,a b n 的表达式；（3）若2()f x x cx h =++,求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有‘共生关系’”的充要条件是“点(,)c h 在射线11()216xy =≤上”.参考答案与评分标准一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）1.{1,2}；2.π；3.56；4.6−；5.13；6.；7.221520x y −=；3；9.[4+)∞，；10.2735；11.(,4)−∞−；12.①②.二、选择题：（每题5分）13.B ；14.D ；15.A ；16.C.三、解答题：（共76分）17．（1）如图，分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0)(0,1,0)(0,0,2)A B C P ,,，11(,0,0),(0,,1)22D F ,故11(1,0,2),(,,1),22BP DF =−=− ……2分所以cos ,BP DF <>= …………4分可得,6BP DF <>= ，故异面直线PB 与DF所成的角为.…………6分（另法:先证明,DF EF DE EF ⊥，然后在直角DEF △中，可求得所成角为5arctan5）.（2）同（1）建立空间直角坐标系，则111(0,,0),(,,1),222DE DF − ………7分设(,,1)n x y = 是平面DEF 的一个法向量，则00n DE n DF ⋅= ⋅=，，可得102111022y x y= −++= ，，解得20x y = = ，，所以(2,0,1)n = ，………11分又1(0,,1)2PF =−，P 到平面DEF 的距离5||5||PF n d n ⋅==．.…………14分18．（1）由1()2OM OA OB =+ ，可知01211()22x x x =+=，即121x x +=，…………2分1212012222121211111()(log log )(1log 2221212(1)(1)+x x x x y y y x x x x =+=+++=−−−−，故12022111(1log 22+x x y x x =为定值.…………………6分（2）由122x x =，01y >，可得1122112log log 1112x x x x +>−−，…………………7分它等价于1111121111110,2120,0,122333102222112x x x x x x x x x x x << >⇔<<⇔−+ << −+< ⋅>−− 解得1x的取值范围是1)2.…………………11分此时由111111120112(1)(12)x x x x x x x −−=<−−−−，可知111120112x x x x <<−−，故112211112log log 21212+x x x x <+−−，即12y y <.…………………14分19．（1）设2 EOF θ∠=，则BFO θ∠=，在直角OBF △中，，124,402BO AB OF BC ====，3sin 5OB OF θ==，3arcsin 5θ=，…………………3分可得扇形的面积21133402arcsin 1600arcsin 1030255S =⋅⋅=≈平方米，所以扇形花园的面积约为1030平方米.………………6分（2）在图2中，连1OC ，设11(0)FOC OC r ααθ∠=<<=,，则在11OB C △中，由111sin sin B C OC αθ=，可得11sin sin r B C αθ=，又112sin()C D r θα=−，34sin cos 55θθ==，所以矩形1111A B C D 的面积21111sin 2sin()sin r S B C C D r αθαθ=⋅=⋅−…………………9分22210sin (sin cos cos sin )(6sin cos 8sin )33r r αθαθαααα−=−216004(3sin 24cos 24)arcsin )4]335r ααα+−=+−，当且仅当4π2arcsin 52α+=，即1π4(arcsin )2252θα=−=时，2S 取最大值，2S 的最大值为16003，所以花卉展览区1111A B C D 面积的最大值为16003平方米.………12分当1111A B C D 的面积最大时，2θα=，此时11112sin()64862sin ,sin 5405sin C D r CD r B C BC θαθαθ−===== ，从而两矩形长和宽之比相等，所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.…………………14分20.解：（1）由题意知，a =6,3=可得1b =，…………………3分故椭圆方程为2212x y +=.…………………4分（2）设π,sin )([0,2P ααα∈，则cos ,sin )S αλα，………………6分代入直线AB1y =，可得(cos sin )1λαα+=，故1cos sin λαα==+，故当且仅当α取π4时，λ取最小值.………8分此时点P 的坐标为22，直线l的方程为0x =，故63r =.…………10分（3）由||||QG PH =，可得||||PQ GH =，将y kx =代入椭圆C 的方程，可得22(12)2k x +=，即x =||PQ =又A 到直线l ，故||GH =，，…………………13分可得22222222222(1)422(1)+2112112k k k k r k k k k +++==+−++++，令2222112[1,2)11k z k k +==−∈++，则212(2[23)r z z=+−∈,，故r 的取值范围是.…………………16分21.解：（1）由2nn a =，可知12(12)222212n n n n S a +−==−=−−，所以与数列{}n a 具有“共生关系”函数()f x 的解析式可以是()22f x x =−.……4分（2）由题意得n n S aa b =+，令1n =，可得11a aa b =+，即1(1)a a b −=，①若10a b =≠,，此式不成立，不合题意；若10a b ==,，由22S a =，可得10a =，又33S a =，可得20a =，与{}n a 任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意.………5分②若1a ≠，可得11b a a=−，若0b =，则由111a S aa ==与1222a a S aa +==，可得120a a ==，不合题意.若0b ≠，0a =，则n S b =，当2n ≥时，0n a =，不合题意.…………6分若0b ≠，0,1a ≠，则n S b =，由n n S aa b =+，+1+1n n S aa b =+，可得1+1+1n n n n n a S S aa aa +−−，即11n n a a a a +=−，此时数列{}n a 是首项为1b a−，公比为1a a −的等比数列，又{}n a 的任意两项均不相等，故11a a ≠±−，可知12a ≠，……8分所以实数对(,)ab 所构成的集合为1{(,)|0,1,,2a b a ≠且0,R}b a b ≠∈其中,，且11(11(1)n n n n b a baa a a a −−=⋅=−−−.……10分（3）(必要性)法一:若{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列,且它与()f x 具有“共生关系”,则由2n n n S a ca h =++，2+1+1+1n n n S a ca h =++，可知221+1+1+1+11()()()n n n n n n n n n n n a S S a a c a a a a a a c ++=−=−+−=−++，……11分故11[2(21)]a nd d a n d c +=+−+，即2112(2)a nd d n da d cd +=+−+恒成立，故2112,2d d ada d cd = =−+ ，解得12c d ==，……13分又由211112n a S a a h ==++，可得21102n a a h −+>，由1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分法二：若{}n a 是等差数列，且它与()f x 具有“共生关系”,设(0)n a dn m d =+≠，则由2n n n S a ca h =++,可知2(1)()()2n n dmn dn m c dn m h ++=++++，……11分所以2222((2)()22d dn m n d n md cd n m cm h ++=+++++恒成立，故2212220d d d m md cd m cm h =+=+=++，，，可得211,022c d m m h ==++=且有实根，……13分即1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分(充分性)若点(,)c h 在射线11()216x y =≤上，则11,216c h =≤，又方程211112a a a h =++等价于211102a a h −+=，1404h ∆=−≥，且1a =1a =，它显然是正数且满足1(1)S f =，……16分令+112n n a a −=,则22+1+111(1)()()()22n n n n f n f n a a a a +−=+−++1+1+1+111()(+)(2)22n n n n n n a a a a a a =−+==，故当2n ≥时，12(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]n n S a aa f f f f f f n f n =+++=+−+−++−− ()f n =，这里的无穷数列{}n a ，公差为12的无穷等差数列，其每一项都是正数.所以存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有“共生关系”..……18分另法：直接证明首项为1+1164、公差为12的等差数列满足条件②，即可.。
2020上海金山高三二模数学
上海市金山区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.集合{|03}A x x ，{|||2}B x x ，则A B 2.函数12y x的定义域是3.i 是虚数单位，则i||1i的值为 4.已知线性方程组的增广矩阵为11302a ，若该线性方程组的解为12，则实数a 5.已知函数21()11x f x ，则1(0)f6.已知双曲线2221x y a(0)a 的一条渐近线方程为20x y ，则实数a7.已知函数1()lg sin 11xf x x x，若()4f m ，则()f m8.数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n，n *N ，前n 项和为n S ，则lim n n S9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 （结果用最简分数表示）10.若点集22{(,)|1}A x y x y ，{(,)|22,11}B x y x y ，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B 所表示的区域的面积是11.我们把一系列向量i a (1,2,,)i n 按次序排成一列，称为向量列，记作{}i a，已知向量列{}i a 满足1(1,1)a ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y (2)n ，设n 表示向量1n a 与n a 夹角，若2n n n b，对任意正整数n ，log (12)a a恒成立，则实数a 的取值范围是12.设n *N ，n a 为(2)(1)n n x x 的展开式的各项系数之和，162m t ，t R ，1222[][][]333n n n na a ab （[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ，2222:l a x b y c 0 ，那么“11220a b a b ”是“两直线1l 、2l 平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14.如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的 面积是（ ）A.22B.12C. 2D. 115.在正方体1111ABCD A B C D 中，下列结论错误的是（）A. 221111111()3A A A D A B A B B. 1111()0A C A B A AC. 向量1AD 与1A B的夹角是120°D. 正方体1111ABCD A B C D 的体积为1||AB AA AD16.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x 为偶函数，当[0,1]x 时，()f x 若函数()()g x f x x m 有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A. 11(,)44B. (11)C. 11(4,4)44k k (Z k )D. (411)k k (Z k )三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知四棱锥P ABCD ，PA 底面ABCD ，1PA ，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6.（1）求四棱锥P ABCD 的体积； （2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18.已知函数2()2cos 2xf x x . （1）求函数()f x 在区间[0,] 上的单调递增区间； （2）当11()5f，且236 ，求sin(23的值. 19.随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型（*N n ）：以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n表示第n 个时刻进入园区的人数，以0115()4005000162882002936n g n n n n表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n ，8点30分作为第2个计算单位，即2n ，依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数(19)(20)f f(21)(22)f f 和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g ；（2）请问，从12点（即16n ）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.20.已知动直线l 与椭圆22:12y C x 交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点，且△OPQ 的面积2OPQ S ，其中O 为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x 和2212y y 均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ？ 若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.21.若无穷数列{}n a 满足：存在*N k ，对任意的0n n （*N n ），都有n k n a a d （d 为常数），则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .（1）若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ，且11a ，22a ，33a ，求234a a a 的值； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ，5181b c ，n n n a b c ，判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ，并说明理由；（3）设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ，又具有性质2(,2,)Q j d ，其中*,N i j ，i j ，i 、j 互质，求证：数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i.参考答案一. 填空题1.(0,2)2.(0,)3.24.25.06.127.28.749.11410.20 11. 1(0,)312.95二. 选择题 13.B 14.C15.D16.C三. 解答题17.（1）1；（2）arccos7. 18.（1）[0,3 ；（2）2425.19.（1）14738，12800；（2）13点30分.20.（1）2x；（2）1，2；（3）不存在. 21.（1）6；（2）不具有；（3）略.。
2020年上海市青浦区高考数学二模试卷 (解析版)
2020年上海市青浦区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）1．已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，2），则集合∁U A＝．2．已知i为虚数单位，复数z＝2+i的共轭复数．3．已知函数，则方程f﹣1（x）＝2的解x＝．4．若（ax+1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是．5．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是．6．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积是cm2．7．已知x，y＞0且x+2y＝1，则的最小值为．8．已知平面向量满足，，，则与的夹角为．9．设a∈{1，3，5}，b∈{2，4，6}，则函数是减函数的概率为．10．已知函数，若存在实数x0满足f[f（x0）]＝x0，则实数a的取值范围是．11．已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线x2＝y上，其中一条边所在直线的斜率为，则△ABC的三个顶点的横坐标之和为．12．定义函数f（x）＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则a n＝．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2+b≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（）A．3B．4C．5D．615．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n＝1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则（）A．B．4C．3D．16．已知函数f（x）＝sin x+2|sin x|，关于x的方程有以下结论：①当a≥0时，方程在[0，2π]内最多有3个不等实根；②当时，方程在[0，2π]内有两个不等实根；③若方程在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为15π．④若方程在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（）A．②④B．①④C．①③D．①②③三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°．（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的大小；（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．18．已知函数．（1）若函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，求a的最小值；（2）若存在，使mf（x0）﹣2＝0成立，求实数m的取值范围．19．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，证明为定值，并求出这个定值；（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．21．（18分）对于无穷数列{a n}、{b n}，n∈N*，若b k＝max{a1，a2，…，a k}﹣min{a1，a2，…，a k}，k∈N*，则称数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．其中max{a1，a2，…，a k}、min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大项和最小项．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．（1）若a n＝3n﹣1，求数列{b n}的前n项和；（2）证明：数列{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n，求所有满足该条件的数列{a n}．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，2），则集合∁U A＝[2，+∞）．【分析】由补集的定义直接可以得出．解：由题知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，2），故∁U A＝[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【点评】本题主要考查的是补集及其运算，是道基础题．2．已知i为虚数单位，复数z＝2+i的共轭复数2﹣i．【分析】复数z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．解：i为虚数单位，复数z＝2+i的共轭复数2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，考查共轭复数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3．已知函数，则方程f﹣1（x）＝2的解x＝．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．解：函数，则方程f﹣1（x）＝2的解x＝1．故答案为：．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若（ax+1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是2．【分析】由题意可得，T r+1＝C5r（ax）5﹣r＝a5﹣r C5r x5﹣r，令5﹣r＝3可得r＝2，则有a3C52＝80，从而可求解：由题意可得，T r+1＝C5r（ax）5﹣r＝a5﹣r C5r x5﹣r令5﹣r＝3可得r＝2∴a3C52＝80∴a＝2故答案为：2【点评】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，属于基础试题．5．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是2．【分析】求出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，然后通过点到直线的距离公式求解即可．解：双曲线的一个焦点（2，0）到一条渐近线x+y＝0的距离：2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积是16πcm2．【分析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．解：用一平面去截球所得截面的面积为3πcm2，∴小圆的半径为cm；已知球心到该截面的距离为1 cm，∴球的半径为：cm，∴该球的表面积是S＝4π×22＝16πcm2．故答案为：16．【点评】本题考查球的截面小于的半径、球心到球的截面的距离与球的半径之间的关系，是基础题．7．已知x，y＞0且x+2y＝1，则的最小值为．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：由已知：（）（x+2y）＝12≥3+2，当且仅当时等号成立，则的最小值为3+2，故答案为：3+2．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．8．已知平面向量满足，，，则与的夹角为．【分析】根据题意，设与的夹角为θ，由的坐标求出||的值，进而由数量积的计算公式可得（2）22+4•42＝6+4×1cosθ＝2，计算可得cosθ的值，分析可得答案．解：根据题意，设与的夹角为θ，又由，则||，若，则有（2）22+4•42＝6+4×1cosθ＝2，解可得：cosθ，则θ；故答案为：．【点评】本题考查数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．9．设a∈{1，3，5}，b∈{2，4，6}，则函数是减函数的概率为．【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，由函数是减函数，得，利用列举法求出函数是减函数包含的基本事件（a，b）有6个，由此能求出函数是减函数的概率．解：∵a∈{1，3，5}，b∈{2，4，6}，基本事件总数n＝3×3＝9，∵函数是减函数，∴，∴函数是减函数包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，4），（1，6），（3，4），（3，6），（5，6），共6个，∴函数是减函数的概率p．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．10．已知函数，若存在实数x0满足f[f（x0）]＝x0，则实数a的取值范围是（﹣∞，]．【分析】判断y＝f（x）在定义域内递增，结合条件可得y＝f（x）的图象与直线y＝x 有交点，即方程x有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围．解：函数在[a，+∞）递增，若存在实数x0满足f[f（x0）]＝x0，可得y＝f（x）的图象与直线y＝x有交点，即方程x有解．由x（x≥0），可得x﹣a＝x2，即有a＝x﹣x2＝﹣（x）2，而y＝﹣（x）2在[0，）递增，（，+∞）递减，可得y＝﹣（x）2的最大值为，此时x，则a，即a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．11．已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线x2＝y上，其中一条边所在直线的斜率为，则△ABC的三个顶点的横坐标之和为．【分析】设出点A，B，C的坐标，根据题意，利用两点之间斜率的关系表示出横坐标与斜率的关系，再由三角形为等边三角形，得到另外两边的斜率大小，进而表示出a+b+c，再由正切的和差角公式展开计算得答案．解：设点A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），则，，，不放设，且直线AB的倾斜角为α，又△ABC为等边三角形，则，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查直线斜率的求法以及正切和差角公式的运用，考查推理能力及计算能力，属于中档题．12．定义函数f（x）＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则a n＝．【分析】当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，{x{x}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，则由此可求得a n．解：由题意得：当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，{x{x}}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，所以，当x∈（0，1]时，{x{x}}有1个；当x∈（1，2]时，{x{x}}有2个；当x∈（2，3]时，{x{x}}有3个；……，当x∈（n﹣1，n]时，{x{x}}有n个．所以x∈（0，n]时，{x{x}}共有1+2+3+……+n个数．故．故答案为：．【点评】本题考查新定义问题，注意分析x{x}所在的区间长度，从而确定{x{x}}的个数．考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2+b≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解：当b≥0时，a2+b≥0成立．当a＝3，b＝﹣1时，满足a2+b≥0成立，但b≥0不成立．∴“b≥0”是“a2+b≥0”充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】将大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为A n，B n，令A n+B n＝8，求n即可．【解答】解，设大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为A n，B n，则，{a n}，是以1为首项，2为公比的等比数列，{b n}是以为首项，为公比的等比数列，∴A n2n﹣1，B n1，令A n+B n＝8，即2n﹣1+18，解得n≥4，故选：B．【点评】本题考查了等比数列的前n项和，属基础题．15．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n＝1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则（）A．B．4C．3D．【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．解：椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y＝2cosθsinθ，∴（x+y）max．∴M n2．故选：D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．16．已知函数f（x）＝sin x+2|sin x|，关于x的方程有以下结论：①当a≥0时，方程在[0，2π]内最多有3个不等实根；②当时，方程在[0，2π]内有两个不等实根；③若方程在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为15π．④若方程在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（）A．②④B．①④C．①③D．①②③【分析】先研究f（x）在[0，2π]内的图象，求其值域，进而研究方程两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．解：由已知得f（x）＝sin x+2|sin x|，做出图象如下：由得：.．显然a≥0，∴t1≥1，t2＜0（舍）．原方程的根看成y＝t1与y＝f（x）的交点的横坐标．对于①，如图所示：因为t1≥1，当a＝0时，t1＝1，y＝t与y＝f（x）恰好有三个交点；当a＞0时，分别有2个、1个、0个交点，故①正确；对于②，结合①可知，a＝0时，有3个根，故②错误；对于③，如图所示，由题意，只能满足：y＝t1只与y＝f（x）在[0，π]，[2π，3π]，[4π，5π]上的图象各有两个交点．易知这六个零点分别关于对称，所以六个根的和为：．故③正确，④错误．故正确命题的序号是①③．故选：C．【点评】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°．（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的大小；（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．【分析】（1）由A1A⊥平面ABCD，A是垂足，得∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，由此能求出A1C与平面ABCD所成的角的大小．（2）由A1C1∥AC，得∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，由此能求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小．解：（1）设AB＝1，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°，∴AB1＝2，BB1，AC，∵A1A⊥平面ABCD，A是垂足，∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，∵tan∠A1CA，∴∠A1CA＝arctan．∴A1C与平面ABCD所成的角的大小为．（2）∵A1C1∥AC，∴∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，∵AB1＝B1C＝2，AC，∴cos∠B1CA，∴∠B1CA＝arccos．∴异面直线B1C与A1C1所成角的大小为arccos．【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知函数．（1）若函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，求a的最小值；（2）若存在，使mf（x0）﹣2＝0成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f（x）化成，最后根据正弦函数的对称性求出对称轴，求出a的最小值即可；（2）根据的范围求出2x0的范围，再结合正弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出m的范围．解：（1）因为所以函数f（x）的图象的对称轴由下式确定：从而．由题可知当k＝0时，a有最小值；（2）当时，，从而，则f（x0）∈[﹣1，2]由mf（x0）﹣2＝0可知：m≥1或m≤﹣2．【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，以及正弦函数的值域，属于基础题．19．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈一、选择题*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？【分析】（1）由题意知p（t），t∈N，（k为常数），再由p（2）＝560求得k，则p（t）可求，进一步求得p（6）得答案；（2）由Q，可得Q，分段求最值得答案．解：（1）由题意知p（t），t∈N，（k为常数），∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝560，∴k＝10，∴p（t），∴p（6）＝1200﹣10（10﹣6）2＝1040；（2）由Q，可得Q，当2≤t＜10时，Q＝6[140﹣10（）]≤6（140﹣10×12）＝120，当且仅当t＝6时等号成立；当10≤t≤20时，Q384﹣360＝24，当t＝10时等号成立，∴当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．20．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，证明为定值，并求出这个定值；（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得k与P的横纵坐标的关系，再由P在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2与P的坐标的关系，进而可得为定值﹣8；（3）设P的坐标，由（1）可得焦点F1，F2的坐标，求出直线PF1，PF2的方程，由角平分线的性质，M到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m与P的横坐标的关系，再由P在椭圆上可得P的横坐标的取值范围求出m的范围．解：（1）由于c2＝a2﹣b2，将x＝﹣c代入椭圆方程，得．由题意知，即a＝2b2．又，a2＝b2+c2，所以a＝2，b＝1．所以椭圆C的方程为．（2）设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l的方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）．联立得，整理得由题意得△＝0，即．又，所以，故．又知，所以，因此为定值，这个定值为﹣8．（3）设P（x0，y0）（y0≠0），又，，所以直线PF1，PF2的方程分别为，．由题意知．由于点P在椭圆上，所以．所以．因为，﹣2＜x0＜2，可得，所以，因此．【点评】本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合及角平分线的性质，属于中档题．21．（18分）对于无穷数列{a n}、{b n}，n∈N*，若b k＝max{a1，a2，…，a k}﹣min{a1，a2，…，a k}，k∈N*，则称数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．其中max{a1，a2，…，a k}、min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大项和最小项．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是数列{a n}的“收缩数列”．（1）若a n＝3n﹣1，求数列{b n}的前n项和；（2）证明：数列{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n，求所有满足该条件的数列{a n}．【分析】（1）判断{a n}为递增数列，由“收缩数列”的定义求得b n＝3n﹣3，再由等差数列的求和公式，可得所求和；（2）由题意可得max{a1，a2，…，a n}≤max{a1，a2，…，a n+1}（n＝1，2，3，…），min{a1，a2，…，a n}≥min{a1，a2，…，a n+1}（n＝1，2，3，…），推得b n+1≥b n（n＝1，2，3，…），结合“收缩数列”的定义，即可得证；（3）由题意计算a1，a2，a3，猜想：满足的数列{a n}是：．n∈N*，再由反证法，通过推理论证得到矛盾，即可得到结论．解：（1）由a n＝3n﹣1，可得{a n}为递增数列，所以b n＝max{a1，a2，…，a n}﹣min{a1，a2，…，a n}＝a n﹣a1＝3n﹣1﹣2＝3n﹣3，故{b n}的前n项和为；（2）证明：因为max{a1，a2，…，a n}≤max{a1，a2，…，a n+1}（n＝1，2，3，…），min{a1，a2，…，a n}≥min{a1，a2，…，a n+1}（n＝1，2，3，…），所以max{a1，a2，…，a n+1}﹣min{a1，a2，…，a n+1}≥max{a1，a2，…，a n}﹣min{a1，a2，…，a n}，所以b n+1≥b n（n＝1，2，3，…），又因为b1＝a1﹣a1＝0，所以max{b1，b2，…，b n}﹣min{b1，b2，…，b n}＝b n﹣b1＝b n，所以{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）由，可得当n＝1时，a1＝a1；当n＝2时，2a1+a2＝3a1+b2，即b2＝a2﹣a1，所以a2≥a1；当n＝3时，3a1+2a2+a3＝6a1+3b3，即3b3＝2（a2﹣a1）+（a3﹣a1）（*），若a1≤a3＜a2，则b3＝a2﹣a1，所以由（*）可得a3＝a2，与a3＜a2矛盾；若a3＜a1≤a2，则b3＝a2﹣a3，所以由（*）可得a3﹣a2＝3（a1﹣a3），所以a3﹣a2与a1﹣a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；若a3≥a2，则b3＝a3﹣a1，由（*）可得a3＝a2．猜想：满足的数列{a n}是：．n∈N*，经验证，左边，右边．下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件．由上述n≤3时的情况可知，n≤3时是成立的．假设a k是首次不符合的项，则a1≤a2＝a3＝…＝a k≠a k，﹣1由题设条件可得（*），若a1≤a k＜a2，则由（*）式化简可得a k＝a2与a k＜a2矛盾；若a k＜a1≤a2，则b k＝a2﹣a k，所以由（*）可得，所以a k﹣a2与a1﹣a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k＝a k﹣a1，所以由（*）化简可得a k＝a2．这与假设a k≠a2矛盾．所以，所有满足该条件的数列{a n}的通项公式为，n∈N*．【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查列举法和反证法的运用，以及化简运算能力、推理能力，是一道难题．。
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C. D.
14.在Rt 中， ，点 、 是线段 的三等分点，点 在线段 上运
动且满足 ，当 取得最小值时，实数 的值为（）
A. B. C. D.
15.直线 与圆 交于 、 两点，且 ，过点 、 分别作 的垂线与 轴交于点 、 ，则 等于（）
A. B.4C. D.8
16.已知数列 的首项 ，且 ， ， 是此数列的前
宝山2018届高三二模数学卷
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.设全集 ，若集合 ， ， .
2.设抛物线的焦点坐标为 ，则此抛物线的标准方程为.
3.某次体检， 位同学的身高（单位：米）分别为 ， ， ， ， ， ， ， ，则这组数据的中位数是(米）.
13.“ ”是“ ”的（）
充分不必要条件． 必要不充分条件．
充要条件． 既不充分也不必要条件．
14.在 的二项展开式中，常数项等于（）
15.若函数 满足 、 均为奇函数，则下列四个结论正确的是（）
为奇函数 为偶函数
为奇函数 为偶函数
16.对于数列 若使得 对一切 成立的 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。设函数 及数列 且 ，若
（3）在（2）的条件下，设过点 的直线 与 交于 两点，求 的面积最大值。
21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
设 （这里的 且 ）
（1） 成等差数列，求 的值。
（2）已知 是公比为 的等比数列， ，是否存在正整数 ，使得 ，且 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由。
项和，则以下结论正确的是（）
A.不存在 和 使得 B.不存在 和 使得
C.不存在 和 使得 D.不存在 和 使得
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形， ， ，高等于3，
点 、 、 、 为所在线段的三等分点.
19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为 （单位：千克/年）养殖密度为 （单位：尾/立方分米）。当 不超过 时， 的值恒为 ；当 ， 是 的一次函数，且当 达到20时，因养殖空间受限等原因， 的值为0.
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点 在侧棱 上，且 ， 为侧棱 的中点.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小.
18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
设 为关于 的方程 的虚根， 为虚数单位。
（1）当 时，求 的值
（2）若 ，在复平面上，设复数 所对应的点为 ，复数 所对应的点为 ，试求 的取值范围。
，它的外接球是球 ，则 、 这两点的球面
距离等于
10.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 ，则此椭圆的
内接矩形的面积的最大值为
11. 是不超过 的最大整数，则方程 满足 的所有实数解是
12.函数 ，对于 且 （ ），记 ，则
的最大值等于
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.下列函数是奇函数的是（）
（1）当 时，求函数 的表达式。
（2）在（1）的条件下，求函数 的最大值。
20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为双曲线 的右顶点，直线 与 的一条渐近线平行。
（1）求 的方程
（2）如图， 为 的左右焦点，动点 在 的右支上，且 的平分线与 轴， 轴分别交于点 ，试比较 与 的大小，并说明理由。
，则当 时，下列结论正确的应为（）
数列 的“准最大项”存在，且为 。
数列 的“准最项”存在，且为 。
数列 的“准最大项”存在，且为 。
数列 的“准最大项”不存在。
三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17.本题满分14分，（本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
3.已知 ， ，则
4.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 、 、 ，则
5.已知函数 ，则
6.从集合 随机取一个为 ，从集合 随机取一个为 ，则方程
表示双曲线的概率为
7.已知数列 是公比为 的等比数列，且 、 、 成等差数列，则
8.若将函数 表示成 ，则 的值等于
9.如图，长方体 的边长 ，
4.函数 的最小正周期为.
5.已知球的俯视图面积为 ，则该球的表面积为.
6.若线性方程组的增广矩阵为 的解为 ，则 .
7.在报名的 名男生和 名女生中，选取 人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）
8.设无穷数列 的公比为 ，则 ，则 .
9.若 满足 ，则 .
10.设奇函数 定义为 ，且当 时， （这里 为正常数）．
（3）如果存在正常数 ，使得 对于一切 的成立，那么称数列 有界，已知 为正偶数，数列 满足 ，且 证明：数列 有界的充要条件是 。
参考答案
1、 2、 3、1.72 4、 5、 6、9
7、1688 8、 9、 10、 11、 12、
13-16、BACB
17、（1）2；（2）
18、（1） ， ；（2）
若 对一切 成立，则 的取值范围是.
11.如图，已知 为矩形 内的一点，满足 ，
则 的值为.
12.将实数 中的最小值记为 ，在锐角 ， ，点 在 的边上或内部运动，且 ，由 所组成的图形为 .设 的面积为 ，若 ，则 .
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
19、（1） ；（2） 千克/立方分米
20、（1） ；（2） ；（3）
21、（1） ；（2） 或 ；（3）证明略
上海市虹口区2018届高三二模数学试卷
2018.04
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.已知 ， ，且 ，则实数 的范围是
2.直线 与直线 互相平行，则实数