算法学习：图论之二分图的最优匹配(KM算法)

二分图的最优匹配（KM算法）
KM算法用来解决最大权匹配问题：在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。

基本原理
该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。

设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。

在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是
Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。

这个定理是显然的。

因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。

所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。

如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。

这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。

现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。

也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。

也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。

它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。

也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

（针对之后例子中x1->y4这条边）
现在的问题就是求d值了。

为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：
Min{A[i]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

改进
以上就是KM算法的基本思路。

但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。

实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。

我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。

在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。

这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y 顶点的slack值中的最小值作为d值即可。

但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d（因为：d的定义为 min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y∉ T }
（关键，关键），此时属于S的X均已经减去d了，所以不属于T的y也要减去d，防止下次循环更改出错）。

Kuhn－Munkras算法流程：
(1)初始化可行顶标的值
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止
例
已知K5,5的权矩阵为
y1 y2 y3 y4 y5
x1 3 5 5 4 1
x2 2 2 0 2 2
x3 2 4 4 1 0
x4 0 1 1 0 0
x5 1 2 1 3 3
求最佳匹配，其中K5,5的顶划分为X={xi},Y={yi},i=1,2,3,4,5.
解：
(1)取可行顶标l(v)为 l(yi)=0,i=1,2,3,4,5；
l(x1)=max{3,5,5,4,1}=5,l(x2)=max{2,2,0,2,2}=2,l(x3)=max(2,4,4,1,0}=4,l(x4)=max{0,1,1,0,0} =1,l(x5)=max{1,2,1,3,3}=3.
(2) Gl及其上之匹配见图7.12。

这个图中ο(G-x2)=3,由Tutte定理知无完备匹配。

需要修改顶标。

(3) u=x4,得S={x4,x3,x1},T={y3,y2},N(S)=T,于是
al=min(l(x)+l(y)-w(xy)}=1. (x∈S,y∈T)
x1,x2,x3,x4,x5的顶标分别修改成4,2,3,0,3；y1,y2,y3,y4,y5的顶标分别修改成0,1,1,0,0。

(4) 用修改后的顶标l得Gl及其上面的一个完备匹配如图7.13。

图中粗实线给出了一个最佳匹配，其最大权是2+4+1+4+3=14。

我们看出：al>0；修改后的顶标仍是可行顶标；Gl中仍含Gl中的匹配M；Gl中至少会出现不属于M的一条边，所以会造成M的逐渐增广。

得到可行顶标后求最大匹配：
书上这部分没讲，实际上是这样的，对于上面这个例子来说，通过Kuhn-Munkres得到了顶标l(x)= {4,2,3,0,3},l(y)={0,1,1,0,0},那么，对于所有的l(xi)+l(yj) = w(i,j)，在二分图G设置存在边
w(i,j)。

再用匈牙利算法求出最大匹配，再把匹配中的每一边的权值加起来就是最后的结果了。

例2
如图：
| 1 2 3 |
| 3 2 4 |
| 2 3 5 |
若要对这个完全二分图求最佳匹配
初始化：
Lx(1)= max{ y| w(1,y), 1<= y<= 3 }= max{ 1, 2, 3 }= 3, Ly(1)= 0
Lx(2)= max{ 3, 2, 4 }= 4, Ly(2)= 0
Lx(3)= max{ 2, 3, 5 }= 5, Ly(3)= 0;
我们建立等价子图( 满足Lx(x)+ Ly(y)== W(x,y) ) 如下：
对于该图，运用匈牙利算法对X 部顶点 1 求增广路径，得到一个匹配，如图( 红色代表匹配边)：
对X 部顶点2 求增广路径失败，寻找增广路径的过程为X 2-> Y 3-> X 1。

我们把寻找增广路径失败的DFS 的交错树中，在X 部顶点集称之为S，在Y 部的顶点集称之为T。

则S= { 1, 2 }，T= { 3 }。

现在我们就通过修改顶标值来扩大等价子图，如何修改。

1) 我们寻找一个d 值，使得d= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y∉ T }，因些，这时d= min{
Lx(1)+Ly(1)-W(1,1), Lx(1)+Ly(2)-W(1,2), Lx(2)+Ly(1)-W(2,1), Lx(2)+Ly(2)-W(2,2) }=
min{ 3+0- 1, 3+0-2, 4+0-3, 4+0-2 }= min{ 2, 1, 1, 2 }= 1。

寻找最小的d 是为了保证修改后仍满足性质对于边<x,y> 有Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)。

2) 然后对于顶点x
1. 如果x∈S 则Lx(x)= Lx(x)- d。

2. 如果x∈T 则Ly(x)= Ly(x)+ d。

3. 其它情况保持不变。

如此修改后，我们发现对于边<x,y>，顶标Lx(x)+ Ly(y) 的值为
1. Lx(x)- d+ Ly(y)+ d，x∈S, y∈ T。

2. Lx(x)+ Ly(y)， x∉ S, y∉ T。

3. Lx(x)- d+ Ly(y)，x∈ S, y∉ T。

4. Lx(x)+ Ly(y)+ d，x∉ S, y∈ T。

易知，修改后对于任何边仍满足Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)，并且第三种情况顶标值减少了d，如此定会使等价子图扩大。

就上例而言: 修改后Lx(1)= 2, Lx(2)= 3, Lx(3)= 5, Ly(1)= 0, Ly(1)= 0, Ly(2)= 0, Ly(3)= 1。

这时Lx(2)+Ly(1)=3+0=3= W(2,1)，在等价子图中增加了一条边，等价子图变为：
如此按以上方法，得到等价子图的完美匹配。

另外计算 d 值的时候可以进行一些优化。

定义slack(y)= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y)，x∈ S, y∉ T }
这样能在寻找增广路径的时候就顺便将slack 求出。