中考数学复习一数与式复习重点、难点教学重点实数的有关概念与

中考数学复习一数与式复习重点、难点教学重点：实数的有关概念与实数的运算；代数式概念运算以及简单应用，代数式的恒等变形及化简求值。

教学过程:知识点回顾：（一）实数1.实数的有关概念［知识要点］（1）实数分类”正整数整数*零负整数实数严数'分数正分数负分数I无理数 - 无限不循环小数实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。

解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。

特别要注意0是自然数。

（2）数轴数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

实数与数轴上的点是对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（3）绝对值a （a>0）绝对值的代数意义：|a| = $ 0 （a = 0）-a （a v0）绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。

（4）相反数、倒数相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。

“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是 1 ”的特性常作为计算与变形的技巧。

（5）三种非负数|a|、a2、•.a（a—0）形式的数都表示非负数。

“几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。

（6）平方根、算术平方根、立方根的概念2.实数的运算［知识要点］（1）实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幕的运算。

（2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。

（3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。

（4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为 a 10n（其中仁|a|：：：10, n 为整数）。

（5）实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。

常用方法：①数轴图示法。

②作差法。

③ 平方法等。

（二）代数式1•代数式概念、运算以及简单应用［知识要点］（1）代数式的分类' ' '单项式整式\ 有理式丫 |多项式代数式=分式、无理式（2）各类代数式的概念单项式、多项式、整式、分式、有理式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。

（3）代数式有意义的条件分式有意义的条件是分式的分母不为零；分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零。

二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。

由实际意义得到的代数式还要符合实际意义。

（4）代数式的运算整式的加、减、乘、除、乘方运算，整式的添括号、去括号法则；分式的加、减、乘、除四则运算；二次根式的加、减、乘、除四则运算。

2•代数式的恒等变形［知识要点］（1）添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法。

（2）公式可正用、逆用、变用，因此公式可用于代数式恒等变形，特别是乘法公式，它是代数式恒等变形的重要工具。

（3）因式分解是多项式乘法的逆变形，常作为代数式恒等变形的工具使用。

因式分解主要有两种基本方法：提取公因式法，运用公式法。

要注意方法的灵活选取和综合运用。

（4）待定系数法、配方法等都可应用代数式的恒等变形。

特别要注意待定系数法使用的前提条件是“恒等式”。

3•代数式的化简求值［知识要点］（1）含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性。

（2）整式化简求值时要注意以下两点：①运用公式时，要从全局出发，有时要把某个部分看成一个整体；②灵活运用配方、换元、整体代换等方法。

（3）分式的化简求值一般可先对分子、分母的多项式因式分解、约分，再运用分式的性质化简计算。

（4）在给定字母的取值范围的情况下，对二次根式进行化简。

典型例题例1.已知x 、y 是实数，且满足 （X - 4） 2 • y _1 =0，求x+2y 的值。

解：因为（X -4）2_ 0, y - 1 _ 0又（x 一4）2. y -1 =0 所以（x - 4） 0， . y -1 = 0 所以x =4，y =1 所以 x 2y 4 2 1=6说明：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可求出x 、y 的值，从而问题可解。

例2. 2005年10月中旬，我国“神舟六号”载人飞船准确进入预定轨道，飞船返回地面， 期间飞船绕地球共飞行了76圈，飞行路程约为 324万千米，用平常记数法表示，结果保留三位有效数字，则“神舟”六号飞船绕地球平均每圈约飞行（）A. 4.28 105千米 B. 4.26 105千米 C. 4.28 1C 6千米D. 4.26 106千米简析：32万千米=3 24 00千米03 2 4P00E 0 7 6, 426316保留三位有效数字用科学记数法表示为4.26 105。

解：选B 。

说明：运用近似数和有效数字表示生活中的数据问题，是新课标的主要内容之一。

本 题综合运用了近似数、有效数字、科学记数法等知识。

例3.计算:6 ( -152)d ( -1.52)3-18 =——9说明：进行计算时，首先要注意观察题目中有哪几种运算，思考有无简便方法，然后 确定运算顺序。

注意遇到同一级运算时，应按自左向右的顺序进行计算，并要随时检查运例4.比较下列实数大小:解:=4 9(-2)算结果的符 号。

(1) —兰与28-9； ( 2)1435 与4、2解：(1)解1(作差法)：19 9 19-9 2 1 门因为028 14 28 2819 9所以>28 1419 9因此—< -因此28 14解2 (作商法)：1928 19 14 19 “因为28 1928 9 181419 9所以—28 1419 9因此__28 14(2)解1 (平方法)：因为(3.5) 2=45,( 4.3) 2=48又45 :: 48, 3 5 0, 4、3 0所以 3 5 :: 4.3解2 (比较被开方数法)：因为 3 5 = . 32 5 = - 45，41 3 = •. 423 = - 48又48 45所以.48 •、45因此43 3 5说明：比较两个分数的大小，还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。

例5.分解因式:(1) (2) (3) 解： 22')2； -8xy 3 16y 4。

2 (1 -x ) 26a (x (x -1) (x -1) 22 (1 -x)6a (x -1)16x 2 - (x 24) 2 2x y(1)=2=2 16x 2 - (x -(x(4x x 2' 4) -(x 2 4x 4)-(x 2)2(x(2) :(4x)-1) 2[1 3a (x -1) 2 (3ax-3a - 1)4) 24) 2(4x -x 2-4) (x 2-4x 4) -2) 2(3) x 2y 2「8xy 316y 4二 y 2 (x 2 -8xy 16y 2) = y 2[x 2 -8xy (4y ) 2]y 2 (x _4y ) 2说明：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题 需要综合运用几种方法。

分解因式一定要彻定。

6.已知x 1 =2 . 3，求 x 4 1 -:的值。

x X 解:4 1 / 2 1、 2 - x 4 - （ x 2 ） -2x x=[（X 丄）2-2]2 -2=[(2.3) 2 -2]2 -2=102-2 =98说明：此题是反复运用完全平方公式，把 使问题得解。

这是条件求值问题的一个基本思路。

例7.当x 取何值时，下列分式有意义？分式的值等于零？X 2 -3x+2(1) 丁x +2x-3简析：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且 分母不等于零时，分式的值等于零。

x 2 _ 3x + 2（2）当分母x 2 • 2x - 3 = 0 ,即卩x = 1且x = -3时，分式 飞 有意义。

x +2x — 32x - 3x 2 二 0 < 1 二 2x 2x - 3 = 0 ：： 2由：：：1 -解得x =1或x = 2由：:解得x = 1且x 一3x 3x 2所以，当x=2时，分式 2的值等于零。

X 2 +2x -3说明：(1)讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简 后的分式讨论。

(2) 讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行。

(3) 在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件。

例8•实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别是 A 、B 、C ,其位置如图所示。

试化简:11 X 4变形为关于X •—的代数式，从而xx解：根据题意，得|c|-|c b| |a -c「|b a|。

22B C . A―> ----- _I ----- 1 --- - --- >0 1解：由图可知：a 0, b :: 0, c ：：0, b c , |b| |a|, |c| ：：|a|所以|c| = _c , |c b| c- b|a _c| = a _c, |b a|= _b 「a所以|c|-|c b| |a _c| |b a|=-c c b a -c -b -a =-C说明：这类绝对值化简问题，关键是脱去绝对值的符号，转化为一般的实数运算，而 脱去绝对值的符号，又得先判定绝对值符号中各个数的正负性，本题无论是数形结合还是 绝对值问题的化简都很有代表性。

L 2例 9.化简：a -6a 9 |^ 4|，其中 3 ：：： a 4。

解：、a 2-6a 9 |a -4|二.(a 一3) 2 |a -4|=|a - 3| |a - 4| 因为 3 ::: a ::: 4 所以a 2 -6a 9 |a -4|=|a - 3| |a -4|二 a 「3 4「a =1说明：化简二次根式，往往把被开方数化为完全平方式，根据二次根式性质.a2=|a|化去根号，转化为绝对值问题，然后再根据绝对值定义化去绝对值符号。

(a 1)(a 1)22 1)2 2说明：对于分式条件求值问题，要特别注意求得的未知数的值应使原分式有意义。

例11.现定义两种运算 “二”“：”对任意两个整数 a,b21 a + 3 例10.已知实数a 满足a 2• a - 2 = 0，求 2—a+1 a -1a^ - -2 a 2 -1 = 0,所以a 二1舍去 a 2- 2a 12的值。

解：由a 2 7-2=0，解得印=1,因为当a =1时，1a 11_a 11a 3 a 2-12a 4a 3 a 3(a-1) 2(a 1)(a -1) a — 1(a 3(a 1)当a - -2时，原式a 二b=a b-1, a：b=ab-1求4 ：［（6 二8）二（3：5）］的值。

解：由 a 二b=a b-1 知 6 二8=68-1=13 由a：b=ab-1知3：5=3 5-1=14.4 ：［（6 二8）二（3：5）］=4 1（13 二14）=^4 1（13 14 -1）=4 ：26=4 26 -1= 103例12.请你将1， 1 1—? 一1 1—? 1--按一定规律排列如下2 3 4 5 6第1行11 1第2行—2 3第3行1 1 14 5 61 1 1 1第4行―—7 8 9 10第5行1 1 1 1 111 12 13 14 151 1 1 1 1 1第6行—16 17 18 19 20 21则第20行第十个数是多少？解：观察①每行的数的个数与行数相同；②每个数的分母都是自然数呈递增趋势；③ 分母为偶数的数为负数；④每行最后一个数的分母是每行个数之和。