结构动力学习题解答一二章
结构动力学习题解答一二章
2、 动量距定理法
适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析;
(2) 利用动量距定理J ,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法:
;
1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,
解:由齿轮转速之间的关系 得角速度 ;转角 ;
系统的动能为:
CA
;B D
图1-36
系统的势能为:
;
系统的机械能为
;
由 得系统运动微分方程
;
适用范围:所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1)设系统的广义坐标为 ,写出系统对于坐标 的动能T与势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;
(2)由格朗日方程 =0,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
1、2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。
方法一:衰减曲线法。
求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值 、 。
(2)由对数衰减率定义 , 进一步推导有
,
因为 较小,所以有
。
方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。
;L/2L/2
则固有频率为:
图1-33(b)
结构动力学题解(1)
FN 力所作的虚功：
Y (t ) F δY = N Y δY = kG * Y δY 2l 2l 3 广义质量 m* = m l 4 广义劲度 k * = k 1 广义阻尼 c* = (c1 + c2 ) 4 3 广义载荷 F * (t ) = lq(t ) 4 F 广义几何劲度 kG * = N 2l F * 组合广义劲度 k * = k * − kG = k − N ，欧拉临界力 FNcr = 2lk 2l δWn = FN
代入 y1 ，经整理得：
广义质量 m* =
m 3
广义劲度 k * =
广义阻尼 c* = c
广义载荷 F * (t ) =
5、试列出图(a)与(b)所示系统的运动方程，并计算各系数(不考虑阻尼的影响) (a)
F(t)
m
m
EI 常数
l
[解] 取质体的水平位移为 Y ，水平虚位移为 δY 质体上的惯性力
h
答图
(c) 解：单位力单独作用下的位移
δ1 =
l3 3EI =δ
题图
由质体 m 的竖向位移关系可知：
(1 − Fs0 )δ1 = Fs0
k
由上式解出：
Fs 0 =
kδ1 1 + kδ1
δ=
δ1 l3 = 1 + kδ1 3EI + kl 3
答图
其自振频率：
ω=
1 3EI + kl 3 = mδ ml 3
k1
Fs1
EI = ∞
结构动力学-习题解答
7-1（a)试求图示体系的自振频率与周期。
解
11
5 48
l3 EI
;
3.098
EI ml 3
;
l/2
T 2.027
ml 3 ;
7-6 某结构在自振10个周期后，振幅降为原来初始位移的10% （初位移为零），试求其阻尼比。
解： 1 ln10 0.0366 2 10
8-1试求图示梁的自振频率和振型。 m
y1(t)
解
EI 2m
a
a
y2
(t
)
a
12
21
1 4
a3 EI
a
I 2 m 0
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2
1 1.153
a/2
2 0.181
令
1
11m1
2
1 1/ 2
0
1/ 4 1/3 2 4 / 3 5 / 24 0
x11 / x21 3.277; x12 / x22 0.61
;
9l / 64 (a)
5l / 32
11.817
EI ml 3 ;
l/2
T 0.531
ml3 ;
(b)
EI
7-1（c)试求图示体系的自振频率与周期。
m 刚性杆
解 由右面竖杆的平衡可求出铰处约束力。
EI
由水平杆的平衡：
结构动力学习题答案
3.4
m2 g k
( m1 + m2 ) u (0) = m2 2 gh
即 u (0) =
i
i
m2 2 gh m1 + m2
动力方程： ( m1 + m2 )( u − ust )′′ + K ( u − ust ) = 0
5 .0 1 = u st 2ξ
(1)
当 w wn = 1 时，发生共振有： Rd 1 =
当 w wn = 1 10 时， Rd 1 =
0 .5 = u st
(1 − 0.1 ) + (2ξ × 0.1)
2 2
1
(2)
2
由式(1),(2)可以解得 ξ = 4.95%
3.6 解：
TR =
[1 − (w w ) ] + [2ξ w w ]
ii
ii
ii
ii
ii
δ Wp = −m2 g sin θ i Lδθ
虚 功原理： δ Ws
+ δ WI + δ W D +δ W p = 0 得：
⎡ m1 + m2 ⎢ mL ⎣ 2
2.6 解：
ii ⎫ ⎧i⎫ m2 L ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎪ u ⎪ ⎡C 0 ⎤ ⎪ u ⎪ ⎡ k 0 ⎤ ⎧ u ⎫ ⎧ +⎢ ⎨ i ⎬+ ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎨ ii ⎬ m2 L ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎩θ ⎭ ⎩−m2 g sin θ i L ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
结构动力学1~15
《结构动力学》习题答案1~151． 1简述求多自由度体系时程反应的振型叠加法的主要步骤 答1）建立多自由度体系的运动方程)()()()(t p t kv t v c t vm =++ 2）进行振型和频率分析对无阻尼自由振动，这个矩阵方程能归结为特征问题)(ˆ2t p vm k =-ω 由此确定振型矩阵φ和频率向量ω 3）求广义质量和荷载依次取每一个振型向量n φ，计算每一个振型的广义质量和广义荷载n T n nm Mφφ= )()(t p t p Tn n φ=4）求非耦合运动方程用每个振型的广义质量、广义力、振型频率n ω和给定的振型阻尼比n ξ就能写出每一个振型的运动方程2)(2)(ωωξ++t Y t Y n n n n nn nMt P t Y )()(=5）求对荷载的振型反应根据荷载类型，用适当的方法解这些单自由度方程，每一个振型的一般动力反应表达式用Duhamel 积分给出ττωτωξτωd t t P M t Y Dn n n tn nn n )(sin )](exp[)(1)(0---=⎰写出标准积分形式τττd t h P t Y n tn n )()()(0-=⎰式中)](exp[)(sin 1)(τωξτωωτ---=-t t M t h n n Dn nn n 10<<n ξ6）振型自由振动每一个振型有阻尼自由振动反应的通式为)exp[]sin )0()0(cos )0([)(t t Y Y t Y t Y n n Dn Dnnn n n Dn n n ωξωωωξω-++=7）求在几何坐标中的位移反应通过正规坐标变换求几何坐标表示的位移式)()()()(2211t Y t Y t Y t V n n φφφ+++=显然，它反映了各个振型贡献的叠加。
因此命名为振型叠加法。
8）弹性力反应抵抗结构变形的弹性力)()()(t Y k t kv t f s φ==当频率、振型从柔度形式的特征方程中求出时，可以采用另一种弹性力的表达式。
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统1。
1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案结构动力学学习题答案结构动力学是土木工程中的一个重要分支，它研究结构在受到外部荷载作用下的响应和变形规律。
在学习结构动力学的过程中，我们经常会遇到一些复杂的问题和难题。
下面我将为大家提供一些常见结构动力学学习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
1. 什么是结构的固有频率？结构的固有频率是指结构在没有外部激励作用下，自由振动时的频率。
它是结构的固有特性之一，与结构的质量、刚度和几何形状有关。
固有频率越高，结构的振动越快。
2. 如何计算结构的固有频率？计算结构的固有频率需要先求解结构的固有振型和固有频率。
常用的方法有模态分析法和有限元法。
模态分析法是通过求解结构的特征方程得到结构的固有频率和振型；有限元法则是将结构离散化为有限个单元，通过求解单元的振动特征得到整体结构的固有频率和振型。
3. 结构的固有频率对结构有何影响？结构的固有频率与结构的动态特性密切相关。
当外部激励频率接近结构的固有频率时，会引起共振现象，使结构的振幅急剧增大，从而可能导致结构的破坏。
因此，在结构设计和抗震设计中，需要合理选择结构的固有频率，以避免共振现象的发生。
4. 什么是结构的阻尼？结构的阻尼是指结构在振动过程中能量损耗的程度。
阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼。
线性阻尼是指结构的阻尼与结构的振幅成正比，非线性阻尼则是指结构的阻尼与结构的振幅不成正比。
5. 如何考虑结构的阻尼？在结构动力学分析中，通常会考虑结构的阻尼对结构响应的影响。
常用的阻尼模型有粘滞阻尼模型和柱塞阻尼模型。
粘滞阻尼模型是指结构的阻尼与结构的速度成正比；柱塞阻尼模型是指结构的阻尼与结构的速度平方成正比。
根据结构的实际情况和要求，可以选择适当的阻尼模型进行分析。
6. 结构的地震反应分析中常用的方法有哪些？在结构的地震反应分析中，常用的方法有等效静力法、响应谱法和时程分析法。
等效静力法是一种简化的方法，将地震作用等效为静力作用进行计算；响应谱法是一种基于地震响应谱的方法，通过将地震作用转化为结构的响应谱进行计算；时程分析法是一种基于地震时程的方法，通过模拟地震过程对结构进行动力响应分析。
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于是
F0 sin - c A2 0
进一步得：
A F0 sin c ；
（3） 当n 时， sin 1 ，
则
Amax xst 2 ，
得
max 1 2 , 2 max 。
1.4 求图 1-35 中标出参数的系统的固有频率。
（1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为 k1、简支梁
谷的幅值 Ai 、 Ai1 。
（2）由对数衰减率定义 ln( Ai ) ， Ai1
进一步推导有
2 ， 1 2
1
结构动力学习题解答
因为 较小， 所以有 。 2
方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：
单自由度系统的幅频曲线 （2）分析以上幅频曲线图，得到：
刚度为
k2
48EI L3
；
等效刚度为 k;有 1 k
1 k1
1 k2
；
m
k 1 48EIk
1 k1
1 k2
48EI k1l 3
L/2
L/2
则固有频率为： k
48EIl 3
；
m
48EI k1l 3 m
（2）此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为:
k
k1
48EI l3
;
则固有频率为: k k1l 3 48EI
（2） 利用牛顿第二定律 m x F ,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；
（2） 利用动量距定理 J M ,得到系统的运动微分方程；
l
k1
1 2
l
）=
1 2
ml
2
得：
k1 0 ， 2m
则
k1 。
2m
m
k1
k1
图 1-33（d）
1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮 A 半径 R,重物 B 的重量为 P/2,弹簧刚度为 k.
解：以 为广义坐标，则
系统的动能为
T
T重物
T轮子
1（m）x 2
2
1 2
I 0 2
A k
1（ P ）x2 1 ( 1 P R 2 ) x 2 P x 2 P x 2
4
2
由 d T U 0 得系统运动微分方程
dt
得系统的固有频率
3 Mx Kx 0 ； 2
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能 T 和势能 U
的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const
（2）将能量守恒定理 T+U=Const 对时间求导得零,即 d (T U ) 0 ，进一步得到系
2 2g
2 2 g R 4g 4g
图 1-34 B
P x 2
0
2g
系统的势能能为： x
U
U 重物
U 弹簧
Px
1 2
kx 2
；
拉格朗日函数为
L=T-U ;
由拉格朗日方程
dt
(
L x)L x Nhomakorabea0
得
4
结构动力学习题解答
P x kx 0 g
则，
0 =
kg P
kg
所以：系统的固有频率为
P
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度
当单自由度系统在正弦激励 F0 sin t 作用下其稳态响应为：
x A sin( t ) ,
其中：
A
F0
x st
；
m
2 n
2 0
4n 2 2
1 2 4 2 2
(1)
arctan2 /1 2
(2)
2
结构动力学习题解答
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比 。
为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R
x
M
图 1-35
T平动
1 2
Mx 2 ;
T转动
1 2
I
x R
2
1 2
MR2 2
x R
2
;
而势能
T 1 Mx 2 1 Mx 2 3 Mx 2 ；
2
4
4
系统机械能
U 1 Kx 2 ； 2
T U 3 Mx 2 1 Kx 2 C ;
dt
统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波
m
ml 3
图 1-33（a）
m
L/2
L/2
k1
图 1-33（b）
3
结构动力学习题解答
(3)系统的等效刚度为
k
k1
3EI l3
k1
3EI l3
则系统的固有频率为 k k1l3 3EI
m
ml 3
m
k1
k1
图 1-33（c）
（4）
由动量距定理 m0 F I0得：
（
1 2
l
k1
1 2
l
1 2
1,2 max / 2 2 / 4 ；
于是
12
(1
2
)
2 n
；
进一步
2 2
(1
2
)
2 n
；
最后
2 1 / 2n / 2n ；
1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。
方法一：幅频（相频）曲线法
方法二：功率法：
（1） 单自由度系统在 F0 sin t 作用下的振动过程中，在一个周期内，
弹性力作功为
Wc 0 、
阻尼力做功为
W d c A 2 、
激振力做作功为
W f F0 sin ；
（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，
即：
Wc +Wd +W f 0 ；
结构动力学习题解答
第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守 恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：
适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为 ，写出系统对于坐标 的动能 T 和势能 U 的表达式；
进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；
（2）由格朗日方程
dt
(
L
)
L
=0，得到系统的运动微分方程；