第2章 信号分类及频谱分析
第二章信号的分类及频谱分析
第二章信号的分类及频谱分析信号是指携带有其中一种信息或者表达其中一种含义的波形或者序列。
信号可以被广泛应用于通信、控制、图像处理、声音处理等领域。
信号的分类主要有连续时间信号和离散时间信号、模拟信号和数字信号、周期信号和非周期信号等几种。
连续时间信号是在连续时间轴上定义的信号，它的值在任意时刻都可以取得，通常用x(t)表示。
连续时间信号可以按照时间域特性分为有限长信号和无限长信号。
有限长信号在其中一时间区间内取非零值，而在其他区间内始终为零；无限长信号在无穷远处也存在非零值。
离散时间信号是仅在离散的时间点上定义的信号，它的值仅在离散的时间点上有定义。
离散时间信号通常用x[n]表示，其中n为整数。
离散时间信号可以按照时间域特性分为有限长信号和无限长信号。
有限长离散时间信号仅在有限个点上取非零值，而在其他点上始终为零；无限长离散时间信号在正负无穷远处也存在非零值。
模拟信号是连续时间信号的一种特例，它的取值可以无限细致地变化。
模拟信号通常用x(t)表示。
数字信号是离散时间信号的一种特例，它的取值仅在离散的时间点上有定义且只能取有限个值。
数字信号通常用x[n]表示。
周期信号是在时间轴上以一定的周期性重复出现的信号，它可以表示为x(t)=x(t+T)，其中T为周期。
周期信号可以进一步分为连续时间周期信号和离散时间周期信号两种。
非周期信号则是无法用一个固定的周期表示的信号。
通常情况下，任意一个非周期信号都可以用周期信号的加权叠加表示。
频谱分析是研究信号在不同频率上的成分强度分布的方法。
频谱是信号的频率表示，在频谱分析中常用的方法有傅里叶变换、快速傅里叶变换等。
傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的方法，可以将一个信号拆解成一系列频率成分。
傅里叶变换的结果是一个连续变化的频谱，它可以对信号的频率特性进行详细分析。
快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，可以在计算机中快速计算傅里叶变换。
它利用了傅里叶变换中的对称性和周期性，大大提高了计算效率。
第二章信号分析基础(频谱)
（1）
A0 a0
An
an bn
2
2
bn n arctg an
周期信号的频谱分析
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复指数形式： 将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
e j e j cos 2
则：
e j e j sin 2j
带入并合并同类项
a0 an jbn jn0t an jbn jn0t f (t ) [ e e ] 2 n 1 2 2 a0 an jbn jn0t an jbn jn0t e e 2 n 1 2 2 n 1 an jbn jn0t e Cn e jn0t 2 n n
则：c1x1(t)+c2x2(t) ←→ c1X1(f)+c2X2(f)
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
2.4 傅立叶变换的性质 c.对称性
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若 x(t) ←→ X(f)，则 X(t) ←→ x(-f)
证明： 以－t替换t: 以f换t: 所以：
x(t )
∴当T0→∞时，Δω→0 上式变为：
T / 2
0
T0 / 2
f (t )e jn0t dt ]e jn0t
f (t )
＋
1 ＋ [ f (t )e jt dt ]e jt d 2
1 ＋ jt F e d 2
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X ( f )e j 2ft df X ( f )e j 2ft df
x(t )
x( f ) X (t )e j 2ft dt
工程测试技术 第2章 信号分析基础-3
第二章、信号分析基础
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2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
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吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例：方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
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N=1
2.5 信号的频域分析
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用线性叠加定理简化
X1(f)
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5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中，可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析，确定最大频率分量，然后 根据机床转速和传动链，找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率； f0 ―基频：f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
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2.5 信号的频域分析
简明 第2章信号与频谱
随机过程通过线性系统；
高斯白噪声的统计特性。
2.3.1 何谓随机过程？
随机过程可定义为所有样本函数的集合。其在任意时刻上的取值是一个随 机变量，因此又可定义为在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
图2-4 随机过程的样本
2.3.2 数字特征
分布函数或概率密度函数可充分地描述随机过程的统计特性。 数字特征可描述随机过程的基本特性。常用的数字特征有均值、方差和
(
)
lim
T ∞
1 T
T /2
T / 2 s1(t)s2(t )dt
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
T T ∞ T / 2
周期性功率 R( ) 1 T0 / 2 s(t)s(t )dt
信号
T0 T0 / 2
R12
(
)
1 T0
Cn Cn e jn
幅度 Cn 随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱，
相位 n 随频率（nf0）变化的特性称为信号的相位谱。
【例2-1】 一个周期矩形脉冲信号的时域波形与幅度谱如图2-2所示，简 述周期信号频谱的特点，并确定该信号需要占用的频带宽度（即信号 带宽）。
B=1/τ
T0 /2 s(t)s(t )dt 1
T0 / 2
T0
T0 / T0
2 /2
A2
cos(0t
)
cos[0
(t
)
]dt
利用积化和差三角函数公式，可得
R(
)
A2 2
通信原理各类信号及频谱
第二章 通信基础一 信号分类（1） 确定信号和随机信号确定信号：指的是信号的电压或电流幅值在任意时间的值都是确定的，确定信号的时域波形可以用明确的数学表达式来表达。
如某一电压信号t sin )t (u 610=。
随机信号：指的是在信号实际发生之前的值是不确定的，这种信号的时域波形不能用确定性的数学表达式来表达，只能采用一定的数学手段如概率分布函数、概率密度函数、数学期望、方差或自相关函数等来间接描述。
这种随机过程的数学模型，对通信系统中的信号和噪声的分析是非常有用的。
（2）周期信号和非周期信号周期信号：对于信号)t (f ，若存在某一最小值T ，满足+∞<<∞--=t )T t (f )t (f ，则称该函数为周期函数。
满足条件+∞<<∞--=t )T t (f )t (f 的最小T 值称为信号)t (f 的周期。
非周期函数：如果满足+∞<<∞--=t )T t (f )t (f 的T 值不存在，则称为非周期函数。
（3） 能量信号和功率信号在通信系统中，电信号的功率用归一化的功率值来表示。
归一化的功率值：是指假设电压或电流信号通过电阻为Ω1时获得的功率。
设电压或电流信号为)t (f ，则归一化功率为)t (f )t (P 2=取一时间间隔T ，T 时间内的能量为：dt )t (f E TT T ⎰-=222在时间间隔T 内对应的平均功率为dt )t (f T T E P T T T T ⎰-==2221能量信号：当)t (f 在无限长时间内能量有限且不为0时，该信号被称为能量信号。
数学描述为：dt)t (f lim E TT T ⎰-∞→=222实际应用中发送信号的能量多是有限的。
如非周期的确定信号是能量信号。
功率信号: 如果信号在整个时间域中都存在，其能量是无限的，我们称之为功率信号。
数学定义为：dt )t (f T lim P TT T ⎰-∞→=2221功率是能量传递的速率，它决定着发射机的电压和无线系统中必须考虑的电磁场强度。
第2章：确定信号的频谱分析
信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的， 在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。 信号波形：被测信号的信号幅度随时间的变化历 程称为信号的波形。
波形
2.1 信号的分类
A
0
t
信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标， 用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变 化情况。
2.1 信号的分类
在噪声背景下提取有用信息。
信号分析的经典方法：
1、时域分析
瞬时值，最大值，最小值， 均值，均方值，均方根值等。
1）图形或表达式分析；
2）时域分解；
稳定分量，波动分量
3）相关分析； 4）概率密度分布
信号本身的相似程度 信号之间的相似程度
信号幅值分布
2、频谱分析
幅值谱，相位谱，能量谱，功率谱等
第二章、信号分析基础
xx((tt))a c00 n 1(cann•ceojnn s 0t 0t nb 1ncsn•ien jn00tt)
n 1
x(t) ncn•1e,2j,n 30 t n0,1,2
n
x(t) cnejn 0t n0,1,2,3 n
1
cn
T
T
2 T
x(t)ejn0tdt
2
cn的模|： cn |
2.1 信号的分类
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 b) x (t) = x (t+nT)
简单周期信号
复杂周期信号
例：单自由度振动系统作无阻尼自有振动位移：
k x(t)x0sin( t
)
m
m
x0,φ0 — 初始条件常数 m — 质量 K — 弹簧刚度
A x(t)
k
工程测试技术 信号分析基础 掌握信号时域波形分析方法
2.2 信号的时域波形分析
实验：
12
2.2 信号的时域波形分析
5、波形分析的应用
信号类型识别
信号基本参数识别
Pp-p
超门限报警
2.2 信号的时域波形分析
案例：汽车速度测量:
T
14
2.2 信号的时域波形分析
案例：旅游索道钢缆检测
超门限报警
15
2.2 信号的时域波形分析 实验：声音信号有效值报警：
应用： （1）信号中的直流分量消除 （2）仪器的智能调零
2.3 信号的时域统计分析
2、均方值
信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平 方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种 表达。
2 x
E[x2 (t)]
lim
1 T
T x 2 (t)dt
0
T
工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。 应用：局部异常信号识别（钢丝绳断丝检测）
2.4 信号的时差域相关分析
发火周期
1
0.5
Healthy #1 Misfire #1&2 Misfire
Correlation
0
-0.5
自相关分析的主要应用：
用来检测混肴在干扰信号中的确定 性周期信号成分。
-1
0
120
240
360
480
600
720
Crank Angle (degCA)
作一个循环内转速信号的的自相关函数，其周期为发火周期。
16
第二章、信号分析基础 2.3 信号的时域统计分析
1. 均值 2. 均方值 3. 方差 4. 概率密度函数 5. 概率分布函数 6. 直方图
2信号分析基础
2信号分析基础频谱分析是信号分析的一种重要方法，它可以将信号在频域上进行分析和描述。
频域分析可以揭示信号的频率成分，帮助人们理解信号的特性和行为。
频谱分析的基础是傅里叶定理，该定理指出任何一个周期信号都可以表示为多个不同频率的正弦波叠加。
频谱分析通过将信号转换到频域上，可以将信号的频率成分可视化，以便更好地理解信号的频率特性。
频谱分析通常通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换可以将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱。
傅里叶变换可以分为连续时间傅里叶变换(CTFT)和离散时间傅里叶变换(DTFT)两种形式。
CTFT适用于连续时间信号的频谱分析，而DTFT适用于离散时间信号的频谱分析。
傅里叶变换将信号分解为一系列复指数函数，每个指数函数代表不同频率的正弦波成分。
信号的频谱表示了信号在不同频率上的能量分布情况。
频谱图通常使用幅度谱和相位谱来表示，幅度谱表示了不同频率成分的能量大小，而相位谱表示了不同频率成分之间的相位关系。
频谱分析可以帮助人们了解信号的频率特性，包括信号中的主要频率、频率分布的宽度和对称性等。
频谱分析在多个领域得到广泛应用，包括信号处理、通信系统、音频处理、图像处理等。
在通信系统中，频谱分析可以帮助设计和优化调制和解调过程，以及减少信号之间的干扰。
在音频处理中，频谱分析可以用于音乐识别、音频编码和音效设计等。
除了傅里叶变换，频谱分析还可以使用其他技术，如快速傅里叶变换(FFT)，它可以加快计算速度并减少计算复杂度。
FFT是一种基于离散采样的信号处理技术，广泛用于数字信号处理和频谱分析中。
总之，频谱分析是信号分析的一种重要方法，它可以帮助人们理解信号的频率特性和行为。
通过将信号从时域转换到频域，频谱分析可以将信号的频率成分可视化，为信号处理和优化提供基础。
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第2章 信号分类及频谱分析一、知识要点及要求1） 了解信号的分类，掌握信号的时频域描述；2） 掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； 3） 掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质； 4） 了解信号处理的目的和分类，及数字信号处理的基本步骤； 5） 掌握模拟信号数字化出现的问题、原因和措施；二、重点内容及难点1.教学重点： 信号的分类；信号的时域、频域描述；采样定理；2.教学难点： 信号的时域/频域转换；数字信号处理的步骤；采样定理；混叠；泄露；窗函数；三、教学内容（一） 信号的分类1. 按信号随时间的变化规律分类 确定性信号与非确定性信号2．按信号幅值随时间变化的连续性分类根据信号幅值随时间变化的连续性，可把信号分为连续信号和离散信号。
3．按信号的能量特征分类根据信号用能量或功率表示，可把信号分为能量信号和功率信号。
当信号()x t 在(-∞，∞)内满足2()d x t t ∞-∞<∞⎰(2-6)时，则该信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。
例如，图 2.6 所示的信号都是能量信号。
若信号()x t 在(-∞，∞)内满足2()d x t t ∞-∞→∞⎰(2-7)而在有限区间12(,)t t 内的平均功率是有限的，即212211()d t tx t t t t <∞-⎰(2-8)则信号为功率信号。
例如，图2.2中的正弦信号就是功率信号。
综上所述，从不同角度对信号进行分类，常用分类法归纳如下： (1) 按信号随时间的变化规律分类。
⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎩⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩谐波信号周期信号一般周期信号确定性信号准周期信号非周期信号一般非周期信号信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号非各态历经信号非平稳随机信号(2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。
()()()()⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩模拟信号信号的幅值与独立变量均连续连续信号一般连续信号独立变量连续信号一般离散信号独立变量离散离散信号数字信号信号的幅值和独立变量均离散 (3) 按信号的能量特征分类。
()()⎧⎨⎩能量有限信号信号功率有限信号（二） 信号的时域—频域描述信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。
直接观测或记录的信号一般为随时间变化的物理量。
这种以时间为独立变量，用信号的幅值随时间变化的函数或图形来描述信号的方法称为时域描述。
时域描述简单直观，只能反映信号的幅值随时间变化的特性，而不能明确揭示信号的频率成分。
因此，为了研究信号的频率构成和各频率成分的幅值大小、相位关系，则需要把时域信号转换成频域信号，即把时域信号通过数学处理变成以频率f (或角频率ω)为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的函数表达式或图形来描述，这种描述信号的方法称为信号的频域描述。
信号“域”的不同，是指信号的独立变量不同，或描述信号的横坐标物理量不同。
信号在不同域中的描述，使所需信号的特征更为突出，以便满足解决不同问题的需要。
信号的时域描述以时间为独立变量，其强调信号的幅值随时间变化的特征；信号的频域描述以角频率或频率为独立变量，其强调信号的幅值和初相位随频率变化的特征。
因此，信号的时域描述直观反映信号随时间变化的情况，频域描述则反映信号的频率组成成分。
信号的时域描述和频域描述是信号表示的不同形式，同一信号无论采用哪种描述方法，其含有的信息内容是相同的，即信号的时域描述转换为频域描述时不增加新的信息。
（三） 周期信号与离散频谱1 周期信号的傅里叶级数的三角函数展开在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷(dirichlet)①条件，都可以展开成傅里叶级数。
傅里叶级数的三角函数表达式为 ()0001()cos sin ωω∞==++∑n n n x t a a n t b n t (2-9)式中，0a 为信号的常值分量； n a 为信号的余弦分量幅值； n b 为信号的正弦分量幅值。
0a 、n a 和n b 分别表示为000000/20/20/20/20/20/21()d 2()cos d 2()sin d T T T n T T n T a x t t T a x t n t t T b x t n t tT ωω---===⎰⎰⎰(2-10)式中，0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002π/T ω=，1,2,3,n =L 合并式(2-9)中的同频项，则式(2-9)表示为001()sin()ωθ∞==++∑n n n x t a A n t (2-11)式中，信号的幅值n A 和初相位角θn 分别为=n A 意义：周期信号是由一个或几个乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。
或者说，一般周期信号可以分解为一个常值分量0a 和多个成谐波关系的正弦分量之和。
因此，一般周期信号的傅里叶级数三角函数展开是以正(余)弦作为基本函数簇进行相加获得的。
周期信号频谱的三个特点：1） 离散性；即周期信号的频谱是离散的。
2） 谐波性；即每条谱线只出现在基频的整数倍上。
3） 收敛性；即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。
各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。
2 周期函数的奇偶特性利用函数的奇偶性，可使周期函数(信号)的傅里叶三角函数展开式有较大的简化。
(1) 如果周期函数()x t 是奇函数，即()()=--x t x t ，这样傅里叶系数的常值分量00=a ，余弦分量幅值0=n a ，傅里叶级数01()sin ω∞==∑n n x t b n t。
(2) 如果周期函数()x t 是偶函数，即()()=-x t x t ，这样傅里叶系数的正弦分量幅值0=n b ，则傅里叶级数001()cos ω∞==+∑n n x t a a n t。
3 傅里叶级数的复指数函数展开为了便于数学运算，往往将傅里叶级数写成复指数函数形式。
根据欧拉公式j e cos jsin (j t t t ωωω±=±(2-17)则j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+ (2-18a) j j 1sin j(e e )2t t t ωωω-=-(2-18b)则00j j 011()ee n tn tn n n n x t C C C ωω∞∞--===++∑∑或 0j ()e0,1,2,n tnn x t C n ω∞=-∞==±±∑L(2-20) 00j j 011j()j()01()ee ||e ||e nnn tn tn n n n n t n t n n n x t C C C C C C ωωωϕωϕ∞∞--==∞--+==++⎡⎤=++⎣⎦∑∑∑ (2-25)因此，可把n C (0,1,2,=±±L n )看做复平面内的模||n C 为/2n A 、角频率为0ω的一对共轭反向旋转矢量(即相量)。
初相角为ϕn ，表示矢量n C 对于实轴在0=t 时刻的位置。
矢量旋转的方向可正、可负，因此出现了正、负频率。
当0ωn 为正时，ϕn 为负值；当0ωn 为负时，ϕn 为正值，如图2.12所示。
图2.12 负频率的说明由此可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量j ()||e nn t n C ωϕ±来描述，且具有负频率的矢量总是与具有正频率的矢量成对出现。
在双边幅频图中，每对正、负频率上谱线的高度||n C 相等，因此幅频图呈偶对称分布，而双边相频图总是呈奇对称分布的。
表2-1 傅里叶级数的复指数与三角函数展开的关系5 周期信号的强度表述周期信号的强度通常是以峰值F x 、绝对值||μx 、有效值rms x 和平均功率av P 来表述。
1. 峰值F x 与峰-峰值F F x - F max |()|=x x t2. 均值μx 与绝对均值||μx周期信号中的均值μx 是指信号在一个周期内幅值对时间的平均，也就是用傅里叶级数展开后的常值分量0a ，即01()d Tx x t t T μ=⎰(2-30)周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值||μx ，即 ||01|()|d Tx x t t T μ=⎰3. 有效值rms x信号中的有效值就是均方根值rms x ，即rms x =(2-32)它记录了信号经历的时间进程，反映了信号的功率大小。
4. 平均功率av P有效值的平方，也就是说均方值就是信号的平均功率av P ，即2av 01()d TP x t tT =⎰(2-33)（四） 非周期信号与连续频谱 非周期信号：1） 准周期信号：频谱是离散的，但各频率分量与基频的比值不一定都是有理数。
如)2sin()sin()(00t t t x ωω+=。
2） 瞬变非周期信号：可简称为非周期信号。
瞬态信号是非周期信号，也可以说它的周期→∞T 。
因此，可以把瞬态信号看做是周期趋于无穷大的周期信号。
从周期信号的角度来理解非周期信号并推导其频谱。
周期为0T 的信号()x t 的频谱是离散谱，相邻谐波之间的频率间隔为002π/T ωω∆==。
对于瞬态信号，0→∞T 时，00ωω=∆→，这意味着在周期无限扩大时，周期信号频谱谱线间隔在无限缩小，相邻谐波分量无限接近，离散参数0ωn 就变换成连续变量ω，离散频谱变成了连续频谱，式(2-11)和式(2-20)中的求和运算可用积分运算来取代，所以瞬态信号的频谱是连续的。
这时，瞬态信号的频域描述已不能用傅里叶级数展开，而要用傅里叶变换来描述j 0()lim (j )e 2πn tT n x t X ωωω∞→∞=-∞=⋅⋅∑(2-40)当0→∞T 时，离散频率0ω→n 连续变量ω。
求和→∑积分。
则j 1()(j )e d 2tx t X ωωω∞-∞=⋅π⎰(2-41)()x t 为(j )X ω的傅里叶逆变换(反变换)。
式(2-37)和式(2-41)构成了傅里叶变换对：FTIFT()(j )x t X ω⇔由于02f ω=π，所以式(2-37)和式(2-41)可变为j2(j )()e d ft X f x t t∞-π-∞=⎰ (2-42)j2()(j )e d ft x t X f f∞π-∞=⋅⎰(2-43)频谱密度函数；即)(f X 与n C 很相似，但n C 的量纲与信号幅值的量纲一样，而)(f X 的量纲是单位频宽上的幅值。
傅里叶变换的主要性质表2-3 傅里叶变换的主要性质奇偶虚实性一般(j )X f 是实变量ƒ的复变函数。
它可以表达为j2(j )()d Re (j )jIm (j )ft X f x t e t X f X f ∞-π-∞==-⎰ (2-48)式中Re (j )()cos 2d X f x t ft t∞-∞=π⎰ (2-49)Im (j )()sin 2d X f x t ft t∞-∞=π⎰ (2-50)余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。