第四节 基本不等式： ab≤a+b2(a,b∈R+)
第四节基本不等式课件高三数学一轮复习
基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，
基本不等式：ab≤a+b2
3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．思考：如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替不等式a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b ，可得到怎样的不等式？[提示] a ＋b ≥2ab . 2．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ，b 均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 思考：不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[提示] 不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．3．算术平均数与几何平均数(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．思考：a ＋b2≥ab 与⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？[提示] 不等价，前者条件是a >0，b >0，后者是a ，b ∈R . 4．用基本不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y ＝s2时，积xy 有最小值为2xy .(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为x ＋y24.5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数．(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？[提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．[基础自测]1．思考辨析(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________.【导学号：91432346】400 [因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝40，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．]3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]4．给出下列说法： ①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2； ②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R 且x ≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确说法的序号是________.【导学号：91432347】①③ [①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]， 所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0， 即a >1，b >1时才成立；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x＝4成立．][合 作 探 究·攻 重 难]利用基本不等式比较大小已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中哪一个最大？ [解] 法一：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， 所以四个数中最大的数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又因为0<a <1,0<b <1，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， 所以a 2＋b 2<a ＋b ， 所以a ＋b 最大． 法二：令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1,2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212×18＝12， 所以a ＋b 最大．a ≥0，时，要注意不等式的双向性≤⎝ ⎛a ＋2；1．(1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________. 【导学号：91432348】(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．(1)m >n (2)P <Q <R [(1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0， 所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n . (2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .]利用基本不等式证明不等式已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[解] ∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ca >0，∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.【导学号：91432349】[证明] 因为a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bca.同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．基本不等式的实际应用如图341，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．图341(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：①已知a ＋b 为定值，如何求ab 的最大值？②已知ab 为定值，如何求a ＋b 的最小值？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴9－32y >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y .∵0<y <6， ∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48. 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3yxy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48.当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图342所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．[解] 设污水池的长为x 米，则宽为400x米，总造价y ＝(2x ＋2·400x)·200＋2×250·400x ＋80×400＝400⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x ＋32 000≥400×2x ·900x＋32 000＝56 000(元)，当且仅当x ＝900x，即x ＝30时取等号． 故污水池的长为30米、宽为403米时，最低造价为56 000元.利用基本不等式求最值[探究问题]1．由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？提示：最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的： “因为y ＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x 2＝1时“＝”号成立，所以y ＝x ＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示：不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x 与1x都是正数，而本题x 可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取“＝”，y ＝x ＋1x的最小值是2；当x <0时，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝－1时，取“＝”，y ＝x ＋1x 的最大值是－2.3．已知x ≥3，求y ＝x 2＋4x 的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y ＝x 2＋4x ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴当x ≥3时，y ＝x 2＋4x的最小值为4.”提示：不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y ＝x ＋4x的单调性求解．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值.【导学号：91432350】思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征． (1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3. (2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x )． (3)2x x 2＋1＝2x ＋1x. (4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y .[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116， ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116.(3)f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.∵x >0，∴x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y(x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x >54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的值域．[解] ∵x >54，∴4x －5>0，∴f (x )＝4x －5＋14x －5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5.即x ＝32时，等号成立．f (x )的值域为[5，＋∞)．2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最值如何求解？[解] 由f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3 ①当x >54时，4x －5>0∴f (x )＝4x －5＋14x －5＋3≥2＋3＝5当且仅当4x －5＝14x －5时等号成立即x ＝32时f (x )min ＝5.②当x <54时，4x －5<0.f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故当x ＝1时，f (x )max ＝1.1．若0<a <1,0<b <1，则log a b ＋log b a ≥________. 2 [因为0<a <1,0<b <1，所以log a b >0，log b a >0， 所以log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b≥2log a b ·1log a b＝2. 当且仅当log a b ＝log b a 即a ＝b 时取“＝”．]2．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝1，则ab 有最________值为________；若ab ＝1，则a 2＋b 2有最________值为________.【导学号：91432351】大 12 小 2 [由a 2＋b 2≥2ab 可知，当a 2＋b 2＝1时，ab ≤12，故ab 有最大值为12；当ab＝1时，a 2＋b 2≥2，a 2＋b 2有最小值2.]3．若0<x <1，则x－2x的取值范围是________．⎝⎛⎦⎥⎤0，324 [由0<x <1知3－2x >0，故x－2x ＝12·2x－2x ≤12·2x ＋－2x2＝324，当且仅当x ＝34时，上式等号成立．所以0<x－2x≤324.] 4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2，那么水池的最低总造价为________元.【导学号：91432352】1 760 [设池底一边长为x m ，总造价为y 元．则y ＝4×120＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×80＝320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋480(x >0)． 因为x ＋4x ≥2x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号， 所以y min ＝480＋320×4＝1 760(元)．]5．已知函数f (x )＝x ＋1x. (1)已知x >0，求函数f (x )的最小值．(2)已知x <0，求函数f (x )的最大值．(3)已知x ∈[2,4]，求f (x )的最值．[解] (1)∵x >0，∴f (x )＝x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时等号成立． ∴f (x )的最小值为2.(2)∵x <0，∴f (x )＝x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2.当且仅当x ＝－1时等号成立．∴f (x )的最大值为－2.(3)设2≤x 1<x 2≤4，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2. 因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，x 1x 2－1>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[2,4]上是单调增函数．在x ＝2时，f (x )有最小值52；当x ＝4时，f (x )有最大值174.。
高考数学总复习 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 文
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解析：由于(yóuyú)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋
2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋
c2)，
1
所以a2＋b2＋c2≥ 3 ；
解析：①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab， ∴①正确；
②|a|＋|a1|≥2 |a|·|a1|＝2，∴②错误；③当 sin x ＝sin4 x时，sin x＝±2，显然等号取不到，事实上，设 t ＝sin x，则 t∈(0,1]，y＝t＋4t 在(0,1]上为减函数，故当 t＝1 时，y 取最小值 5，∴③错误．故选 B.
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点评(diǎn pínɡ)：在使用基本不等式求最值时，一定要注意 其中的等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件．如果 根据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决(如函数、 导数等)．使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变换，通过变 换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达到使用基本不等 式的目的．使用基本不等式求最值时，要注意三个条件，即“一 正、二定、三相等”．
1a－11b－11c－1≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8.当且仅当
a＝b＝c＝13时取等号．
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考点(kǎo 基本不等式的实际(shíjì)应用 diǎn)五【例5】 为了在夏季降温和冬季供暖(ɡònɡ nuǎn)时减少能源损耗，
房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔
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思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出 m，n 的关系 m＋n＝3，将所找的关系与m4 ＋n1结合，再用 基本不等式求最值，关键的一步是m4 ＋n1＝13m4 ＋n1(m＋n)．
基本不等式：ab≤a+b2 课件
(2)年平均利润为ny＝－2(n＋4n9－20) ≤－2(2 n·4n9－20)＝12. 当且仅当 n＝4n9，即 n＝7 时上式取等号． 所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元．
利用基本不等式证明不等式 [典例] (本题满分 12 分)(1)已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：1a＋1b＋1c≥9； (2)已知 a，b>0，a＋b＝1，求证： a＋12＋ b＋12≤2.
[证明] (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c① ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.…………………4 分 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．②…………………………6 分
(2)
a＋12＝
解得 x＝1－ 22，y＝ 2－1，
∴当 x＝1－ 22，y＝ 2－1 时，1x＋1y有最小值 3＋2 2.
法二：1x＋1y＝1x＋1y·1＝1x＋1y(2x＋y)
＝3＋2yx＋xy≥3＋2 以下同法一．
xy·2yx＝3＋2 2，
利用基本不等式求条件最值的常用方法 (1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子， 将“1”代入后再利用基本不等式求最值． (2)构造法： ①构造不等式：利用 ab≤(a＋2 b)2，将式子转化为含 ab 或 a＋b 的一 元二次不等式，将 ab，(a＋b)作为整体解出范围．
[解析] (1)∵m，n>0 且 m＋n＝16， 所以由基本不等式可得 mn≤m＋2 n2＝1262＝64. 当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64. ∴12mn 的最大值为 32. (2)∵x>3，∴x－3>0，x－4 3>0， 于是 f(x)＝x＋x－4 3＝x－3＋x－4 3＋3≥
3.4 基本不等式ab≤a+b2 (一)
1
鸡西市第十九中学高一数学组
探究 下面是基本不等式 ab≤
a＋b 的一种几何解释，请你补充完整． 2
如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 上 半圆于点 D，连接 AD，BD.由射影定理可知，CD＝ ，而 OD＝ ， a＋b 因为 OD CD，所以 ab,当且仅当 C 与 O ，即 时,等号成立． 2 【探究点二】基本不等式的拓展 a＋b 2 问题 当 a>0，b>0 时， ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 请你给出证明．
1 1 n 例 3 a>b>c，n∈M 且 ＋ ≥ ，求 n 的最大值． a－b b－c a－c
小结 一般地，若函数 y＝f(x)，x∈D 既存在最大值，也存在最小值，则 a>f(x)，x∈D 恒成立⇔a>f(x)max； a<f(x)，x∈D 恒成立⇔a<f(x)min.
3
鸡西市第十九中学高一数学组
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鸡西市第十九中学学案
2018 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
3.4 学习 目标 重点 难点
基本不等式 ab≤ 2
a＋b
(一)
1．理解基本不等式的内容及证明． 2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小． 3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式． 1．应用基本不等式解决有关问题必须紧扣它的适用条件，公式 a2＋b2≥2ab 只 a＋b 要求 a、b 是实数，而公式 ab≤ 强调 a、b 必须是非负数． 2
2
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例 1 已知正数 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋b，2 ab，2ab，a2＋b2，其中最大的一个 是( ) 2 A．a ＋b2 B．2 ab C．2ab D．a＋b
高三数学复习(理)：第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式[学生用书P132]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0；(2)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D.因为x <0，所以－x >0， －x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立， 所以x ＋1x ≤－2.2．若x ≥2，则x ＋4x ＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3[学生用书P133]利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23 (2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B ．23 C.33D.233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B.方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B. 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A.23 B ．1 C.43D.32解析：选C.由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2ba ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C.3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y＋3y x 的最小值为( )A.53 B ．103 C.32 D ．3解析：选 D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B.【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B.设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B.基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A.76 B ．712C.712＋33D.76＋33【解析】 因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， 所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， 所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33， 当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C. 【答案】 C角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[学生用书P135]核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D.3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B.[学生用书P393(单独成册)][A 级 基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( ) A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：选 A.方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x≤12x ×1x ＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b 2＝8a ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[B 级 综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2yx＋1·x＋1y＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋1（a＋b）2的最小值为________．解析：a2＋b2＋1（a＋b）2≥（a＋b）22＋1（a＋b）2≥212＝2，当且仅当a＝b＝2－34时，a2＋b2＋1（a＋b）2取得最小值 2.答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2021年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级 提升练]15．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.16．(2021·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2xsin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t －4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1.答案：1。
2020届三维设计一轮复习第七章 不等式第四节 基本不等式
()A．4BFra bibliotek5C．6
D．7
解析：因为 a>0，所以 9a＋1a≥2
9a×1a ＝6，当且仅
当 9a＝1a，即 a＝13时，9a＋1a取得最小值 6.故选 C.
答案：C
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2．若 x>0，y>0，且 2(x＋y)＝36，则 xy的最大值为 ( )
A．9
B．18
C．36
D．81
解析：由 2(x＋y)＝36，得 x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，
[解析] 拼凑法
因为 x>0，y>0，
所以 8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋x＋22y2， 令 x＋2y＝t，则 8≤t＋t42，即 t2＋4t－32≥0， 解得 t≥4 或 t≤－8，
即 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去)， 当且仅当 x＝2y，即 x＝2，y＝1 时等号成立．
当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立．
∵34∈0，32，
∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
[答案]
9 2
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(3)已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝1，则1x＋1y 的最小值为
________． [解析] 常数代换法
∵x>0，y>0，且 x＋2y＝1，
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考点一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的基本方法有拼凑法、常数代换法等.
[典例] (1)已知 a>2，则 a＋a－3 2的最小值是
A．6
B．2
C．2 3＋2
D．4
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()
[解析] 拼凑法 因为 a>2，所以 a－2>0，所以 a＋a－3 2＝(a－2)＋a－3 2＋
数学基本不等式
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 重要不等式 a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)(当且仅当___a_＝__b____时等号成立)． 知识点二 基本不等式 ab≤a＋2 b(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a_>_0_，__b_>_0_； (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时等号成立； (3)其中a＋2 b叫做正数 a，b 的_算__术__平__均__数__， ab叫做正数 a，b 的__几__何__平__均__数__.
方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，
变式 1、已知 a 0,b 0 ，若不等式 3 1 ≥ m 恒成立，则 m 的最大值为________． a b a 3b
变式 2、（1）已知函数 f x x2 ax 11(a R) ，若对于任意 x N* ， f x≥ 3 恒成立，则 a 的取值范围
mn mn
mn
mn
当且仅当
n m
2m n
，即
n
2m 时等号成立，
所以
1 m
1 n
的最小值为
3
2
2 ，故选 A。
3、（2020·湖南雅礼中学期中）（多选题）给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A．若 a,b (0, ) ，则 b a 2 ；
ab
B．若 x, y (0, ) 则 lg x lg y 2 lg x lg y ；
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b>0 当且仅当 a＝b 时取等号)．
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第四节 基本不等式： ab ≤a ＋b 2(a ，b ∈R ＋)基础回顾Ｋ一、算术平均数与几何平均数的概念若a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数是a ＋b2，几何平均数是ab.二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a ∈R ，则a 2≥0，||a ≥0(当且仅当a ＝0时，取等号)． 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．若a ，b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab(当且仅当a ＝b 时取等号)． 4．若a ，b ∈R ＋，则a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab(当且仅当a ＝b 时取等号)．变式： ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ＋)． 四、最值定理设x>0，y>0，由x ＋y ≥2xy ，有：(1)若积xy ＝P(定值)，则和x ＋y 最小值为2P ；(2)若和x ＋y ＝S(定值)，则积xy 最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 22.即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商．基础自测1．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是(B ) A ．4 B ．8 C ．22 D ．42解析：因为2x ＋4y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y ＝224＝8，当且仅当2x＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，所以2x ＋4y 的最小值为8.2．下列结论中正确的是(B )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值3．若直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则1a ＋1b的最小值是4．4．当x>2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是(－∞，4]．解析：因为x＋1x－2≥a恒成立，所以a必须小于或等于x＋1x－2的最小值．因为x>2，所以x－2>0.所以x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立．所以a≤4.高考方向1.以命题真假判断为载体，考查基本不等式成立的条件以及等号成立的条件，有时与不等式的性质结合在一起考查，一般以选择题的形式出现，难度不大.2.考查利用基本不等式求函数或代数式的最值，有时与不等式的恒成立问题相结合，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等及以下.3.考查利用基本不等式解决实际应用中的最值问题，各种题型均有可能出现，难度中等.品味高考1．(2013·山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为(B ) A ．0 B ．1 C.94D ．3解析：由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.故选B.2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8(x ＞0)，即x ＝80时，取最小值．故选B.高考测验1．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(1，y)，其中x ＞0，y ＞0.若a·b ＝4，则1x ＋2y的最小值为(C )A.32 B ．2 C.94D ．2 2 解析：∵a·b ＝4，∴x ＋2y ＝4，x ＞0，y ＞0，∴1x ＋2y ＝14(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋22y x ·2x y ＝94. 当且仅当⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，2y x ＝2x y，即x ＝y ＝43时，等号成立．2．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，则2x ＋3y 的最小值为29＋66．解析：由题意可得，2x ＋3y ＝(2x ＋3y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝3y x ＋18x y ＋29≥23y x ·18xy＋29＝29＋66， 当且仅当3y x ＝18x y ，结合1x ＋9y ＝1，解得x ＝2＋362，y ＝6＋9时取等号，故2x ＋3y 的最小值为29＋6 6.课时作业1．已知a>0，b>0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 (A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式可知，a ＋b ＝2⇒ab ≤1，但ab ≤1不能推出a ＋b ＝2.故选A.2．(2013·常州质检)已知f(x)＝x ＋1x－2(x<0)，则f(x)有(C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 解析：因为x<0，所以－x>0，所以x ＋1x －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x －2≤－2（－x ）·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．3．(2013·长沙质检)若0<x<1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为(D )A.13B.12C.34D.23解析：因为0<x<1，所以f(x)＝x(4－3x)＝13·3x(4－3x)≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时等号成立，故选D.4．设a ，b ，c ，d ∈R ，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是(D )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b|≤2cdD ．|a ＋b|≥2cd 解析：∵ab ＝1>0， ∴a ，b 同号．∴|a ＋b|＝|a|＋|b|≥2|a||b|＝2. 又c ＋d ＝2，∴(c ＋d)2＝4，即c 2＋d 2＋2cd ＝4.∴4－2cd ＝c 2＋d 2≥2cd ，得2cd ≤2， ∴|a ＋b|≥2cd.故选D.5．已知函数f(x)＝2x 满足f(m)·f(n)＝2，则mn 的最大值为(B ) A.12 B.14 C.16 D.18解析：由已知得2m ·2n ＝2m ＋n ＝2，所以m ＋n ＝1，于是mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14.故选B. 6．某工厂第一年年底的产量为p ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则有(C )A ．x ≥a ＋b 2B ．x ＝a ＋b2C ．x ≤a ＋b 2D ．x>a ＋b2解析：依题意得，该工厂第二年的产量为p(1＋a)，第三年的产量为p(1＋a)(1＋b)．又由于这两年的平均增长率为x ，则p(1＋x)2＝p(1＋a)·(1＋b)．于是(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋1＋b 22，所以1＋x ≤2＋a ＋b 2，即x ≤a ＋b2.故选C.7．已知x>0，y>0，2x ＋y ＝13，则1x ＋1y 的最小值是解析：1x ＋1y ＝6x ＋3y x ＋6x ＋3y y ＝9＋3y x ＋6xy ≥9＋218＝9＋6 2.8．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞． 解析：∵x ＞0，∴x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，∴x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．已知a ＜b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b|的最小值为20． 解析：∵a ＜b ∈R ，且ab ＝50， ∴b ＝50a，∴|a ＋2b|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋100a ＝|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a ＝20.当且仅当|a|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a 时取等号，故|a ＋2b|的最小值为20.10．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，求a 2＋b 2a －b 的最小值．解析：∵a ＝1，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝（a －b ）2＋2a －b ＝a －b ＋2a －b ， ∵a ＞b ＞0， ∴a －b ＞0，∴a 2＋b 2a －b ＝a －b ＋2a －b≥2（a －b ）·2a －b＝22，当且仅当⎩⎨⎧ab ＝1，a －b ＝2a －b ，即a ＝6＋22，b ＝6－22，取等号，∴当a ＝6＋22，b ＝6－22时，a 2＋b 2a －b 取得最小值2 2.11．围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m ，新墙的造价为460元/m ，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：(1)因为利用的旧墙的长度为x 米，则以被利用的那部分旧墙为一边的矩形的另一边长的为368xm ，于是y ＝180x ＋460(x －2)＋460×2×368x ＝640x ＋232×82×10x－920＝640x＋338 560x－920(x>0)．(2)∵x>0，∴640x＋338 560x≥2640x·338 560x＝29 440.∴y＝640x＋338 560x－920≥29 440－920＝28 520，当且仅当640x＝338 560x，即x＝23时等号成立．∴当x＝23 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是28 520元．。