矩阵理论3.1 特征值界的估计

第三部分 矩阵特征值的估计

引言：

矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是很重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的。幸好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而只需有一个粗略的估计就够了。比如：在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A 的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内；在差分方程的稳定性理论以及自动控制理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复平面上的某一确定的区域中。

§1. 特征值的界的估计

引理1. n 阶复矩阵A ，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ，使T AU U T =

引理2. 设n

n n n ij C

a A ⨯⨯∈=)(，则∑∑====n i n

j F ij H

A a AA tr 11

2

2

)(

Proof :设n n ij H b AA B ⨯==)(则

∑∑===++==n

j j n n n

j j j a a a a a a a a a b 1

2

11112121

11111111

∑∑====n

j j

n j j j a a a b 1

2

21

2222

∑∑====n

j ij n j ij ij ii a a a b 12

1

∑∑∑======n

i n

j ij n

i ii H

a b B tr AA tr 11

2

1

)()(

引理3. A 为正规矩阵⇔A 酉相似于对角矩阵。 （注：正规矩阵：A A A A H H ⋅=⋅）即存在酉矩阵U 使

),,,(21n H diag AU U λλλ =

Th 1.设A 为n 阶矩阵，n λλλ,,,21 为其特征值，则：

⇔=≤∑∑∑===n

i n i n

j F ij i A a 1

11

2

2

2

λA 为正规矩阵，等号成立。

Proof:由引理1.存在酉阵U ，使T AU U H =（三角阵）——①

对①两边取共轭转置：U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①⨯②得 H H H H T T U A U AU U ⋅=⋅)()(

H H H T T U AA U ⋅=⇒（为酉阵）

)()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ⋅==⇒

即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i n

j n

i n

i i ii ij n i n

j ij t t a 11

1

1

2

2

2

11

2

λ

设n

n C

A ⨯∈，令2

,2H

H A A C A A B -=+=， 则A =B +C ： 其中B 为Hermit 阵（即H B B =）实 C 为反Hermit 阵（即H C C -=）虚

注：引入B ,C 的目的是为了研究A 的特征值的实部和虚部的估计。 Th 2.设A ,B ,C 如上所设，i λ为A 的特征值，则有：

① ij n

j i i a n ≤≤⋅≤,1max λ

② ij n

j i i b n ≤≤⋅≤,1max )Re(λ

③ ij n

j i i m c n I ≤≤⋅≤,1max )(λ

Proof :由T AU U H =, *T U A U H H =

2

2

2

2H

H H

H H H H

H

T T

U A A U CU U T T

U A A U

BU U -=-=⇒+=+=⇒ ∑∑

∑∑∑∑

======≤≤+=+=n

i ij

j

i n

i n

i n

j ij

ii

ii n

i n

i i

i i

b n b t t 1

2

,21

11

2

2

1

1

2

2

max 2

2

)

Re(λλλ

ij i ij

i b n b n max )Re(max )Re(2

22

⋅≤⇒≤⇒λλ

同理可证：其它两个

注：该定理对A 特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A 特征值虚部估计更精确的一个定理。 Th 3.设n n R A ⨯∈

，则()m i I λ≤

其中ij c k max =，ij c 为上述C 的第i 行第j 列元素 Proof :（略）

eg 1.设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=5.06.07.07.08.0112.01A

则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=+=5

.065.015.065

.08.06.015

.06.01)(21H

A A

B ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛---=-=005.085.005

.004.085.04.00

)(21

H A A C 3max 3=⨯≤ij i a λ 3max 3)Re(=⨯≤ij i b λ

55.285.03max 3)(=⨯=⨯≤ij i m c I λ

由Th 3. 55.285.03max 2

2

3)(<⨯=⨯≤

ij i m c I λ 易见，Th 3.比Th 2.中③要精确。

据上述定理可得如下推论： 推论1：实对称矩阵的特征值均为实数。 推论2：Hermit 矩阵的特征值均为实数。 推论3：反Hermit 矩阵的特征值均为虚数或零。

Proof 1:A 为实对称，则A A A T

H

==，则02

=-=

H

A A C ，即0=ij c 由Th 2 0max )(=⋅≤ij i m c n I λ 即0)(=i m I λ

i λ∴为实数