矩阵理论3.1 特征值界的估计
矩阵特征值和特征向量的求法与应用
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矩阵特征值的估计
解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1
矩阵特征值和特征向量的研究
矩阵特征值和特征向量的研究首先，我们来定义矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=λX，其中λ为一个常数，则称λ为矩阵A的一个特征值，称X为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量满足这个特殊的关系，可以用来研究矩阵的性质和变换。
接下来，我们来讨论一些矩阵特征值和特征向量的性质。
首先，矩阵的特征值和特征向量与矩阵的行列式和迹有关。
设A为一个n阶方阵，其特征值为λ1，λ2，...，λn，特征向量为X1，X2，...，Xn，则有以下性质：1. 所有特征值的和等于矩阵的迹：λ1+λ2+...+λn=tr(A)。
2.所有特征值的积等于矩阵的行列式：λ1λ2...λn=，A。
3.如果一个方阵A是可逆方阵，那么它的特征值都不为0。
4.如果一个方阵A的特征向量X对应的特征值λ，那么对于任意实数c，cX也是对应于λ的特征向量。
另外，矩阵的特征向量也具有以下一些性质：1.特征向量是线性无关的，即对应不同特征值的特征向量之间线性无关。
2.如果一个特征向量X对应的特征值λ是一个n重特征值，那么X 的一个非零分量为1，其他分量为0的向量也是对应于λ的特征向量，称为属于λ的基本特征向量。
矩阵特征值和特征向量在许多实际问题中有着广泛的应用。
其中，最常见的一种应用是在理解和分析线性变换和空间变换中。
对于一个线性变换T，其变换矩阵A的特征值和特征向量可以帮助我们理解该变换对于不同方向上的伸缩或压缩程度。
特别地，当特征值为1时，相应的特征向量表示空间中不变的方向。
另外，矩阵特征值和特征向量还可以用于解决大规模矩阵的特征值计算问题，例如在机器学习算法中的主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）。
此外，矩阵特征值和特征向量还在图论、电力系统、量子力学等领域有重要应用。
在图论中，矩阵的特征值和特征向量可以用于研究图的结构和性质。
在电力系统中，通过矩阵特征值和特征向量的分析，可以评估系统的稳定性和准确地计算功率流分布。
矩阵特征值问题
§1、特征值的估计
由于工程计算中求矩阵尤其是高阶矩阵的 精确特征值通常比较困难，而许多情况下我们 只需要知道特征值在什么范围内变化或者落在 什么区域内，例如判断方阵的幂级数是否收敛 只要看方阵的特征值的模或谱半径是否小于1， 因此特征值的估计就显得尤其必要，这方面的 理论在特征值问题中相当经典。
由于
实际上是 的
一个
维子空间，因此我们希望将
搜索极值的空间放大到任意
维子空
间 。而增大后的集合的极大值不会比原集
合的小，极小值也不会比原集合大。
58
设有 则
，并假定
，即
59
并且当
时等号成立。因此
60
一般地，我们有
定理4 (Courant-Fischer)设
是
Hermite矩阵，其特征值为
，则
存在Hermite矩阵特征值的极值原理
48
一、 Rayleigh商
二次型
，如果存在
，那么
所以如果
，我们自然也希望
49
定义1 设
是Hermite矩阵，称
为矩阵 的Rayleigh商。 注意到
因此我们可以把对 在单位球面
的极性的讨论限定 上。
50
单位球面 是闭集，又因为
是 的连续
函数，因此根据多元函数的最值定理，
在 上存在最大值和最小值。由于特征值与
对于广义特征值问题
，可以通过
适当选择位移(shift)或极点(pole) ，再通过 求逆，将之转化为SEP：
这种方法的优点是特征向量不变，矩阵 奇 异时也可以使用，并且在求解邻近 的特征 值或绝对值很小的特征值时效率较高。缺点仍 然是 一般不是特殊矩阵。
第五章矩阵的特征值
第五章矩阵的特征值矩阵的特征值是线性代数中一个重要的概念。
它不仅在理论上具有重要意义，也在实际问题的求解中有广泛的应用。
本章将介绍特征值的定义和性质，以及求解特征值和特征向量的方法。
1.特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k 为常数，则称k为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现的，且特征向量是非零的。
2.特征值与特征向量的性质2.1特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n。
（2）特征值的和等于矩阵的迹，即trace(A)。
（3）特征值的乘积等于矩阵的行列式，即det(A)。
2.2特征向量的性质（1）特征向量的线性组合仍然是特征向量，对应的特征值不变。
（2）特征向量与特征值的对应关系是一一对应的。
3.求解特征值和特征向量的方法3.1特征方程法给定一个n阶方阵A，求解特征值和特征向量的方法之一是通过求解特征方程。
特征方程的定义是：det(A-kI)=0，其中I是单位矩阵，k是变量。
通过求解特征方程，即求解多项式det(A-kI)的根，可以得到所有的特征值。
特别地，对于二阶矩阵A的特征方程det(A-kI)=0可以化简为k^2-(a+d)k+ad-bc=0，其中a，b，c，d是矩阵A的元素。
这是一个一元二次方程，可以通过求根公式求解。
3.2幂法幂法是一种迭代算法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
基本思想是通过迭代计算矩阵A的幂，使得向量序列收敛到A的最大特征向量对应的特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个初始的非零向量x0；（2）计算新的向量x1=Ax0；（3）归一化向量x1，即x1=x1/，x1，其中，x1，表示向量x1的模；（4）重复步骤（2）和（3），直到向量序列收敛。
经过多次迭代后，向量序列将收敛到A的特征向量。
4.应用举例特征值和特征向量在许多实际问题中有广泛的应用，例如：（1）求解线性方程组：矩阵A的特征值可以用于判断线性方程组的解的情况。
31矩阵的特征值和特征向量
31矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域，包括物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将详细介绍特征值和特征向量的概念，以及它们的性质和计算方法。
矩阵的特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要工具，它们可以通过以下的定义来形式化地描述：设A是一个n阶矩阵，非零向量x是一个特征向量，如果存在一个标量λ使得Ax=λx，那么λ称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量之间的关系可以通过下面的等式来表示：A*x=λ*x其中A是n阶矩阵，x是n维列向量，λ是常数。
特征向量x可以通过在矩阵A上进行变换获得。
特征值和特征向量的重要性在于它们可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
特征值告诉我们矩阵在特定方向上的伸缩比例，而特征向量告诉我们这个伸缩是在哪个方向上进行的。
接下来我们将详细讨论特征值和特征向量的计算方法以及它们的性质。
首先是特征值的计算方法。
特征值的计算通常需要解决矩阵的特征方程，即det(A-λI) = 0，其中det表示行列式，A是矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。
解特征方程可以得到矩阵的特征值。
特征值的计算是一个重要的数值计算问题，通常需要使用特征值分解等方法来求解。
接下来是特征向量的计算方法。
特征向量可以通过特征值代入矩阵方程A*x=λ*x来求解。
特征向量并不唯一，通常需要进行归一化处理来得到标准化的特征向量。
特征值和特征向量具有一些重要的性质：1.矩阵的特征值的个数等于矩阵的阶数。
一个n阶矩阵有n个特征值。
2.特征值是矩阵的一个不变量，即矩阵相似的矩阵具有相同的特征值。
3.特征向量构成的集合是矩阵的一个子空间，称为特征子空间。
4.特征值和特征向量可以帮助进行矩阵的对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。
特征值和特征向量在实际应用中有广泛的应用。
例如在物理学中，特征值和特征向量可以描述量子力学中的能级和波函数；在工程学中，特征值和特征向量可以用来优化矩阵和向量的运算；在计算机科学中，特征值和特征向量可以用来进行图像处理和模式识别等任务。
矩阵的特征值与特征向量 正文
引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作。
自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分。
近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。
另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。
同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。
特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系。
可以说，特征值与特征向量问题是矩阵理论的基本核心问题。
因此，掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要的。
矩阵是高等代数课程的一个基本概念是研究高等代数的基本工具。
线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。
求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。
一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。
特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
“特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。
eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”，这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。
矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值。
随着计算机的迅速发展，现代社会的进步和科技的突飞猛进，高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透，它的作用越来越为世人所重视。
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法矩阵在数学与物理等领域中起着重要的作用，而矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义与性质，并探讨了计算矩阵特征值与特征向量的方法。
一、矩阵的特征值与特征向量的定义在介绍矩阵的特征值与特征向量之前，我们先来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由若干个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示成一个二维数组，其中的元素用于表示矩阵中的各个数值。
矩阵的特征值与特征向量是对矩阵进行分析与求解时非常有用的工具。
特征值可以理解为矩阵在某个方向上的缩放因子，而特征向量则表示在特征值对应的方向上的向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的定义虽然比较抽象，但是通过对矩阵进行相应的计算可以得到具体的数值结果。
二、计算特征值与特征向量的方法1. 特征值的计算方法计算特征值的方法之一是通过求解矩阵特征方程来完成。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程可以表示为det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征方程可以得到矩阵的特征值。
由于特征方程是一个n次多项式方程，所以一般情况下可以得到n个特征值。
特征值的个数与矩阵的阶数相等。
2. 特征向量的计算方法计算特征值后，我们可以通过特征值来求解特征向量。
对于特征值λ，我们需要求解矩阵(A-λI)X=0的非零解，其中X是特征向量。
解特征向量的过程可以通过高斯消元法或者矩阵的初等变换来完成，得到的非零解即为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有一些重要的性质，这些性质在矩阵理论与应用过程中都具有重要作用。
1. 特征值和特征向量的对应关系对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值与n个相应的特征向量。
特征值与特征向量是一一对应的关系，即每个特征值对应一个特征向量。
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第三部分 矩阵特征值的估计
引言：
矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是很重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的。
幸好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而只需有一个粗略的估计就够了。
比如：在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A 的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内；在差分方程的稳定性理论以及自动控制理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复平面上的某一确定的区域中。
§1. 特征值的界的估计
引理1. n 阶复矩阵A ，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。
即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ，使T AU U T =
引理2. 设n
n n n ij C
a A ⨯⨯∈=)(，则∑∑====n i n
j F ij H
A a AA tr 11
2
2
)(
Proof :设n n ij H b AA B ⨯==)(则
∑∑===++==n
j j n n n
j j j a a a a a a a a a b 1
2
11112121
11111111
∑∑====n
j j
n j j j a a a b 1
2
21
2222
∑∑====n
j ij n j ij ij ii a a a b 12
1
∑∑∑======n
i n
j ij n
i ii H
a b B tr AA tr 11
2
1
)()(
引理3. A 为正规矩阵⇔A 酉相似于对角矩阵。
（注：正规矩阵：A A A A H H ⋅=⋅）即存在酉矩阵U 使
),,,(21n H diag AU U λλλ =
Th 1.设A 为n 阶矩阵，n λλλ,,,21 为其特征值，则：
⇔=≤∑∑∑===n
i n i n
j F ij i A a 1
11
2
2
2
λA 为正规矩阵，等号成立。
Proof:由引理1.存在酉阵U ，使T AU U H =（三角阵）——①
对①两边取共轭转置：U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①⨯②得 H H H H T T U A U AU U ⋅=⋅)()(
H H H T T U AA U ⋅=⇒（为酉阵）
)()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ⋅==⇒
即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i n
j n
i n
i i ii ij n i n
j ij t t a 11
1
1
2
2
2
11
2
λ
设n
n C
A ⨯∈，令2
,2H
H A A C A A B -=+=， 则A =B +C ： 其中B 为Hermit 阵（即H B B =）实 C 为反Hermit 阵（即H C C -=）虚
注：引入B ,C 的目的是为了研究A 的特征值的实部和虚部的估计。
Th 2.设A ,B ,C 如上所设，i λ为A 的特征值，则有：
① ij n
j i i a n ≤≤⋅≤,1max λ
② ij n
j i i b n ≤≤⋅≤,1max )Re(λ
③ ij n
j i i m c n I ≤≤⋅≤,1max )(λ
Proof :由T AU U H =, *T U A U H H =
2
2
2
2H
H H
H H H H
H
T T
U A A U CU U T T
U A A U
BU U -=-=⇒+=+=⇒ ∑∑
∑∑∑∑
======≤≤+=+=n
i ij
j
i n
i n
i n
j ij
ii
ii n
i n
i i
i i
b n b t t 1
2
,21
11
2
2
1
1
2
2
max 2
2
)
Re(λλλ
ij i ij
i b n b n max )Re(max )Re(2
22
⋅≤⇒≤⇒λλ
同理可证：其它两个
注：该定理对A 特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A 特征值虚部估计更精确的一个定理。
Th 3.设n n R A ⨯∈
，则()m i I λ≤
其中ij c k max =，ij c 为上述C 的第i 行第j 列元素 Proof :（略）
eg 1.设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=5.06.07.07.08.0112.01A
则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=+=5
.065.015.065
.08.06.015
.06.01)(21H
A A
B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---=-=005.085.005
.004.085.04.00
)(21
H A A C 3max 3=⨯≤ij i a λ 3max 3)Re(=⨯≤ij i b λ
55.285.03max 3)(=⨯=⨯≤ij i m c I λ
由Th 3. 55.285.03max 2
2
3)(<⨯=⨯≤
ij i m c I λ 易见，Th 3.比Th 2.中③要精确。
据上述定理可得如下推论： 推论1：实对称矩阵的特征值均为实数。
推论2：Hermit 矩阵的特征值均为实数。
推论3：反Hermit 矩阵的特征值均为虚数或零。
Proof 1:A 为实对称，则A A A T
H
==，则02
=-=
H
A A C ，即0=ij c 由Th 2 0max )(=⋅≤ij i m c n I λ 即0)(=i m I λ
i λ∴为实数
Proof 2:A 为H —阵，则H
A A =，则02
=-=
H
A A C ，即0=ij c i λ∴为实数
Proof 3: A 为反H —阵，则A A H
-=，设i λ为特征值，02
=+=
H
A A
B 0=∴ij b
由Th 2. 0max )Re(=⋅≤ij i b n λ 0)R e (=i λ 即i λ为纯虚数或零。
Th 4.幂等阵)(2A A =的特征值为0或1
Proof:设λ为A 的特征值，X 为A 的对应于λ的非零特征向量。
即222(1)0AX X A X AX X X X X λλλλλλλ=⇒==⇒=⇒-=
0=∴λ或1.
Th 5.设A ,B 为n 阶实对称矩阵，矩阵B 半正定（B 的特征值非负），则),,2,1(n i i i =≥βα
其中i i βα,分别为A +B 和A 的特征值，且
n ααα≥≥≥ 21 n βββ≥≥≥ 21
即A +B 与A 的特征值按递减顺序排列。