10.2单自由度体系的自由振动
单自由度系统振动
ϕ = Φ sin( pn t + α )
角速度及系统的最大动能分别为
&= ϕ
dϕ = Φpn cos( p n t + α ) dt 1 1 2 & max = I BΦ 2 p n I Bϕ 2 2
(a)
Tmax =
如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为δst 。此时，弹性力 Fst=kδst , 方向向上。
当物块在静平衡位置时，它的静位移 δ st 等于每根弹簧的静变形之和，即
δ st = δ 1st + δ 2 st
（d）
因为弹簧是串联的，其特征是：二弹簧受力相等，即每 根弹簧所受的拉力都等于重力 mg 。
δ 1 st =
mg mg , δ 2 st = k1 k2
（e）
如果用一根弹簧常量为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧， 此弹簧的静变形等于 δ st (图 2-3（b）)。
图 2-5 扭振系统
20
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定圆轴的抗扭刚度为 k n ，它表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。根据刚体转动微分方程建立该系 统的运动微分方程
&& = −k nϕ I Oϕ
令
pn =
代入式（2-6） ，自由振动的振幅为
2 gh
2 A = x0 +(
&0 2 x 2 ) = δ st + 2hδ st pn mgl 3 96 EJh (1 + 1 + ) 48 EJ mgl 3
梁的最大挠度为
2 δ max = A + δ st = δ st + 2hδ st + δ st =
第二章 单自由度系统的自由振动
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质 量系统是广义的 。
对时间求导 取平衡位置为势能零点，根据自由振动的特点，系统在平衡位置时，系统的势能 为零，其动能的极大值就是全部机械能；而在振动系统的极端位置时，系统的动 能为零，其势能的极大值等于全部的机械能，即有：
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l， 弯曲刚度为EJ，重量不计， 自由端附有重为Ｐ＝ｍg的物体，如图所示。试 写出物体的振动微分方程，并求出频率。 梁的自由端将有静挠度： 物体的振动微分方程为：
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律，有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道：该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期：
振动频率：
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0，物体有初位移
弹簧原长位置
m&x& kx 0
10结构的动力计算习题解答,重庆大学,文国治版教材课后答案
第10章 结构的动力计算习题解答习题10.1 是非判断题(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越大。
（ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。
（ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。
（ ）(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。
（ ）(5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。
（ ） (6) n 个自由度体系有n 个自振周期，其中第一周期是最长的。
（ ）(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。
（ ）【解】(1) 错误。
体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所决定。
(2) 错误。
由阻尼结构的自振频率2r 1ωωξ=-可知，阻尼增大使自振频率减小，自振周期变长。
(3) 正确。
(4) 错误。
由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。
(5) 正确。
(6) 正确。
(7) 正确。
习题10.2 填空题(1) 单自由度体系运动方程为2P 2()/y y y F t m ξωω++=，其中未考虑重力，这是因为__________。
(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。
(3) 若要改变单自由度体系的自振周期， 应从改变体系的__________或__________着手。
(4) 若由式()211βθω=-求得的动力系数为负值，则表示__________。
(5) 习题10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。
c k WF sin θ tP 12-2(5)习题 图习题10.2(5)图(6) 求习题10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI ＝常数)，其质量矩阵[M ]=__________。
mm2m12-2(6)习题 图mF sin θ tP 12-2(7)习题 图习题10.2(6)图 习题10.2(7)图(7) 习题10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI ＝常数。
单自由度系统自由振动
取物块的静平衡位置为坐标原点 O ， x 轴顺弹簧 变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置 时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微 分方程为
mx mg k ( st x)
mx kx
k 固有圆频率 令 ： 0 m 无阻尼自由振动微分方程 2018年9 月4日
周期 T 2
0
; 则
1 0 2 2f T
f 称为振动的频率，表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或Hz
0 称为固有角（圆）频率（固有频率），表示每2秒内振动
2018年9月4日 《振动力学》
的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。
8
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决 于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于 无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统 作非往复的衰减运动。
2018年9月4日 《振动力学》
3
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
2018年9月4日 《振动力学》
c1 A sin ,
c2 A cos
x t A sin 0 t
2018年9月4日 《振动力学》
无阻尼自由振动是简谐振动.
7
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
1.2 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动
0 ( t T ) 0t 2
振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由
单自由度体系自由振动,速度相位与位移相位的关系
单自由度体系（Single Degree of Freedom System, SDOF）是工程动力学中的一个重要概念，它对于描述系统的振动特性有着重要的作用。
在自由振动过程中，速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
本文将从单自由度体系自由振动的基本原理入手，探讨速度相位与位移相位之间的关系，希望通过本文的介绍，读者能够对这一问题有更加清晰的认识。
一、单自由度体系自由振动的基本原理1. 自由振动的基本概念自由振动是指在没有外界干扰的情况下，系统在一定的初位移或初速度作用下，由于其自身的惯性和弹性特性而产生的振动现象。
在工程领域中，自由振动是一种非常常见的振动形式，因此研究自由振动对于工程设计和分析有着重要的意义。
2. 单自由度体系的定义单自由度体系是指系统中只有一个自由度可以自由变化的体系。
在动力学领域中，单自由度体系被广泛应用于描述各种机械、土木和航空航天结构的振动特性。
它是一种简化模型，但对于许多实际工程问题的分析具有较高的适用性。
3. 自由振动的基本方程单自由度体系的自由振动可以通过一阶微分方程来描述。
其基本方程可以表示为：\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0\]其中，\(m\)为系统的质量，\(c\)为系统的阻尼系数，\(k\)为系统的刚度，\(x\)为系统的位移函数，\(t\)为时间。
二、速度相位与位移相位的定义1. 速度相位的定义在振动过程中，速度相位是指速度\(v\)相对于位移\(x\)的相位差。
通常用一个角度来表示，它可以用来描述振动的快慢和超前滞后关系。
2. 位移相位的定义位移相位是指位移\(x\)相对于某一固定参考点的相位差。
它也通常用一个角度来表示，可以用来描述振动的相对位置。
三、速度相位与位移相位的关系速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
在自由振动过程中，它们之间满足以下关系：\[tan(\phi_v-\phi_x)=\frac{2\zeta}{1-\omega^2}\]其中，\(\phi_v\)为速度相位，\(\phi_x\)为位移相位，\(\zeta\)为系统的阻尼比，\(\omega\)为系统的固有频率。
机械震动--单自由度体系的自由振动
y sy(t)机械振动分析------单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体(或物体的一部分)在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。
可分为自由振动、受迫振动。
又可分为无阻尼振动与阻尼振动。
常见的简谐运动有弹簧振子模型、单摆模型等。
振动在机械中的应用非常普遍,例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡重锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。
若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方向。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。
其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。
而同时对多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。
因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。
影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。
现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。
主要包括两部分：单自由度无阻尼系统的自由振动和单自由度无阻尼系统的受迫振动。
一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg ，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
单自由度体系自由振动
单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
ω增加，单位时间内振动次数增加。
无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。
初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。
由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。
于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。
二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。
由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。
有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。
解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。
当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。
课件：单自由度体系的自由振动
刚度系数 取决于结构的
柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
三、自由振动微分方程的解
方程： my ky 0
改写为 y k y 0 m
令： 2 k
m
则方程为 y 2 y 0
1.一般解
（二阶线性齐次微分方程）
m y(t)
y
I(t)
惯性力
（1）规定位移（速度、加速度）的正向（定坐标）
（2）考察质点受力
① 结构（弹簧）对质点的弹力（回复力——恒指向原点方向 S(t) ky(t)） ② 沿正向标注质点的惯性力（惯性力——恒与加速度反向 I (t) my(t) ）
（3）列动平衡方程 （动静法——将惯性力作为静力考虑）
Y 0
y A
（位移幅值）
y A2
（加速度幅值）
I mA2
（惯性力幅值）
在运动的任一瞬时质体m都处于平衡状态，在幅值出现时刻也
一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，
结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。
正弦表达的通解：
y(t) Asin( t )
2.初位移（t=0 ） y Asin
3.初速度（t=0 ）
v yt0 A cos
4.振幅
A
y2
பைடு நூலகம்
v
2
5.初相角（t=0 ） tg 1 y
v
四、结构的自振周期和频率
∵y(t)为周期函数 sin( t) sin( t 2 ) sin[(t 2 )]
y(t) C1 sint C2 cost
I(t)
（积分常数C1，C2由初始条件确定）
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y0 arctan v0
自振周期
T
2
频率
1 f T 2
自振圆频率
（简称自振频率）
2 f
结构自振频率ω的性质
1. 只与质量和结构刚度（柔度）有关， 与外界干扰无关。 2. 与m的平方根成反比（m大， ω 慢） 与k的平方根成正比（k大， ω快）
第十章 动力计算基础
§10-1 动力计算的特点及动力自由度
一、静荷载：不使结构产生显著的加速度
动荷载（动力作用）：使结构产生显著的加速度，
惯性力(- m ÿ )不容忽视
二、动力反应：动内力和动位移的计算 三、动力计算的目的：找出动内力和动位移的变化 规律，并用最大值指导设计
四、动力计算的方法：
4k 3m
m
2m
K
EI=∞
l
2l
暗含着：不考虑杆的质量
4k 0 17 m
4k 17m
若杆的质量为 m ，自振频率又为多少呢？
m
m
双质点的单自由度体系
k 1 成立吗？ m m
×
思考：为何要确定质点的位置呢？
1.忽略杆的质量 2.考虑杆的质量
无限自由度 集中质量法 广义坐标法
有限元法
集中质量法
广义坐标法
有限元法
例：
若无特殊说明，均是不考虑杆的质量
m1 m2 m3
EI
n=3
例：
m1 m2
m3
EI=∞
n=1
例：
m1 m2
m3
EI
n=3
EI= 常数
n=3
m
EI= 常数
m
A
l 2
C
l 2
B
已知EI=常数、y0、v0 求结构的自振频率、质点动位移
l3 192EI
192 EI k 3 l
思考：这个体系用刚度法和柔度法哪个更简单些呢？ 你能将刚度系数和柔度系数快速求出来吗？
1.水平振动时 2.竖向振动时
72 EI 24 EI 3 3mH mH 3
1.自由振动微分方程（含有y 与ÿ 的方程）
1）动位移方程（柔度法） 2）动平衡方程（刚度法）
自由振动时 的运动方程
柔度法求运动微分方 程
刚度法求运动微分方 程
y m y
1 y y0 m
2
1 设 m
2
y y 0
ky m y 0
m EI l l /2 l /2
48EI 3 5ml
多个质点的单自由度体系的自由振动
1 m k 该公式不能用了，为什么呢？ m 怎样求出自振频率呢？
多质点的单自由度体系的自振频率求解方法： 1）写出运动微分方程（柔度法或者刚度法）
2）将其整理成
y ay 0
..
的形式，则
BA
=
mP
A EI l B EI
l 2
C
1.当弹簧与质点直接相连时
并联
并联
并联
串联
串并联
k总 k1 k2 kn
总 1 2 n
m
并联
串联 m
2.当弹簧与质点不相连时
m EI l l /2 l /2 k1
12 EI k1 3 5l
24 EI 3 5ml
2 a
思考：1)该题的若不考虑杆的质量
k 成立吗？ m
2)若还是不考虑杆的质量，但质点移动跨中 了，该公式还成立吗？
×
m
m
EI=∞
l l
2m
K
l
求运动微分方程和自振频率 若杆的质量为 m
杆的受力图
m
EI=∞
l l
2m
K
l
求运动微分方程和自振频率
暗含着：不考虑杆的质量
4k 0 3m
柔度系数的意义
刚度系数的意义
刚度法
m
A
l 2
C
l 2
B
已知EI=常数、y0、v0 求结构的自振频率、质点动位移
7l 3 768EI
柔度法
MP图与右面两个图中的任何一个 图乘也可以吗？为什么？
这个结构用刚度法有点麻烦，因为刚度系数不好求。
结论： 若质点处除了有单位线位移，还有未知的角位移的话， 用刚度法可以，但有点麻烦，建议用柔度法。
根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为平衡 问题来处理。
但这是一种动平衡，是引进 惯性力条件下的平衡。
动力计算两个特点：
1、在所考虑的力系中包括惯性力。
2、这里考虑的平衡是瞬时平衡， 动内力和动位移均为时间的函数。
五、常见动载及分类
1、周期荷载
（1）简谐周期荷载（本章重点）
（2）一般周期荷载
3. ω是结构动力特性的重要数量标志。
动力反应与外表无关，与ω有关 。 两个ω相似的结构，其动力反应相似。
振动方向与重力方向相同时 动位移是以静平衡位置作为原点
m
A
l 2
C
l 2
B
已知EI=常数、y0、v0 求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3 48EI
柔度法
3.与质点的数目不一定相等
回顾高数： 二阶常系数齐次线性微分方程的解
y p y qy 0
§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m） 2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
k
1
单个质点的单自由度体系的自由振动
n=2
m m m m
EI= 常数
n=3
m
m
EI= 常数
m
n=4
m
EI
EI
m
EI1=∞
m
n=2
m
EI
m
EI1=∞ EI1=∞
m
n=1
动力自由度与几何构成自由度的区别
动力自由度 ：1.以质点为研究对象 2.弹性体系 几何构成自由度 ：1.以整个体系为研究对象 2.刚性体系
动力自由度的特点：
1.与质量的分布、体系的支承和刚度有关 2.与有无多余约束无确定关系
FP(t)
t 简谐荷载
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载
非周期性的爆炸荷载
3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
六、动力计算自由度
自由度：结构（体系）在变形过程中，确定全部
质量位置 所需要的独立参数的数目。 若只是质点， 则动力计算自由度质点处的独立线位移个数
k y y 0 m
k m
2
y y 0
2
ω为自振圆频率，简称自振频率
1 m
k m
自振频率
2、自由振动微分方程的解
y t y0 cos t
v0
sin t
yt A sin t
A v0 y