单自由度系统的振动阻尼

无阻尼固有频率：0
kb2 ml 2
b l
k m
c
a b l
ca
ca 2 ml 2
20
ca 2
2ml 20
ca2 2mlb
m k
阻尼固有频率： d 0
1
2
1 2ml 2
4kmb2l 2 c2a4
m k
m
k b ml
1
cc
2bl a2
mk
t
当n＞ω0(ζ ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞ cc ;在这种 情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：
r1 n n2 02
r2 n n2 02
微分方程的解为
x ent (C1e n2 02t C2e ) n2 02t
其中C1、 C2为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。
设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力FC可表示为：
F
cv
负号表示方向
比例常数c称为粘性阻尼系数
振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。
一般的机械振动系统都可以简化为：
x 2nx 02 x 0 （1）
其解可设为：
x ert
代入（1）式，得到特征方程：r 2 2nr 02 0
两个特征根为： r1,2 n n2 02
该方程通解为： x C1er1t C2er2t
特征根 r1,2 n n2 02 为实数或复数时，运动规律有很大 不同，因此下面按n<ω0，n>ω0和n=ω0三种不同情形分别进行讨论。
其中
Td
0
2 1 2
n c 0 2 mk
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n 2 2 2 0 1 2 1 2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼 特性的一个参数。
例 在欠阻尼（ <1）的系统中，在振幅衰
减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的
3.小阻尼情形
当 n<ω0 时 ， ；其中
n c 2m
阻尼较小，称为小阻尼情形。
特征根 r1,2 n n2 02 为共轭复数，即：
r1 n i 02 n2 r2 n i 02 n2
微分方程的解 x C1er1t C2er2t 可以表示为：
x Aent sin( 02 n2 t ) 或 x Aent sin(dt )
设cc为临界阻尼系数，由于ζ =n/ω0 =1，即
x
cc 2nm 20m 2 km
＝1
cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由
>1
c 2nm n
cc 20m 0
t
ζ 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是ζ 称为阻尼比的原因。
具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。 因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动， 临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现 反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而 且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然， 只有临界阻尼器才能满足这种要求。
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响 由衰减振动运动规律： x Aent sin( 02 n2 t ) Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: Ai Aenti
经过一个周期Td，系统到达另一个
比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai
Ai1 Aen(ti Td )
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时 间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量， 使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
以不是周期振动。
Td
d
A3 t
但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。 我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需的时 间称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。
阻尼对周期的影响
2
Td
d
2
2
2
02 - n2
0
1 ( n )2
0
0 1 2
其中： n c 0 2 mk
r1 n；r2 n
得到振动微分方程的解为 x ent (C1 C2t)
其中C1和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。
上式表明：这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置， 因此运动已不具有振动的特点。
临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统
的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。
经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、
r=2代入上式，得到该系统的阻尼比：
ln 2 0.011 20
4.临界阻尼和大阻尼情形
当n=ω0（ζ=1）时，称为临界阻尼情形。这时系统的阻尼系数 用cc称为临界阻尼系数。
从式
n c 0 2 mk
cc 2 mk
在临界阻尼情况下，特征根 r1,2 n 为n2两个02相等的实根，即：
（2）粘性阻尼力
Fc
c
dx dt
cx；方向与速度方向相反。
根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为： mx cx kx 0
- mx kx cx 0
两端除以m，并令：
kx cx
o
02
k m
2n c m
n称为衰 减系数
x
m
x
mx
整理得： x 2nx 02 x 0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式,它是一个二 阶齐次常系数线性微分方程
Ai+1
这两个相邻
振幅之比为:
Ai Ai1
Aenti Aen(ti Td )
enTd
η称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振动
的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
由
Ai Ai1
Aenti Aen(ti Td )
enTd
两端取自然对数得 ln ln enT nTd δ称为对数减缩系数
解： 求出对数减缩率:
ln Ai
Ai1
ln 100 0.0202 98
阻尼比为:
0.003215 2
系统的临界阻尼系数为:
kc O
m x
cc 2 mk 2 0.05 2000 20N s / m 阻尼系数: c cc 0.0643N s / m
Fk
Fc
m
x
达朗贝尔原理
*例：阻尼缓冲器
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
d 02 n2 称有阻尼自由振动的圆频率
x Aent sin(dt )
当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x;可0 求得有阻尼自由
振动中的振幅和相位：
A
x02
(x0 nx0 )2
02 n2
x
arctan x0 n2 n2
x0 nx0
这种振动的振
Aent 衰减曲线的包络线
幅 是 随 时 间 不 A x0 断衰减的，称
A1
运
动图线如图所 示。
Td
d
x
由衰减振动的表达式：
Aent
x Aent sin(dt ) A x0 A1
A2
这种振动不符合周期振
动 f (t) f (t的 定nT义) ，所
k
平衡位置 0 x0 x
c
设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：
x(t)
02 x0 d
e 0t1
sin d t1
0
t1
d
即经过半个周期后出现第一个振幅 x1
x1 x(t1 ) x0e0t1 x0e 1 2
x1 x(t1 ) x0e0t1 x0e 1 2
由题知 解得：
x1
e
1 2
10%
x0
0.59
例：
小球质量 m 刚杆质量不计
c a
b
求：
l
（1）写出运动微分方程
（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率
m k
解：广义坐标 ； 受力分析；
力矩平衡：ml l ca a kb b 0 ml 2 ca2 kb2 0
mx cx kx 0 x 20 x 02 x 0
静载荷 P 去除后质量块越过平衡位 置的最大位移为初始位移的 10％
求：
缓冲器的相对阻尼系数
P m
k
平衡位置 0 x0 x
c
解：
由题知 x(0) 0 设 x(0) x0
x(t)
e 0t
( x0
cosd t
x0
0 x0 d
sind t)
求导 ：
x(t)
02 x0 d
e 0t
sind t
P m
两点P、R的幅值之比xP/xR=，如图所示， 试确定此振动系统的阻尼比。
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Aent
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd
xR
2π N ln 1 2
当 2<<1时
2π N ln
ln
2π N
此式对估算小阻尼系统的ζ值是很方便的。例如，
c
k 由惯性元件（m）、弹性元件（k）、阻
尼元件（c）组成的系统。