(1)一元二次方程的一般形式是什么
一元二次方程求根公式c++
一元二次方程求根公式c++一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a不等于0。
求解一元二次方程的根可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)该公式中的±表示两个解，即方程可能有两个不同的实数根，重根（重复根）或无实数根。
计算这两个根的公式中包括平方根，需要注意判别式b^2 - 4ac是否大于等于0。
如果判别式大于等于0，则该方程有两个不同的实数根，若等于0，则有两个重根，否则没有实数根。
以下是一个使用C++编写的一元二次方程求根函数的示例：```cpp#include <iostream>#include <cmath>void solveQuadraticEquation(double a, double b, double c) {double discriminant = b * b - 4 * a * c;if (discriminant >= 0) {double root1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2 * a);double root2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2 * a);std::cout << "Two roots: " << root1 << " and " << root2 << std::endl;} else {std::cout << "No real roots." << std::endl;}}int main() {double a, b, c;std::cout << "Enter the coefficients of the quadratic equation (ax^2 + bx + c = 0):" << std::endl;std::cout << "a: ";std::cin >> a;std::cout << "b: ";std::cin >> b;std::cout << "c: ";std::cin >> c;solveQuadraticEquation(a, b, c);return 0;}```使用该程序，用户可以输入一元二次方程的系数，然后程序会计算并输出方程的根。
《一元二次方程的根与系数的关系》 教学设计
《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析:本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标：【知识与能力目标】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.教学重难点：【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）.【设计意图】通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。
问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。
一元二次方程的顶点公式
一元二次方程的顶点公式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数常数，并且a≠0。
求一元二次方程的解通常有三种方法：因式分解、配方法和根的公式。
在这里，我们将讨论一元二次方程的顶点公式。
顶点公式是一种计算并描述一元二次方程抛物线的顶点坐标的方法。
抛物线的顶点是其最高（或最低）点，具有最大或最小的y值。
这个顶点可以通过顶点公式计算得到。
首先，让我们回顾一下一元二次方程的标准形式ax²+bx+c=0。
根据顶点公式，一元二次方程的顶点的x坐标可以通过公式x=-b/2a来计算。
这意味着顶点的x坐标是直线x=-b/2a的横坐标，它是抛物线的对称轴。
为了计算顶点的y坐标，我们将x的值代入原方程中，即：y=ax²+bx+c。
用顶点的x坐标取代x，我们得到y=a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c。
经过简化，我们可以得到一个新的公式y=c-(b²/4a)。
所以，顶点的坐标就是(-b/2a,c-(b²/4a))。
让我们通过一个具体的例子来演示一下使用顶点公式求解一元二次方程的顶点坐标。
假设我们要解方程x²-4x+3=0的顶点坐标。
首先，我们找出a、b和c分别是1、-4和3、然后，我们可以直接使用顶点公式x=-(-4)/2(1)来计算顶点的x坐标，得到x=2、接下来，我们将此值代入方程y=1(2)²-4(2)+3，得到y=1所以，这个方程的顶点坐标是(2,1)。
顶点公式是一种简单而有效的方法，可以帮助我们求解一元二次方程的顶点坐标。
通过顶点公式，我们可以确定抛物线的对称轴，并找出抛物线最高（或最低）点的坐标。
这使得我们更好地理解和分析一元二次方程的性质和特点。
一元二次方程的delta
一元二次方程的delta
一元二次方程的Δ（delta）代表判别式，用来判断方程的根的性质。
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
判别式Δ的计算公式为Δ = b² - 4ac。
根据Δ的值，可以得出以下结论：
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中与x轴有两个交点，图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中与x轴有一个交点，图像是一个与x轴相切的抛物线。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
这意味着方程在坐标系中与x轴没有交点，图像位于x轴上方或下方，不与其相交。
通过计算Δ，我们可以确定方程的根的性质，进而解决相关问题。
一元二次方程的根与系数之间的关系
一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。
解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。
在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。
系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。
在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。
首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。
具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。
1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。
可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。
可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。
也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。
因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。
解一元二次方程时配方法的作用
解一元二次方程时配方法的作用在解一元二次方程时，配方法是一种常用的方法。
这种方法的核心思想是通过配方，将方程转化为一个完全平方的形式，从而方便求解。
配方法不仅仅是一种解题技巧，它的背后有着深厚的数学原理和广泛的应用。
首先，配方法能够将形式复杂的一元二次方程转化为更容易处理的形式。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为常数，且 a ≠0。
通过配方，可以将方程转化为(a(x+b/2a))^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2 的形式。
这种转化使得原本复杂的一元二次方程变得更加直观和简单，方便我们进一步求解。
其次，配方法能够揭示一元二次方程根的性质。
通过配方，我们可以清晰地看到方程的根与系数之间的关系。
例如，方程的根的和等于系数的负比值，即-b/a；根的乘积等于常数项与首项系数之比，即c/a。
这些关系式对于理解一元二次方程的根的性质和分布具有重要意义。
此外，配方法在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域，我们经常需要解决形如y = ax^2 + bx + c 的问题。
这些问题可以通过配方法转化为顶点形式y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k) 是函数的顶点坐标。
这种转化能够帮助我们更准确地描述问题的本质，并提供有效的解决方案。
再者，配方法还能培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在数学教学中，配方法是一元二次方程部分的重点内容之一。
通过学习和掌握配方法，学生可以锻炼自己的逻辑思维、推理能力和计算能力。
同时，配方法还能够帮助学生理解数学的转化思想，培养他们的创新思维和实践能力。
总之，配方法在解一元二次方程中的作用是显而易见的。
它不仅是一种解题技巧，更是一种数学思维方式和解决问题的方法。
通过学习和运用配方法，我们可以更好地理解一元二次方程的本质和性质，并在实际应用中发挥其作用。
同时，配方法还能够培养学生的数学思维和解决问题的能力，为他们的未来发展奠定坚实的基础。
中考《一元二次方程》经典例题及解析
一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式； （5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原当m 为平均下降率时，则有(1n a m -2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD ()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD （3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 为()()a x b x --．图1 4. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛和B 与A 比赛是同一场比赛∴m =（ −1）（2）不重叠类型（单循环）：n 支球队，∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛在A 的主场，B 与A ∴m = （ −1）经典1．若关于x 的方程220x ax +-=有一个【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义，【解析】解：把x=1代入方程2x ax +=a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长)b =．成本．（2）利润率=利润成本×100％． BCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，CD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的BCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空 图2 图互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m 。
一元二次方程根与系数的关系 (1)
x2= 由根与系数的关系,得 x1+x2= - 2 , x1 · 解： ∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( 3 2
)+1=
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 2 2 x 3x 1 0
两个根的（1）平方和；（2）倒数和 解：设方程的两个根是x1 x2，那么
2
返回
练习：不解方程，求方程3x +2x-9=0的两 根(1)倒数和，(2)平方和，(3)平方差.
2
解：设方程的两根为x1,x2.即x1+x2=-2/3 , x1x2=-3 2 1 1 x1 x2 2 3 1. x1 x2 x1 x2 3 9 4 4 2 2 2 2.x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 6 6 9 9
3 . x1 x2
2
x1 x2
2
4 4 4 x1 x2 12 12 9 9
一元二次方程根与系数的关系： (1)当二次项系数为1的时候关于x的方程 x2 +px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数). 则：x1+x2=-p, x1x2=q (2)关于x的方程 ax bx c 0a 0
b ⑵在使用X1+X2=－ a
时，
注意“－ ”不要漏写。
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法一：设方程的另一个根为x1. 由根与系数的关系，得 x1 ＋2= k+1 x1 ●2= 3k x1 =－3 k =－2
解这方程组，得
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
公式法解一元二次方程适用范围
公式法解一元二次方程适用范围
一元二次方程是高中数学中常见的一种方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
解一元二次方程时，除了可以利用因式分解、
配方法等代数方法外，还可以利用公式法求解。
公式法是指利用一元二次方程的求根公式x = (-b ±√(b^2-4ac))/2a求解方程的方法。
但需要注意的是，公式法只适用于满足以下条件的一元二次方程：
1.系数a不等于0，且为实数；
2.方程的根为实数。
如果方程不满足以上条件，则公式法求解可能会得到虚数根，需要用到复数的概念。
此时应该使用其他的方法进行求解。
另外，如果系数a接近于0，或b、c的绝对值极大，也会导致公式法求解的误
差较大，此时也需要注意。
总之，公式法是解一元二次方程的一种有效方法，但需要注意其适用范围，避免出现错误的解。
- 1 -。
一元二次方程开口和对称轴
一元二次方程开口和对称轴一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
一元二次方程的图像是一个抛物线，它的开口方向和对称轴是重要的性质。
我们来讨论一元二次方程的开口。
开口的方向取决于二次项系数a 的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
这是因为二次项的系数a决定了抛物线的凹凸性质，a的正负决定了抛物线的开口方向。
对于开口向上的抛物线，我们可以推导出它的最小值点的坐标和对称轴的方程。
最小值点的坐标为（h，k），其中h=-b/2a，k=f(h)。
这里，-b/2a是一元二次方程的顶点横坐标，f(h)表示在横坐标h处的纵坐标值。
对称轴的方程为x=h。
这意味着，开口向上的抛物线在对称轴x=h处对称。
同样地，对于开口向下的抛物线，我们可以推导出它的最大值点的坐标和对称轴的方程。
最大值点的坐标为（h，k），其中h=-b/2a，k=f(h)。
对称轴的方程为x=h。
这意味着，开口向下的抛物线在对称轴x=h处对称。
通过以上的推导，我们可以总结出一元二次方程的开口和对称轴的关系。
开口向上的抛物线的最小值点坐标为（h，k），对称轴方程为x=h；开口向下的抛物线的最大值点坐标为（h，k），对称轴方程为x=h。
接下来，我们来举例说明一元二次方程的开口和对称轴。
假设有一元二次方程y=x^2-4x+3，我们可以通过求解方程来确定开口和对称轴的具体信息。
我们将方程y=x^2-4x+3=0变形为标准形式。
移项得到x^2-4x+3=0，然后可以得到a=1，b=-4，c=3。
由于a=1>0，所以这是一个开口向上的抛物线。
接下来，我们可以计算最小值点的横坐标和纵坐标。
根据公式h=-b/2a，带入a=1，b=-4，可以得到h=-(-4)/(2*1)=2。
因此，最小值点的横坐标为2。
然后，我们可以带入横坐标h=2到方程中，求解得到纵坐标k=f(2)=2^2-4*2+3=3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
它的另一个根是 16/3 ，m的值是 16 。
３、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根， 是方程2x +4x-3=0的两个根 的两个根， 利用根与系数的关系，求下列各式的值。 利用根与系数的关系，求下列各式的值。 x2 + —1 x ）（x +1）（ +1）（ ）（x ）（2 （1）（x1+1）（x2+1）（2）— x1 x2
观察猜想
方程
x2－2x＝0 ＝
两根之和 两根之积 x1 x2 x1+x2 x 1x 2
0 2 x2＋3x－4＝0 -4 1 － ＝ x2－5x＋6＝0 2 3 ＋ ＝ 1 2x2＋7x＋3=0 -3 ＋ 2
2 -3 5 7 2
0 -4 6
3 2
请同学们猜想： 请同学们猜想：
任意的一元二次方程
（1） ） （2） ） （3） ） （4） ） （5） ） （6） ）
练一练 练一练
2.求下列方程的“两个根之和”与 2.求下列方程的 两个根之和” 求下列方程的“ 两个根之积” “两个根之积”： (1)2x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3)5x2－4x－12＝0； 12＝ 10＝ (4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
2+bx+c=0（a=0）的x +x ax +bx+c=0（a=0） 1 2，
与系数a x1.x2与系数a，b，c 的关 系。
推理论证
≥0
如果一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0） 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个根是x 的两个根是x1，x2 ，那么 b x1 + x 2 = a c x1x 2 = a
x2 x1 x1 + x2 + = (4) x1 x2 x1 x2 (5)( x1 + 1)( x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1
x + x2 1 1 (6) 2 + 2 = x 2 x 2 x1 x2 1 2 2 ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 = 2 ( x1 x2 )
√
（2）已知方程一根，求另一根。 已知方程一根，求另一根。
例1 已知方程 5x2+kx-6=0的一个根 +kx-6=0的一个根 求它的另一个根及k的值。 是2，求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根是x1那么 设方程的另一个根是x
6 ∴x = - —. 3. 2x1= - — 1 5 5 k 3 ）+2= - — 又（- —） 5 5 3 ∴ k=-5 （-—）+2 = -7 5 3 答：另一个根是 - —，k的值是-7。 ， 的值是5
两个根的（ 两个根的（1）平方和 （2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么 1 3 x .x =-—. x1+x2 =-— 1 2 2 2
（１）x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2
1 1 x1 + x 2 + = （２） x1 x 2 x1 x 2
（３）（x1－x2）2 = （x1+x2）2 – ４x1.x2 ）（x
2
ห้องสมุดไป่ตู้
复习练习
情况为 有两个不相等的实数根 。 2 2、一元二次方程 2 x x + 3 = 0 的 2 b 4ac = _____ 此时方程的根的 -23 情况为 没有实数根 。 3、方程 4 x( x 1) = 1 的根的情况 为 有两个相等的实数根 。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的 根与系数的关系
问题 ：解下列方程，将得到的解填入 问题3：解下列方程， 相应的表格中， 相应的表格中，你发现表格中两个解 的和与积和原来的方程有什么联系？ 的和与积和原来的方程有什么联系？ （1）x2－2x＝0； ） ＝ ； （2）x2＋3x－4＝0； ） － ＝ ； （3）x2－5x＋6＝0； ） ＋ ＝ ； （4）2x2＋7x＋3=0 ） ＋
的根是2 例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 已知方程5 +kx-6=0的根是 的值。 求它的另一根及k的值。
方法（ 方法（二） ∵ 2是方程 是方程 ∴ ∴ 原方程可化为 解得： 解得： 的根， 的根，
（３）已知方程求某些代数式的取值
例2 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的 不解方程，求方程2 +3x-1=0的
2 1 2
1.下列方程两根的和与两根的积 1.下列方程两根的和与两根的积 各是多少？（不解方程） ？（不解方程 各是多少？（不解方程） （1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
２、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1， 已知方程3x 19x+m=0的一个根是 的一个根是1
一元二次方程根与系数关系的应用
（1）验根。 验根。
（口答）判定下列各方程后面的两个数 口答） 是不是它的两个根。 是不是它的两个根。
① ②
5 2 ③ 3x + 5x 2 = 0( , ) 3 3
2
2
2x 3x + 1 = 0(3,1) ×
2
x 6x 7 = 0(1,7) √
2
×
④ x 8x + 11 = 0(4 + 5 ,4 5 )
课堂总结
1、一元二次方程根与系数的关系是 、 指一元二次方程两根的和， 指一元二次方程两根的和，两根的积 与系数的关系。 与系数的关系。 2、在实数范围内运用韦达定理，必须 在实数范围内运用韦达定理， 注意 ,这个前提条件,而应用判别式 这个前提条件, 的前提条件是方程必须是一元二次方程， 的前提条件是方程必须是一元二次方程， 即二次项系数 ，
（1）一元二次方程的一般形式是什么
ax2+bx+c=0(a≠0)
（2）一元二次方程的根的判别式是什么
判别式的值 △＞0 △＝0 △＜0
= b 4 ac
2
判别式的值 △ ≥0 △＜0
根的情况 有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根
根的情况 有两个实根 没有实数根
1、一元二次方程 x + 3 x 1 = 0 的 2 b 4ac = _____ 此时方程的根的 13
你猜对了吗？ 你猜对了吗？
任意的一元二次方程
+bx+c=0（a=0） ax2+bx+c=0（a=0）的 与系数a x1+x2， x1.x2与系数a，b， b c 的关系是： x1+x2=-— 的关系是： a
c x1.x2= — a
练一练 练一练
练习1．（口答）下列方程中， 练习 ．（口答）下列方程中， ．（口答 两根的和与两根的积各是多少？ 两根的和与两根的积各是多少？
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 世纪法国最杰出的数学家韦达发现 世纪法国最杰出的数学家韦达 代数方程的根与系数之间有这种关系， 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只 人们把这个关系称为韦达定理 因此 人们把这个关系称为韦达定理 数学原本只 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好， 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取 得了伟大的成就。 得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数的人， 字母表示数的人 使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进。是他确定了符号代数的原理与方法， 改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。 因此，他获得了“代数学之父”之称。 因此，他获得了“代数学之父”之称
作业： 作业： P42 第6题 题
+2（ 1、已知关于x的方程 x2+2（m-2）x+m2+4=0 已知关于x 有两个实数根， 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两 根的积大21 21。 的值。 根的积大21。求m的值。 2、如果关于x的方程2x2+3x+5m=0的两个 如果关于x的方程2x +3x+5m=0的两个 实数都小于1 试求m的取值范围。 实数都小于1。试求m的取值范围。