第四章 解析几何

这个平面上的任意一点就可以一对数字来表达，分别对应这个点在x轴 和y轴上的投影长度，我们称之为坐标。比如（2, 3)代表在x=2,y=3的地 方，唯一对应的点。
xy轴把平面分成了四个部分，我们称之为象限（quadrants),右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，x轴、y轴上的点及原点不在任何一个象限内。
假如有交点，交点的x坐标可以由求根公式给出：
从公式里我们可以看到，如果 小于零，根号下是一个负数，求出的值也是没有意义的，也就是不会有交点。
3.对称轴axisofsymmetry
二次函数的对称轴由如下公式给出：
x = -
把对称轴坐标带入函数，可以求得顶点vertex的坐标。二次函数的顶点坐
标为：
§4.2.6圆锥曲线conic sections
1.y=kx+b
这是一次函数最常见的表达方式，从函数式里我们可以直接读出直线 的斜率slope=k,以及在y轴上的截距y-intercept=b。要计算x轴上的截距x-intercept,我们可以令y=0,解得x-intercept=- 。注意截距是有正负之分的，我们在谈论截距的时候不仅要知道大小，还要知道正负。
第四章解析几何coordinate geometry
§4.1自我检测
1.Anisoscelestrapezoidisshowninthestandardcoordinateplanebelow.whatarethecoordinatesoftheuprightvertex?
2.Whatisthelengthofthediagonaloftherectangleshownbelow?
对圆外的点有(x - h)2+(y-k)2>r2
2.椭圆ellipse
定义为到两个定点距离之和为定值的点的集合。这个定值就是长轴的长，我们设为2a;短轴长为2b。那么椭圆的方程可以如下给出：
+ = 1
关于定义里的两个定点，我们称之为焦点focus。焦点坐标为(±c,0)，c值由如下 给出：
c =
§4.3成果检测
直接由如下公式得到：d = 实际上这个公式本身就是勾股定理的一个应用而已。
比如（1, 2)和（3, 6)之间的距离就是d= =
§4.2.4 —次函数linearfunction
如果一个函数的图像在直角坐标系里是一条直线，那么我们把这种函数称为一次函数。一次函数里，x和y的幂都为1,它们的方程有如下形式：
在ACT数学里，我们只需要掌握圆和椭圆的方程即可。
1.圆circle
圆定义为离定点等距的点的集合。设这个定点为（h，k),距离为r，根据点间距离公式有：
(x - h)2+(y-k)2=r2
这就是圆的方程，（h,k)为圆心center，r为半径radius。
对圆内的点有(x - h)2+(y-k)2<r2
5.whatistheradiusofthecirclerepresentedbytheequation
x2+y2-2x+ 4y- 4 = 0 ?
自测答案：
1.
2.
3.
4.
5.3
§4.2考点扫盲
§4.2.1坐标平面coordinateplane
1坐标coordinate
笛卡尔直角坐标系由两条相互垂直的直线构成，我们分别称之为x轴x-axis,和y轴y-axis。两条直线的交点称为原点origin。
1.Inthefigureshownbelow,pointCbisectslinesegmentAB.whatarethe coordinatesofpointA?
A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,4)E.(2,2)
2.Thethreepointsshownbelowareverticesofarectangle.whatarethe coordinatesoftheothervertex?
对称symmetric:如果两条直线相对与y轴或x轴对称，则它们的斜率互 为相反数，即：
k1+k2=0
5.—次不等式所表示的区域
我们知道ax+by+c=0表示一条直线。直线会把平面分成两个部分，那 么在这两个部分的点分别有什么特征呢？
结论是，在其中一个部分ax+by+c>0,另一个部分ax+by+c<0。那么到底哪部分大于0哪部分小于0该怎么确定呢？我们把某个区域的一个点带入看ax+by+c的值是大于还是小于零就行了。比如：
倘若已知直线过两点（x1,y1),(x2,y2),也可以唯一确定一条直线，这条直线的斜率k可以如下给出：
k =
所以可以依照上式写出直线的表达式为：
y = (x–x1)+y1
4.斜率slope
斜率slope是直线最明显的特征，它表明了直线的倾斜度。k值越大代表直线越倾斜；k值为零代表直线和x轴平行，也就是不倾斜；k值为负，代表直线是向下倾斜。k值为无穷，代表直线和y轴平行。
A.0B.1C.2D.3E.4
4.Whichoneofthefollowingequationsisgraphedinthecoordinateplane below?
A.y=x+1
B.y=-Leabharlann x+1C. y= 2x-1
D.y= x+1
E.y= x-1
5.Forthefunctionf(x) = x2- x,iff(a)=f(3),whatisthevalueofa?
A.x2+y2=3B.x2+(y+3)2=3C.(x+3)2+y2=9D.x2+ (y+ 3)2=9E.x2+y2=9
检测答案：1-5BABBB6-7DD
圆锥曲线的知识有可能出现在ACT数学的难题里，那么关于圆锥曲线我 们需要掌握什么呢？首先，想象一个圆锥，我们用一刀把其切成两半，所得的 截面有几种可能？如果是平行于底面切，那么截面是一个圆circle;如果斜着切，有可能得到楠圆ellipse和一个抛物线parabola;如果竖着切，将得到双曲 线hyperbola的一支。所以我们把这些图像叫做圆锥曲线。
1.开口
给出二次函数的表达式y=ax2+ bx+c,如果a>0，则函数开口向上，如果a<0则函数开口向下。
2.与x-axis是否有交点
判断一个二次函数图像与x轴是否有交点用如下方法：
若 =b2-4ac>0，图像与x轴有两个交点。
若 =b2-4ac=0,图像与x轴只有一个交点，我们可以称之为相切。
若 =b2-4ac<0，图像与x轴没有交点。
2.ax+by+c=0
这是一次函数最一般的形式，我们可以把这种形式还原成第一种可得：
y=- x-
所以我们可以得到直线的斜率k=-a/b,y轴截距=-c/b,x轴截距=-c/a
3.知道点和斜率求函数表达式
倘若已知直线过一点（x1,y1),斜率是k,那么我们可以唯一确定一条 直线。它的表达式如下：
y=k(x–x1)+y1
§4.2.2
如果知道两个点的坐标（x1,y1),(x2,y2),其中点坐标可以表示为( , ),也就是中点x坐标为亮点x坐标的平均数，y坐标也是两点y坐标的平均数。比如（1, 2)和（3, 6)两个点的中点坐标为（2,4)。
§4.2.3两点之间的距离distance
如果知道两个点的坐标（x1,y1),(x2,y2)，想计算它们之间的距离可以
3.whatistheequationofthelinethatpassesthroughthemidpointofline segmentABandisperpendiculartoAB,whosecoordinatesare(1,2)and(5,-4),respectively?
4.whatvaluesofxsatisfytheequation|x|2-2|x|-15 =0?
A.(5,-2)B.(4,-2)C.(4,-3)D.(5,-3)E.(4,-4)
3.Withrespecttothesepoints(1,2), (-3,4), (0,0), (2,-1), (1,1),Howmany pointsofthemareattheuppersideoftheliney=-x+2?
直线2x-3y+1=0,把平面分成上下两个部分，点（0, 0)在直线的下半部分。带入可得2x0-3x0+1=1>0,所以对下半部分所有的点都有2x-3y+1>0;上 半部分所有的点都有2x-3y+1<0。
§4.2.5二次函数quadraticfunction
函数式能够写成y=ax2+ bx+c形式的函数都叫二次函数。二次函数的图像是一个抛物线parabola。关于二次函数要理解以下几点：
A.0B.1C.2D.4E.5
6.Inthestandard(x,y)coordinateplane,thegraphoftheequation
x2+3y2—3x+12y= 0is:
A.alineB.acircleC.aparabolaD.anellipseE.ahyperbola
7.Whichofthefollowingistheequationshownbelow?
直线的斜率如果满足某些关系可以揭示出直线的位置关系。这在解题时 可以非常方便的应用。希望同学们熟练掌握：
垂直perpendicular:如果两条直线相互垂直，那么它们的斜率互为负倒
数，即：
k1• k2= -1
平行parallel：如果两条直线相互平行，代表它们的倾斜度相同，也就是斜率相等：