重积分部分练习题
第九章重积分测试题
第一套1、试利用积分性质比较()σd y x D⎰⎰+2与()σd y x D⎰⎰+3的大小，其中D 为：()()11222≤-+-y x ，并说明理由。
2、交换下列积分次序：()dx y x f dy y y ⎰⎰---21211,3、计算积分⎰⎰D D dxdy y x ,：由2,x y x y ==围成;4、计算积分x y y y x D dxdy x yD≤≥≤+≤⎰⎰,0,41:,arctan 225、求z =与222()z x y =-+所围空间区域的体积。
6、计算三重积分10,1:,2222≤≤≤+Ω⎰⎰⎰Ω--z y x dxdydz ey x ；7、计算三重积分2222222(),:,0.x y z dV x y z R z Ω++Ω++≤≥⎰⎰⎰第二套1、将二重积分()dxdy y x f D⎰⎰,化成直角坐标系下的累次积分（两种次序都要），积分区域D ：由2,,1,0-====x y x y y y 所围成；2、交换下列积分次序：()dyy x f dx xe⎰⎰ln 01,3、计算积分⎰⎰DD dxdy xy ,2：由()021,22>==p p x px y 围成； 4、计算积分22,:2Dxdxdy D x y x x +≤⎰⎰和轴在第一象限所围区域。
5、求旋转抛物面225z x y =--被三个坐标面所截位于第一卦限部分的表面积。
6、利用柱面坐标计算下列积分Ω⎰⎰⎰Ω,dxdydz z 由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成。
7、计算三重积分2222222(),:,x y z dV x y z R z Ω++Ω++≤≥⎰⎰⎰第三套1、将二重积分()dxdy y x f D⎰⎰,化成直角坐标系下的累次积分（两种次序都要），积分区域D ： 224,x y x y -≤≥；2、交换下列积分次序：()dx y x f dyy⎰⎰204,()dx y x f dyy ⎰⎰-+6064,3、计算积分⎰⎰≤≤≤≤Dy x D ydxdy x 20,21:,sin π；4、计算积分9:,42222≤+-+⎰⎰y x D dxdy y x D．5、求由直线,2y x x ==及双曲线1,(0)y x x=>所围平面图形面积。
重积分典型例题
重积分典型例题
例 1 在下列积分中改变累次积分的次序： (1) 解 (2) 解
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy ， ( a < b ) ；
a
x
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy = ò dy ò f ( x , y ) dx ．
a a y 2 ax 2 ax - x 2 2 ax 2 ax - x 2
òò ( x - a )( y - b ) dxdy £ òò | x - a | | y - b | dxd y £ òò
D D
| x - a || y - b | dxdy
[ a ,b ]´[ c , d }
= ò | x - a | dx × ò | y - b | dy
a c b =æ - x ) dx + ò ( x - a ) dx ö ç òa (a ÷× a è ø
2 2
f ( x , y ) dx + ò dy ò x , y ) dy ． y f (
2
2 a
2 a
a
2 a
例 2 计算下列重积分：
(1)
òò xy dxdy ，D 为抛物线 y
D p 2 òò xy dxdy = ò 2 xdx ò 0 D p 4 p 2 p 2 7 p 5 2 2 = × x 0 = ． 3 7 21 2 px - 2 px
解
令 x = ar cos q ， y = br sin q ，则 0 £ q £ 2 p ， 0 £ r £ 1 ，
¶ ( x, y ) = abr ．有 ¶ ( r , q )
重积分练习题
则 I=
(7) 设
∫∫∫ [ y sin x + 2]dV = ________ .
∫∫∫ xyzdxdydz = ______ .
.
是由平面 x = a ( a > 0 ), y = x , z = 0, z = y 所围成
的有界闭域 ， 则三重积分 I =
(8) 设
是由曲面 z =
x + y 及 z=
2
( R > 0)
.
)
(B)
(A)
∫
∫ ∫
2R
0
2π
z dz
π 2 0
∫∫ dxdy
x2 + y2 ≤ R2
2 R cos ϕ 0
∫
2R
0
z 2 dz
∫∫ dxdy
x 2 + y 2 ≤ 2 Rz − z 2
(C)
0
dθ ∫ dϕ ∫
R 0
r 4 cos 2 ϕ sin ϕ dr
2π
(D)
0
dθ ∫ ρ dρ ∫
2 2
1 x + y +1
2 2
所围成
的有界闭域 ， 则三重积分在柱坐标系 下的三次积分为 :
.
2.选择 选择 (1) 记 I 1 =
(A) I1 ≤ I2
∫∫ | xy | dxdy ,
x 2 + y 2 ≤1
I2 =
| x |+ | y | ≤ 1
∫∫ | xy | dxdy ,
(D) I1 > I2
D
x
则在极坐标下的二次积分为
. (4) 交换二次积分的积分顺序： 交换二次积分的积分顺序：
重积分习题word版
42、设Ω是由x2+y2+z2≤2z+3所确定的有界闭区域，试将 化成柱面坐标下的三次积分式
43、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
44、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤2,z≥0及x2+y2≤1所确定的闭区域，试将
35、设Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I= 分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。
36、设Ω是由x2+y2+z2≤a2, (a>0)及z≥0所确定的有界闭区域。试将
f(x,y,z)dv分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
37、试将 化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
31、Ω是由曲面2z=x2+y2,(x2+y2)2=x2－y2及z=0所围的有界闭区域，试将I= f(x,y,z)dv化成柱面坐标下的三次积分式。
32、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
33、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤4以及 所确定的闭区域，试将I= 化成柱面坐标下的三次积分式。
34、设Ω是由 (0<a<R)及z≥0所确定的闭区域，试将I= 化成球面坐标下的三次积分式。
7、设Ω是由曲面y=x2,y=1,z=y,z=－y所围的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
8、设Ω是由 所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
9、设Ω是由x+y≥a,x2+y2≤a2及0≤z≤a－y(a>0)所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
重积分习题三
重积分习题三1、试求函数f(x,y)=xy2在区域D：0≤x≤1,0≤y≤1上的平均值。
2、计算二次积分3、计算二次积分4、计算二次积分5、计算二次积分6、计算二次积分7、计算二次积分8、计算二次积分9、计算二次积分10、计算二次积分11、计算二次积分12、计算二重积分其中D：|x|≤2,|y|≤1.13、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.14、计算二重积分其中D：0≤x≤a0≤y≤b.15、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.16、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.17、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.18、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,0≤y≤2.19、计算二重积分其中D：0≤x≤2,－1≤y≤1.20、计算二重积分其中D：0≤x≤π,0≤y≤.21、计算二重积分其中D：－1≤x≤3,0≤y≤2.22、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤4.23、计算二重积分其中24、计算二重积分其中D：|x|≤π,|y|≤1.25、计算二重积分其中D：|x|≤3,|y|≤1.26、计算二重积分其中D：|x|≤1,0≤y≤1.27、计算二重积分其中D是以O(0，0)A(1，1)和B(0，1)为顶点的三角形区域。
28、计算二重积分其中D：0≤x≤1,－1≤y≤0.29、计算二重积分其中D：0≤y≤sin x,0≤x≤π.30、计算二重积分其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。
31、计算二重积分其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。
32、计算二重积分其中D：x≤y≤x,1≤x≤2.33、计算二重积分其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。
34、计算二重积分其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。
35、计算二重积分其中36、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,1≤y≤1.37、计算二重积分其中D：|x|≤π,0≤y≤1.38、计算二重积分其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
重积分习题及解答
重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。
高数重积分总习题
重积分总复习题一 判 断1.若(,)f x y 在D 上的二重积分存在，则必定有(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰（ ）2.111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰. （ ）二 填空题1.改换二次积分的积分次序⎰⎰yy dx y x f dy 2202),(= .2.化2220)adx x y dy +⎰为极坐标形式下的二次积分为 .3.将极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分21(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⋅=⎰⎰ ___________________4.二次积分2xdx f dy ⎰的极坐标形式的二次积分为 .5.交换二次积分201111(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰的积分次序为 .三 选择题1.设区域D ：221x y +≤，f 是域D 上的连续函数，则22()Df xy dxdy +=⎰⎰（ ）A.12()rf r dr π⎰B .104()rf r dr π⎰ C.122()rf r dr π⎰ D.04()rrf r dr π⎰2.设4(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，交换积分次序，得（ ）A.24104(,)y y dy f x y dx ⎰⎰ B.21440(,)y ydy f x y dx -⎰⎰C.44104(,)dy f x y dx ⎰⎰ D.20144(,)y y dy f x y dx ⎰⎰3.设积分区域D 由x 轴，y 轴及直线1x y +=围成，则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分后为（ ）.A.10dx ⎰1(,)0x f x y dy -⎰. B.10x dy -⎰1(,)0f x y dx ⎰. C.10dx ⎰1(,)0f x y dy ⎰.D.10dy ⎰1(,)0f x y dx ⎰.4.),(z y x f =在有界闭区域D 上连续是二重积分σd ),(D⎰⎰y x f 存在的（ ）条件。
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重积分部分练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分)一、选择 (16小题,共分) (2分)[1](3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( )(3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x ydxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分(A)1120111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)111(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)110111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)201(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( )(3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)21(,)y dy f x y dx ⎰答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)10010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)10(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分 可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( )(4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( )(3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x ，则二重积分22()Dx y x y dxdy ++⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin )2cos d r rdr πθπθθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 32022(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( )(4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2. 答 ( )(3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰ (B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰ (D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxe xy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e －1; (C) 0; (D)π.答 ( )(4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，.Dπ=答 ( ) 二、填空 (6小题,共分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
(4分)[2]若D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=___________.(3分)[3]设:00D y x ≤≤≤≤，由二重积分的几何意义知D=___________.(3分)[4]设D ：x 2+y 2≤4,y ≥0,则二重积分32sin()Dx y d σ=⎰⎰__________。
(4分)[5]设区域D 是x 2+y 2≤1与x 2+y 2≤2x 的公共部分，试写出(,)Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下先对r 积分的累次积分_2cos 12cos 3320233(,)(,)(,)d F r dr d F r dr d F r dr πππθθπππθθθθθθθ----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰_.(3分)[6]设D ：0≤x ≤1,0≤y ≤2(1－x ),由二重积分的几何意义知12D y x dxdy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎰⎰=_______________. 三、计算 (78小题,共分)(3分)[1]设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分 的积分次序。
(3分)[2]设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分 的积分次序。
(3分)[3]设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分 的积分次序。
(3分)[4]设f (x ,y )为连续函数，交换二次积分 的积分次序。
(4分)[5]计算二重积分 其中D ：0≤y ≤sin x ,0≤x ≤π. (3分)[6]计算二重积分其中D 是由曲线y =x 2,直线y =0,x =2所围成区域。
(3分)[7]计算二重积分其中D 为由y =x ,y =2x ,x =4所围成的区域。
(3分)[8]计算二重积分 其中D ：x ≤y ≤x ,1≤x ≤2.(3分)[9]计算二重积分其中D 是由直线x =0,y =π和y =x 围成的区域。
(4分)[10]计算二重积分其中D 是由直线y =x ,y =x +1,y =1及y =3所围成的区域。
(3分)[11]计算二重积分 其中D:0,114x y π≤≤-≤≤(3分)[12]计算二重积分其中D 为由y =x ,x =0,y =1所围成的区域。
(3分)[13]计算二重积分其中D 是由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成的区域。
(3分)[14]计算二重积分 其中D 是由双曲线1y x=，直线y =x 及x =2所围成的区域。
(3分)[15]计算二重积分其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。
(3分)[16]计算二重积分其中D：|x|+|y|≤1.(3分)[17]计算二重积分其中D：|x|+|y|≤1.(4分)[18]计算二重积分其中1D:,12 xy x x≤≤≤≤(4分)[19]计算二重积分其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a(a>0)所围成的区域。
(4分)[20]计算二次积分(4分)[21]计算二重积分其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。
(4分)[22]计算二重积分其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。
(4分)[23]计算二重积分其中D是由曲线1x y=+,y=1－x及y=1所围成的区域。
(4分)[24]计算二重积分其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。
(4分)[25]计算二重积分其中D为与x=0所围成的区域。
(4分)[26]计算二重积分其中D 是由抛物线212y x =及直线y =x +4所围成的区域。
(4分)[27]计算二重积分其中D 为由y =x ,y =0,x =1所围成的区域。
(4分)[28]计算二重积分其中D 是由曲线xy =1,y =x 2与直线x =2所围成的区域。
(5分)[29]计算二重积分 其中D 是由x =0, 2y π=,y =x 所围成的区域。
(4分)[30]计算二重积分 其中D ：0≤y ≤sin x , .(5分)[31]计算二重积分 其中D ：, 0≤y ≤2.(4分)[32]计算二重积分其中D 是由抛物线y x =y =x 2所围成的区域。
(4分)[33]计算二重积分其中2222:1x y D a b+≤(4分)[34]计算二重积分其中2:211,01D x y x x -≤≤-≤≤ (5分)[35]计算二重积分 其中:cos ,0(0)2D a r a a πθθ≤≤≤≤>(4分)[36]利用极坐标计算二次积分224222x dx x y dy --+⎰(5分)[37]利用极坐标计算二重积分其中D：1≤x2+y2≤4,y≥0,y≤x.(4分)[38]利用极坐标计算二重积分其中D：a2≤x2+y2≤1,x≥0,y≥0,a＞0,x=0处广义。