杭州电子科技大学881高等代数2020考研专业课真题试卷
杭州师范大学831高等代数2020年考研真题
f (n) (a) (x a)n 。 n!
10. n 阶矩阵 A 为幂等矩阵（ A2 A）的充分必要条件是 r(A) r(E A) n ，这里 r(A) 为 A 的
秩， E 为 n 阶单位矩阵。
2020 年 考试科目代码 831 考试科目名称 高等代数 （本考试科目共 2 页，第 2 页）
杭州师范大学硕士研究生招生考试命题纸
杭州师范大学 2020 年招收攻读硕士研究生考试题
考试科目代码： 831 考试科目名称： 高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
每题 15 分，共 150 分
1. 证明：一个非零实二次型可以分解为两个一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是, 它 的秩为 2 且符合差为 0，或秩为 1。
6.设V 为 n 维欧式空间， 为V 的一个正交变换。设W 为V 的一个维数小于 n 的 -不变子空
间，令W 为W 的正交补。
（1）证明：W 也是一个 -不变子空间。
（2）证明：存在 V 的一组标准正交基 1, ,n 使得 在这组基下的矩阵为形如如下矩阵
A
A1 0
0 A2
，其中
A1
和
A2
2. 求正交线性替换将二次型化为标准型 f (x1, x2, x3) 2x12 2x22 2x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 。
3.已知线性方程组
ax1 x2 x1 bx2
x3 x3
4 3
。
x1 2bx2 x3 4
(1) a, b 取何值时，该方程组有解。
(2) 在有解的情况下，求出该方程组的解。
（1）证明：1, x a, (x a)2, , (x a)n 构成 P[x]n 的一组基，其中 a P 。
宁波大学871高等代数2020年考研专业课真题
A
a b
c
0 2
，这里
a,
b,
c
是任意数，
1 2
3i ，求 A1000.
5． (15分) 设方阵 A 满足 A2 +2A 3E O. (1) 求证 A 4E 可逆，并求逆；(2) 讨论 A nE 的可逆性.
6. (20分) 用正交变换化二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3 为标准形(要求写出正交变换的矩阵和相应的标准
1 2 2
A
0 0
2 0
4 1
，
A
是
A
的伴随矩阵， E
为单位矩阵，求矩阵 B.
1 2 2 1 0 0
3.
(15分) 已知矩阵
A
2
a
2
,
B
0
1
0
,
2 2 1 0 0 b
问 a,b 为何值时， A 与 B 相似，并求可逆矩阵 P 使得 P1AP B.
1 0 0
4.
(15分) 设
V,l C n | (A En )l 0 是 C 上线性空间 C n 的 A 的不变子空间，并求 C 上线性空间V,l 的
维数.
第1页共1页
(1) 证明V1 V2 关于以上运算构成数域 P 上的线性空间；
(2) 设dimV1 m , dimV2 n ，求dim (V1 V2 ) . 9. (20分) 设 A 为复数域 C 上的 n 阶方阵，其特征多项式为 f (x) (x a)n1(x b), 这里 a b .
假设 A 的任意三个特征向量都是线性相关的. 对于 C, 以及正整数 l, 证明：
形).
杭州师范大学高等代数2006--2020年考研初试真题
3.已知线性方程组 。
(1) 取何值时，该方程组有解。
(2)在有解的情况下，求出该方程组的解。
4.求满足 的所有 阶方阵 （这里 是 的伴随矩阵）。
5.求解行列式
。
6.设 为 维欧式空间， 为 的一个正交变换。设 为 的一个维数小于 的 -不变子空间，令 为 的正交补。
（1）证明： 也是一个 -不变子空间。
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、பைடு நூலகம்
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
六、(25分)
宁波大学871高等代数2020年考研专业课真题
V,l Cn | (A En )l 0 是 C 上线性空间 C n 的 A 的不变子空间，并求 C 上线性空间V,l
的维数.
第1页共1页
正交变换的矩阵和相应的标准形).
3 4 6 14
7.
(20 分)
已知
A
1
1
1
5
，
0 0 2 1
0
0
1
0
(1) 求 A 的不变因子，初等因子和最小多项式.
(2) 求 Aห้องสมุดไป่ตู้的若当标准形.
8．(15 分) 设V1,V2 是数域 P 上的线性空间， (1,2),(1, 2) V1 V2, k P ，规定 (1,2) (1, 2) (1 1,2 2) ； k(1 ,2 ) k( 1 k, 2. )
2.
(15 分)
设矩阵 A, B 满足 ABA 2BA 8E，其中
A
0
2
4
，A
是
A
的伴随矩阵，E
为
0 0 1
单位矩阵，求矩阵 B.
1 2 2 1 0 0
3.
(15 分)
已知矩阵
A
2
a
2
,
B
0
1
0
,
问 a,b 为何值时，A 与 B 相似，并求可逆矩
2 2 1 0 0 b
(1) 证明V1 V2 关于以上运算构成数域 P 上的线性空间； (2) 设 dimV1 m , dimV2 n ，求 dim (V1 V2) . 9. (20 分) 设 A 为复数域 C 上的 n 阶方阵，其特征多项式为 f (x) (x a)n1(x b), 这里 a b . 假设
A 的 任 意 三 个 特 征 向 量 都 是 线 性 相 关 的 . 对 于 C, 以 及 正 整 数 l, 证 明 ：
浙江师范大学881高等代数2020年考研专业课初试大纲
浙江师范大学硕士研究生入学考试初试科目考 试 大 纲科目代码、名称:881高等代数适用专业:070100数学（一级学科）、071101系统理论、071400统计学（一级学科）一、考试形式与试卷结构（一）试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。
（三）试卷题型结构填空题：8小题，每小题5分，共40分证明题、计算题：6～8题，每题10～20分，共110分二、考查目标（复习要求）全日制攻读硕士学位研究生入学考试《高等代数》科目，要求考生熟练掌握高等代数的基本知识、基本理论及常用的技巧和方法，能够熟练地综合运用高等代数的理论和方法去解决和证明有关问题。
三、考查范围或考试内容概要本课程考核内容包括多项式理论、行列式、矩阵理论、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间八大部分。
第一章多项式内容：多项式的整除，最大公因式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，重因式、重根的判别，有理系数多项式，多项式函数与多项式的根。
重点：多项式的整除性，不可约多项式的性质及判别，重因式重根的理论，多项式与用多项函数方法结合证明有关的问题。
第二章行列式内容：行列式的性质和常用计算方法（如：三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行一列展开法、Laplace展开法）。
重点：n阶行列式的计算及应用。
第三章线性方程组内容：向量组线性相(无)关的证明，向量组秩的性质，本章中的定理2及三个推论、矩阵的秩，克莱姆法则，线性方程组有(无)解的判别定理、齐次线性方程组有非零解条件, 基础解系的求法及其性质、非齐次(齐次)线性方程组解的结构。
重点：向量组线性相(无)关的证明、向量组秩与矩阵的秩的理论、齐次线性方程组有非零解条件及基础解系的性质、非齐次(齐次)线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的性质。
第1页，共2页。