五年级奥数——完全平方数
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目
完全平方数是指一个数可以表示为某个整数的平方的形式，例如1、4、9、16等。
下面是一个关于完全平方数的奥数题目：
题目，求小于100的所有完全平方数。
解析：
要求小于100的所有完全平方数，可以通过遍历1到100的所有数，判断每个数是否是完全平方数。
判断一个数是否是完全平方数有多种方法，下面列举两种常用的方法：
方法一，利用数学性质。
对于一个正整数n，如果它是完全平方数，那么它的平方根一定是整数。
所以，我们可以遍历1到100的所有数，判断每个数的平方根是否为整数，如果是整数，则该数是完全平方数。
方法二，利用循环遍历。
我们可以从1开始，依次判断每个数的平方是否小于100，如
果小于等于100，则该数是完全平方数。
根据上述两种方法，我们可以得到小于100的所有完全平方数
如下：
1、4、9、16、25、36、49、64、81。
以上是关于小于100的所有完全平方数的解答。
希望能帮到你！。
小五奥数-完全平方数
一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。
平方数有些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停。
这200个灯泡按1~200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。
开始时，灯泡全部是暗的；第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗。
第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，...,以此类推，第n秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡变亮）起到200秒止，中间的平方数有4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
下面举例来讨论平方数的一些问题。
从1~1989的自然数中，完全平方数共有个。
试一试在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数。
46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？试一试203500乘一个自然数a，是一个平方数，求a最小是多少？下面是一个算式：11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方？请找出符合下列性质的所有四位数：（1）它是一个平方数（2）开始两位数的数字要相同（3）最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，...,问第612个位置的数是几？下式中每个汉字表示1~9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
五年级奥数完全平方数
五年级奥数完全平方数五年级奥数完全平方数：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小学奥数知识点讲解：完全平方数及分数大小比较
⼩学奥数知识点讲解：完全平⽅数及分数⼤⼩⽐较 ⼩升初是孩⼦最重要的起步⽅向，我们需要关注怎样的信息才能对孩⼦的未来有帮助呢?店铺⽹⼩编告诉⼤家! ⼩学奥数知识点解析：分数⼤⼩的⽐较 基本⽅法： ①通分分⼦法：使所有分数的分⼦相同，根据同分⼦分数⼤⼩和分母的关系⽐较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数⼤⼩和分⼦的关系⽐较。
③基准数法：确定⼀个标准，使所有的分数都和它进⾏⽐较。
④分⼦和分母⼤⼩⽐较法：当分⼦和分母的差⼀定时，分⼦或分母越⼤的分数值越⼤。
⑤倍率⽐较法：当⽐较两个分⼦或分母同时变化时分数的⼤⼩，除了运⽤以上⽅法外，可以⽤同倍率的变化关系⽐较分数的⼤⼩。
(具体运⽤见同倍率变化规律) ⑥转化⽐较⽅法：把所有分数转化成⼩数(求出分数的值)后进⾏⽐较。
⑦倍数⽐较法：⽤⼀个数除以另⼀个数，结果得数和1进⾏⽐较。
⑧⼤⼩⽐较法：⽤⼀个分数减去另⼀个分数，得出的数和0⽐较。
⑨倒数⽐较法：利⽤倒数⽐较⼤⼩，然后确定原数的⼤⼩。
⑩基准数⽐较法：确定⼀个基准数，每⼀个数与基准数⽐较。
⼩学奥数知识点讲解：完全平⽅数 完全平⽅数特征： 1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成⽴。
2.除以3余0或余1;反之不成⽴。
3.除以4余0或余1;反之不成⽴。
4.约数个数为奇数;反之成⽴。
5.奇数的平⽅的⼗位数字为偶数;反之不成⽴。
6.奇数平⽅个位数字是奇数;偶数平⽅个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平⽅之间不可能再有平⽅数。
平⽅差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平⽅和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平⽅差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2。
小学奥数第594讲 约数、倍数、完全平方数
学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
●完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
●若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
●自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
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第八讲 完全平方数
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……
判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：
分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：
1a ＝1＝21
2a ＝1＋3＝4＝22
3a ＝1＋3＋5＝9＝23
4a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24
………
n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2
)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）
【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）
一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？
【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？
练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？
A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？
一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？
【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；
第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；
一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；
那么第200秒时，明亮的灯泡有（）个。
练习一：1～2012中含有奇数个约数的数共有多少个？
练习二：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
【例五】从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？
一讲一练：自然数1～2012中，多少个数乘以12后得到一个完全平方数？
课后作业：
1、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数：
……
他们发现： 1＝1，1＋3＝22＝4，1＋3＋5＝23＝9，1＋3＋5＋7＝24＝16……
那么第100个图有 个点，第n 个图有 个点。
也就是说：从1开始的连续n 个奇数的和，等于 。
2、黑板上写有从1开始的若干个连续奇数：1、
3、5、7、9……，擦掉其中一个奇数后，剩下的奇数之和为1998。
那么擦掉的奇数是多少？
3、一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？
4、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁？
5、求下面各数的约数个数：45、112、225、660。
6、200名同学面向教官，他们依次从1开始报数，直到200。
第一次他们都向后转，第二次报数是2的倍数的同学转回来，第三次报数是3的倍数的同学往后转，第四次报数是4的同学往后转……不断下去，直到最后一次报数是200的倍数的同学往后转。
问：这时面向教官的同学有多少个？
7、从1000到5000的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
8、1～100中的一个数乘以6后，乘积是一个完全平方数，这个数最大是多少？
9、求一个能被180整除的最小完全平方数。
10、“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
11、已知一个自然数n满足：12！（即1×2×3×4×……×12）除以n后，商是一个完全平方数，则n的最小值是多少？
大于100小于10000的完全平方数开平方也能用心算
2008-11-17
湖北省宜昌市第十八中学: 谢玉林
大于100小于10000的完全平方数开平方用心算，正确率达100﹪。
现介绍其方法如下: 首先要记住或会心算这几个乘法: 15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×45＝2025，55×55＝3025，65×65＝4225，75×75＝5625，85×85＝7225，95×95＝9025。
上面这组计算经观察可发现：相乘结果最后两位都是25，25前面的数字是由乘数的十位数字乘以十位上的数字加1得出。
如:85×85＝7225中的72是由8×9得出的。
又如65×65＝4225中的42是由6×7得出的。
现在我们来研究大于100小于10000的完全平方数的开平方:
例1: 求5776算术平方根先把5776从个位按每两位分节为57，76; 考查57，因为 7的平方＝49＜57＜64＝8的平方。
所以 5776的算术平方根的十位上的数字是7。
又因为 5776＞5625＝75×75，且个位是6 ，而在5至9之间的平方数个位是6的只有6的平方，所以5776的算术平方根的个位上的数字是6；所以5776的算术平方根是76。
例2:求6724的算术平方根解:①分节:67，24 ②观察67在那两个平方数之间 64＜67＜81 ③取小定十位: 十位上的数字是8 ④与85的平方＝7225比较定个位: ∵ 6724＜7225且个位是4，而在0至4之间的平方数个位是4的只有2的平方∴6724的算术平方根个位上的数字是2 所以6724的算术平方根是82 例3:求1369的算术平方根解:①分节:13，69 ②观察取小:∵9＜13＜16，∴3是十位上的数字③与35的平方1225比较定个位:∵1369＞1225，且个位数是9 在5至9之间的平方数个位是9的只有7，∴1369的算术平方根个位上的数字是7；所以1369的算术平方根是37。