第二节留数的计算方法
5.2留数
记为 1 ( ) , 相应地， f ( z ) f
因此， 函数 f ( z )在无穷远点 z 的性态可由 函数 ( ) 在原点 0 的性态来刻画。
四、函数在无穷远点的留数
1. 函数在无穷远点的性态
P112 例5.13
记为 1 1 ( ) , 解 令 z , 则 f (z) f 1 sin
2
1 1 ( 2 ) , 2! z 1
Res [ f ( z ) , 1 ] 1 .
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P114 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
事实上，此时 z0 为f ( z ) 的简单极点， 故有
P( z) Res[ f ( z ) , z0 ] lim ( z z0 ) z z0 Q( z )
lim
z 0
P ( z0 ) P(z) . Q( z ) Q( z0 ) Q( z0 ) z z0
解 (1) z 0 是 f1 ( z ) 的可去奇点，
d m 1 m [ ( z z ) f ( z )] ( m 1)! a1 ( z z0 ) ( z ) , 0 m 1 dz
二、留数的计算方法
3. 极点
方法 若 z 0 为 f ( z ) 的 m 阶极点，
(法则 ) P116 法则Ⅲ
特别 (1) 若 z 0 为 f ( z ) 的简单极点，则
P115 法则Ⅰ
Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) .
留数的计算方法
留数的计算方法留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中起着关键作用。
在计算留数时，我们需要首先了解什么是留数，然后掌握留数的计算方法。
接下来，我们将详细介绍留数的概念和计算方法。
留数是复变函数在孤立奇点处的一种特殊性质，它可以帮助我们计算复积分。
对于函数f(z)，如果z=a是它的孤立奇点，那么留数Res(f,a)的定义如下：Res(f,a) = 1/(2πi) ∮f(z)dz。
其中积分路径沿着a点的一个小圆周C进行，积分方向是逆时针方向。
这个公式是计算留数的基本公式，但在实际计算中，我们通常会结合留数的性质和定理来简化计算过程。
对于简单极点a，我们有留数的计算公式：Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)]对于高阶极点，我们可以利用洛必达法则来计算留数。
此外，如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z)，那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a 处的留数。
在实际应用中，我们还可以利用留数定理来计算复积分。
留数定理指出，如果f(z)在闭合曲线C内除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么沿着曲线C的复积分可以表示为这些孤立奇点处的留数之和。
这为复积分的计算提供了一种简便的方法。
在计算留数时，我们还需要注意一些特殊情况，比如当函数f(z)在点a处有可去奇点时，留数为0；当函数f(z)在点a处有极点但不是孤立奇点时，留数也为0。
因此，在计算留数时，我们需要仔细分析函数在各个点的性质，以便正确计算留数。
综上所述，留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中具有重要作用。
掌握留数的概念和计算方法，对于深入理解复变函数理论和进行相关计算具有重要意义。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更好地理解留数的计算方法。
复分析中的留数定理和解析延拓理论
复分析中的留数定理和解析延拓理论复分析是数学领域中研究解析函数和复积分的分支，留数定理和解析延拓理论是复分析中的重要概念和工具。
本文将介绍留数定理和解析延拓理论的定义、基本原理以及应用。
一、留数定理1. 定义在复平面上，假设f(z)是一个解析函数，除去有限个点处存在极点（即函数在这些点处的值趋近于无穷大），留数定理给出了通过计算这些极点的留数（即在每个极点处的系数）来计算函数的复积分的方法。
2. 留数的计算留数的计算方法有多种，其中一种常用的方法是利用洛朗展开式。
假设f(z)在某个包含极点a的圆环区域内解析，则f(z)可以表示为洛朗级数的形式:f(z) = ∑[n=0到∞]Cn(z-a)^n + ∑[n=1到∞]Dn(z-a)^(-n)其中，Cn为f(z)在a处的留数。
通过计算Cn即可得到留数的值。
3. 应用留数定理在数学和物理学等领域有广泛的应用，例如在计算复积分、计算曲线围成的区域面积、计算无穷级数等方面都能够得到应用。
此外，留数定理还与复积分的辐角原理、复数的幅角原理等概念紧密相关，为复分析中的其他定理提供了基础。
二、解析延拓理论1. 定义解析延拓理论是复分析中研究解析函数定义域的扩展的理论。
在复平面上，解析延拓理论可以通过研究解析函数在定义域边界处的性质来对解析函数进行定义域的扩展，从而得到更广泛的函数定义域。
2. 边界函数和解析延拓在解析延拓理论中，边界函数是指解析函数在定义域边界处的性质的函数表示。
通过研究边界函数的性质，可以将解析函数的定义域延拓到更广的范围内。
3. 应用解析延拓理论在数学研究中有重要的应用，例如在数论中的黎曼函数，通过对黎曼函数的解析延拓研究可以得到黎曼猜想的一些结论。
此外，解析延拓理论还在物理学领域例如量子力学中的应用中发挥着重要的作用。
综上所述，复分析中的留数定理和解析延拓理论是该领域的重要概念和工具。
留数定理通过计算解析函数在极点处的留数来计算复积分，解析延拓理论通过研究解析函数定义域的边界函数来对函数进行定义域的扩展。
第二讲 留数的计算
注：由连续变形原理，留数与C的选取无关。 由留数定义 C f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z0 ]
其中C 为简单正向闭曲线，且f ( z ) 在 C 及 C 内只有 z0
一个奇点。 上页 返回 结束
第二讲 数及留数的计算规则
1、留数的定义
2、留数的计算法则 3、留数定理 4、思考与练习
返回
1. 留数的定义
定义： 设 f ( z ) 以有限点z0 为孤立奇点， 即在点 z0 的某去 心邻域 0 | z z0 | r 内解析，则称积分
1 C f ( z )dz 2i 为 f ( z ) 在点 z0 的留数，记作Re s[ f ( z ), z0 ] 。其中C 为去
上页 返回 结束
由规则 II，得
ze z ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
ze z ze z e 1 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2 ze z e e 1 因此 C 2 dz 2i ( ) 2ich1 2 2 z 1
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) ,
( z z0 )m f ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1 c0 ( z z0 )m ,
两边求 m 1阶导数，得
由洛朗展式
sin z 1 z3 z2 f (z) ( z ) 1 z z 3! 3! 知 Re s[ f ( z ),0] c1 0 1 2) f ( z ) 2 在0 | z | 1内解析 z (1 z )
留数计算规则
例3： 计算积分
c
z4
z
1
dz
，
C
为正向圆周
z
3
。
解：
f
(z)
z z4 1
四个一级极点 z1,2 1, z3,4 i 都在C 内，
由规则Ⅲ，
P zk Q zk
zk 4 zk 3
1 4zk 2
故由留数定理
c
z4
z
1
dz
2
i
1 4
1 4
解：
f
(z)
ez
z z 12
的一级极点z 0 二级极点 z 1 都在C 内
由规则Ⅰ，
Res
f
z,0
lim z z0
ez
z z 12
lim
z0
z
ez
12
1
由规则Ⅱ ，
Res
f
z,1
(2
1 lim 1)! z1
d dz
Res f
z, z0
1
m 1
lim ! zz0
d m1 dz m1
z z0 m
f
z
规则Ⅲ
设
f
z
=
P Q
z z
，其中 P(z，) Q(z)
在
z0
处解析， 且 P(z0 ) 0
，
Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0 即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
留数的计算
在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在所有各奇点(包括 的留数总和必等于零. 那末 f (z)在所有各奇点 包括∞点)的留数总和必等于零 在所有各奇点 包括∞ 的留数总和必等于零 证：除∞点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为 一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单 闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有
1. 留数的计算规则 规则1 规则 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z)
z→z0
规则2 规则 如果z0为f(z)的m级极点, 则 1 dm−1 Res[ f (z), z0 ] = lim m−1 {(z − z0 )m f (z)} (m −1)! z→z0 d z 事实上, 由于 f (z)=c−m(z−z0)−m+...+c−2(z−z0)−2+c−1(z−z0)−1+c0+c1(z−z0)+..., (z−z0)m f (z)=c−m+c−m+1(z−z0)+...+c−1(z−z0)m−1+c0(z−z0)m+...,
根据 规则1,Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z),而 Q(z0)=0.
z→z0
P( z0 ) P(z) 所 lim(z − z0 ) f (z) = lim 以 , = z→z0 z→z0 Q(z) − Q(z ) Q′( z0 ) 0 z − z0 即得 规则 规则3。
⇒ Ι = −2π i
数学物理基本方法5.2留数
通过构造合适的复变函数，将微分方程的求解转化为复平面上留数 的计算。
典型例题的解析
例题1
例题3
求解一阶常系数线性微分方程。通过 构造指数形式的复变函数，利用留数 定理求解。
求解带有初值条件的一阶非线性微分 方程。通过构造满足初值条件的复变 函数，利用留数定理进行求解。
例题2
计算实轴上的定积分
利用留数定理，可以将某些实 轴上的定积分转化为复平面上 的围道积分，从而简化计算过 程。
计算围道上的线积分
对于某些围道上的线积分，可 以通过计算围道内奇点的留数 之和来得到积分结果。
判断函数的解析性
如果一个函数在某区域内解析 ，那么该函数在该区域内的任 意闭曲线上的积分为零。利用 留数定理可以判断一个函数是 否在某区域内解析。
留数定理的应用举例
计算实函数的定积分
通过构造复变函数，将实函数的定积分转化为复变 函数的线积分，再利用留数定理计算。
计算复变函数的线积分
对于某些特殊的复变函数，可以直接利用留数定理 计算其在某条曲线上的线积分。
解决物理问题
在物理学中，许多问题可以通过构造复变函数并应 用留数定理来解决，如计算电场、磁场等物理量的 分布。
求解二阶常系数齐次线性微分方程。 通过构造多项式形式的复变函数，利 用留数定理求解。
06
总结与展望
本文工作总结
研究背景
介绍了数学物理基本方法5.2留数 的研究背景和意义，了本文的主要研究内容， 包括留数的定义、性质、计算方法 和应用等方面的研究。
研究结果
通过洛必达法则，可以将求留数的问题转化为求导数的问题，从 而简化计算过程。
其他方法
幂级数展开法
当函数$f(z)$在奇点$z_0$处可以展开为幂级数时，可以通过幂级数的系数来计算留数。具体地，如果 $f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n$，则留数可以表示为$text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1}$，即幂 级数中$(z - z_0)^{-1}$的系数。
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
( g ( z ) ( z ) p( z ) 在z0解析, 且 g ( z0 ) 0 )
则z0为f ( z)的一级极点,由规则
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
(5)
事实上，由条件
f ( z ) cm ( z z0 ) m c2 ( z z0 ) 2 c1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 ) , (cm 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z0 ) m f ( z ) cm cm1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) m1 c0 ( z z0 ) m
当 m = 1时，式(5)即为式(4).
p( z ) , Q( z ) p( z ), Q( z )在z0 处解析,
规则III 设f ( z )
p( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q' ( z0 ) 0，则
z0 是f ( z )的一级极点 ,且 p( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z 0 ) ( 6)
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
第二节 留 数
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i 且
z1 . .z2
D
1 2i
C1
f
( z )dz
1 2i
C2
f
( z )dz
1 2i
Cn
f
( z )dz
Res[ f (z), z1] Res[ f (z), z2] Res[ f (z), zn]
n
Res[ f (z), zk ] 即可得.
Res[
f
(z),
z0
]limzz0(zz0
)
f
(z).
7
•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
Res[
f
(z), z0]
(m
1
dm1
1)!
lim
zz0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
证 f (z) cm (z z0 )m c2(z z0 )2
那末积分 1 f (z)dz的值与C无关，则称此定值
2 i C1
为 f (z)在点的留数，
记作
Res[
f
(z),]
1 2i
C
f
(z)dz
1 2i
C
f
(z)dz
注意积分路线取顺时针方向
说明 Res[ f (z),] c1
c1
12
2.定理二 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
得
dm1 dz m 1
[(z
z0
)m
f (z)]
(m 1)!c1 +(含有 z z0 正幂的项)
lim
z z0
dm1 dzm1 [(z
z0 )m
f
(z)]
(m
1)!c1,
所以 Res[ f (z), z0 ] c1
(m
1
dm1
1)!
lim
zz0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
[证毕]
9
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0 为
f (z) 的一级极点,
且有
Res[
f
( z ),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
.
孤立奇点, 那末 f (z) 在所有各奇点 (包括点)
的留数的总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
. zk .
. C (绕原点的并将 zk包含在 . 内部的正向简单闭曲线)
由留数定理有:
n
Res[ f (z),] Res[ f (z), zk ]
k 1
[证毕]
6
2.留数的计算方法
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则Res[ f (z), z0 ] 0. (2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成洛朗级数求 c1.
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
•规则1 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那末
c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 )
(z z0 )m f (z) cm cm1(z z0 ) c1(z z0 )m1
c0(z z0 )m c1(z z0 )m1
8
两边求 m 1 阶导数,
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
(高阶导数公式)
2i
0
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
C
C
C
0 (柯西-古萨基本定理)
2ic1 洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
1
c1
2i C
f
(z)dz
Res[ f (z), z0 ] f (z)在 z0的留数
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
在 z0的某个去心邻域0 z z0 R内包含 z0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f (z)在 z0 的留数.
记作 Res[ f (z), z0 ]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
二、利用留数求积分
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇
所以 z0 为 f (z) 的一级极点,
P(z)
Res[
f
( z ), z0 ]
lim(z
zz0
z0 )
f
(z)
lim
zz0
Q(z)
Q(z0 )
P(z0 ) . Q(z0 )
z z0
11
三、在无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 R z 内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
点的一条正向简单闭曲线, 那末
n
f (z)dz 2i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
说明: 1. f (z)在C上及C内部处处解析；
2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
5
证 如图
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz