孤立奇点处留数的计算方法_廖为
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计算留数的方法
计算留数的方法一、留数的概念。
1.1 留数啊，就像是函数在孤立奇点周围的一个小秘密。
它反映了函数在这个奇点附近的一种特殊性质。
想象一下，函数就像一个复杂的迷宫，而孤立奇点就是迷宫里的特殊点，留数就是这个特殊点周围隐藏的小线索。
1.2 从数学定义来讲，对于一个以孤立奇点为中心的洛朗级数展开式，留数就是这个展开式中负一次幂项的系数。
这就好比在一堆数字和式子组成的宝藏里，我们专门挑出那一个特别的系数当作留数。
二、计算留数的常见方法。
2.1 可去奇点处的留数。
对于可去奇点，这是一种比较温和的奇点类型。
就像一个小坎坷，很容易就跨过去了。
在可去奇点处的留数是0。
这就好像这个小坎坷周围没有什么特别的东西留下，干干净净的，留数为0很符合它的特性。
2.2 极点处的留数。
一阶极点。
如果函数f(z)在z = a处有一阶极点，那么计算留数就有一个简单的公式，留数等于lim(z→a) (z a)f(z)。
这就像是我们有一把专门的钥匙来打开一阶极点处留数的大门。
比如说，有个函数f(z)=(1/(z 1))，在z = 1处是一阶极点，那我们用这个公式一算，留数就是1。
简单直接，就像我们走直路一样顺畅。
高阶极点。
当z = a是函数f(z)的m阶极点时，计算留数就稍微复杂一点。
留数等于lim(z→a) [(1/(m 1)!)]×(d^(m 1)/dz^(m 1))[(z a)^m f(z)]。
这就像在走一条有点绕的小路，不过只要按照这个公式一步一步来，也能算出留数。
比如说有个函数f(z)=1/(z 2)^3，在z = 2处是三阶极点，按照这个公式算下来，留数是1/2。
虽然过程有点繁琐，但就像解一道有点难度的谜题，解开的时候还是很有成就感的。
2.3 本性奇点处的留数。
本性奇点可就比较调皮了。
它没有像极点那样有比较规矩的计算留数的公式。
我们通常得通过函数的洛朗级数展开式来求留数。
这就像在一个没有明显标记的森林里找东西，只能靠自己慢慢探索。
复变函数第五章留数
第五章 留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
留数的计算方法
留数的计算方法留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中起着关键作用。
在计算留数时，我们需要首先了解什么是留数，然后掌握留数的计算方法。
接下来，我们将详细介绍留数的概念和计算方法。
留数是复变函数在孤立奇点处的一种特殊性质，它可以帮助我们计算复积分。
对于函数f(z)，如果z=a是它的孤立奇点，那么留数Res(f,a)的定义如下：Res(f,a) = 1/(2πi) ∮f(z)dz。
其中积分路径沿着a点的一个小圆周C进行，积分方向是逆时针方向。
这个公式是计算留数的基本公式，但在实际计算中，我们通常会结合留数的性质和定理来简化计算过程。
对于简单极点a，我们有留数的计算公式：Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)]对于高阶极点，我们可以利用洛必达法则来计算留数。
此外，如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z)，那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a 处的留数。
在实际应用中，我们还可以利用留数定理来计算复积分。
留数定理指出，如果f(z)在闭合曲线C内除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么沿着曲线C的复积分可以表示为这些孤立奇点处的留数之和。
这为复积分的计算提供了一种简便的方法。
在计算留数时，我们还需要注意一些特殊情况，比如当函数f(z)在点a处有可去奇点时，留数为0；当函数f(z)在点a处有极点但不是孤立奇点时，留数也为0。
因此，在计算留数时，我们需要仔细分析函数在各个点的性质，以便正确计算留数。
综上所述，留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中具有重要作用。
掌握留数的概念和计算方法，对于深入理解复变函数理论和进行相关计算具有重要意义。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更好地理解留数的计算方法。
孤立奇点与留数
( 2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线 , 函数f ( z )在c内有
有限个孤立奇点 z1 , z 2 , , z n , 除此以外, f ( z ) 在c内及c上解析, 则
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z
c k 1
n
k
]
( 3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)将c内孤立奇点 zk围绕,
( z)在 z0 解析, 且 ( z0 ) 0 .
z0是f ( z )的m阶极点.
z 例 求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e ) 如果是极点指出它的阶。
解 显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点
e 1 0, 即 e
z
z
1 k 0, 1, 2,
z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的 洛 朗 级 数 有 无 穷 多 负 项幂 次 项 l i m f ( z )不 存 在 ， 也 不 为
n
4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
~~~~~~~~~
例如
----z=0为孤立奇点 f ( z) e 1 f ( z) ----z=1为孤立奇点 z 1
1 z
1 sin z ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
f ( z)
1
1 但 li m 0, 在z 0不 论 多 么 小 的 去 心 n n y 邻域内 , 总 有f ( z )的 奇 点 存 在 ，
复变函数留数及其应用
z0 是 f (z) 的可去奇点的充分必要条件是存在极限
lim
z z0
f
(z)
c0 ,
其中c0是有限复常数.
这样我们有两种方法来判别函数f (z)的奇点
z0是否为可去奇点. 1.由定义判断: 如果f (z)在z0的Laurent 级数无负
幂项, 则z0是f (z)的可去奇点.
2. 由极限判断：若极限 lim f (z) 存在且为有限值, z z0 则z0是f (z)的可去奇点.
的本性奇点.
1
1
例4.5 z=0是 e z 和 sin z 的本性奇点. 这是因为
1
ez
1
z 1
z 2
zn
(0 z ),
2!
n!
sin 1 z1 z3 z5
无穷多负幂项
(0 z ).
z
3! 5!
定理4.4 设 f (z)在0 z z0 d 内解析，则
z0 是 f (z)的本性奇点的充分必要条件是
第四章 留数及其应用
本章介绍孤立奇点、留数的概念； 孤立奇点处留数的计算；并将其应用于 实函数积分的计算.
§4.1 孤立奇点
1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点
本章将利用函数的Laurent级数展开式研究
函数在孤立奇点处的性质.
如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的
一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0,
令 g(z) cm cm1(z z0 ) cn(z zn )nm ,
则 g(z)在 z z0 d 内解析，且 g(z0 ) cm 0, 即
f
(z)
(z
1 z0 )m
第四节 留数与留数定理
( z 1)( z 1) ( z 1) z 1 z2 其中g ( z ) 2 在z 1 解析且 (1) 0，故z 1是 g z 1
2 4 3 2
z 3z 2
2
f (z)
( z 1)( z 2 )
1
z2
f ( z ) 的三级极点．类似地， i分别是 f ( z ) 的一 z
例７ 求 C z ( z 1)( z 4 ) ，C为正向圆 z 3 周 ． 在 解： C内被积函数有两个孤立奇点 z 1 0 和 z 2 1,下面分别求 R e s [ f ( z ), z k ], k 1, 2 . 在 0 z 1内
f (z) 1 3z z 1 z 4 1 1 n n [ ( 1) z 3 z n0 4
z k z k
1
所以z k ( k 0, 1, 2, )都是sin 1 点，也就是 的一级极点．
s in z
z
的一级零
二、留数与留数定理
f 定义4 设 z 0 是 f ( z ) 的孤立奇点， ( z )在 z 0 去心 1 邻域内的洛朗级数中负一次幂项 ( z z 0 ) 的 系数 c 1 称为 f ( z ) 在 z 0 的留数，记 作 R e s [ f ( z ), z 0 ] ，即 ． (13.8) R e s [ f ( z ), z ] c
第四节 留数与留数定理
一.孤立奇点及其类型 二.留数与留数定理
一、孤立奇点及其类型
定义1 设f ( z ) 在 z 0 不解析，而在z 0 的去心邻 域 0 z z 0 内解析，则称 z 0 为 f ( z ) 的孤 立奇点．
2 4 3 2
z 3z 2
2
f (z)
( z 1)( z 2 )
1
z2
f ( z ) 的三级极点．类似地， i分别是 f ( z ) 的一 z
例７ 求 C z ( z 1)( z 4 ) ，C为正向圆 z 3 周 ． 在 解： C内被积函数有两个孤立奇点 z 1 0 和 z 2 1,下面分别求 R e s [ f ( z ), z k ], k 1, 2 . 在 0 z 1内
f (z) 1 3z z 1 z 4 1 1 n n [ ( 1) z 3 z n0 4
z k z k
1
所以z k ( k 0, 1, 2, )都是sin 1 点，也就是 的一级极点．
s in z
z
的一级零
二、留数与留数定理
f 定义4 设 z 0 是 f ( z ) 的孤立奇点， ( z )在 z 0 去心 1 邻域内的洛朗级数中负一次幂项 ( z z 0 ) 的 系数 c 1 称为 f ( z ) 在 z 0 的留数，记 作 R e s [ f ( z ), z 0 ] ，即 ． (13.8) R e s [ f ( z ), z ] c
第四节 留数与留数定理
一.孤立奇点及其类型 二.留数与留数定理
一、孤立奇点及其类型
定义1 设f ( z ) 在 z 0 不解析，而在z 0 的去心邻 域 0 z z 0 内解析，则称 z 0 为 f ( z ) 的孤 立奇点．
第五章_留数
§5.2
1的计算规则
定义5.4 设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分 小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向简单闭曲 线, 积分
1 f ( z )dz 2 i C
称为f (z)在z0点的留数(Residue), 记做 Res f ( z ), z0 . 函数 f (z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以 z0 为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.
第五章
留数
§5.1
孤立奇点
孤立奇点
如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的 一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0, 使得f (z)在 0 z z0 d 内解析，则称z0 是f (z)的 孤立奇点.
并不是所有的奇点都是孤立奇点
sin z 的孤立奇点. 但z=0 例如z=0是函数 e 和 z z 1 ( k 1, 2,) 不是函数 的孤立奇点, 因为 1 k sin z 都是奇点.
是 D上的解析函数,( z )dz f 那么
f ( z )dz
nC
2 i Res f ( z ), zk .
C k 1
C2
n
f ( z )dz ,
2
留数的计算
Res[f ( z ), z0 ] 0.
(1) 如果 z 0 为 f (z ) 的可去奇点, 则
(2) 如果 z 0 为 f (z ) 的本性奇点, 则需将 f (z ) 展开 成Laurent级数, 求 c1 .
2 1
其中 c m 0 ( m 1). 于是
f ( z ) ( z z0 ) m c m c m1 ( z z0 ) c m 2 ( z z0 )2 ,
留数的计算
在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在所有各奇点(包括 的留数总和必等于零. 那末 f (z)在所有各奇点 包括∞点)的留数总和必等于零 在所有各奇点 包括∞ 的留数总和必等于零 证：除∞点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为 一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单 闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有
1. 留数的计算规则 规则1 规则 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z)
z→z0
规则2 规则 如果z0为f(z)的m级极点, 则 1 dm−1 Res[ f (z), z0 ] = lim m−1 {(z − z0 )m f (z)} (m −1)! z→z0 d z 事实上, 由于 f (z)=c−m(z−z0)−m+...+c−2(z−z0)−2+c−1(z−z0)−1+c0+c1(z−z0)+..., (z−z0)m f (z)=c−m+c−m+1(z−z0)+...+c−1(z−z0)m−1+c0(z−z0)m+...,
根据 规则1,Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z),而 Q(z0)=0.
z→z0
P( z0 ) P(z) 所 lim(z − z0 ) f (z) = lim 以 , = z→z0 z→z0 Q(z) − Q(z ) Q′( z0 ) 0 z − z0 即得 规则 规则3。
⇒ Ι = −2π i
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z=∞
r（z） Q（z）
，而上式的右端又可
以转化为 1）或 2）的情况。
证明：根据定理 2 的无穷远点留数计算方法，
则
11 1 1 Res f（z）= -Res
z=∞
z=0
f
1 z
·z12
=
1 1 1 1 -Res
an
1 zn
1 1 1 1 z=0
bm
1 zm
+an-1
1 zn-1
+bm-1
1 zm-1
z=∞
r
乙 2）当 m-n=1 时，Res f（z）= - an ， f（z）dz =
z=∞
bm
r
2πi an ． bm
3）当 m-n≤0 时，设 P（z）= R（z）Q（z）+r（z），
其中 R（z），r（z）为 z 的多项式，且 r（z）的次数小于
z z m，则 Res f（z）= Res
z=∞
留数定理是复变函数理论中十分重要的结论，
它的价值在于：一些在实值函数理论中难以解决的
积分问题在转化为复变函数积分后，借助留数可以
较容易地解决［１－２］。同时，在流体力学与空气动力学
中广泛出现的围线积分的计算往往依赖于留数，因
此，如何有效计算留数越来越受到相关学者与工程
工作者的重视［３］。
本文主要通过对函数 f （z）在无穷远点处留数
科技创新与生产力
２０１２年 １２ 月 总第 ２２７ 期 - 105 -
应 用 技 术 Ａｐｐｌｉｅｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
使
+∞
f（z）=Σ n=2
c-n zn
+
c-1 zn
+ c0 + c1 +… + cmzm，R＜
z
＜+∞，
两端求导 m+1 次则剔除了非负幂项
f
+∞
（m+1）（z）=Σ n=2
文章编号：1674-9146（2012）12－0105－02
术 Ａｐｐｌｉｅｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ 应 用 技
孤立奇点处留数的计算方法
廖为
（内江师范学院数学与信息科学学院，四川 内江 641112）
摘 要：通过对函数 f（z）在 ∞ 点留数的计算，求解函数 f（z）在某区域内含有有限个孤立奇点时的积分值，为有理函 数 f（z）在 ∞ 点的留数计算提供了一个非常简洁的方法。 关键词：留数；留数定理；围线积分 中图分类号：O174.5 文献标志码：A ＤＯＩ：10.3969/j.issn.1674-9146.2012.12.105
=0
可知
Res f（z）= -c-1 = lim
z=∞
z→∞
（-1）（mmzm++21）f （!m+1）（z）.
定理 4：设∞ 是 f（z）的可去奇点，
则
Res f（z）= lim z2 f ＇（z）．
z=∞
z→∞
事实上这是定理 3 中 m = 0 的特殊情形。
定理 5：设f（z）= P（z）/Q（z），其中
的求法研究，应用柯西留数定理解决某些使用通常
留数求法难以计算的积分问题。
１ 函数 f （z）在扩充 z 平面上有限多个孤立奇点间
的关系
定理 1：如果函数 f （z）在扩充 z 平面上只有有
限个孤立奇点 （包括无穷远点在内），设为 a1，a2，
…，an，∞，则 f （z）在各点的留数总和为零，即
n
ΣRes f（z）+ Res f（z）= 0 .
被变成 t 平面上原点的去心领域 K- {0} :0＜ t ＜1/r
（如 r = 0 规定 1/r = ∞）；圆周 Г ＇: z = ρ ＞ r 被变成圆
周 r : t = λ = 1/ρ ＜ 1/r，从而易证
乙 乙 ≤ 乙 1
2πi
f （z）dz = - 1
Г-1
2πi
f
r
1 t
·t12 dz，
所以
2πi C
z=∞
n
Res f（z）+ ΣRes f （z）=
z=∞
k = 1 z=ak
乙 乙 - 1 f （z）dz + 1 f （z）dz = 0 .
2πi C
2πi C
留数定理将计算围线积分的整体问题化为计算
各孤立奇点处留数的局部问题。根据这个方法，若
ak（k = 1，2，…，n） 中有一些点ai的留数不易计算 时，可以考虑求 ∞ 处的留数，从而求出有限多个孤
（-1）m+1n（n+1）…（n+m）c-n zn+m+1
+
（-1）m+1（m+1）! zm+2
c-1
，
或
（-1）mzm+2 f （m+1）（z） （m+1）!
=
+∞
-Σ n=2
n（n+1）…（n+m）c-n （m+1）! zn+m+1
-c-1，
从而由
lim
z→∞
+∞
Σ
n=2
n（n+1）…（n+m）c-n （m+1）! zn+m+1
k = 1 z=ak
z=∞
证明：设 f （z）的有限个孤立奇点为 a1，a2，…，
an，∞。以原点为中心，做半径为 R 的充分大的圆
周 C，使得 C 的内部包含 a1，a2，…，an，由柯西
留数定理得
又因
乙n f （z）dz = 2πΣRes f（z），
C
k = 1 z=ak
所以
乙 1 f （z）dz = -Res f（z），
立奇点的留数和，再利用柯西留数定理求解出函数源自f （z）在某区域内的积分值。
２ 函数 f （z）在z = ∞点留数的计算方法
定理 2：
乙乙 乙 乙 Res f（z）= -Res
z=∞
t=0
f
1 t
·1 t2
.
证明：令 t = 1/z，于是 φ（t）= f 乙1/t 乙= f（z），且
z 平面上无穷远点的去心领域 N-{∞}:0≤r＜ z ＜+∞
+…+a0 +…+b0
·z12
=
-Res z=0
乙乙 乙 乙 Res f（z）= -Res
z=∞
t=0
f
1 t
·t12
.
定理 3：设∞是 f（z）的 m 阶极点，
则
Res f（z）= （-1）m lim
z=∞
z→∞
zm+2 f（m+1）（z） （m+1）!
.
证明：当 ∞ 是 f （z）的 m 阶极点时，存在 R＞0，
收稿日期：2012－10－19；修回日期：2012－11－21 作者简介：廖 为（1981-），男，四川隆昌人，讲师，主要从事偏微分方程及其在金融中的应用研究， E-mail：lwei_in_maths@。
P（z）= anzn + an-1zn-1+…+a0 （an≠0）， Q（z）= bmzm + bm-1zm-1+…+b0 （bm≠0），
且 P（z）和 Q（z）是互质的多项式，r 是包含 Q（z）的
所有零点 （即 f（z）的所有有限奇点） 在其内部的任
一围线或复围线，则有以下结论：
乙 1）当 m-n≥2 时，Res f（z）= 0， f（z）dz = 0 ．