留数的计算方法
计算留数的方法
计算留数的方法一、留数的概念。
1.1 留数啊，就像是函数在孤立奇点周围的一个小秘密。
它反映了函数在这个奇点附近的一种特殊性质。
想象一下，函数就像一个复杂的迷宫，而孤立奇点就是迷宫里的特殊点，留数就是这个特殊点周围隐藏的小线索。
1.2 从数学定义来讲，对于一个以孤立奇点为中心的洛朗级数展开式，留数就是这个展开式中负一次幂项的系数。
这就好比在一堆数字和式子组成的宝藏里，我们专门挑出那一个特别的系数当作留数。
二、计算留数的常见方法。
2.1 可去奇点处的留数。
对于可去奇点，这是一种比较温和的奇点类型。
就像一个小坎坷，很容易就跨过去了。
在可去奇点处的留数是0。
这就好像这个小坎坷周围没有什么特别的东西留下，干干净净的，留数为0很符合它的特性。
2.2 极点处的留数。
一阶极点。
如果函数f(z)在z = a处有一阶极点，那么计算留数就有一个简单的公式，留数等于lim(z→a) (z a)f(z)。
这就像是我们有一把专门的钥匙来打开一阶极点处留数的大门。
比如说，有个函数f(z)=(1/(z 1))，在z = 1处是一阶极点，那我们用这个公式一算，留数就是1。
简单直接，就像我们走直路一样顺畅。
高阶极点。
当z = a是函数f(z)的m阶极点时，计算留数就稍微复杂一点。
留数等于lim(z→a) [(1/(m 1)!)]×(d^(m 1)/dz^(m 1))[(z a)^m f(z)]。
这就像在走一条有点绕的小路，不过只要按照这个公式一步一步来，也能算出留数。
比如说有个函数f(z)=1/(z 2)^3，在z = 2处是三阶极点，按照这个公式算下来，留数是1/2。
虽然过程有点繁琐，但就像解一道有点难度的谜题，解开的时候还是很有成就感的。
2.3 本性奇点处的留数。
本性奇点可就比较调皮了。
它没有像极点那样有比较规矩的计算留数的公式。
我们通常得通过函数的洛朗级数展开式来求留数。
这就像在一个没有明显标记的森林里找东西，只能靠自己慢慢探索。
留数的计算方法
留数的计算方法留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中起着关键作用。
在计算留数时，我们需要首先了解什么是留数，然后掌握留数的计算方法。
接下来，我们将详细介绍留数的概念和计算方法。
留数是复变函数在孤立奇点处的一种特殊性质，它可以帮助我们计算复积分。
对于函数f(z)，如果z=a是它的孤立奇点，那么留数Res(f,a)的定义如下：Res(f,a) = 1/(2πi) ∮f(z)dz。
其中积分路径沿着a点的一个小圆周C进行，积分方向是逆时针方向。
这个公式是计算留数的基本公式，但在实际计算中，我们通常会结合留数的性质和定理来简化计算过程。
对于简单极点a，我们有留数的计算公式：Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)]对于高阶极点，我们可以利用洛必达法则来计算留数。
此外，如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z)，那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a 处的留数。
在实际应用中，我们还可以利用留数定理来计算复积分。
留数定理指出，如果f(z)在闭合曲线C内除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么沿着曲线C的复积分可以表示为这些孤立奇点处的留数之和。
这为复积分的计算提供了一种简便的方法。
在计算留数时，我们还需要注意一些特殊情况，比如当函数f(z)在点a处有可去奇点时，留数为0；当函数f(z)在点a处有极点但不是孤立奇点时，留数也为0。
因此，在计算留数时，我们需要仔细分析函数在各个点的性质，以便正确计算留数。
综上所述，留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中具有重要作用。
掌握留数的概念和计算方法，对于深入理解复变函数理论和进行相关计算具有重要意义。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更好地理解留数的计算方法。
第二节留数的计算方法
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
第二节 留 数
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i 且
z1 . .z2
D
1 2i
C1
f
( z )dz
1 2i
C2
f
( z )dz
1 2i
Cn
f
( z )dz
Res[ f (z), z1] Res[ f (z), z2] Res[ f (z), zn]
n
Res[ f (z), zk ] 即可得.
Res[
f
(z),
z0
]limzz0(zz0
)
f
(z).
7
•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
5.2.2留数的计算规则
1 5! z
所以
Res
z
sin z6
z
, 0
C1
1 5!
另外，在规则Ⅱ的证明过程中不难发现，如果 f (z)的极点的级数小于 m，
这时表达式
f z Cm (z z0 )m Cm1(z z0 )m1 C1(z z0 )1 C0
中的系数 Cm,Cm1, 中可能有一个或几个为零， 那么公式仍然成立，善用
由规则Ⅲ，
P zk Q zk
zk 4 zk 3
1 4zk 2
故由留数定理
c
z4
z
1
dz
2
i
1 4
1 4
1 4
1 4
0
事实上，当函数的极点的级数很高时，规则Ⅱ往往比较繁复，此时可以利用 其洛朗级数展开式来计算留数。
例4：计算
z
sin z6
z
在
z
0 的留数。
解：因为
z
sin z6
z
1 3! z3
z z0 m f z Cm Cm1 z z0 C1 z z0 m1 C0 z z0 m
d m1 dz m1
z
z0 m
f
z
m 1!C1 含有z
z0正幂的项
令 z z0， 两端求极限，得证；
规则Ⅲ
设
f
z=
Pz Qz
，其中P( z )，Q( z )
在 z0
如果 z0
是
f
(z)
的一级极点，那么
Res
f
z, z0
lim z
zz0
z0
f
z
证明： 设 z0 是 f (z) 的一级极点，那么
复变函数-留数定理
dz 例 计算积分 ， 其中，C 为 8 2 C ( z i ) ( z 1) ( z 3) 正向圆周： z 2.
1 解 记 f (z) ， 则 8 2 ( z i ) ( z 1) ( z 3) 除 点外，被积函数的有限奇点为： i， 1， 3， 由留数总和定理得 Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ] 0 由于奇点 i， 1在圆周C 得内部，由留数定理 及上式得
三、留数定理
定 理 设 函 数 f ( z ) 在 区 域D 内 除 有 限 个 孤 立 奇 点 zk ( k 1,2, , n) 外 处 处 解 析 , C 为 D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线 ,则
C
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), zk ]
k 1
4、若z0为f ( z )的m级极点，则
1 d m 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] Re s[ f ( z ), z0 ] ( m 1)! z z0 dz
5、若z0为f ( z )的本性奇点，
将f ( z)在0 z z0 内展开成洛朗级数，求a1;
dz C ( z i )8 ( z 1)2 ( z 3) 2 i{Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1]}
2 i{Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ]}
而
1 1 Re s[ f ( z ), 3] lim( z 3) f ( z ) lim 8 2 z 3 z 3 ( z i ) ( z 1) 4(3 i )8
第二讲 留数的计算
注：由连续变形原理，留数与C的选取无关。 由留数定义 C f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z0 ]
其中C 为简单正向闭曲线，且f ( z ) 在 C 及 C 内只有 z0
一个奇点。 上页 返回 结束
第二讲 数及留数的计算规则
1、留数的定义
2、留数的计算法则 3、留数定理 4、思考与练习
返回
1. 留数的定义
定义： 设 f ( z ) 以有限点z0 为孤立奇点， 即在点 z0 的某去 心邻域 0 | z z0 | r 内解析，则称积分
1 C f ( z )dz 2i 为 f ( z ) 在点 z0 的留数，记作Re s[ f ( z ), z0 ] 。其中C 为去
上页 返回 结束
由规则 II，得
ze z ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
ze z ze z e 1 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2 ze z e e 1 因此 C 2 dz 2i ( ) 2ich1 2 2 z 1
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) ,
( z z0 )m f ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1 c0 ( z z0 )m ,
两边求 m 1阶导数，得
由洛朗展式
sin z 1 z3 z2 f (z) ( z ) 1 z z 3! 3! 知 Re s[ f ( z ),0] c1 0 1 2) f ( z ) 2 在0 | z | 1内解析 z (1 z )
留数的计算
在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 在所有各奇点(包括 的留数总和必等于零. 那末 f (z)在所有各奇点 包括∞点)的留数总和必等于零 在所有各奇点 包括∞ 的留数总和必等于零 证：除∞点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为 一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单 闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有
1. 留数的计算规则 规则1 规则 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z)
z→z0
规则2 规则 如果z0为f(z)的m级极点, 则 1 dm−1 Res[ f (z), z0 ] = lim m−1 {(z − z0 )m f (z)} (m −1)! z→z0 d z 事实上, 由于 f (z)=c−m(z−z0)−m+...+c−2(z−z0)−2+c−1(z−z0)−1+c0+c1(z−z0)+..., (z−z0)m f (z)=c−m+c−m+1(z−z0)+...+c−1(z−z0)m−1+c0(z−z0)m+...,
根据 规则1,Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z),而 Q(z0)=0.
z→z0
P( z0 ) P(z) 所 lim(z − z0 ) f (z) = lim 以 , = z→z0 z→z0 Q(z) − Q(z ) Q′( z0 ) 0 z − z0 即得 规则 规则3。
⇒ Ι = −2π i
留数的求法及应用总结
留数的求法及应用总结留数是一种在复变函数理论中用于计算复数函数在奇点处的残留的方法。
留数的计算方法有多种，例如通过直接计算留数公式、Laurent级数展开、辅助函数法、计算围道积分等。
留数的应用非常广泛，包括在计算复积分、求解微分方程、计算极限、求解物理问题等方面都有重要的应用。
首先，我们来看留数的求法。
在复变函数中，函数在奇点点处的留数可以通过以下方法求解：1. 直接计算留数公式：对于简单的函数，可以直接使用留数公式计算。
对于一阶奇点，留数可通过函数在该点的极限值计算：Res[f(z), z=a] = lim(z->a) [(z-a) * f(z)]。
对于高阶奇点，留数可以通过多次取导数再计算极限来求解。
2. Laurent级数展开：对于复变函数，在奇点附近可以进行Laurent级数展开。
然后通过观察Laurent级数的形式，可以读出相应奇点的留数。
3. 辅助函数法：对于一些复杂的函数，可以通过引入辅助函数来计算留数。
通过构造辅助函数，可以使得计算留数的过程变得更加简单。
4. 计算围道积分：复平面上的围道积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来求解。
通过将围道逐步缩小，将围道上的奇点都计算在内，然后将结果相加即可得到围道积分值。
接下来，我们来看留数的应用。
1. 计算复积分：复积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来进行计算。
通过围道积分的方法，可以将复积分转化为留数的求和问题，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：在微分方程的求解过程中，往往需要对复函数积分。
通过留数的方法，可以将复积分转化为留数的计算，从而简化问题的求解过程。
3. 计算极限：对于一些复杂的极限问题，可以通过计算极限点处的留数来进行求解。
通过将极限问题转化为留数问题，可以简化问题的求解过程。
4. 物理问题求解：在物理学中，通过留数的方法可以求解一些边界值问题、传热问题、电磁问题等。
通过将物理问题转化为留数问题，可以利用留数的性质来求解物理问题。
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留数的计算方法
摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析. 关键词：留数;极点;零点
The Calculation of the Residue
Abstract: This paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed. Key W ords: Residue; Poles; Zero-point
引言
由留数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数.
下面介绍求留数的几种常用方法，使用时要根据具体条件，选择一个较方便的方法来进行.
1. 有限远点留数的计算方法
留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点
则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式中不含负幂项，从而01=-a ，故当0z 为
)(z f 的可去奇点时，
0Re ()0.s f z = (1.1)
1.2 若0z 为)(z f 的一阶极点
(1)第一种情形：
若0z 为)(z f 的一阶极点，则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式为
110010()()()f z a z z a a z z --=-++-
+
显然)()lim (01z f z z a -=-，故当0z 为)(z f 的一阶极点时，
00Res ()lim()()
z z f z z z f z →=- （1.2）
(2)第二种情形： 若0z 为)
()
()(z Q z P z f =
的一阶极点，且0)(0'≠z Q ，则 000()
Res ()()P z f z Q z =
'. (1.3)
1. 3 若0z 为)(z f 的m 阶极点
则
01
0011d Res ()lim [()()]
(1)!d m m m z z f z z z f z m z --→=--. （1.4）
一般来讲,公式(1.4)适合计算级数较低的函数的极点的留数.如果极点的级数较高时,计算可能比较复杂,此时可根据具体情况改用其他方法计算留数. 1.4 当0z 为)(z f 的本性奇点时
几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求． 1.5 有限远点留数计算典型实例
例 1.5.1 求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1,1Re 2
z ze s z ． 解 容易知道1=z 是函数1
2-z ze z
的一阶极点，所以
211Res[(),1]lim(1)lim 112z z z z ze ze e
f z z z z →→=-==
-+.
本题也可用上述方法 设)
()
()(z Q z P z f =
，取z ze z P =)(，1)(2-=z z Q ，显然)(z P ，)(z Q 满足方法1.2中(2)的条件，所以
2(1)Res ,11(1)2z ze P e z Q ⎡⎤==
⎢⎥'-⎣⎦
.
例 1.5.2 求函数 2
)
1)(1()(+-=
z z z
z f 在1=z 处的留数. 解 由于1=z 是分母的一级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1=z 是)(z f 的一级极点.由公式(1.2)可以得到
=)1),((Re z f s 41
))
1)(1(1
(lim 2
1
=+--→z z z z z . 由于1-=z 是分母的二级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1-=z 是)(z f 的二级极点.由公式(1.4)得
=-)1),((Re z f s ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+-→22
1)1)(1()1(lim z z z z dz d z =4
1
)1(1lim 21-=---→z z .
例 1.5.3 求函数)(z f 1
sin 4
-=
z z
在1=z 处的留数. 解 因为14-z 以1-=z 为一级零点,而01sin ≠,因此)(z f 以1=z 为一级极点.由公式(1.3)得
=
)1),((Re z f s 1sin 4
1
4sin )1(sin 1
3
1
'
4==
-==z z z z z z . 例1.5.4 求函数)(z f z
z e 1+=在0=z 处的留数.
解 0=z 是)(z f 的本性奇点,因为
)(z f z
z e
1+==⋅=z
z
e e 1
))!
1(!21(1
2 +-++++-n z z z n , )0(∞<<z 所以相乘后级数
z
1
的系数1-C 为 1-C +-++++
=!
)!1(1!3!21!211n n 于是
)0),((Re z f s +-++++
=!
)!1(1
!3!21!211n n 2. 无限远点处的留数计算方法
2.1 无穷远点留数定义或留数和定理
定义 2.1.1[3] 设∞点为函数)(z f 的一个孤立奇点,即)(z f 在+∞<<z R 内解析,则称积分
⎰-1
)(21
C dz z f i π值为)(z f 在∞点的留数,记作 ⎰-=
∞1
)(21
)),((Re C dz z f i z f s π. 其中,C 为圆周R r z >=,1-C 的方向是顺时针的. 设)(z f 在+∞<<z R 内的洛朗展式为
)(z f +++++++=--n n m
m
z C z C C z C z
C 1011
1 上式两端同乘
i
π21
,沿1-C 逐项积分,并根据定义1，有 ⎰-=∞1)(21)),((Re C dz z f i z f s π121-+∞-∞=-=-=⎰∑C dz z C i C
n
n n π. (2.1) 即)(z f 在∞点的留数等于它在∞领域的洛朗展式中负一次幂的系数的相反数.
这里需要指出的是,当0z 为)(z f 的有限可去奇点时,必然有0)),((Re 0=z z f s ;但是,如果∞是)(z f 的可去奇点时,则不一定有0)),((Re =∞z f s . 如 )(z f z
1
1+
=,∞=z 在是)(z f 的可去奇点;但01)),((Re ≠-=∞z f s . 例 2.1.1 求函数1
)(2-=z e z f z
在z =∞点处的留数.
解 函数1)(2-=z e z f z
以1z =及1z =-为一阶极点，而z =∞为本性奇点 又
1
1
Res (1),Res (1)22e f f e -=-=-
所以
1Res ()2e e
f --∞=
． 关于函数在有限孤立奇点和无穷远点留数之间的关系,有如下定理. 定理2.1.1 若 0)(lim =∞
→z f z ，则
Res ()lim[()]z f z f z →∞
∞=-⋅. (2.2)
证明 由条件，故可设)(z f 在z =∞的去心邻域的洛朗级数
1
()000n
n
c c f z z z
--=+
++
++++
因此
1Res ()lim[()]
z f c z f z -→∞
∞=-=-⋅．
公式(2.2)在计算留数时是非常有用的.如果已知函数在所有有限孤立奇点的留数之和,由式(2.2)即可知道函数在无穷远点留数;反之如果知道了函数在无穷远点的留数,则函数在所有有限孤立奇点的留数之和便可以求出.当函数的有限孤立奇点较多时,其留数之和计算比较复杂时,通过求函数在无穷远点的留数来求其在所有有限孤立奇点的历史之和是非常方便的.
另外,我们还可以先计算出比较容易计算的函数的部分孤立奇点的留数,然后用公式(2.2)求出比较难计算的另一部分孤立奇点的留数之和.
结束语
留数定理的应用为一部分积分的计算提供了便利，特别是对某些复杂的积分，它大大缩短求解过程.因此，利用留数计算定积分对理解留数理论和掌握一些特殊积分的计算有很大帮助，在平时的学习生活中留数理论或许能成为求积分与实际应用的有利工具.
参考文献
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[2] 白艳萍等.复变函数与积分变换[M]. 北京：国防工业出版社，2004. [3] 高宗胜等.复变函数与积分变换[M]. 北京：北京航空航天大学出版社, 2006.。