不等式及因式分解
不等式基本公式
不等式基本公式摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的分类二、不等式的基本性质1.不等式的传递性2.不等式的可加性3.不等式的乘法原理三、常见的不等式求解方法1.移项法2.系数化简法3.因式分解法4.图形法四、不等式的应用1.实际问题中的不等式应用2.数学问题中的不等式应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本关系式，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义是：用“>”、“<”、“≥”、“≤”等不等号表示大小关系的式子。
例如，3>2，表示3 大于2；5≤4，表示5 小于等于4。
不等式可以根据大小关系进行分类，主要有大于、小于、大于等于、小于等于四种类型。
二、不等式的基本性质不等式具有以下基本性质：1.不等式的传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
2.不等式的可加性：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
3.不等式的乘法原理：如果a>b，c>d，那么ac>bd。
三、常见的不等式求解方法1.移项法：将不等式中的项移到不等号的一侧，从而使求解更加简便。
2.系数化简法：将不等式中的系数进行约分或取倒数，使不等式更容易求解。
3.因式分解法：将不等式进行因式分解，利用不等式的性质进行求解。
4.图形法：将不等式转化为图形问题，利用数形结合的方法进行求解。
四、不等式的应用1.实际问题中的不等式应用：在实际生活中，不等式广泛应用于各种领域，如经济、社会、物理、化学等。
例如，在经济学中，需求函数和供给函数就是两个不等式，用于描述市场价格和数量的关系。
2.数学问题中的不等式应用：不等式在数学中也有很多应用，如在解析几何中，利用不等式求解最值问题；在微积分中，利用不等式求解极值和最值问题；在概率论中，利用不等式求解概率问题等。
基本不等式题型总结
基本不等式题型总结在数学学习中，不等式是一个重要而又常见的概念。
而基本不等式，作为不等式的基础和基本类型，是我们解决更复杂的不等式问题的关键。
本文将对一些常见的基本不等式题型进行总结和探讨，希望能帮助读者更好地掌握和应用这些不等式。
一、根式不等式根式不等式是一种常见的基本不等式题型。
在解决根式不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是化简根式表达式，二是确定根式的范围。
以求解不等式$\sqrt{x+1} > 3$为例，可以通过平方两边来消除根式，得到$x+1 > 9$。
然后解得$x > 8$。
但我们需要注意的是，由于根式的非负性质，我们还需要考虑$x+1\geq 0$的条件。
综合考虑，解集为$x > 8$。
二、分式不等式分式不等式是另一类常见的基本不等式题型。
在解决分式不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是去分母，二是确定分式的范围。
以求解不等式$\frac{1}{x-2} \geq 2$为例，我们可以通过去分母的方法得到$x-2 \geq \frac{1}{2}$。
然后解得$x \geq\frac{5}{2}$。
但我们需要注意的是，由于分式的定义域，我们需要考虑$x-2\neq 0$的条件。
综合考虑，解集为$x > \frac{5}{2}$。
三、绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的一种特殊类型。
在解决绝对值不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是分情况讨论，二是确定绝对值的范围。
以求解不等式$|2x-1| \leq 3$为例，我们可以分别讨论$2x-1$的正负情况。
当$2x-1\geq 0$时，不等式可以化简为$2x-1 \leq 3$，解得$x \leq 2$。
当$2x-1<0$时，不等式可以化简为$1-2x \leq 3$，解得$x \geq -1$. 综合考虑，解集为$x \in [-1,2]$。
四、幂函数不等式幂函数不等式是一种常见而又稍微复杂的不等式类型。
因式分解与不等式
因式分解把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
在数学求根作图方面有很广泛的应用。
原则:1、分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）2、结果最后只留下小括号3、结果的多项式首项为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子。
4.括号内的第一个数前面不能为负号;5.如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
即a（a+b）的形式。
归纳方法:1.提公因式法。
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.公因式可以是单项式，也可以是多项式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
2.运用公式法。
平方差公式：反过来为厲2-货=仪+坊（0-坊完全平方公式：2 + + 反过来十十胖二 S + bp反过来为立方和公式：a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)立方差公式：a3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2)例题.1 分解因式(1+y) 2-2x2(1+y2)+x4(1-y) 2.2.求证：对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：x5+3x4y-5x 3y2-15x 2y3+4xy4+12y5.3..A ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c 2+a2+2ab-2bc=0 ,求证：这个三角形是等腰三角形4.把-12x 2nXyn+18xn+2yn+1-6xnXyn-1 分解因式。
1:解：原式=(1+y) 2+2(1+y)x 2(1-y)+x 4(1-y) 2-2(1+y)x 2(1-y)-2x 2(1+y 2)(补项)=[(1+y)+x 2(1-y)] 2-2(1+y)x 2(1-y)-2x 2(1+y2)(完全平方)=[(1+y)+x 2(1-y)] 2-(2x) 2=[(1+y)+x 2(1-y)+2x][(1+y)+x 2(1-y)-2x]=(x 2-x 2y+2x+y+1)(x^2-x 2y-2x+y+1)=[(x+1) 2-y(x 2-1)][(x-1) 2-y(x 2-1)]=[(x+1) 2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) :2 ;解：原式=(x 5+3x4y)-(5x 3y2+15x2y3)+(4xy 4+12y5) =x4(x+3y)-5x 2y2(x+3y)+4y 4(x+3y)=(x+3y)(x 4-5x 2y2+4y4)=(x+3y)(x 2-4y 2)(x 2-y 2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x5不等于33 ;当y不等于0时，x+3y, x+y, x-y , x+2y, x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
等式与不等式的变形
等式与不等式的变形在数学中，等式和不等式是我们经常使用的基本概念。
通过变形，我们可以对等式和不等式进行操作，使其更符合我们的计算和推导需求。
本文将介绍等式和不等式的基本变形规则以及应用案例，帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。
一、等式的变形1. 合并相同项：当等式中存在相同的项时，我们可以将它们合并成一个项。
例如：3x + 2x = 5x。
2. 移项：在等式中，如果某个变量或常数项在等式两边都有，我们可以将它们移到一边，以便对另一边进行运算。
例如：2x + 5 = 10，可以变形为2x = 10 - 5。
3. 因式分解：有时候我们需要将等式中的某个项进行因式分解，以便于进行运算和简化。
例如：2(x + 1) = 4，可以进行因式分解为2x + 2 = 4。
4. 变量相消：如果等式中的两个变量相等，我们可以将它们进行相消。
例如：2x + 3 = 5x - 1，可以化简为3 + 1 = 5x - 2x。
5. 通分：当等式中含有分数时，我们可以通过通分将分数进行合并。
例如：1/2x + 1/3x = 1，可以通过通分得到3/6x + 2/6x = 1。
二、不等式的变形1. 合并相同项：与等式的变形相似，不等式也可以合并相同项。
例如：3x + 2x > 5x。
2. 移项：不等式的移项与等式类似，将某个变量或常数项移到一边以便进行比较和运算。
例如：2x + 5 > 10，可以变形为2x > 10 - 5。
3. 改变不等号方向：当不等式中的变量或常数项与被比较的对象相互交换位置时，不等号的方向也需要相应改变。
例如：-2x + 3 < 5，可以变形为3 - 5 > 2x。
4. 因式分解：不等式中的因式分解同样适用于等式。
例如：2(x + 1) > 4，可以因式分解为2x + 2 > 4。
5. 通分：如果不等式中含有分数，我们可以通过通分将分数进行合并。
例如：1/2x + 1/3x < 1，可以通过通分得到3/6x + 2/6x < 1。
因式分解常见错误与不等式常见考题类型
现对因式分解常见错误：分解不彻底、局部分解、忘记变号、重新还原为多项式、误用等式的性质等进行分析，查漏补缺，期望对同学们有所帮助.一、分解不彻底：1、分解因式16a 4-b 4错解：原式=（4a 2+b 2）（4a 2-b 2）；剖析：结果分解不彻底，4a 2-b 2还能分解，应分解到不能再分解为止. 正解：原式=（4a 2+b 2）（4a 2-b 2）=（4a 2+b 2）（2a+b ）(2a-b)二、局部分解：2、分解因式a 2-4+3a错解：原式=(a+2)(a-2)+3a剖析：只把多项式的一部分分解，结果没有化成几个整式积的形式，中间还有和，要正确理解因式分解的意义. 正解：原式=a 2+3a-4=(a+4)(a-1)三、忘记变号：3 、把-4x 2y+2xy 2-12xy 分解因式错解：原式=-2xy(2x-y-6)剖析:多项式首项系数若为“-”号，要把“-”号提出，在提“-”号时，括号内的多项式各项都要变号，本题第三项忘记变号. 正解：原式=-2xy(2x-y+6) 四、公式运用错误：4、分解因式-49x 6+8116y 2 错解：原式=-(23x 3)2+(94y)2=(23x 3-94y)(23x 3+94y) 剖析:没有搞清符号关系，以为是用第一项减第二项，平方差公式与位置无关而只与符号有关，因此，应先将题整理成减号在中央的形式.正解：原式=(94y)2 -(23x 3)2=（94y+23x 3）(94y-23x 3) 五、重新还原为多项式：5、分解因式(a 2+b 2)2-4a 2b 2错解：原式=(a 2+b 2+2ab)(a 2+b 2-2ab)=(a+b)2(a-b)2 =[(a+b)(a-b)]2=( a 2-b 2)2=a 4-2a 2b 2+b 4 剖析:本题实际上到第2个等号就分解到低了，不能在向下计算了！但由于受整式乘法的影响，又进行了整式乘法运算，不再是因式分解了！正解：原式=(a 2+b 2+2ab)(a 2+b 2-2ab)=(a+b)2(a-b)2六、误用等式的性质：6、 分解因式x 2-y 2+xz-41z 2 错解：原式= 4x 2-4y 2+4xz-z 2=4x 2-(4y 2-4xz+z 2)=(2x)2-(2y-z)2=(2x+2y-z)(2x-2y+z) 剖析:上述解混淆了等式的恒等变形与解方程的区别，显然，第一步的两边并不相等，问题处在误用等式的性质去分母.正解：原式= x 2-（y 2-xz+41z 2）= x 2-(y-21z)2=(x+y-21z)(x-y+21z). 不等式常见考题类型1、当x 为何值时，代数式213x +－1的值不小于354+x 的值？ 思考：1.“不小于”怎样用数学符号表示？“不大于”呢？2.解此类问题首先应干什么？思路分析：解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．解：依题意，得:213x +－1≥354+x , ∴4(2x ＋1)－12≥3(3＋5x )， 8x －15x ≥9＋12－4, －7x ≥17, ∴x ≤－177，所以，当x ≤－177时，代数式213x +－1的值不小于354+x 的值． 2、如图，直线l 是函数132y x =+的图象．若点()P x y ，满足5x <，且132y x >+，则P 点的坐标可能是（ ） Ａ．(75)， Ｂ．(46)， Ｃ．(34)， Ｄ．(21)-，思路点拨：结合图象，由于点P 的坐标需满足两个条件：5x <，132y x >+； 如果把两个不等式联立起来解不等式组的话，则不易求出y x ,的取值范围，可以由5x <发现，A 选项不符合题意，再把后三个选项中的x 分别代入后一个不等式，看该点的纵坐标是否满足这个不等式。
不等式以及因式分解
不等式1. 定义：用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
2．性质：①不等式两边同时加上（或减去）一个整式，不等号的方向不变，即若 ＞ ，则 ＞②不等式的两边同时乘以（或同时除以）一个正数，不等号的方向不变 ③不等式的两边同时乘以（或同时除以）一个负数，不等式的符号改变。
3．不等式的解：使得不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
不等式的解集：一个不等式的所有解组成这个不等式的解集。
一元一次不等式组：由几个一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集。
4．解不等式组：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
5．一元一次不等式解法：类比一元一次方程的解法，根据不等式的性质求解基本步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤化系数为1练习：1、解下列不等式，并把解在数轴上表示出来：（1）2(1)253(1)x x -+<-+ （2）121123x x +-≤+ 2.在方程组21(1)22(2)x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x ，y 满足0x y +>，求m 的取值范围并在数轴上表示。
3. (1)在同一数轴上表示x ＜2，x ＞- 3的解集．(2)在同一数轴上表示x ＞- 4，x ＞- 1的解集．(3)在同一数轴上表示x ＜2，x ＜- 3的解集．(4)在同一数轴上表示x ＞2，x ＜- 1的解集．4. 解不等式组：5. 解不等式组6. 一元二次不等式的解法定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫一元二次不等式。
例：解不等式 解一元二次不等式的步骤：1. 将不等式化为一般形式（右端为零）2. 将不等式左端看成关于未知数的二次函数3. 画出二次函数的图像4. 通过观察图像找到不等式的解集练习：因式分解因式分解的方法有根式法和十字相乘法. 十字相乘法分解因式(1).2x 2－5x －12=0 (2).3x 2－5x －2=0(3).6x 2－13x+5=0 (4).7x 2－19x －6=0(5).12x 2－13x+3=0 (6).4x 2+24x+27=0(7).5x ²+6x-8=0 (8).2x 2+3x+1=0根式法分解因式(1) 254x x +- (2)2445x x +-(3) 2255x x +- (4)266x x +-(5)223x x ++ (6)278x x -+ 2680x x >－＋2221)4410 2)2303)222060000x x x x x x ++>-+-≥-+-≤。
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
而不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c ≤ 0的不等关系，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
本文将探讨一元二次方程与不等式的解法，并分析其应用场景。
一、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法主要有图像法、配方法、公式法和因式分解法等，在不同的情况下可以选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法主要通过绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像，通过观察函数与x轴的交点来确定方程的解。
当图像与x轴相交于两个点时，方程有两个实根；当图像与x轴相交于一个点时，方程有一个实根；当图像与x轴不相交时，方程无实根。
2. 配方法配方法是通过将一元二次方程的形式转化为一个完全平方的形式，并借助平方根的性质来求解。
具体步骤如下：- 首先，将方程的三项按照平方根的部分进行配方，即将bx项除以2并平方。
- 其次，将方程两边的式子按照平方差公式进行整理，并将两项的平方根合并。
- 最后，通过开平方根运算，得到方程的解。
3. 公式法公式法是通过一元二次方程的根与系数之间的关系，直接利用求根公式来求解方程。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个相反的根。
4. 因式分解法因式分解法主要适用于一元二次方程可以进行因式分解的情况，即方程的三项均可以被因式分解为两个一次项的乘积。
通过将方程进行因式分解，得到每个因式等于零的条件，并解得方程的根。
二、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和数线法等，根据不同的不等式形式选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法同样通过绘制不等式对应的函数曲线，观察函数曲线与坐标轴的关系来确定不等式的解。
三次不等式因式分解后解集-概述说明以及解释
三次不等式因式分解后解集-概述说明以及解释1.引言文章1.1 概述部分的内容：在数学中，不等式是一种比较两个数量大小关系的数学表达式。
因为不等式的解集可以是一段连续的数轴或者是一个区间，所以研究不等式的解集是非常重要的。
本文主要研究三次不等式，并对其进行因式分解后的解集进行详细讨论。
三次不等式是指次数为3的多项式不等式，形式为f(x) > 0，其中f(x)是一个三次多项式函数。
由于三次多项式函数的图像可以是曲线，所以解三次不等式需要结合图像和因式分解等方法。
因式分解是将一个多项式分解成一组可约的因子的过程，对于解三次不等式来说，因式分解可以将复杂的不等式化简成简单的等式，从而更方便地求解。
因此，对于三次不等式的因式分解后的解集进行研究，有助于我们更好地理解和应用三次不等式。
本文将按照以下结构展开论述：首先在引言部分概述了本文的目的和结构，然后在正文部分分三个子章节介绍了三次不等式因式分解后解集的具体方法和性质。
第一个子章节中，将介绍如何通过因式分解的方法得到三次不等式的简化形式，并讨论简化形式的解集。
第二个子章节将介绍三次不等式的图像和性质，通过图像解读和曲线分析，得到因式分解后解集的具体特征。
最后一个子章节将介绍一些实际问题中常见的三次不等式，并通过因式分解和图像分析求解实际问题。
最后，在结论部分总结了本文的主要内容，并对进一步研究三次不等式因式分解后解集的方向提出了展望。
通过对三次不等式因式分解后解集的研究，我们可以更深入地理解三次不等式的性质和特点，为解决复杂的不等式问题提供了更有力的工具和方法。
这对于学习和应用数学都具有重要的意义。
希望本文对读者对三次不等式因式分解后解集的理解和应用提供帮助，并为进一步深入研究提供了思路和启发。
1.2文章结构文章结构是指文章的整体安排和组织方式。
在本文中，结构如下：2. 正文部分：2.1 第一个子章节：2.1.1 要点1：在这个部分，我们将介绍第一个不等式的因式分解，并给出其解集。
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一、选择题（共32分）1．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．6a 2b ＝3a 2·2bB ．mx ＋nxy －xy ＝mx ＋xy (n －1)C ．a m －a m －1＝a m －1(a －1) D ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1 2．在平面直角坐标系中，若点P （x －2, x ）在第二象限，则x 的取值范围为A ．x ＞0B ．x ＜2C ．0＜x ＜2D ．x ＞23．不等式组25x x >-⎧⎨⎩≤的解集在数轴上可表示为A B C D4．把b 2(x －2)＋b (2－x )分解因式的结果为（ ）A ．b (x －2)(b ＋1)B ．(x －2)(b 2＋b )C ．b (x －2)(b －1)D ．(x －2)(b 2－b )5．利用因式分解符合简便计算：57×99＋44×99－99正确的是（ ）A ．99×(57＋44)＝99×101＝9999B ．99×(57＋44－1)＝99×100＝9900C ．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10098D ．99×(57＋44－99)＝99×2＝1986．下列多项式不能用平方差公式分解的是（ ）A ．14122-b a B ．4－0.25m 4 C ．－1－a 2 D ．－a 4＋1 7．下列各式中，不能分解因式的是（ ）A ．4x 2＋2xy ＋41y 2 B ．x 2－2xy ＋41y 2 C ．4x 2－41y 2 D ．4x 2＋41y 2 8．若(x +2)是多项式4x 2+5x + m 的一个因式，则m 等于（ ）A.－6B.6C.－9D.9二、填空题（共32分）9.不等式(m-2)x>2-m 的解集为x<-1，则m 的取值范围是__________________。
10.多项式ax 2－4a 与多项式x 2－4x +4的公因式是＿＿＿.11.已知x －y ＝2，则x 2－2xy +y 2＝ .12．不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是_____________。
13．不等式1252x +--≤≤的解集是______________ 14.已知长方体的长为2a +3 b ，宽为a +2b ，高为2a －3b ，则长方体的表面积是＿＿＿.15.若多项式4a 2+M 能用平方差公式分解因式，则单项式M ＝____（写出一个即可）.16.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x+y)(x2+y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：(x－y)＝0，(x+y)＝18，(x2+y2)＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：＿＿＿(写出一个即可).三、解答题（共39分）17．将下列各多项式分解因式：（共21分）（1）a3－16a.（2）4ab+1－a2－4b2.（3）9(a－b)2+12(a2－b2)+4(a+b)2.（4）x2－2xy+y2+2x－2y+1.（5）(x2－2x)2+2x2－4x +1.（6）49(x－y)2－25(x+y)2.（7）81x5y5－16xy.（8）(x2－5x)2－36.18，请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解. （5分）19，请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解.4a 2，(x +y )2，1，9b 2. （5分）20，某公园计划砌一个如图①所示的喷水池，后有人建议改为图②的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够.请你比较两种方案，哪一种需用的材料多？（8分）四、拓广题（共47分）21，请先观察下列等式，再填空：（10分）32－12＝8×1，52－32＝8×2．（1）72－52＝8× ；（2）92－( )2＝8×4；（3）( )2－92＝8×5；（4）132－( )2＝8× ．（5）通过观察归纳，写出用含自然数n 的等式表示这种规律，并加以验证.22．解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：（10分）23．当x 为何值时，式子124x +的值不大于式子82x -的值。
（10分）① ②≥ ⎪⎩⎪⎨⎧-<--+-.8)1(31,323x x x x24．（1）计算：1×2×3×4+1＝＿＿. 2×3×4×5+1＝＿＿.3×4×5×6+1＝＿＿. 4×5×6×7+1＝＿＿.（2）观察上述计算的结果，指出它们的共同特性.（3）以上特性，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的和仍具备吗？试说明你的猜想，并验证你猜想的结论. （10分）25．已知a 、b 为正整数，且a 2－b 2＝45.求a 、b 的值. （5分）26．丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起恰好一样高．丁丁和冬冬想知道哪一个的体积大，但身边又没有尺子，只好找来一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3倍绳长，宽是2倍绳长，圆柱体的底面周长是10倍绳长．你能知道哪一个体积较大吗？大多少？（提示：可以设绳长为a 厘米，长方体和圆柱体的高均为h 厘米）（5分）参考答案：一、1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A.二、3、m ＜2；10，(x －2)；11，4；12．10x -≤ 13．113x -≤≤14；14，16a 2+16ab －18b 2；提示：长方体的表面积是2（2a +3b ）（2a －3b ）+2（2a +3b ）（a +2b ）+2（a +2b ）（2a －3b ）＝16a 2+16ab －18b 2；15，答案不惟一.如，当M ＝－1时，4a 2+M ＝4a 2－1＝(2x +1)(2x －1)；或当M ＝－b 2时，4a 2+M ＝4a 2－b 2＝(2x +b )(2x －b )等；16，103010，或301010，或101030.三、17，25.（1）a （a +4）（a －4）；（2）（1+a +2b ）（1－a －2b ）；（3）2)5(b a -；（4）(x －y +1)2；（5）(x －1)4；（6）4(6x －y ) (x －6y )；（7）xy (9x 2y 2+4)(3xy +2) (3xy －2)；（8）(x －2) (x －3) (x －6) (x +1)；18，根据题意要求编“一个能分解的二次四项式”、“并把它分解”的多项式，所以答案不惟一.如，a 4－b 4＝(a 2+b 2)(a +b ) (a －b )，a 4－2a 2b 2+b 4＝(a 2－b 2)2＝(a +b )2(a －b )2.等等；19，本题的答案不惟一.共存在12种不同的作差结果，即4a 2－1，9b 2－1，4a 2－9b 2，1－4a 2，1－9b 2，9b 2－4a 2，(x +y )2－1，(x +y )2－4a 2，(x +y )2－9b 2，1－(x +y )2，4a 2－(x +y )2，9b 2－(x +y )2.分解因式如，4a 2－9b 2＝(2a +3b )(2a －3b )；1－(x +y )2＝[1+(x +y )][1－(x +y )]＝(1+x +y )(1－x －y ).等等；20，设大圆的直径为d ，则周长为πd ；设三个小圆的直径分别为d 1，d 2，d 3，则三个小圆的周长之和为πd 1＋πd 2＋πd 3＝π(d 1＋d 2＋d 3).因为d ＝d 1＋d 2＋d 3，所以πd ＝πd 1＋πd 2＋πd 3.即两种方案所用的材料一样多.四、21，（1）3；（2）7；（3）11；（4）11，6；（4）(2n ＋1)2－(2n －1)2＝8n ．将左边因式分解即可验证这个结论的正确性；22．解：解不等式323+-x ≥x ，得x ≤3， 解不等式x x -<--8)1(31，得x ＞－2． 所以，原不等式组的解集是－2＜x ≤3． 在数轴上表示为23．解：由题意：14＋2x ≥82x -，解得：3112x ≥ 24．（1）经计算，易得结果分别25，121，361，841；（2）25，121，361，841都是完全平方数；（3）任意四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方数.理由如下：设最小的正整数为n ，则四个连续正整数的积与1的和表示成n （n +1）（n +2）（n +3）+1.即n （n +1）（n +2）（n +3）+1＝［n （n +3）］［（n +1）（n +2）］+1＝（n 2+3 n ）［（n 2+3n ）+2］+1＝（n 2+3 n ）2+2（n 2+3n ）+1＝（n 2+3 n +1）2；25.因为a 2－b 2＝（a +b ）（a －b ）＝45＝1×3×3×5，且a 、b 为正整数，所以1,45a b a b -=⎧⎨+=⎩或3,15a b a b -=⎧⎨+=⎩或5,9.a b a b -=⎧⎨+=⎩从而23,22a b =⎧⎨=⎩或9,6a b =⎧⎨=⎩或7,2.a b =⎧⎨=⎩ 26．长方体的体积为：3a ·2a ·h ＝6a 2h （厘米3），圆柱体的体积为：h a ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅2210ππ＝π25a 2h （厘米3）．π25a 2h －6a 2h ＝(π25－6)a 2h ，而π25－6＞0，所以π25a 2h －6a 2h ＞0，π25a 2h ＞6a 2h ．答：圆柱的体积较大，大(π25－6)a 2h 厘米3.· · · · · · · 0 －1 －2 －3 1 2 3 4∙°。