诱导公式典型例题分析
正弦、余弦的诱导公式
学科: 数学 年级: 高一 期数: 144正弦、余弦的诱导公式一、知识要点：熟记诱导公式，并能灵活应用进行求值、化简、证明，在应用中要特别注意诱导公式中符号(函数名和正负号)的变化，要了解已知三角函数值求角的方法。
二、典型例题：例1. 已知cos(-100︒)=k, 用k 表示ctg10︒.分析：首先知道cos(-100︒)=cos100︒, 根据题意，进行角的变换100︒=90︒+10︒, 再利用诱导公式及同角基本关系式即可求得。
解： ∵cos(-100︒)=cos100︒=cos(90︒+10︒)=-sin10︒又cos(-100︒)=k,∴ -sin10︒=k 即sin10︒=-k又10︒∈(0︒, 90︒) ∴cos10︒=110122-︒=-sin k∴ctg10︒=cos sin 10101122︒︒=--=--k k k k另解：sin10︒= -k 求法同前∵10︒∈(0︒, 90︒)∴ctg10︒=csc sin ||22221011101111︒-=︒-=-=-k k k 又sin10︒= -k>0 ∴k<0 ∴ctg10︒=--12k k例2. 若sin(α-π)=2cos(α-π)求sin()cos()sin()sin()παπαπαα++-+--5232分析：先利用诱导公式化简已知式可求得sin α, cos α之间的关系，然后再用诱导公式化简所求式，把sin α, cos α之间的其中一个消元即得。
解：由sin(α-π)=2cos(α-2π)得：-sin(π-α)=2cos(2π-α)-sin α=2cos α∴ sin α=-2cos α原式＝-+-+=+--=-sin cos cos sin cos cos cos cos αααααααα53253275三．巩固训练(一) 选择题：1. 124364362+-+-tg tg ()()ππ的值是( ) A. 333+ B. 333- C. -3+1 D. 1+32. 已知cos(180︒+α)=-35, 则tg(360︒-α)的值等于( ) A. 43 B. －43C. ±43D. 333. tg(k πθ2+), k ∈Z 的值等于( ) A. ctg θ B. ±ctg θC. tg θ或ctg θD. tg θ或-ctg θ4. 若sin 57π=m, 则cos(4π-57π), ctg(-4π+27π)的值分别是( ) A. 1122--m m m , B. ---1122m m m, C. ----1122m m m , D. 1122---m m m, 5. 下列各式的值与sinA 相同的是( )A. sin(90︒-A)B. cos(90︒+A)C. cos(270︒+A)D. sin(180︒+A)6. sin(α-π4)+cos(α+π4)可化简为( ) A. 2sin(α-π4) B. 2cos(α+π4) C. 0 D. 17. 如果cos(π-x)=32, x ∈(-π, π], 则x 的值为( ) A. 5676ππ, B. ±π6 C. ±56π D. ±23π 8. 若sin(π-α)=log 814, 且α∈(π2, 0), 则tg(32π+α)的值为( ) A. -52 B. 52 C. ±52 D. -259. 已知cos(x+π3)=0, 则x 等于( ) A. π6 B. -56πC. π6或-56πD. kx+π6(k∈Z)10. c tg(323πα+=), 则sin(32πα-)等于( )A. 12B. -12C. 12或-12D.2211. 若12-sin x=-cosx 则x为( )A. 2kπ+π2＜α＜2kπ+π(k∈Z)B. 2kπ+π≤α≤2kπ+34π(k∈Z)C. 2kπ+π2≤α＜2kπ+32π(k∈Z)D. 2kπ+π2≤α≤2kπ+32π(k∈Z)12. 已知tg(π-α)=12, 则ctg(π2+α)的值为( )A. 12B. -12C. 2D. -213. 若集合A={α|sinα=22, α∈[0, 2π]}, B={β|cosβ=-22, β∈[-π, π]}, 则A⋃B为( )A. {π4} B. {34π}C. {π4,5474ππ,} D. {π4,34π, -34π}14. 若log2sin(3π-α)= -2, 且ctgα＜0, 则cos(α+5π)等于( )A.54B.13C. 154D. -15415. 若sin(π+α)=110, 则的值为( )A. －13B. ±127C. 13D.33(二) 填空题:16. 化简2901801 1270222cos()[sec()]sin()︒+︒----︒ααα17. 已知sin(3224252παπαπ+=),且〈〈), 则tg α-sec α=__________18. 求值 136822550188263898tg ︒+︒-︒︒+︒sin cos()cos cos =_____________19. 若2sinx =2, 则x=_________ (其中x ∈[0, 2π])(三) 解答题:20. 求值: sin(-1230︒)cos1380︒+cos(-930︒)sin(-30︒)+tg945︒21. 已知sin θ=33, 求cos()(cos )[sin()]cos()cos()sin()sin()πθθπθπθπθπθπθ-⋅--+-++-+3212232的值.22. 已知log sin θcos θ=log cos θsin θ, 且θ∈(0, π2)求21log cot θ+(sin θcos θ)的值.23. 化简: 2223sin ()sin()cos()223csc (2)1()2cot ππααααπαπ+-++---四. 参考答案:(一) 选择题:1. B2. C3. D4. B5.C 6. C 7. C 8. B 9.D 10.C 11.D 12. A 13. D 14. C 15.B (二) 填空题:16. 2tg 2α 17. 3418. 0提示: 原式=182308288tg ︒+︒-︒︒-︒sin (cos)sin sin=ctg8︒-21288⨯︒︒cos sin=ctg8︒-ctg8︒=019. ππ656或(三) 解答题:20. 解: 原式=sin(-1440︒+210︒)cos(1440︒-60︒)+cos(-1080︒+150︒)sin(-30︒)+tg(1080︒-135︒) =sin210︒cos60︒+cos150︒(-sin30︒)-tg135︒ =(-sin30︒)cos60︒+cos30︒sin30︒+tg45︒=-⨯+⨯+121232121 =11434-+ =334- 21. 解: 原式=---+-+cos (cos )[cos ]cos (cos )cos cos θθθθθθθ1 =1111++-cos cos θθ=21222-=cos sin θθ∵sin θ =33∴ 公式=2332()=6 22. 解: ∵θ ∈(0, π2) ∴0<sin θ<1, 0<cos θ<1 ∴lgsin θ<0, lgcos θ<0由log sin θcos θ=log cos θsin θ得:lgcos lgsin lgsin lgcos θθθθ= lg 2cos θ=lg 2sin θ∴ lgcos θ=lgsin θ∴cos θ=sin θ∴log 12+tg θ(sin θcos θ)=log sec 2θ(sin θcos θ)=log (cos )cos 12θθ= -123. 解: 原式=cos csc sin (sin )2221ααααα-+--tg =cos sin 2222ααααctg tg + =sin 2α+cos 2α=1。
02三角函数诱导公式(含经典例题+答案)
三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。
诱导公式及典型例题
αα+ 180x yP(x,y)P′(-x ，-y)MM′O(4-5-1)三角函数诱导公式及典型例题【知识梳理】1.公式(一)απαsin )sin(=∙+2kαπαcos )cos(=∙+2kαπαtan )tan(=∙+2k （其中Z ∈k ）2．公式（二）:αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）推导：在单位圆中画出α角与－α角，若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)，观察出角的终边关于x 轴对称，结合三角函数定义可得到公式。
3.公式(三)[]απαcos 2(cos -=++1)k []απαsin 2(sin -=++1)k[]απαtan 2(tan =++1)k注：⎩⎨⎧-=+为偶数，为奇数，ααααπαsin sin )sin(n ⎩⎨⎧-=+为偶数，为奇数，ααααπαcos cos )cos(nαπαtan )tan(=+n 【典型例题】例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 45π例2．求下列各式的值： （1）sin(－34π)； (2)cos(－60º)－sin(－210º)例3．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα例4．已知cos(π+α)=－ 21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． （A ）23(B) 21 (C)－23 (D)±23求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒- 2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ） （A ）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1 公式（四）απαsin )2cos(-=+απαcos )2sin(=+ απαsin )2cos(=+- απαcos )2sin(=+-απαcot )2tan(-=+απαtan )2cot(-=+ απαcot )2tan(=+- απαtan )2cot(=+-例5、求证： )2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k例6 的值。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
诱导公式例题
诱导公式例题诱导公式是指通过一系列推理和演绎来得出一个结论或解决一个问题的数学公式。
它可以用于各种数学领域，包括代数、几何、微积分等。
下面是一个关于诱导公式的例题：假设有一个等差数列，已知首项为a，公差为d。
我们希望通过诱导公式来求解这个数列的第n项。
首先，我们可以写出数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中n 表示项数。
接下来，我们可以通过诱导公式来找出数列的第n项。
我们先考虑一般情况下的数列，再找出一些特殊情况下的数列，通过观察特殊情况下的数列的规律，得出一个适用于一般情况的公式。
特殊情况1：当n=1时，数列的第一项为a。
特殊情况2：当n=2时，数列的第二项为a+d。
特殊情况3：当n=3时，数列的第三项为a+2d。
通过观察以上特殊情况，我们可以发现，数列的第n项等于首项a加上公差d乘以n减一 (an = a + (n-1)d)。
这个诱导公式在特殊情况下得到验证。
现在我们来验证一般情况下的数列是否也满足这个公式。
假设数列的第n项为an = a + (n-1)d。
当n+1时，数列的第n+1项为a + (n+1-1)d，即a + nd。
我们可以看到，数列的第n+1项等于数列的第n项加上公差d。
由此可以得出结论，诱导公式an = a + (n-1)d适用于一般情况下的等差数列。
通过这个例题，我们可以看到诱导公式在数学问题的解决中起到了重要的作用。
它通过观察特殊情况和一般情况的数列，找出了数列的规律，从而得出了适用于一般情况的公式。
这种思维方式在解决数学问题时非常实用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
正弦余弦正切的诱导公式 三角函数
正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。
其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.2.三角函数的诱导公式总结：1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45B.－45C.35D.－35解析 由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.答案 B3.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( ) A.－35B.35C.－45D.45解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( ) A.125B.－125C.512D.－512解析 ∵sin α＝－513，α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，因此tan α＝sin αcos α＝－512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin(－α－2π)＝________.解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13，则cos α＝( ) A.－223 B.223 C.±223 D.23解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13>－22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. 答案 A角度2 关于sin α，cos α的齐次式问题 【例1－2】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 【例1－3】 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， 所以cos x >0，则sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35B.－35C.－3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.答案 (1)B (2)A考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan 76π＝1tan π6＝ 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，则cos(π－2α)＝( )A.29B.59C.－29D.－59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，得sin α＝23.∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×29－1＝－59. (2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. 答案 (1)D (2)13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－（－22）2＝427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝( ) A.－1213 B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.(2)由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 (1)C (2)－43三、课后练习1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－5 C.1± 5D.－1－5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45. 答案 35 453.已知k ∈Z ，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）＝________.解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 －14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.5.已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－73，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－732－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59.答案 －73 59。
专题5.3 诱导公式(解析版)
专题5.3诱导公式一、单选题1．函数3()3x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，点A 在角θ终边上，则3cos π2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】C【解析】3()3x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过点()3,4A ，因为点A 在角θ终边上，所以4sin 5θ=，则34cos πsin 25θθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：C2．若4π5cos 513α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【答案】C【解析】7π7π4π3π4π5sin sin sin cos 101052513αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C3．若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B【解析】：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.4．已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()sin 2021απ+=（）A B ．14C ．34-D ．【答案】A【解析】解：因为22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，所以()()tan 4sin tan sin 0αααα-+=，因为,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以tan 0α<且sin 0α<，所以tan 4sin 0αα-=，即sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以sin 4α==-，所以()()()sin 2021sin 10102sin sin 4απαππαπα+=++⨯=+=-=；故选：A5．已知3cos 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．34D ．34-【答案】C【解析】因为362πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以632πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以3sin sincos 63234ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：C 6．已知()cos ,1,1,,2k k πααπ⎛⎫=∈-∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（）A．BC．D ．1k-【答案】A【解析】解：因为()cos ,1,1,,2k k πααπ⎛⎫=∈-∈ ⎪⎝⎭，所以sin α==所以()sin sin παα+=-=A7．已知()()()sin cos 5sin sin 22αππαπαπα++-=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．34B ．43C ．32-D ．32【答案】D【解析】()()()sin cos sin cos 5cos sin sin sin 22αππαααπαααπα++---==-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，可得()sin cos 5cos sin αααα--=-，即4sin 6cos αα=，故3tan 2α=.故选：D.8．已知71sin 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．13-B．3-C ．13D．3【答案】C【解析】由题意，5571sin sin sin 1212123πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：C.9．已知角α终边上一点P 的坐标为4sin ,cos55ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的一个可能值为（）A ．5πB ．310π-C ．5π-D ．45π【答案】B 【解析】πsin 05>，4πcos 05<，因此α是第四象限角，2222π4πππsin cos sin cos 15555+=+=，因此πππ3π3πcos sin cos()cos cos()5251010α==-==-，所以3π2π,10k k Z α=±∈，只有B 符合．故选：B ．10）A ．sin 4cos4-B ．sin 4cos4--C ．cos 4sin 4-D ．sin 4cos4+【答案】C【解析】=，cos 4sin 4=-，故选：C11．若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】C【解析】33sin cos 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，3cos 5α∴=-，又α是第三象限角，4sin 5α∴==-，20214cos sin 25παα⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭.故选：C.12．若()sin cos 12232sin sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 3cos αααα--=（）A ．110B ．310C ．910D ．32【答案】C【解析】解：()sin cos cos sin 1tan 1223sin cos tan 12sin sin 2ππαααααπαααπαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，解得tan 3α=-,则222222sin sin cos 3cos sin sin cos 3cos sin cos αααααααααα----=+22tan tan 39339tan 19110ααα--+-===++.故选：C.13．已知角α终边上点A 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3cos cos 2ππαα⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭（）A ．75B ．75-C ．65-D ．15-【答案】D【解析】∵角α终边上点A 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，35x ∴=-，45y =，1r OA ==．4sin 5α∴==y r ，cos 53x r α==-，()3341cos cos cos sin 2555ππαααα⎛⎫⎛⎫∴-+-+=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D14．已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()cos 2021απ+=（）A ．14-B．4-C ．14D．4【答案】A【解析】因为22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，所以()()tan 4sin tan sin 0αααα-+=，因为,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以tan 0<α且sin 0α<，所以tan 4sin 0αα-=，即sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以()()()1cos 2021cos 10102cos cos 4+=++⨯=+=-=-απαππαπα；故选：A15．若()tan π3α-=，则sin 2cos sin cos αααα-=+（）A ．52B ．52-C ．14-D ．14【答案】D 【解析】由()tan π3α-=可得，tan 3α=，故sin 2cos tan 2321sin cos tan 1314αααααα---===+++，故选:D二、填空题16．已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【答案】12-或0.5-【解析】：因为2362πππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2326πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以21cos cos sin 32662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：12-17__________．【答案】1【解析】原式＝sin 20cos 201cos 20sin160sin 20cos 20+==++．故答案为：1．18．若sin θcos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值_______【答案】6【解析】原式=cos cos (cos 1)θθθ---+cos cos cos cos θθθθ-⋅+11cos 11cos θθ=++-1cos 1cos (1cos )(1cos )θθθθ-++=+-221cos θ=-22sin θ=，因为sin θ=，所以22261sin 3θ==.所以cos(π)cos(2π)63ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+=--++-+.故答案为：6.19．若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-_____．或【解析】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，当角α为第一象限角时，cos sin 2αα==，cos sin 22αα--=--=当角α为第三象限角时，cos sin 2αα==，cos sin 22αα--=+=20．已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】32或1.5【解析】因为π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 626ππππαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦cos cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332cos 2642πα⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：32三、解答题21．已知()()()()sin cos 2sin cos 2f πθπθθπθπθ--=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f θ，并求83f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()3f θ=，求22sin 3sin cos θθθ-的值．【答案】(1)()tan f θθ=，83f π⎛⎫=⎪⎝⎭(2)910【解析】(1)()()()()sin cos 2sin()cos 2f πθπθθπθπθ--=-+sin cos()sin (cos )2θθπθθ-=⎛⎫--- ⎪⎝⎭sin cos cos (cos )θθθθ=--tan θ=则83f π⎛⎫⎪⎝⎭8tan 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭2tan 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭tan 3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=(2)由（1）知，tan 3θ=．则22sin 3sin cos θθθ-2222sin 3sin cos sin cos θθθθθ-=+222222sin 3sin cos cos sin cos cos θθθθθθθ-=+222tan 3tan tan 1θθθ-=+22233331⨯-⨯=+9.10=22．（1）若α是第二象限角，且π1cos 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2）已知()()()()()3πsin 3πcos 2πsin 2cos πsin πf αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=---，化简()f α，在（1）的条件下，求()f α的值.【答案】（1）4-（2）3-【解析】（1）π1cos sin 23αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin 3α=，α是第二象限角，cos 3α∴==-，则sin 2tan cos 4ααα==-.（2）()()()()()()()3πsin 3πcos 2πsin sin cos cos 2cos cos πsin πcos sin f αααααααααααα⎛⎫--- ⎪-⎝⎭===----，由（1）知：cos 3α=-，则()cos 3f αα==-.23．已知函数()()3sin sin 2cos 3tan x x f x x x ππ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=--⋅．(1)求353f π⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)若()1332f f πθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求2cos 2sin 10sin 2cos sin θθθθθ++-的值．【答案】(1)12-(2)2【解析】(1)()()3sin sin sin cos 2cos cos 3tan cos tan x x x x f x x x x x x ππ⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭===---⋅-⋅，35351cos cos 3332f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2)由()1332f f πθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭得1cos sin 3θθ=，tan 3θ=，所以222cos 2sin 12tan 10tan 10sin 7922cos sin 2tan 1tan θθθθθθθθθ+++=+=-+=--+．24．已知cos sin 22333sin()sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭．(1)求tan()πα+的值；(2)求2sin cos cos ααα+的值．【答案】(1)12(2)65【解析】(1)由cos sin 22333sin()sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，可得sin cos 33sin cos αααα+=-，所以8sin 4cos αα=，解得1tan 2α=，所以1tan()tan 2παα+==．(2)由（1）知1tan 2α=，所以22222sin cos cos tan 16sin cos cos sin cos tan 15αααααααααα+++===++．。