江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试卷

徐州市2017-2018学年度高三第一次质量检测数学I 参考答案与评分标准一、填空题1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 10．14 12．1] 13．[2,2]- 14．277- 二、解答题15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A =， 所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， ……8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分 由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）取AB 的中点P ，连结1,.PM PB 因为,M P 分别是,AC AB 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，（第161A1BNM 1CCB AP又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. ……………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形， 所以1//MN PB ， ……………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ， 所以//MN 平面11ABB A . ……6分（2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥平面111A B C ，又因为1BB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面111A B C ，…………………8分 又因为90ABC ∠= ，所以1111B C B A ⊥，平面11ABB A 平面11111=A B C B A ， 11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥平面11ABB A ，…………………………………10分又因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ⊥，又因为111=NB AB B ， 且1AB ，1NB ⊂平面1AB N ，所以1A B ⊥平面1AB N ，………………………12分 而AN ⊂平面1AB N ，所以1A B AN ⊥.…………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，…2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S θθθθ=π=π-,…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<， 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x在x =所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ== 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分18．（1）由题意知：221,2191,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………………………………………………2分解之得：2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆方程为22143x y +=． ……………………………4分 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2 B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分 （3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--， 代入椭圆方程22143x y +=，得2220000(156)815240x x y x x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分 又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．…………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞． 当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-=，……………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值．………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-， 故211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-， …6分所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--，得222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ……………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=，不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>，所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分 代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-， 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x '=+++>对0x >恒成立，所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G ，所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分 又当2a x e +=时，222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥，14分因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同． 又由12y x x =-得：2120y x'=--<， 所以12(0,1]y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）若=0,4 =λμ，则14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-， 所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠， 所以12nn b b -=，故数列{}n b 是等比数列．…………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯q ，得21q =λ ， ③-②⨯q ，得31q =λ ，解得1,1 q ==λ． 代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为1的等比数列， 故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分（3）若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =， 12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得：1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-， 即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=， 所以21(1)20n n n na n a a ++---=，相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+=， 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=，所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+- ， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分徐州市2017-2018学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分 B ．因为411041230123-⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦M BA ， ………………………………………5分 所以13110101255-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M ． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x tl y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d ==l 与圆C 相切.……………………10分 D ．因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．……10分22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -， 所以(1,0,0)=- AC，1(,2= BE ， ………………………………………2分记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,||α-⨯=<>==AC BE ， 所以直线AC 和BE………………………………………4分（2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为FB = ，11(,0,2)2FC =- ， 则11110,120,2FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ m m 取14x =，得 (4,0,1)=m ．…………………………6分 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n，因为1(2CB = ，1(0,0,2)CC = ，则221210,220,CB x y CC z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ n n取2x1,0)=-n ．………………………8分cos ,∴<>==m n 1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C --10分23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………………………………………………2分n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠．………………………………………………4分 （2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y 121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．……………………………………8分令351()222f t t t t =++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >()0f t '<得0t <<所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t =()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值， 此时21s t =+=10分。