中考数学“分类讨论”专题复习
深圳市中考数学总复习课件(专题：分类讨论问题)
题目2
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。
题目3
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。
思考题
1
1. 应用分类讨论法解决其他类型
数学问题
2. 分类讨论法在误差分析和实验 设计方面的应用
2
思考如何应用分类讨论法解决其他类型 数学问题。
思考分类讨论法在误差分析和实验设计 方面的应用。
深圳市中考数学总复习课 件(专题：分类讨论问题)
深圳市中考数学总复习课件 专题：分类讨论问题
分类讨论法概述
将原问题分成几个子问题，分别进行讨论，综合得出原问题的解。与条件概率的关系。优点与缺点。
常见的分类讨论问题类型及解法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整除性问题
常见整除性定理及应用。解 法：分类讨论+化简。
奇偶性问题
判断奇偶性的方法。解法： 分类讨论+化简。
最大最小问题
最大最小值的定义。解法： 分类讨论+化简 or 达到最大 最小值的条件。
递推关系问题
递推关系的表达。解法：分类讨论+化简 or 找出 递推规律。
均值不等式问题
均值不等式的表述及应用。解法：分类讨论+化 简 or 使用均值不等式。
练习题解析
题目1
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。
中考数学分类讨论题做题原则以及注意要点
中考数学分类讨论题做题原则以及注意要点中考的考生们在做分类讨论题的时候，要保持高度的敏感，时刻紧绷分类讨论的弦，要具备一定的条理，以免掉进出题老师的陷阱，这就要求学生在考前多注意一下关于分类讨论题型的主要事项了。
小编为大家精心准备了中考数学分类讨论题要注意的部分事项，欢迎大家前来阅读。
中考数学分类讨论题的注意要点1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。
在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。
2、讨论点的位置，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。
3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。
4、代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍。
5、考查点的取值情况或范围。
这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。
6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。
7、由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后(比如从一条线段移动到另一条线段)时，所写的函数应该进行分段讨论。
由于考试题目千变万化，上面所列的项目不一定全面，所以还需要同学们在平时做题的时候多多积累。
中考数学分类讨论题的原则(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级有序进行。
以探寻直角坐标系中等腰直角三角形存在的问题来说，如果给定两个点A、B，需要在X轴上找第三个点C使得这个三角形ABC是等腰直角三角形，这个时候同学们可以线段来分类讨论：AB为斜边时，AC为斜边或时BC为斜边时点C的坐标。
这样讨论保证不会丢掉任何一种可能性，并且效率较高。
当然也可以按照角来讨论，但是注意不要两种分类方法穿插进行。
有些时候有可能会进行二次讨论，这个时候对于同学们的条理性要求就更大了，例如探讨含有30°角的直角三角形时，要先讨论那个角是直角，在讨论哪个角是30°或60°。
中考数学专题：例+练——第8课时 分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
2022年春苏科版九年级数学中考复习《等腰三角形的分类讨论》专题突破训练(附答案)
2022年春苏科版九年级数学中考复习《等腰三角形的分类讨论》专题突破训练（附答案）一．选择题1．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△P AC，△P AB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）A．1B．3C．5D．72．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC 为等腰三角形的格点C的个数为（）A．7B．8C．9D．104．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明同学们知道这个三角形“可爱角”应该是（）A．45°或36°B．72°或36°C．45°或72°D．45°或36°或72°5．若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°6．已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（）A．2B．2或4C．3或4D．2或3或47．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是（）A．24B．25C．26D．24或25二．填空题8．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，BD＝9，M为对角线BD上一动点（M不与B和D重合），过点M作ME∥CD交BC于点E，连接AM，当△ADM为等腰三角形时，ME的长为．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．若∠C＝2∠B，且0°＜∠BAD＜60°，若翻折后得到的△DEF中有两个角相等，则∠BAD＝．10．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是．11．两块全等的等腰直角三角形如图放置，∠A＝90°，DE交AB于点P，E在斜边BC上移动，斜边EF交AC于点Q，BP＝3，BC＝10，当△BPE是等腰三角形时，则AQ 的长为．12．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为．三．解答题13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）．（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）14．在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O半径为3．（1）试判断点A（3，3）与⊙O的位置关系，并加以说明．（2）若直线y＝x+b与⊙O相交，求b的取值范围．（3）若直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，OC、OB的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＜OB．（1）求点A的坐标；（2）点D是线段AB上的一个动点（点D不与点A，B重合），过点D的直线l与y轴平行，直线l交边AC或边BC于点P，设点D的横坐标为t，线段DP的长为d，求d关于t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，是否存在点D，使△ACD为等腰三角形？若存在，请你直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．16．如图，已知平面直角坐标系内，点A（2，0），点B（0，2），连接AB．动点P从点B出发，沿线段BO向O运动，到达O点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为t秒．（1）当点P运动到OB中点时，求此时AP的解析式；（2）在（1）的条件下，若第二象限内有一点Q（a，3），当S△ABQ＝S△ABP时，求a的值；（3）如图2，当点P从B点出发运动时，同时有点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿直线x＝2向上运动，点P停止运动，点M也立即停止运动．过点P作PN⊥y轴交AB于点N．在运动过程中，是否存在t，使得△AMN为等腰三角形？若存在，求出此时的t值，若不存在，说明理由．17．如图，已知直线y＝2x+9与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线CD与x轴交于点D （6，0），与直线AB相交于点C（﹣3，n）．（1）求直线CD的解析式；（2）点E为直线CD上任意一点，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，作EG⊥y轴于点G，当EF＝2EG时，设点E的横坐标为m，直接写出m的值；（3）连接CO，点M为x轴上一点，点N在线段CO上（不与点O重合）．当∠CMN＝45°，且△CMN为等腰三角形时，直接写出点M的横坐标．18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（2，0），C为y轴正半轴上一点，且BC＝4．（1）∠OBC＝°；（2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当△PQB是直角三角形时，求t的值；②若点P、Q的运动路程分别是a，b，当△PQB是等腰三角形时，求出a与b满足的数量关系．19．如图，CD是△ABC的高，CD＝8，AD＝4，BD＝3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF＝DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE＝；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒．（1）BC的长为；（2）当t＝2时，求△ADC的面积．（3）当△ABF是等腰三角形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：分三种情况：如图：当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2，当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，当P A＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，∵直线l是边AB的垂直平分线，∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，∴满足条件的点P的个数共有5个，故选：C．2．解：分三种情况，如图：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，当BA＝BP时，以B为圆形，BA长为半径画圆，交直线BC于P1，P2两个点，∵BA＝BP2，∠ABC＝60°，∴△ABP2是等边三角形，∴AB＝BP2＝AP2，当AB＝AP时，以A为圆形，AB长为半径画圆，交直线BC于P2，当P A＝PB时，作AB的垂直平分线，交直线BC于P2，综上所述，在直线BC上取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P有2个，故选：B．3．解：如图所示：分三种情况：①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1，C2，C3即为点C的位置；②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3，C4，C5，C6，C7，C8即为点C的位置；③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8，故选：B．4．解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，故选：C．5．解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：D．6．解：如图1中，当∠POB≠90°或∠POB≠60°时，满足条件的点M有2个，如图2中，当∠POB＝60°时，满足条件的点M有2个．如图3中，当∠POB＝90°时，满足条件的点M有2个．故选：B．7．解：方程x2﹣10x+m＝0的有两个实数根，则Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25，当底边长为4时，另两边相等时，x1+x2＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝x1x2＝25；当腰长为4时，另两边中至少有一个是4，则4一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，代入得：16﹣40+m＝0解得m＝24．∴m的值为24或25．故选：D．二．填空题8．解：以菱形ABCD的对角线BD所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立直角坐标系，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝，OA＝OC＝AC，∴OA＝＝＝，∴A（0，），D（，0），∴B（﹣，0），∵点M在y轴上，∴设M（m，0），∴AM2＝m2+（）2＝m2+，AD2＝62＝36，DM2＝（﹣m）2，∵ME∥CD，∴∠BME＝∠BDC，∠BEM＝∠BCD，∴△BME∽△BDC，分三种情况：当AM＝AD时，点M与点B重合，不符合题意；当MA＝MD时，如图：∵MA2＝MD2，∴m2+＝（﹣m）2，∴m＝，∴M（，0），∵B（﹣，0），∴BM＝﹣（﹣）＝5，∵△BME∽△BDC，∴＝，∴＝，∴ME＝，当DA＝DM时，如图：∵DA2＝DM2，∴（﹣m）2＝36，∴m＝（舍去）或m＝﹣，∴M（﹣，0），∵B（﹣，0），∴BM＝﹣﹣（﹣）＝3，∵△BME∽△BDC，∴＝，∴＝，∴ME＝2，综上所述：ME的长为：或2，故答案为：或2．9．解：∵∠BAC＝90°，∵∠C＝2∠B，∴∠C＝60°，∠B＝30°，设∠BAD＝x，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝150°﹣x，∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+x，由折叠得：∠B＝∠E＝30°，∠BAD＝∠DAE＝x，∠ADB＝∠ADE＝150°﹣x，∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC＝（150°﹣x）﹣（30°+x）＝120°﹣2x，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠DAE＝x，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣2x，∴∠AFC＝180°﹣∠EAC﹣∠C＝180°﹣（90°﹣2x）﹣60°＝30°+2x，∴∠AFC＝∠DFE＝30°+2x，分三种情况：当∠EDF＝∠DFE，120°﹣2x＝30°+2x，∴x＝22.5°，∴∠BAD＝22.5°，当∠EDF＝∠E，120°﹣2x＝30°，∴x＝45°，∴∠BAD＝45°，当∠DFE＝∠E，30°+2x＝30°，∴x＝0°，∵0°＜∠BAD＜60°，∴x＝0°（舍去），综上所述：∠BAD为22.5°或45°，故答案为：22.5°或45°．10．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，①当点P在P1位置时，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴DG＝DH，在Rt△DEG与Rt△DP1H中，DE＝DP1，DG＝DH，∴Rt△DEG≌Rt△DP1H（HL），∴∠AP1D＝∠AED＝73°，∵∠BAC＝180°−50°−50°＝80°，∴∠EDP1＝134°，②当点P在P2位置时，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），∴∠EDG＝∠P2DH，∴∠EDP2＝∠GDH＝180°−80°＝100°，综上∠EDP的度数为134°或或100°．故答案为：134°或100°．11．解：如图，当BP＝BE＝3时，∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，BC＝10，∴AB＝AC＝5，∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，CE＝10﹣3，∵∠DEC是△BEP的外角，∴∠DEF+∠QEC＝∠B+∠BPE，∴∠BPE＝∠QEC，∴△BPE∽△CQE，∴，∴，∴CQ＝10﹣3，∴AQ＝AC﹣CQ＝5﹣（10﹣3）＝8﹣10，当BE＝PE时，如图，∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，BC＝10，∴AB＝AC＝5，∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵BE＝PE，∴∠B＝∠BPE＝45°，∴∠BEP＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴∠PEC＝90°，∠QEC＝45°，∴△BEP和△EQC都是等腰直角三角形，∵BP＝3，∴BE＝PE＝3，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣3＝7，∴EQ＝QC＝，∴AQ＝AC﹣CQ＝5﹣＝，当PB＝PE时，如图，∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，BC＝10，∴AB＝AC＝5，∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵PB＝PE，∴∠B＝∠PEB＝45°，∴∠QEC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BEP和△EQC都是等腰直角三角形，∵BP＝3，∴BE＝BP＝×3＝6，∴CE＝BC﹣BE＝10﹣6＝4，∴QC＝CE＝4，∴AQ＝AC﹣CQ＝5﹣4＝，综上所述，AQ的长为8﹣10或或，故答案为：8﹣10或或．12．解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，当40°角为底角时，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：40°或100°．三．解答题13．解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，由图形可知，∠BDA逐渐变小，故答案为：25°；小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵AB＝2，∴AB＝DC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不合题意；当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．14．解：（1）∵A（3，3），∴OA＝3，∵3＞3，∴点A在⊙O外；（2）如图，当直线y＝x+b与⊙O相切于点C时，连接OC，则OC＝3，∵∠CBO＝45°，∴OB＝3，∴直线y＝x+b与⊙O相交时，﹣3＜b＜3；（3）∵直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．∴A（0，3），B（﹣3，0），∴AB＝3，当BA＝BP＝3时，∴P1（﹣3+3，0），P2（﹣3﹣3，0），当AB＝AP时，∵AO⊥x轴，∴BO＝OP，∴P3（3，0），当PB＝P A时，点P与O重合，∴P4（0，0），∴点P的坐标为（﹣3+3，0）或（﹣3﹣3，0）或（3，0）或（0，0）．15．解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0，可得x1＝2，x2＝4，∵OC、OB的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＜OB，∴OC＝2，OB＝4，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，即，解得AO＝1，∴A（﹣1，0）；（2）由（1）可知C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），设直线AC解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝2x+2，同理可求得直线BC解析式为y＝﹣x+2，当点D在线段OA上时，即﹣1＜t≤0时，则点P在直线AC上，∴P点坐标为（t，2t+2），∴d＝2t+2；当点D在线段OB上时，即0＜t＜4时，则点P在直线BC上，∴P点坐标为，∴d＝﹣t+2；综上可知d关于t的函数关系式为d＝；（3）存在．由勾股定理得，AC＝＝，当AC＝AD＝，点D在点A的右侧时，D点的坐标为（﹣1，0），当CA＝CD时，∵CO⊥AD，∴OD＝OA＝1，∴D点的坐标为（1，0），当DA＝DC时，如图，OD＝DA﹣OA＝DC﹣1，在Rt△COD中，DC2＝OD2+OC2，即DC2＝（DC﹣1）2+22，解得，DC＝，∴OD＝﹣1＝，∴D点的坐标为（，0），综上所述，△ACD为等腰三角形时，D点的坐标为（﹣1，0）或（1，0）或（，0）．16．解：（1）∵B（0，2），∴OB的中点为（0，），当点P运动到OB中点时，P（0，），设直线AP的函数解析式为y＝kx+，将A（2，0）代入y＝kx+得，2k+＝0，∴k＝﹣，∴直线AP的函数解析式为y＝﹣x+；（2）由点A（2，0），B（0，2）可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，∵S△ABQ＝S△ABP，∴直线PQ∥AB，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，当y＝3时，∴﹣，解得x＝1﹣，∴a＝1﹣；（3）当AN＝MN时，设PN交直线x＝2于H，则AM＝2AH，∴t＝2（2﹣t），解得t＝，当AN＝AM时，∵OA＝2，OB＝2，∴AB＝4，∴∠ABO＝30°，∵BP＝t，∴BN＝2t，∴2t+t+4，解得t＝，当MN＝AM时，∵∠MAN＝30°，∴AN＝t，∴2t+＝4，解得t＝8﹣4，综上：t＝或或8﹣4．17．解：（1）∵点C（﹣3，n）在直线y＝2x+9上，∴n＝2×（﹣3）+9＝3，∴C（﹣3，3），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∵C（﹣3，3），D（6，0），∴，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x+2；（2）如图1，设点E的横坐标为m，∵点E在直线CD上，EF⊥x轴交直线AB于点F，EG⊥y轴于点G，∴E（m，m+2），F（m，2m+9），G（0，m+2），∴EF＝|（2m+9）﹣（m+2）|＝|m+7|，EG＝|m|，∵EF＝2EG，∴|m+7|＝|m|，∴m＝﹣或﹣21；（3）如图2，∵∠CMN＝45°，且△CMN为等腰三角形，∴CN＝MN或CM＝MN或CN＝CM，①当CN＝MN时，则∠MCN＝∠CMN＝45°，∵C（﹣3，3），∴∠COM＝45°，∴∠CMO＝90°，即CM⊥x轴，∴M1（﹣3，0），即点M的横坐标为﹣3；②当CM2＝M2N2时，则∠M2CN2＝∠M2N2C＝67.5°，∵∠OM2N2＝∠M2N2C﹣∠COM2＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠CM2O＝∠CM2N2+∠OM2N2＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠M2CN2＝∠CM2O，∴OM2＝OC＝3，∴M2（﹣3，0），即点M的横坐标为﹣3；③当CN＝CM时，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴∠MCN＝90°，此时，点N必与点O重合，不符合题意；综上所述，点M的横坐标为﹣3或﹣3．18．解：（1）在Rt△COB中，∠COB＝90°，OB＝2，BC＝4，∴∠BOC＝30°，∴∠OBC＝90°﹣∠BOC＝60°，故答案为：60；（2）①由题意，得AP＝2t，BQ＝t，∵A（﹣3，0），B（2，0），∴AB＝5，∴PB＝5﹣2t，∵∠OBC＝60°≠90°∴只有∠PQB＝90°和∠QPB＝90°两种情况，当∠PQB＝90°时，∵∠OBC＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝（5﹣2t），解得：t＝；当∠QPB＝90°时，∵∠OBC＝60°，∴∠BQP＝30°，∴PB＝BQ，即5﹣2t＝t，解得：t＝2；综上所述，当t＝或t＝2时，△PQB是直角三角形；②如图：当a＜5时，∵AP＝a，BQ＝b，∴BP＝5﹣a，∵△PQB是等腰三角形，∠OBC＝60°，∴△PQB是等边三角形，∴b＝5﹣a，即a+b＝5；如图3：当a＞5时，∵AP＝a，BQ＝b，∴BP＝a﹣5，∵△PQB是等腰三角形，∠QBP＝120°，∴BP＝BQ，即a﹣5＝b，∴a﹣b＝5，综上所述：当△PQB是等腰三角形时，a与b满足的数量关系为：a+b＝5或a﹣b＝5．19．解：（1）如图1，设DG＝a，∵CD⊥AB，PE⊥AB，QF⊥AB，∴QF∥CD∥EF，∵DE＝DF，∴EG＝QG，∴DG是△EFQ的中位线，∴QF＝2a，∵tan∠BAC＝＝，即＝，∴AF＝a，DF＝DE＝4﹣a，∵BD＝3，∴BE＝3﹣（4﹣a）＝a﹣1，∵PE∥CD，BP＝PC，∴BE＝ED，∴a﹣1＝4﹣a，∴a＝，∴FQ＝2a＝5，EF＝2（4﹣a）＝8﹣2a＝8﹣5＝3，∴EQ＝＝；故答案：；（2）①如图2，过点Q作QH⊥CD于H，∵FQ⊥AB，CD⊥AB，∴∠QFD＝∠FDH＝∠QHD＝90°，∴四边形FDHQ为矩形，∴DF＝QH＝DE，FQ＝DH，∵tan∠ACD＝＝＝＝，∴CH＝2QH＝EF，∴EF+FQ＝DH+CH＝8：故答案为：8；②由①得：EF+FQ＝8，设EF＝x，则FQ＝8﹣x，∴EQ＝＝＝，当x＝4时，EQ取最小值为＝4，此时，DE＝DF＝2，∴BE＝3﹣2＝1，∵PE∥CD，∴＝＝，Rt△BDC中，由勾股定理得：BC＝＝，∴PB＝，当PB＝时，线段QE最小，最小值是4；③设DE＝m，BE＝3﹣m，DF＝m（0≤m≤3），∴AE＝4+m，AF＝4﹣m，FQ＝8﹣2m，AC＝＝＝4，AQ＝（4﹣m），当△AEQ为等腰三角形时，存在以下三种情况：i）AQ＝AE，则4+m＝（4﹣m），解得：m＝6﹣2，∴BE＝3﹣（6﹣2）＝2﹣3；ii）AQ＝QE，∵QF⊥AE，∴AF＝EF，∴4﹣m＝2m，∴m＝，∴BE＝3﹣＝；iii）AE＝EQ，则4+m＝，7m2﹣40m+48＝0，解得：m1＝4（舍），m2＝，∴BE＝3﹣＝；综上所述，BE的长为2﹣3或或．20．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理得：BC＝＝＝6，故答案为：6；（2）如图1，过点C作CH⊥AB于H，S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，则×8×6＝×10×CH，解得：CH＝，当t＝2时，AD＝2×2＝4，则S△ADC＝×4×＝；（3）当F A＝FB时，DF⊥AB，∴AD＝AB＝×10＝5，∴t＝5÷2＝；当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°，则BF＝2BC＝12，∴AB•DF＝BF•AC，即×10×DF＝×12×8，解得：DF＝，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴t＝÷2＝；当BF＝AB＝10时，∵BF＝10，BC＝6，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，由勾股定理得：AF＝＝＝4，∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝8，∴AD＝＝＝4，∴t＝4÷2＝2；综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2．。
中考数学专题复习教学案--分类讨论题(附答案)
分类讨论题类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
故顶角可能是50°或80°.答案：D .同步测试：1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。
分类讨论型问题-中考数学总复习讲义练习
第36讲 分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)类型一 由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(2016·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点，若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( )A ．b>2B ．－2<b<2C ．b>2或b<－2D ．b<－2 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t(秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( )3．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．类型三 由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3 (2017·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k 表示点A 、B 、C 的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，3)，M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8(2) (2016·北流模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝6，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则AP ＝ .(3) (2016·临淄模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4(2017·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C 同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(2016·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则D点坐标为.(2)(2016·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)，当t＝s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．(3) (2016·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(2016·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(2016·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝1，过点F作MN⊥PE，截取FM＝2，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N 在CE 边上时，由△EFN ∽△EOC 求解；②当1≤t ＜94时和当92＜t ≤5时，分别求出S 的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略．【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC 中，P 是AB 上的动点(P 异于A ，B)，过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A ＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MF CO ＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。
课标版数学中考第二轮专题复习-分类讨论型试题(含答案
分类讨论型问题探究分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。
分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决. 解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE ＝25（m ）由DE ∥FC 得，FCEDAC AE =，得FC ＝24（m ） S △ABC =12 ³40³24=480（m 2）(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S △ABC =1264³24=768（m 2）说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。
练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）A.2a b + B.2a b - C.2a b +或2a b - D. a+b 或a-b2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条3（2005年潍坊市）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．A ．5cmB ．11cmC ．3cmD ．5cm 或11cm图1图2A4.（2005年北京）在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD BD DC2 ²，则∠BCA的度数为____________。
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
中考数学专题复习：分类讨论题
中考数学专题复习：分类讨论题中考数学专题复：分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。
这些问题中，等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。
例如，对于一个等腰三角形，如果其中一个角度数为50°，则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。
如果这个角是顶角，则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数；如果这个角是底角，则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。
因此，顶角可能是50°或80°。
同样地，在解决三角形高的问题时，也需要分类讨论。
例如，如果一个三角形的底边和斜边长度已知，需要求解这个三角形的高的长度，则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。
如果高在三角形内部，则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度；如果高在三角形外部，则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。
圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。
由于圆是轴对称图形和中心对称图形，因此在解决圆的问题时，需要注意分类讨论，以避免漏解。
例如，对于一个直角三角形，如果以直角为圆心画圆，则这个圆与斜边只有一个公共点。
这个问题可以分类讨论，分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况，从而得到圆的半径的取值范围。
函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。
在解决这些问题时，需要注意分类讨论，以避免遗漏解或得到错误的解。
例如，对于一个函数方程，如果该方程在某个区间内有多个解，则需要分类讨论这些解的性质，例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。
从而可以得到方程的解的取值范围。
总之，分类讨论是解决数学问题的重要方法之一，尤其适用于复杂的问题。
在进行分类讨论时，需要认真分析问题，将问题分成若干个互不重叠的情况，并对每种情况进行单独的讨论和求解。
本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解，同时也需要注意特殊点的情况。
2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情 况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这 种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想 方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12， 设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时， 两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h； 与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】： 当 m 4 时， t h， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意； 当 m 时， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时
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中考数学“分类讨论”专题复习
学校：东区五校联合体主备人：刘少山审核人：刘天申时间： 3.26
第一课时
第一大类：分类讨论在数与代数中的应用
一.目标导航：
1.通过分类讨论专题复习能够区分数学对象的相同点和差异点，掌握分类的
方法，掌握将数学对象区分为不同种类的思想方法。
2.掌握分类思想在代数中的应用，领会其实质，加深对基础知识的理解、
提高分析问题、解决问题的能力。
二.考点动向：
分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我
们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，
全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。
中考“分类讨论”题一
般分为两大类，一是分类讨论在数与代数中的应用；一是在空间与图形中的应用。
常见分类讨论在代数中的题型有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按
字母的取值分类（二次根式的化简，一元二次方程概念等）；考查的方式有填空
题，选择题，综合题，特别是中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。
【例题解析】
考点1：按数分类讨论问题
【例题1】已知直角三角形两边、的长满足，则
第三边长为。
解：由已知易得
⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
⑵若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，
⑶若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。
∴第三边长为。
考点2：方程、函数中的分类讨论问题
方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.
【例题2】：如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．
（1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．
于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E 为顶点、P 为顶点、F 为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．
【答案】（1）(31)
E ，；(12)
F ，． （2）在Rt EBF △中，90B ∠=o ，
2222125EF EB BF ∴+=+=
设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， Q 顶点(12)F ，，
∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．
①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，
221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．
(04)P ∴，． 24(01)2a ∴=-+．解得2a =．
∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+
②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，
22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52
n =-（舍去）． ③当EF EP =时，53EP =，这种情况不存
在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+．
（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．
如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，
作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．
(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．
43BF BE ''∴==，．
FN NM ME F N NM ME F E ''''
∴++=++=22345=+=． 又5EF =Q ， ∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形
MNFE 的周长最小值是55+
考点3：在实际应用中代数分类讨论问题
【例题3】（2011河南）21. (10分)某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数m 0<m≤100 100<m≤200 m>200 收费标准(元
/人)
90 85 75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费10 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元.
(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和赳过200人吗?为什么？
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?
【解析】考查了方程和不等式的问题，涉及了分类讨论问题。
解：（1）设两校人数之和为a.
若a＞200，则a=18 000÷75=240.
若100＜a≤200，则
13
1800085211
17
a=÷=，不合题意.
所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人.……3分
（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则
①当100＜x≤200时，得
240,
859020800.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
160,
80.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
②当x＞200时，得
240, 759020800. x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1
53,
3
2
186.
3 x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
此解不合题意，舍去.
∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人.
【巩固练习】
1.两个不相等
．．．．．的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是．
2. 已知α、β是方程x 2+x+a=0的两个实数根。
求 a 的取值范围；⑵试用a 表示|α|+|β|。
3.当m 是什么整数时，关于x 的方程：x 2－2(m+1)x+m 2+2=0，与方程⑵：x 2+(2m －3)x+m 2－7=0的根都是整数？
4.已知直线y=－x+8和双曲线)0(≠=k x
k y 。
⑴k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ ⑵设⑴中的两个交点为A 、B ，试比较∠AOB 的度数与90°的大小。
5.已知抛物线y ＝2x －5mx+4m 2 (m 为常数). (1)求证：此抛物线与x 轴一定有交点；
(2)是否存在正数m ，使已知抛物线与x 轴两个交点的距离等于
61m -？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
6.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.
【达标演练】
1． 已知α、β是方程x 2+x+a=0的两个实数根。
求 a 的取值范围；⑵试用a 表示|α|+|β|。
2． 一次函数73
7+=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点C （a ，0）（a<0）使△ABC 为等腰三角形，求经过B 、C 两点的一次函数的解析式。
3． 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于2
1，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出S 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。
4．已知抛物线y＝2x－5mx+4m2 (m为常数). (1)求证：此抛物线与x轴一定有交点；
(2)是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于
6
1
m-
？若存
在，求出m的值；若不存在，说明理由.
5．在直角坐标系xoy
中，一次函数2
y=+的图象与x轴交于点A，与y轴
交于点B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6.（2011•青岛）某企业为了改善污水处理条件，决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
经预算，企业最多支出57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490吨．（1）企业有哪几种购买方案？
（2）哪种购买方案更省钱？。