中考数学专题复习——分类讨论问题

中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。

形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。

二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活使用一般的分类技巧。

三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。

四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。

五、教学用具打印互动背景资料、三角板、多媒体。

六、作业布置附后1：分式方程无解的分类讨论问题例题1：方程=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得： 1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或例题2： ==--+a 2112无解，求x a x2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。

（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。

一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。

这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零实行讨论的。

例题4：当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。

A C 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即02≠m ，0≠m ，1.m ,01≤≥∆解得 同理，.45m ,02-≥≥∆解得1m 45≤≤-∴且0≠m ，又因为m 为整数.11或取-∴m （1）当m=—1时，第一个方程的根为222±-=x 不是整数，所以m=—1舍去。

（2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.练习：已知关于ｘ的一元二次方程01)1(2=++-x x m 有实数根，则ｍ的取值范围是： 1m 45001≠≤⇒⎩⎨⎧≥∆≠-且m m3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题：5：方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定例题6：三角形一边长AB 为13cm ，另一边AC 为15cm ，BC 上的高为12cm,求此三角形的面积。

（54或84）例题7：若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为：3或11.例题8：一条绳子对折后成右图A 、B, A.B 上一点C ，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm 或120cm4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；A B1p CD 2p 4p 3p例题9：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。

如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时， P ，D 两点间的距离。

解：点P从A 点出发，分别走到B ，C ，D ，A 所用时间是 秒， 秒， 秒， 秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。

∴（1）当0≤t<5时，点P 在线段AB 上，|PD|=|P 1D|=(cm)（2）当5≤t<10时，点P 在线段BC 上，|PD|=|P 2D|=（3）当10≤t<15时，点P 在线段CD 上，|PD|=|P 3D|=30-2t（4）当15≤t ≤20时，点P 在线段DA 上，|PD|=|P 4D|=2t-30综上得：|PD|=总结：本题从运动的观点，考查了动点P 与定点D 之间的距离，应根据P 点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。

4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。

例题10：已知一次函数3333+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。

分析：本题中△PAB 因为P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。

△PAB 是等腰三角形有几种可能？我们能够按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB ；（2）PA=AB ；（3）PB=AB 。

先能够求出B 点坐标()033，，A 点坐标（9，0）。

设P 点坐标为)0(，x ，利用两点间距离公式可对M E A B C D N三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有四解，分别为)0369()0369()03()09(，、，、，、，-+-。

（不适合条件的解已舍去）总结：解答本题极易漏解。

解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。

另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。

因为运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。

例11：如图，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似。

分析与解答 勾股定理可得ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时，DM 能够与BE 是对应边，也能够与AB 是对应边，所以本题分两种情况： （1） 当DM 与BE 是对应边时，DM MN AB AE=，即1DM DM =．（2）当DM 与AB 是对应边时，DMMN AB AE =，即2DM DM=故DM例题12：如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存有点Q ，使三角形ABQ 是等腰三角形？若存有，求出符合条件的Q 点坐标；若不存有，请说明理由。

说明 从以上各例能够看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，准确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k ）；3，交点式。

易得： 32)3,0()3)(1(2++-=∴-+=x x y B x x a y 在抛物线上再结合点（2） 依题意得10=AB ，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)1) 以AQ 为底，则有AB=QB,及22)3(110-+=y 解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）在直线AB 上(舍去)，所以此时存有一点Q(1,0)2) 以BQ 为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,6-)3) 以AB 为底，同理则有QA=QB,存有点Q(1,1).综上，共存有四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,6) 、(1,6-)【作业训练】1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝2.（2010衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是1：2，则这个三角形的顶角为（ ）度。

Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30或90 Ｄ 603．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．54．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．不能确定5.（2011株洲市）两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程0452=+-x x 的两根，判断这两圆的位置关系： .6．已知点Ｐ是半径为2的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作了长为的弦AB ，连续PB ，则PB 的长为7.（2010四校联考）在等腰三角形ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个三角形的底边长为：.8：变换例题12，请问是否在x 轴，y 轴上存有点P,使得P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。

【参考答案】1．D 2 .C 3. A 4．A5．外切 6. 2或 7. 7或11。