二阶系统的时间响应
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二阶系统的时间响应及动态性能
（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
阶系统近似看作由 λ1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律
例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09 时系统的动态
性能指标。
解 当 K =10， K ＝0.5 时，系统为欠阻尼状态，当 K =0.09 时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
λ1 = λ2 = − ωn = − 1 T1
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s)
=
Φ(s)R(s)
=
(s
ωn2 + ωn )2
1 s
67
其单位阶跃响应为
h(t) = 1 − (1 + ωnt)e−ωnt 临界阻尼二阶系统的调节时间 ts 可参照过阻尼二阶系统调节时间的方法计算，只是此时 T1 T2 = 1，调节时间
−
2
ξω n
≈
3.5 ξω n
（ 0.3 < ξ < 0.8 ）
自动控制原理 二阶系统的响应
欢迎光临
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
3.3 二阶系统的时间响应
由传递函数
1 s
2 X o s n Gs 2 2 X i S s 2n s n
得
2 2 n n 1 X o s Gs X i S 2 2 2 2 s 2n s n s ss 2n s n
下面根据阻尼比的不同取值情况来分析二阶系统的单位阶跃响应。
2 n n 1 1 X o s 2 s s n 2 s n ss n
对其进行拉氏反变换得二阶系统在临界阻尼系统状态下的单位阶跃响应为
t 0 xo t 1 e nt 1 nt ，
其响应曲线如图所示，既无超调，也无振荡。
2s 1 ，试求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 s 2 2s 1
当输入信号是单位阶跃信号时，x1i t 1t ，X 1i s 1 ，则系统在单位阶跃信号作用
下的输出拉氏变换为
s
X 1o s G s X 1i s
故系统的单位阶跃响应为
2s 1 1 1 1 s s 2 2s 1 s s 12 s 1
2
式中
d n 1 2
称为阻尼自然频率。
当ζ=1时，二阶系统称为临界阻尼系统，其特征方程的根是两个相等的负实根，即
s1, 2 n
3.3.1 二阶系统的数学模型（3）
当ζ＞1时，二阶系统称为过阻尼系统，其特征方程的根是两个不相等的负实根，即
s1, 2 n n 2 1
当输入信号是单位阶跃信号时则系统在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为故系统的单位阶跃响应为当输入信号为单位脉冲信号时根据线性定常系统的性质可得系统的单位脉冲响应tedt
3.3 二阶系统的时间响应
大学自动控制原理_3.3二阶系统时间响应
1s 5% ts 1.33 2%
例2 如图所示的机械系统,在质量块上 施加9.8牛顿阶跃力后，m的时间响应 如图曲线，试求系统的 m、k 、c 。
Fi (t )
xo (t )
m c
k
解：根据牛顿第二定律，得
Fi (t ) Fk Fc Mo (t ) x Fk kxo (t ) Fc cxo (t )
即：
e
nt 2
1
1 1 1
2
解得： t s
n
ln
4 ln
若 0.02
1 1
2
则t s
n
3 ln
1 1
2
若 0.05
则t s
n
4
0.02) ( 若0 0.7时 ts n ts 32、源自阻尼状态( 0)2
1 X o (s) 2 2 s s n
1 s s s 2 n2
n
xo (t ) 1 cos nt
曲 线 特 点 ： 等 幅 振 荡
3、临界阻尼状态
1 X o (s) 2 s (s n )
( 1)
n
5、振荡次数N
在调整时间内响应曲线振荡的次数
ts ts N T 2
d
0 0.7时，
0.02时，t s 0.05时，t s 4
n
3
N N
2 1
2
1. 5 1
2
n
振荡次数N随着 而 。
( 2 1) nt ( 2 1) n t e e 2 2 1
3.3二阶系统的时间响应
n 2 X 0 ( s) n 2 2 2 (s n jd )(s n jd ) X i (s) s 2n s n
共扼复根:
s1,2 n jn 1 2
j
令:
d n 1 2
称为有阻尼振荡角频率
第三章
控制系统的时域分析
第三章
控制系统的时域分析
3.3.4时域分析性能指标
（4）调整时间 t s （Settling Time） ：响应曲线达到并 一直保持在允许误差范围内的最短时间。 （5）延迟时间 t d （Delay Time） ：响应曲线从零上升 稳态值50％所需的时间。 （6）振荡次数 ：在调整时间响应曲线振荡的次数。 常用的指标:最大超调量、峰值时间、调整时间和振 荡次数。 上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统 的快速性，而最大超调量 、振荡次数反映系统的相对稳 定性。
1.0 2.0
1
2
3
4
5
6 nt
7
8
9
10 11 12
不同ξ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图
第三章
控制系统的时域分析
几点结论： 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：
< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；
0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，
但响应愈快;
= 0时，出现等幅振荡。
第三章
控制系统的时域分析
几点结论：
工程中除了一些不允许产生振荡的应用， 如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻 尼系统，且阻尼比通常选择在0.4-0.8之间， 以保证系统的快速性同时又不至于产生过 大的振荡。 一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越
二阶阶跃响应动态性能指标求取
二阶阶跃响应动态性能指标求取二阶系统是控制系统中常见的一种模型，其阶跃响应动态性能指标是评估系统的性能好坏的重要指标。
本文将从二阶系统的阶跃响应的定义、特点和性能指标的求取方法等方面进行阐述。
首先，二阶系统的阶跃响应是指系统在输入为单位阶跃信号时的响应。
假设二阶系统的传递函数为：G(s)=K/(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)其中，K为增益，ξ为阻尼比，ω_n为自然频率。
二阶系统的阶跃响应具有以下特点：1.超调量：超调量是指阶跃响应中峰值与系统最终稳定值之间的差值，用百分数表示。
超调量越小，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。
2.响应时间：响应时间是指系统从单位阶跃响应开始到稳定的时间。
响应时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越迅速。
3.调整时间：调整时间是指系统从初始状态到达超调量指定范围内的时间，一般取超调量为5%。
调整时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。
4.峰值时间：峰值时间是指系统对阶跃输入的响应达到其最大值的时间。
5.匀稳态误差：系统在稳态下的输出与输入的差值，反映系统的控制准确性。
若单位阶跃输入的稳态输出为1，则对于系统的阶跃响应不应有静态误差。
有了以上的定义和特点之后，下面将介绍二阶系统阶跃响应动态性能指标的求取方法。
首先，根据传递函数可求得系统的特征方程：s^2+2ξω_ns+ω_n^2=0然后，通过特征方程可以求得系统的根：s_1=-ξω_n+ω_n√(ξ^2-1)s_2=-ξω_n-ω_n√(ξ^2-1)根据系统根的位置可以对系统的动态性能进行评估。
1.超调量的计算：超调量的计算公式为：MP=e^(-πξ/√(1-ξ^2))其中，MP为超调量，ξ为阻尼比。
2.响应时间的计算：响应时间的计算公式为：t_r=π/ω_d其中，t_r为响应时间，ω_d为峰值时的角频率，可通过特征方程得到：ω_d=ω_n√(1-ξ^2)3.调整时间的计算：调整时间的计算公式为：t_s=4/(ξω_n)其中，t_s为调整时间。
机械工程控制基础[3]系统的时间响应分析
![机械工程控制基础[3]系统的时间响应分析](https://img.taocdn.com/s3/m/e8c193e5172ded630b1cb611.png)
动态过程与稳态过程 在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时 间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。
动 态 过 程
动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入 信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过 程。 由于实际控制系统具有惯性、摩擦以及其他一些原因， 系统输出量不可能完全复现输入量的变化。 根据系统结构和参数选择情况，动态过程表现为衰减、 发散或等幅振荡形式。 动态过程除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应 速度及阻尼情况等信息，这些信息用动态性能描述。
单位阶跃响应
单位阶跃响应
单位阶跃响应
一 阶 系 统 的 动 态 性 能 指 标 由上表的数据分析可知，一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲 线，一阶系统的响应速度随时间 t 的增大而单调减小。根据动态性能指标 的定义可求出，一阶系统的动态性能指标为：td=0.69T，tr=2.20T，ts=3T。
二阶系统的单位阶跃响应 当ξ=0，系统为无阻尼系统时，特征根为一对共轭纯虚根，由式（4-5 ），有h(t)=1-cosωnt(t≥0)。此时，系统以无阻尼振荡频率ωn作等幅振 荡。 当0<ξ<1，系统为欠阻尼系统时，特征根为一对实部为负的共轭复根 ，由式（4-5），有
1
2
二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统0<ξ<1的单位阶跃响应如下图所示。
二阶系统的单位阶跃响应
二、二阶系统的单位阶跃响应
当ξ=0，系统为无阻尼系统时，特征根为一对共轭纯虚根，由式（4-5 ），有h(t)=1-cosωnt(t≥0)。此时，系统以无阻尼振荡频率ωn作等幅振 荡。 当0<ξ<1，系统为欠阻尼系统时，特征根为一对实部为负的共轭复根 ，由式（4-5），有
二阶系统的时间响应
xo (t)
n 1 2
ent
sin dt,
t0
xo (t) n sin nt, t 0
➢ = 1： xo (t) n2tent , t 0
➢ > 1：
xo (t) 2
n e 2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
3、二阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
Xo (s)
G(s)Xi (s)
)
0
即： tg(dt p )
1 2 tg
dt p k , k 0, 1, 2,
根据tp的定义解上方程可得：
tp
d
n
12
可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2/d的一
半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，
tp 越大。
✓ 最大超调量 Mp
100
M
p
xo (t e
✓ 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值 的2%或5%）内所需的时间。
评价系统平稳性的性能指标
✓ 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百 分数表示：
M
p
xo (t p ) xo () xo ()
100%
若xo(tp) xo()，则响应无超调。
✓ 振荡次数N 在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。
1 ent 1
12
可以求得：
ln ln 1 2
ts
n
由上式求得的ts包通常偏保守。
当0<<0.7时，
ts
ln ln
n
1 2
4
3n
, ,
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因此：
dt
xo
(t)
d dt
xo1(t)
2et
tet
6、 二阶系统的性能指标
➢ 控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的 定量指标，是定量分析的基础。
系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶 跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调 量Mp、振荡次数N。
例题 ➢ 例1
单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo (t) 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
G(s)
X o (s) Xi (s)
X o (s)
L[xo (t)]
L[7
5e6t ]
7 5 2s 42 s s 6 s(s 6)
➢ 例2
已知系统传递函数：
四、二阶系统的时间响应
1、二阶系统
G(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2ns
n2
其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期，
为阻尼比；
n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
二阶系统的特征方程：
s2 2ns n2 0
极点（特征根）： p1,2 n n 2 1
➢ 临界阻尼二阶系统： ＝1 具有两个相等的负实数极点：
但响应愈快；
= 0时，出现等幅振荡。
工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指 示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且 阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快 速性同时又不至于产生过 大的振荡。
一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越
迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应
的快速性越好。
G(s)
2s 1 (s 1)2
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解：1）单位阶跃输入时
Xo (s) G(s)Xi (s)
2s 1 s(s 1)2
1 s
(s
1 1)2
1 s 1
从而： xo (t) L[Xo (s)] 1 tet et
2）单位脉冲输入时，由于 (t) d [1(t)]
xo(t) 1
1
e( 2 1)nt， t 0
2(1 2 1 2 )
特点
✓ 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长
0
t ✓ xo () = 1，无稳态
误差。
➢
X
无阻尼（=0）状态
o
(s)
G(s) X i
(s)
s(s2
2 n
2 n s
2 n
)
xo (t) 1 cosnt, t 0
xo(t) 2 特点
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 ✓ xo() = 1，无稳态误差； ✓ 瞬态分量为振幅等于 e nt 1 2 的阻尼
正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。
阻尼振荡频率 d n 1 2 ；
✓ 振荡幅值随减小而加大。
xo (t) 1
e nt
1 2
sin(dt ),
t0
X o (s)
系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：
e(n jd )t ente jdt
其中， d n 1 2 称为阻尼振荡频率。
p1,2 n n 2 1
➢ 零阻尼二阶系统： ＝0
p1,2 n n 2 1
具有一对共轭虚极点：
p1,2 jn
系统时域响应含有复指数振荡项：
e jnt
➢ 负阻尼二阶系统： < 0 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
p1,2 n n 2 1
2、二阶系统的单位脉冲响应
G(s)
s2
n2 2n s
n2
xo (t) L1
G(s)
L1
(s wn )2
wn 2 (wn
1 2 )2
➢ 0<<1：
xo (t)
Байду номын сангаас
n 1 2
ent
sin dt,
t0
➢ = 0：
xo (t)
n 1 2
ent
sin dt,
G(s)Xi (s)
s(s2
2 n
2 n s
2 n
)
➢ 临界阻尼（=1）状态
xo(t) 1 (1nt)ent , t 0
xo(t)
特点
1 ✓ 单调上升，无
振荡、无超调；
✓ xo () = 1，无
0
t 稳态误差。
➢ 过阻尼（>1）状态
xo (t) 1
2(1
1
e( 2 1) nt
2 12)
✓ 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态 值的2%或5%）内所需的时间。
评价系统平稳性的性能指标
✓ 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用 百分数表示：
➢ 欠阻尼（0<<1）状态
xo (t) 1
e nt
1 2
s in(d t
),
t0
其中，d n 1 2
arctg 1 2 arccos
2
1.8 1.6 1.4 1.2 1
=0.2 =0.4 =0.6 =0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5 t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
xo(t)
Mp 1 0.9
允许误差 =0.05或0.02
0.1
0
tr tp
ts
t
控制系统的时域性能指标
评价系统快速性的性能指标
✓ 上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需 时间。对无超调系统，上升时间一般定义为 响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需 的时间。
✓ 峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。
p1,2 n
系统包含两类瞬态衰减分量：
ent , tent
➢ 过阻尼二阶系统： > 1
具有两个不相等的负实数极点：
p1,2 n n 2 1
系统包含两类瞬态衰减分量：
p1,2 n n 2 1
exp n n
2
1
t
➢ 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1 具有一对共轭复数极点：
p1,2 n jn 1 2 n jd
频率为n的等
1
幅振荡。
0
t
➢ 负阻尼（<0）状态 -1<<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。 < -1：输出表达式与过阻尼状态相同。
xo(t)
xo(t)
0
t
-1<<0 特点：振荡发散
0
t <-1
特点：单调发散
➢ 几点结论
二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： < 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长； 0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，
t0
xo (t) n sin nt, t 0
➢ = 1： xo(t) n2tent , t 0
➢ > 1：
xo (t) 2
n
e
2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
3、二阶系统的单位阶跃响应
Xi
(s)
1 s
X o (s)
G(s) X i
(s)
s(s2
2 n
2 n s
n2 )